专题08 期末真题常考百练通关（期末复习专项训练+19大题型）八年级数学下学期新教材北师大版

**基本信息** 聚焦期末高频考点，以19大常考题型（120题）系统覆盖几何与代数核心模块，通过真题情境强化知识应用与解题能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选填常考题|10种/50题|基础概念辨析与性质应用，如特殊三角形求解、不等式性质、中心对称识别|从单一知识点（如角平分线性质）到简单综合（如不等式与一次函数图像），渗透几何直观与抽象能力| |解答常考题|9种/70题|综合推理与实际问题解决，如分式化简求值、平行四边形判定、分式方程应用|从技能操作（如平移作图）到复杂问题（如三角形性质证明、因式分解与几何综合），培养推理能力与模型意识|

专题06 期末真题常考百练通关（120题19大常考题型） 选填常考题 解答常考题 题型1 特殊三角形的有关求解 题型11 分式的化简求值 题型2 利用线段垂直平分线的性质求解 题型12 求解分式方程 题型3 利用角平分线的性质求解 题型13 平移或旋转的作图 题型4 不等式的基本性质 题型14 求不等式组的解集 题型5 一元一次不等式（组）的解集 题型15 根据三角形的有关性质求解或证明 题型6 不等式与一次函数 题型16 因式分解与几何图形问题 题型7 中心对称图形的识别 题型17 分式方程的应用 题型8 判断是否是因式分解 题型18 平行四边形的性质与判断 题型9 分式的运算 题型19 不等式与一次函数的综合 题型10 根据平行四边形的性质求解 题型一 特殊三角形的有关求解（共5小题） 1．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，把沿折叠，使点A落在点处，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形折叠中的角度问题，根据三角形的内角和定理，折叠的性质，推出的度数，再根据平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，是边上一点．若，则的长为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理和等腰直角三角形，过点A作于点E，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】解：过点A作于点E， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3．（25-26八年级上·广东珠海·期末）如图，在中，是高，是角平分线，，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和，角平分线的性质，三角形的高的定义，由题意得，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，平分，与边交于点D，是的边上的高，，交于点．已知，，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】由已知结合直角三角形的两个锐角互余，可得，由角平分线的定义可得，根据三角形的内角和定理，即可得的度数． 【详解】解：∵是的边上的高， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 5．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，，是的角平分线，过点作的平行线，交于点，若，，则的长为_______． 【答案】18 【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质以及平行的性质，先根据角平分线和平行得到，用勾股定理计算出，那么，代入即可． 【详解】解：是的角平分线， ， 平行于， ，， ， ， 在中，得 ， ， ． 故答案为：． 题型二 利用线段垂直平分线的性质求解（共5小题） 6．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，且于，垂直平分，与交于，与交于，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得，设，则，在中，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∵且，， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即． 7．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）如图，中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角和三角形内角和是，掌握了以上知识是解答本题的关键；先根据角平分线得到，再利用三角形内角和可得，根据垂直平分线的性质可得，然后即可求解的度数． 【详解】解：∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； 故选：B 8．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为（   ） A．20 B．15 C．10 D．25 【答案】B 【分析】本题考查基本尺规作图作垂直平分线、线段垂直平分线的性质，得到是线段的垂直平分线是解答的关键． 先根据作图痕迹可得是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质证得即可求解． 【详解】解：根据作图痕迹，是线段的垂直平分线， ， ∵，， 的周长为， 故选：B． 9．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于D，连接，的垂直平分线交于F，则的周长是___________ 【答案】10 【分析】由线段垂直平分线的性质推出，得到的周长，即可求解． 【详解】解：垂直平分， ， 在的垂直平分线上， ， 的周长 ． 10．（25-26八年级上·北京房山·期末）如图，在中，，，于点，点和点分别是，上的动点，连接，，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，线段垂直平分线的性质及其判定定理，连接，可证明垂直平分，得到，则可推出当P、C、E三点共线，且时，有最小值，最小值为此时线段的长，可证明是等腰直角三角形，得到，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴当P、C、E三点共线，且时，有最小值，最小值为此时线段的长， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 题型三 利用角平分线的性质求解（共5小题） 11．（25-26八年级上·广西贵港·期末）如图，在中，，D是边上的一点，，，则点D到的距离为（   ） A．3 B．4 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，角平分线上的点到角的两边的距离相等．根据题意易求，由角平分线的性质定理可知D点到的距离等于D点到的距离的长度，则答案可解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴是的角平分线， ∴D点到和的距离相等， ∵表示D点到的距离，， ∴D到的距离为4． 故选：B． 12．（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，在中，，，，，根据尺规作图痕迹可知，的周长是（   ） A．17 B．18.5 C．20 D．25 【答案】C 【分析】本题考查了作角平分线、作垂线，全等三角形的判定与性质等知识；由作图知，平分，，则可证明有则则的周长等于从而求解. 【详解】解：由作图可知，平分，， 的周长等于 故选：C. 13．（25-26八年级上·浙江·期末）如图，在中，，，平分交于点D，交于点E，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和算出,再根据角平分线和平行线即可求解． 本题考查了三角形内角和，角平分线，平行线的性质，掌握基本概念是解题关键． 【详解】在中， ，， ， 平分， ， ， ． 故选：B． 14．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，在中，，是的平分线，已知，，则的面积是_____． 【答案】35 【分析】本题考查角平分线的性质．过点D作交于点E，根据角平分线性质可知，进而计算的面积即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E，    ∵平分，，， ∴， ∴． 故答案为：35． 15．（25-26八年级上·上海·期末）如图，在中，，，，平分，则_____． 【答案】 【分析】作于点，由角平分线的性质定理可得，由勾股定理可得，根据三角形的面积公式计算即可得出，即可得出结果． 【详解】解：如图：作于点， ∵平分，， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型四 不等式的基本性质（共5小题） 16．（25-26八年级上·浙江金华·期末）若，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的基本性质，关键是熟练掌握不等式的三条基本性质，注意在乘除负数时不等号方向改变，同时要考虑除数不能为0的情况． 【详解】（1）解：对于选项A：，不等式两边同乘，不等号方向改变， ∴，故A错误； 对于选项B：，不等式两边同减，不等号方向不变， ∴，故B错误； 对于选项C：当时，，不等式两边同除以负数，不等号方向改变，得； 当时，，不等式两边同除以正数，不等号方向不变，得； 当时，式子无意义，故C不一定成立； 对于选项D：，不等式两边同除以3，不等号方向不变，得； 再两边同加，不等号方向不变，得，故D正确． 故选：D． 17．（25-26八年级上·浙江台州·期末）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的基本性质． 举例判断A、B，根据不等式的性质判断C、D即可． 【详解】解：∵， 选项A，取，，满足，但，，，故A不成立； 选项B，取，，满足，但，，，故B不成立； 选项C，∵不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，，∴，故C不成立； 选项D，∵不等式两边同时除以负数，不等号方向改变，，∴，故D成立； 故选：D． 18．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）若是实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质． 根据的条件，利用不等式性质与正负数运算的符号规律，判断各选项的正误即可． 【详解】解：∵， ∴（不等式两边同时减去，不等号方向不变）， 又∵， ∴， ∵两个负数相加的结果为负数， ∴，D正确； 取，，，可得，A错误； 取，，，可得，B错误； ∵，， ∴， 又， ∴，C错误； 故选：D． 19．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）若，则________.（填“>”“<”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式两边同时乘以一个相同的负数，不等号开口方向改变进行求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 20．（24-25六年级下·山东威海·期末）比较大小：__________．（填“>”，“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法和不等式的应用，难度不大． 根据作差法即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 题型五 一元一次不等式（组）的解集（共5小题） 21．（24-25七年级下·北京海淀·期末）如图，数轴上表示的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图可知，不等式的解集是． 22．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可． 【详解】解： 解①得 解②得 ∴ ∴解集在数轴上表示为： 故选B． 23．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）不等式组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求解两个不等式，然后求它们的交集. 本题考查了解不等式，熟练掌握解不等式是解题的关键. 【详解】解：∵ 解第一个不等式：， ∴. ∵ 解第二个不等式：， ∴， ∴. ∴ 不等式组的解为. 故选：A. 24．（25-26八年级上·上海·期末）不等式的解集为_____． 【答案】 【分析】先移项合并同类项，再根据不等式的基本性质判断不等号方向，系数化为1后进行分母有理化即可得到解集． 【详解】 移项，得. 合并同类项，得. ， . . 即． 25．（24-25七年级下·重庆·期末）若关于y的方程有非负整数解，且关于x的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数a的值之和为________． 【答案】 【分析】先解关于y的一元一次方程得到y关于a的表达式，根据y为非负整数得到a的取值范围，再解关于x的不等式组，根据已知解集确定a的限制条件，最后找出所有符合条件的整数a计算求和即可． 【详解】解： 解得 ∵关于y的方程有非负整数解， ∴ ∴，且a为整数； 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∵关于x的不等式组的解集为， ∴ ∴ ∴， ∴所有符合条件的整数a的值有，，，， ∴ ∴所有符合条件的整数a的值之和为． 题型六 不等式与一次函数（共5小题） 26．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）如图直线与的图象，则关于的不等式的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图象可知，直线与直线的交点横坐标为，当时，直线在直线的上方， ∴不等式的解集为． 27．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若一次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．随的增大而减小 D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质．根据一次函数的图象与性质判断即可． 【详解】解：由图象知，，且随的增大而增大，故A、C选项错误； 图象与y轴负半轴的交点坐标为，所以，B选项正确； 当时，图象位于x轴的上方，则有，D选项错误， 故选：B． 28．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）已知一次函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，理解题意是解决本题的关键． 根据图象可得，两直线交点的横坐标为1，即可得到当时，的取值范围． 【详解】解：由图象可得，两直线交点的横坐标为1， ∴当时，的取值范围为， 故选D． 29．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，一次函数与（，，为常数）的图象交于点，则关于的一元一次不等式的解为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查一次函数与不等式的关系，掌握不等式与函数图像的关系是解题的关键． 根据不等式与函数图像的关系，可直接判断出一元一次不等式的解集． 【详解】解：∵点为一次函数与的图象交点， 且点的横坐标为， 根据一次函数与不等式的关系， 可判断出的解集为， 故答案为：． 30．（25-26八年级上·安徽·期末）一次函数与的图像如图所示，则不等式组的解集为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，灵活利用数形结合的思想是解题的关键． 不等式组，再结合图像可得其解集为满足且的部分为直线在下方且在x轴上方部分对应的自变量取值范围即可解答． 【详解】解：不等式组的解集由图像可知满足且， 即直线在下方且在x轴上方部分对应的自变量取值，即． 故答案为：． 题型七 中心对称图形的识别（共5小题） 31．（24-25七年级下·吉林长春·期末）自年中国第一条地铁“北京地铁号线”建成通车以来，地铁成为市民们出行的一种便利方式，下列城市的地铁标志中是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中心对称图形的概念和各图的特点进行判断求解，中心对称图形是绕某点旋转后与原图形重合． 【详解】A项：该图形能绕着某点旋转后与原图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； B项：该图形不能绕着某点旋转后与原图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； C项：该图形不能绕着某点旋转后与原图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； D项：该图形不能绕着某点旋转后与原图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意． 综上所述，是中心对称图形的是A． 32．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）下列四幅作品分别代表二十四节气中的四个节气：“芒种”“夏至”“白露”“大雪”，其中属于既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一判断即可． 【详解】、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 33．（24-25九年级上·云南迪庆·期末）“瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产下面“瓦当”图案中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一个图形绕一点旋转度，能与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形，进行判断即可． 【详解】解：根据中心对称图形的概念，选项中，B选项图形绕某点旋转，旋转后的图形与原来的图形完全重合， A、C、D、这三个选项图形绕某点旋转，旋转后的图形不与原来的图形完全重合， 故B选项是中心对称图形． 34．（25-26八年级上·四川泸州·期末）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一．以下剪纸中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】中心对称图形的概念，一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、找不到一点旋转，使旋转后的图形能够与原来的图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意； B、找不到一点旋转，使旋转后的图形能够与原来的图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意； C、可以找到一点旋转，使旋转后的图形能够与原来的图形重合，故是中心对称图形，符合题意； D、找不到一点旋转，使旋转后的图形能够与原来的图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意； 35．（25-26九年级上·河南周口·期末）古典园林的窗格不仅看上去美观，而且会用寓意、谐音来表达吉祥、愿望．下列窗格样式的图案中，是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，不符合题意； B．该图形不是中心对称图形，不符合题意； C．该图形是中心对称图形，符合题意； D．该图形不是中心对称图形，不符合题意． 题型八 判断是否是因式分解（共5小题） 36．（25-26八年级上·福建福州·期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的定义，掌握好相关知识是关键． 因式分解是指把一个多项式化为几个整式的积的形式，依据此定义逐一判断选项即可． 【详解】解：对于选项A：从整式的积转化为多项式，是整式乘法，不符合因式分解定义，故A错误； 对于选项B：右边是整式与常数的和，不是整式的积，不符合定义，故B错误； 对于选项C：将多项式转化为两个整式与的积，符合因式分解定义，故C正确； 对于选项D：右边的不是整式，不符合因式分解的定义，故D错误． 故选：C． 37．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分解因式，根据平方差公式和完全平方公式以及十字相乘法分解因式并判断即可得到答案． 【详解】解：A、，原式因式分解正确，符合题意； B、，原式因式分解错误，不符合题意； C、，原式因式分解错误，不符合题意； D、，原式因式分解错误，不符合题意； 故选：A． 38．（25-26八年级上·河南开封·期末）下列变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．根据因式分解的定义进行解答即可． 【详解】解：A．右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故该选项不符合题意； B．符合因式分解定义，是因式分解，故该选项符合题意； C．右边出现分式，不是整式的积的形式，不是因式分解，故该选项不符合题意； D．属于整式乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意． 故选：B． 39．（24-25八年级上·四川眉山·期末）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的正误判断，需运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式逐一验证各选项． 【详解】解：A、，分解错误． B、=，与左边不相等，分解错误． C、=，与左边不相等，分解错误． D、==，符合提公因式法和平方差公式，分解正确． 故选：D． 40．（25-26八年级上·山西长治·期末）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的正误判断，需依据提公因式法、公式法，逐一验证选项的分解是否正确、彻底． 【详解】解：选项A中，，原式漏写常数项1，分解错误 ∴A错误 选项B中，，原式公因式找错，分解不彻底 ∴B错误 选项C中，，原式公因式找错，分解错误 ∴C错误 选项D中，，符合完全平方公式，分解正确 ∴D正确； 故选：D 题型九 分式的运算（共5小题） 41．（25-26九年级上·河南周口·期末）计算+的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查异分母分式的加法运算，需先将异分母分式化为同分母分式，再根据同分母分式加法法则计算. 【详解】解： ， 故选：D． 42．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）计算（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查分式的除法运算，利用分式除法法则将除法转化为乘法，再通过约分简化计算． 【详解】解：原式 ． 故选：D． 43．（25-26八年级上·广东广州·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的乘除运算，通过直接计算每个选项的左边表达式，与右边结果比较，只有D选项正确利用了相反数的性质进行简化，即可求解． 【详解】解：A：∵ ，∴ A错误； B：∵ ，∴ B错误； C：∵ ，∴ C错误； D：∵ ，∴ ，与右边相等，∴ D正确． 故选：D． 44．（25-26九年级上·四川成都·期末）已知，则的值为_______ ． 【答案】 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可． 【详解】解：， ． 45．（25-26九年级上·四川成都·期末）已知实数a满足，则______． 【答案】/0.25 【分析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 首先将原表达式中的分式进行因式分解和化简，然后利用已知条件即代入求值． 【详解】解： ， ， ， ． 故答案为：． 题型十 根据平行四边形的性质求解（共5小题） 46．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，将平行四边形的边延长，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形两组对角分别相等可得，再根据邻补角互补可得的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， 故选：A． 47．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，的对角线，相交于点O．已知，的周长比的周长多，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是熟记平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分．根据平行四边形对角线互相平分可得，再由的周长比的周长多，可以求出的长，最后根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵的周长比的周长多， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 48．（24-25八年级下·甘肃酒泉·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线，交于点O，若，则___________． 【答案】5 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：5． 49．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，于点E，于点F．若，的周长为50，则的长为 _________ ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质， 根据平行四边形的对边相等，可知一组邻边的和就是其周长的一半．根据平行四边形的面积，可知平行四边形的一组邻边的比和它的高成反比． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，周长为50， ∴，， ∴， 根据平行四边形的面积公式，得， ∴，， ∴， 故答案为：10． 50．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，平行四边形的面积为7，对角线交于点O，线段经过点O，交于点E，交于点F，则阴影部分面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．利用平行四边形的性质（对角线互相平分、对边平行），证明三角形全等，将阴影部分面积转化为平行四边形中一个三角形的面积，再根据平行四边形对角线分面积的规律求解 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， 阴影部分面积， 平行四边形对角线把平行四边形分成面积相等的四部分，， 故答案为：． 题型十一 分式化简求值（共5小题） 51．（24-25八年级下·福建漳州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 52．（25-26八年级上·河北沧州·期末）以下是小茗同学化简分式的运算过程： 解：原式=---------------------------------① =-------------------------------------------② =-----------------------------------------------------③ (1)上面的计算过程从第 步开始出现错误； (2)请你写出完整的解答过程，并从1，2，3中选一个合适的数代入求值． 【答案】(1)② (2)解答过程见解析，值为10 【分析】（1）根据第②步分子相减时，去括号没有改变符号可得答案. （2）先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算，最后根据分式有意义的条件选取合适的的值，再代入计算即可. 【详解】（1）解：上面的计算过程从第②步开始出现错误. （2）解： ， 当或时，分式无意义，取， 则原式. 53．（25-26八年级上·山东临沂·期末）先化简，然后从0，1，2，3中选取一个合适的数代入求值． 【答案】， 【分析】先计算括号内的分式的减法运算，再计算除法运算，然后根据分式有意义的条件得到，，，然后将代入求解． 【详解】解： ， ∵分式有意义， ∴，， ∴，， ∵从0，1，2，3中选取一个合适的数 ∴， ∴原式． 54．（25-26八年级上·山东聊城·期末）先化简：，再从，，，四个数中选一个你喜欢的数代入求值． 【答案】； 【分析】本题考查分式的化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的的值代入进行计算即可．掌握分式混合运算的法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∵，，， ∴，，， 当时，原式． 55．（25-26八年级上·江西赣州·期末）先化简：，并在“，，”中选择一个你喜欢的数代入求值． 【答案】；0 【分析】本题考查分式的化简求值，需掌握分式的运算法则，同时要根据分式有意义的条件排除使分母为0的值，再选择合适的数代入计算． 【详解】解： ； ∵分式有意义的条件是分母不为0，除数不为0， ∴，，， ∴且， 当时，原式． 题型十二 求解分式方程（共5小题） 56．（24-25七年级上·上海青浦·期末）解方程：． 【答案】原方程无解 【分析】根据去分母、移项、合并同类项、化系数为1解分式方程，注意要检验． 【详解】解：原方程可化为， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 化系数为１，， 检验，时，，则为方程的增根， 故原方程无解． 57．（24-25八年级上·山东聊城·期末）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】根据解分式方程的步骤去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1并检验即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，解得， 时，， 故原方程的解为； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，解得， 当，， 故原方程无解． 58．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）解答下面各题： (1)计算：； (2)解分式方程： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用积的乘方及同底数幂乘法法则先算括号里面的，然后利用单项式除以单项式法则计算即可； （2）将原方程去分母后化为一元一次方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原方程去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为 59．（25-26七年级上·上海奉贤·期末）解方程：． 【答案】 【分析】方程两边同时乘以去分母，化为整式方程，再解整式方程并检验即可． 【详解】解： ， 检验：当时，， 所以是原方程的根． 60．（25-26九年级上·山东烟台·期末）（1）计算：（解方程） （2）（因式分解） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解分式方程与因式分解． （1）方程两边乘，化为整式方程，解方程并检验，即可求解； （2）先提公因式，再根据平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】解：（1）整理得： 方程两边乘，得：， 解得：， 检验：当时，， 所以，原分式方程的解为； （2） 题型十三 平移或旋转的作图（共5小题） 61．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，在边长为1的小正方形网格中建立平面直角坐标系，已知是格点三角形（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上）． (1)画出关于轴对称的图形，并写出点、的坐标_______，_______； (2)将向右平移5个单位，画出平移后的； (3)已知P为y轴上一动点，当取最小值时，此时点P的坐标是_______． 【答案】(1)见解析， ， (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出关于轴对称的图形，并根据图形写出、的坐标； （2）根据平移的特点作图即可； （3）根据对称的性质解答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ， （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 则， 此时，取最小值， 则点即为所求． 62．（25-26九年级上·西藏日喀则·期末）画一画． (1)画出三角形绕点C顺时针旋转后的图形． (2)请标出点，，并以为一条边，画一个与三角形面积相等的钝角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据旋转的定义，分别找出三角形三个顶点绕点顺时针旋转后的位置，然后顺次连接即可； （2）先根据题意找到，的位置，再根据与面积相等且为钝角三角形找到第三个点的位置即可． 【详解】（1）解：三角形绕点顺时针旋转得到，如图1即为所求； （2）解：先根据题意找到，的位置，则， 需要画出的三角形与面积相等， 三角形的高为3， 为钝角三角形， 第三个点可取点（答案不唯一）． 与三角形面积相等的钝角三角形，如图2即为所求． 63．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，在平面直角坐标系中，的各顶点坐标分别为． (1)画出关于原点对称的； (2)画出绕原点顺时针旋转后得到的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平面直角坐标系中图形的中心对称与旋转变换，解题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标特征和绕原点顺时针旋转的点的坐标变换规律． （1）先根据关于原点对称的点的坐标特征，求出A，B，C三点关于原点的对称点的坐标，再顺次连接各点； （2）先根据绕原点顺时针旋转的坐标变换规律，求出A，B，C三点旋转后的对应点的坐标，再顺次连接各点． 【详解】（1）解： 点关于原点对称的点的坐标为， 关于原点对称的点， 关于原点对称的点， 关于原点对称的点． 顺次连接，得到，即为所求（见下图）． （2）解： 点绕原点顺时针旋转后的对应点坐标为， 旋转后的对应点， 旋转后的对应点， 旋转后的对应点． 顺次连接，得到，即为所求（见上图）． 64．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，， (1)将绕点顺时针旋转得到，点A、B、C旋转后的对应点分别为，画出旋转后的图形；写出点的坐标是 ；的形状是 ． (2)若将经过平移后得到，点A、B、C平移后的对应点分别为，则线段和的关系是 ； (3)已知P为x轴上一点，若的面积为6，直接写出点的坐标 ． 【答案】(1)作图见解析，点的坐标为；是等腰直角三角形 (2)且 (3)或 【分析】（1）利用绕原点顺时针旋转的点的坐标写出的坐标，从而得到； （2）利用点平移的坐标特征写出的坐标，从而得到； （3）设,则，利用三角形的面积公式求出x的值，即得点P的坐标． 【详解】（1）解：将绕点顺时针旋转90°得到， 点A、B、C旋转后的对应点分别为， 点的坐标是； 的形状是等腰直角三角形． ；等腰直角三角形． （2）解：将经过平移后得到， 点A、B、C平移后的对应点分别为， 则线段和的关系是且． 故答案为：且． （3）解：∵P为x轴上一点， ∴设， 则， ∵的面积为6，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时， ， 当时， ， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了网格作图，熟练掌握旋转的性质，平移性质，三角形面积公式，分类讨论，是解题的关键． 65．（25-26九年级上·安徽·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)将先向下平移6个单位长度，再向右平移4个单位长度，画出平移后的； (2)将绕原点顺时针旋转，画出旋转后的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平移作图和旋转作图； （1）根据平移的性质作出对应点，再连接即可； （2）根据旋转的性质作出对应点，再连接即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示． 题型十四 求不等式组的解集（共5小题） 66．（24-25七年级下·新疆阿克苏·期末）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】   数轴上表示解集见解析 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 解集在数轴上表示如图所示： 67．（25-26八年级上·陕西西安·期末）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，然后在数轴上表示即可． 【详解】解： ， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示为： ． 【点睛】在数轴上表示解集时要注意是否包括x，若包括则x在该点是实心的，反之x在该点是空心的． 68．（24-25七年级下·全国·期末）解不等式组，将解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的整数解． 【答案】不等式组的解集为；整数解为0、1、2、3 【分析】本题考查了求不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集，求一元一次不等式组的整数解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 分别求出不等式组中的两个不等式的解，再求出不等式组的解集，然后表示在数轴上，再求出整数解． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 所以不等式组的解集为， 将解集在数轴上表示出来，如图， 不等式组的整数解为0、1、2、3． 69．（24-25七年级下·四川资阳·期末）解不等式组，将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解． 【答案】，数轴见解析，整数解为：，，，，，， 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，然后把解集表示在数轴上． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：，整数解为：，，，，，， 解集表示在数轴上如图， 70．（24-25七年级下·吉林长春·期末）解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】求出两个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 将不等式解集表示在数轴上如图： 不等式组的解集为：． 题型十五 根据三角形的有关性质求解或证明（共5小题） 71．（25-26八年级上·广东中山·期末）如图，点B、E、C、F在一条直线上，与交于点G，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】利用证明即可． 【详解】证明：∵ ∴ ∴ ∵， ∴． 72．（25-26八年级上·江西宜春·期末）如图，在中，，，是边上的高，是的平分线，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，直角三角形的两个锐角互余，三角形的角平分线的定义，根据三角形内角和定理求得，根据角平分线的定义可得，进而求得，再根据，即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 是的平分线， ， 在直角中，， 73．（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）如图，四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由等量代换可得，通过角边角证明； （2）由可得，，根据等腰三角形三线合一的性质可得，从而证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）证明：由（1）可得， ∴，， ∵， ∴， ∴． 74．（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，是的角平分线，点E在边上，满足． (1)求证：与互补； (2)点F是边上一点，满足，请猜想线段与线段、线段之间的数量关系，并给出证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）如图1中，在上截取．只要证明，即可解决问题； （2）如图2中，只要证明即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图1中，在上截取． 是的角平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 即：与互补； （2）解：． 理由：由（1）得，， ，， ， ， ． 75．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图1，都是等腰三角形，，连接和相交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，求的大小； (3)如图2，若，F为上一点，，交于点G，求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）证明即可证明； （2）过点O作于点M，于点N，求出，再证明平分，即可求出结论； （3）先证明，得出，进而证明，点E在的垂直平分线上，再根据为等边三角形得出点A在的垂直平分线上，证明结论即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ． ； （2）解：如图，过点O作于点M，于点N，则， 由（1）， ∴， ， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴平分， ∴． （3）证明：由（1）得：． 在和中， ． ∵， ∴，点E在的垂直平分线上； 在中，， ∴为等边三角形， ∴，点A在的垂直平分线上； ∴直线垂直平分． 题型十六 因式分解与几何图形问题（共5小题） 76．（24-25八年级上·广东中山·期末）【阅读材料】因式分解： 解：，将看成整体，令，则原式，将M还原，则原式．上述解题过程用到的是“整体思想”，请用“整体思想”解决以下问题： 【数学理解】（1）因式分解：； 【拓展探索】（2）证明：无论a，b取何值时，的值一定是非负数． 【答案】（1）；（2）见详解 【分析】（1）令，根据题中所给方法进行求解即可； （2）令，然后去括号，再根据题中所给方法进行因式分解，然后根据平方的非负性即可得证． 【详解】（1）解：将看成整体，令， 则原式， 将A还原，则原式． （2）证明：将看成整体，令， 则原式， 将B还原，则原式， ∵， ∴无论a，b取何值时，的值一定是非负数． 77．（25-26八年级上·全国·期末）“整体思想”法，即把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新的字母进行替代，可以简化多项式的结构，使因式分解更简洁明了． 例如：分解因式． 解：将看成一个整体，令，则原式___________，将还原得，原式． 请根据上述材料回答下列问题： (1)请补全横线上的步骤：___________； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的乘法和因式分解，素材的理解，正确理解整体思想是解题的关键． （1）根据完全平方公式因式分解即可； （2）仿照题目素材，令，原式，去括号再因式分解，最后代回即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：令， 则原式 将还原， 得原式． 78．（25-26八年级上·四川泸州·期末）阅读下面的因式分解的过程： ， 利用上述分解因式的方法，解决以下问题： (1)分解因式：； (2)已知，求的值； (3)已知的三边长分别为a，b，c，且满足，证明是等腰三角形． 【答案】(1) (2)0 (3)是等腰三角形． 【分析】（1）分组分解，前两项提取公因式，后两项提取，得到，再提取公因式，最后用平方差公式分解即可； （2）分组分解，前两项用平方差公式，后两项提取3，得到，提取公因式，代入计算即可； （3）移项整理等式，分组分解后提取公因式，得到，根据三角形边长性质，推出即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴， 即， ， ， ， ∵的三边长分别为a，b，c， ∴， 即， ∴， 即， ∴是等腰三角形． 79．（25-26八年级上·江西赣州·期末）【阅读理解】 例题：若，求和的值； 解：由题意得：， ， ，解得 【问题解决】 (1)若，求的值； (2)若是的边长，满足是的最长边，且为偶数，则可能是哪几个数？ 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先因式分解将变形为，再根据非负数的性质，求出，，最后代入求值即可； （2）先因式分解将变形为，再根据非负数的性质得出，然后根据三角形三边关系得出，最后根据c为最长边，且c为偶数，得出答案即可． 【详解】（1）解：， ． ． ． ，， ． （2）解：， ， ， ∴，， 解得：， ， 即， 又为最长边， ． 为偶数， 或． 80．（25-26八年级上·湖南常德·期末）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有着广泛的应用． 例1．因式分解：． 解：原式． 例2．若，利用配方法求M的最小值． 解：． ∵，， ∴当时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)是一个完全平方式，求 ； (2)分解因式：； (3)若，求y的最大值； (4)当m，n为何值时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1) (2) (3)132 (4)，，最小值为2016 【分析】（1）利用完全平方公式的结构特征即可确定出k的值； （2）把化为的形式，先用完全平方公式，再用平方差公式因式分解； （3）首先把y配方写成，根据平方的非负性得y的最大值； （4）用拆项的方法首先把多项式化为的形式，进一步分解因式，再根据平方的非负性求出多项式最小值． 【详解】（1）解：∵是一个完全平方式， ∴． 故答案为：； （2）解： ； （3）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴． ∴当时，y有最大值，最大值为132； （4）解： ， 当，时代数式有最小值， 解得，，最小值为2016． 题型十七 分式方程的应用（共5小题） 81．（25-26八年级上·河北沧州·期末）商场购进A、B两种儿童玩具，每个A玩具进价比每个B玩具进价多2.5元，用200元购进A玩具的数量是用75元购进B玩具数量的2倍． (1)求A、B两种玩具进价分别为多少元？ (2)若A玩具每个售价为13元，B玩具每个售价为9.5元，商场购进B玩具的数量比购进A玩具的数量的2倍还多4个，两种玩具全部售出后，商场要使总的利润超过120元，则最少购进A玩具多少个？ 【答案】(1)A种玩具进价为10元，B种玩具的进价为7.5元 (2)17个 【分析】（1）设B玩具进价为元，则A玩具进价为元，结合用200元购进A玩具的数量是用75元购进B玩具数量的2倍，再建立方程求解即可； （2）设购进A玩具个，则购进B玩具数量为个，结合总的利润超过120元，再建立不等式求解即可. 【详解】（1）解：设B玩具进价为元，则A玩具进价为元， 由题意得： 解得： 经检验是原方程的解 ∴A种玩具进价为10元，B种玩具的进价为7.5元． （2）解：设购进A玩具个，则购进B玩具数量为个，由题意得： 解得 的最小值是17 所以最少购进A玩具17个． 82．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）“读万卷书，行万里路”，某中学组织学生赴三星堆旅游景区参加研学活动．为了让学生切身体会到三星堆文化，研学基地特设了青铜器皿制作实践活动．活动中甲、乙两队均需制作36件青铜器皿，已知乙队每小时比甲队多制作6件，甲队完成任务所需要的时间是乙队完成任务所需时间的倍． (1)求甲、乙两队每小时各制作多少件青铜器皿？ (2)制作活动开始1小时后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回，于是甲乙两队决定合作完成剩下的任务，如果速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？如果不能，请求出两队合作后每小时至少需要多做多少件才能保证在乘车前完成任务． 【答案】(1)甲队每小时制作12件青铜器皿，乙队每小时制作18件青铜器皿 (2)不能，12件 【分析】（1）设甲队每小时制作x件青铜器皿，则乙队每小时制作件青铜器皿，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值即甲队的工作效率，再将其代入中，即可求出乙队的工作效率； （2）求出甲、乙两队两小时可完成的工作量，将其与剩下的任务比较后，可得出如果速度保持不变他们不能在乘车前完成任务，设两队合作后每小时需要多做y件才能保证在乘车前完成任务，根据两队要在乘车前完成任务，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲队每小时制作x件青铜器皿，则乙队每小时制作件青铜器皿， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 件 答：甲队每小时制作12件青铜器皿，乙队每小时制作18件青铜器皿； （2）解：第1小时甲、乙两队共制作：（件）， 总任务为（件）， 剩下的任务为（件）． 合作时，甲、乙两队每小时共制作（件）， 因为，所以他们不能在乘车前完成任务． 设两队合作后每小时需要多做件才能保证在乘车前完成任务， 根据题意得：， 解得：． 所以的最小值为12． 答：不能在乘车前完成任务，两队合作后每小时至少需要多做12件才能保证在乘车前完成任务． 83．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）随着气温的逐步降低，电热毯成为了许多家庭的必需品，某商场最新购进的A、B两款电热毯凭借智能定时，排潮除湿，双温双控等便捷操控功能，迅速赢得了消费者们的青睐．已知A款电热毯的进价比B款电热毯的进价高，且商场用8400元购进的A款电热毯的床数比用4500元购进的B款电热毯的床数多20床． (1)A、B两款电热毯的进价分别为每床多少元？ (2)若商场购进A、B两款电热毯共100床（两款电热毯均要购买），且花费的总价不高于10000元，购进后，A、B两款电热毯均按高于进价的定价出售．若电热毯全部售完，设商场购进A款电热毯a床，总利润为W元，求W与a之间的函数关系式，并利用一次函数的知识，求出最大利润． 【答案】(1)A款电热毯的进价为每床120元，B款电热毯的进价为每床90元 (2)最大利润为1998元 【分析】（1）设B款电热毯的进价为每床x元，则A款电热毯的进价用含x的代数式表示出来，根据题意列关于x的分式方程并求解即可； （2）列出关于a的一元一次不等式并求其解集；分别计算A、B两款电热毯的售价，再根据“总利润款电热毯的总利润款电热毯的总利润”写出W与a之间的函数关系式，由一次函数的增减性和a的取值范围，确定当a取何值时W最大，求出其最大值即可． 【详解】（1）解：设B款电热毯的进价为每床x元，则A款电热毯的进价为每床元， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， （元）． 答：A款电热毯的进价为每床120元，B款电热毯的进价为每床90元． （2）解：根据题意，得：， 解得：， A款电热毯的售价为（元）， B款电热毯的售价为（元）， 则， ∵， ∴W随a的增大而增大， ∵且x为正整数， ∴当时，W的值最大，． 答：最大利润为1998元． 84．（25-26八年级上·广西来宾·期末）为积极推进五育融合的素质教育理念，某学校打算打造劳动实践与美育展示相结合的区域，准备购买A、B两种不同功能的工具．通过市场调研得知：A种工具每组的价格比B种工具每组的价格少30元，且用9000元购买A种工具的组数是用6000元购买B种工具的组数的2倍． (1)求A、B两种工具每组的价格分别是多少元？ (2)该学校计划用不超过2100元购买A、B两种工具共20组，其中：要求B种工具的数量不少于A种工具数量的一半，问：在满足资金和数量要求的前提下，最多可以购买B种工具多少组？ 【答案】(1)A种工具每组的价格是90元，B种工具每组的价格是120元 (2)最多可以购买B种工具10组 【分析】（1）设A种工具每组的价格是x元，则B种工具每组的价格是元，根据“用9000元购买A种工具的组数是用6000元购买B种工具的组数的2倍”，列分式方程求解并检验即可； （2）设购买B种工具y组，则购买A种工具组，根据“不超过2100元购买”和“B种工具的数量不少于A种工具数量的一半”，列一元一次不等式组，取最大正整数解即可． 【详解】（1）解：设A种工具每组的价格是x元，则B种工具每组的价格是元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：A种工具每组的价格是90元，B种工具每组的价格是120元； （2）解：设购买B种工具y组，则购买A种工具组， 依题意得：， 解得：， ∵y为正整数， ∴y的最大值为10， 答：最多可以购买B种工具10组． 85．（25-26八年级上·湖南常德·期末）湘超联赛（湖南省足球协会超级联赛）是湖南人的顶级足球盛宴！自2016年创办以来，14支市州代表队在绿茵场上激烈角逐，既有中学生球员与成年老将同场竞技的青春风暴，也有草根球队逆袭夺冠的热血传奇，更有非遗表演、城市文旅融合的独特魅力． 2025年湘超总决赛于长沙贺龙体育场举办，赛事实行实名制入场制度，观众需凭本人身份证核验进场．小张去离家2700米的贺龙体育场看比赛，到体育场入口核验时，发现身份证忘在家里，此时离比赛开始还有30分钟．于是他跑步回家，拿到身份证后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回贺龙体育场，已知小张骑车的时间比跑步的时间少了5分钟，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍． (1)求小张跑步的平均速度； (2)如果小张在家取票和寻找“共享单车”共用了4分钟，他能否在比赛开始前赶到贺龙体育场？说明理由． 【答案】(1)小张跑步的平均速度为180米/分 (2)小张能在比赛开始前赶到贺龙体育场，理由见解析 【分析】（1）设小张跑步的平均速度为x米/分，则骑车的平均速度为米/分，根据时间路程速度结合骑车的时间比跑步的时间少用了5分钟，列出分式方程，解方程即可； （2）根据时间路程速度可求出小张跑步及骑车的时间，再求出总耗时29分钟，然后与30分钟比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设小张跑步的平均速度为x米/分，则骑车的平均速度为1.5x米/分， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：小张跑步的平均速度为180米/分； （2）解：小张能在比赛开始前赶到贺龙体育场，理由如下： 小张跑步的时间为：（分钟），骑车的时间为：（分钟）， ∵（分钟），， ∴小张能在比赛开始前赶到贺龙体育场． 题型十八 平行四边形的性质与判定（共5小题） 86．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，已知平行四边形中，平分且交于点，且交于点． (1)求证：； (2)若，求的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行四边形的性质，角平分线定义，三角形内角和定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由平行四边形性质可得，，，通过平行线性质可得，，则有，然后通过“”证明全等即可； （）由（）得，，根据角平分线定义可得，最后三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（）得：，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 87．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，E，F分别是，边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，角平分线的定义、等角对等边，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）通过证明“，”即可证得四边形是平行四边形； （2）证明，得出，从而得出，再求出，最后结合平行四边形的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． ∴， ∴平行四边形的周长是16． 88．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，中，分别是和的平分线，相交于点O． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合平行四边形的性质，得，故，又因为分别是和的平分线，得，即可作答． （2）先结合平行四边形的性质，得，则的周长，把代入计算，即可作答． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 又分别是和的平分线， ， ， ． （2）解：四边形是平行四边形． ， 的周长． ， 的周长为16． 89．（24-25八年级下·新疆吐鲁番·期末）如图，在平行四边形中，E，F分别是边和上的点，且，连接，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行四边形的性质可得，，再利用证明即可得证； （2）由，得出，再结合，即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形 ∴，，，， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形． 90．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在平行四边形中，，是对角线上的两点，． (1)求证：四边形是平行四边形： (2)当时，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为． 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质以及勾股定理， （1）连接交于点，由平行四边形的性质得，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由勾股定理求得的长，得出的长，再由勾股定理求出的长，即可得出结论； 熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，连接交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，，， ∴， ∴， 由（1）可知，，， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 题型十九 不等式与一次函数的综合（共5小题） 91．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，点，直线与直线相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求直线的表达式； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)若点是轴上一动点，连结，当时，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】先将点代入直线解析式求出，得到点坐标，再将、两点坐标代入，列方程组求解、即可； 不等式的几何意义为：直线的图像在直线图像 上方时的取值范围，结合两直线交点的横坐标直接判断； 先求出、坐标，计算，再根据面积关系得，结合三角形面积公式求出的长度，分点在左右两侧求解坐标． 【详解】（1）解：把代入， 得， ， 直线过点、， ， 解得， 直线的表达式为． （2）解：不等式即， 由图像可知：当时，直线在直线上方， 不等式的解集为． （3）解：在中，令，得， ， 在中，令，得， ， ， ， ， ． 设，，， ，的高为点纵坐标， ， ， 解得或， 点的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数解析式求解、一次函数与不等式关系、坐标与三角形面积，解题关键是利用函数图像几何意义和面积公式分类讨论． 92．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与直线分别与轴交于点，，两直线交于点． (1)求点P的坐标及的面积； (2)利用图象直接写出当时，x取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了一次函数图象与性质以及一次函数和一元一次不等式和二元一次方程组的关系，准确求出各点坐标是解题关键． （1）先分别求出点坐标，即可求解，然后联立两直线的表达式求出点，再由三角形面积公式求解的面积； （2）时，不等式的解集即为直线在直线下方时对应的取值范围． 【详解】（1）解：把代入中得：， 解得：，所以 把代入中得：， 解得：，所以， 所以， 联立与得，， 解得， 所以， 所以； （2）解：因为， 所以由图象可得当时，； 93．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知直线：，直线：，与相交于点P，，分别与y轴相交于点A，B． (1)求点P的坐标． (2)结合图象，直接写出当时，x的取值范围． (3)点为x轴上的一个动点，过点D作x轴的垂线分别交和于点E，F，当时，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，与不等式的关系． （1）联立直线，直线的函数表达式，解方程组求解交点坐标； （2）求得直线与x轴的交点，然后根据图象即可求得； （3）根据题意表示出E、F的坐标，再由得到关于m的方程，解之可得答案． 【详解】（1）解：根据题意，得：， 解得：， ∴点P的坐标为； （2）解：在直线中，令，解得， 由图象可知：若，x的取值范围是； （3）解：由题意可知，， ∵， ∴， 解得：或． 94．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为． (1)求一次函数表达式； (2)点的坐标为_____，不等式的解集为_____． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）将点代入，求出n，得到．把P、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数解析式即可； （2）先求出点C坐标，再利用函数图象作答即可． 【详解】（1）解：过点， ， ∴， ∴， 一次函数过点，， ， 解得， 一次函数表达式； （2）解：把代入一次函数得：， 解得：， ∴一次函数与轴的交点的坐标为， 根据函数图象可知：不等式的解集为． 95．（24-25八年级下·北京怀柔·期末）小明根据学习函数的经验，探究了函数的图象与性质，请将小明的探究过程补充完整，并解决相关问题． (1)下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … 0 2 m 2 0 … 写出表中m的值：______． (2)如图，在平面直角坐标系中，画出该函数的图象． (3)小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①对于函数，当时，的取值范围是______； ②方程有______个解； ③直接写出不等式的解集为______． 【答案】(1)4； (2)函数的图象见详解 (3)①；②两；③或． 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握该知识点是关键． （1）将代入即可求出值； （2）画出函数图象即可； （3）①根据函数图象，写出的取值范围即可； ②根据函数图象看两个函数的交点个数即可； ③画出一次函数图象，根据图象直接写出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：4 ； （2）解：函数的图象如图所示： （3）解：①由函数图象可知：当时，； 故答案为：； ②由图象可知：函数与直线有两个交点； 则方程有两个解； 故答案为：两； ③如图，画出的图象， 由图象可知不等式的解集为：或． 故答案为：或． 一、单选题 1．（25-26九年级上·广东中山·期末）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：．是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，该选项不符合题意； ．是中心对称图形，不是轴对称图形，该选项不符合题意； ．既是中心对称图形，又是轴对称图形，该选项符合题意． 2．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）设，则下面不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴； 故只有选项D正确； 故选D． 3．（25-26八年级上·广西崇左·期末）把分解因式的结果是(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用平方差公式进行因式分解，需注意因式分解要分解到不能再分解为止 【详解】解： 故选：D． 4．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）如图，中，，的垂直平分线交于D，的垂直平分线交于E，则的周长为（   ） A．8 B．4 C．12 D．16 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．利用线段垂直平分线的性质，将的长度转化为的周长来求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于D，的垂直平分线交于E， ∴ ∵的周长为. 5．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，平分交边于点E，，，则的周长是（   ） A．14 B．16 C．28 D．32 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等角对等边，由角平分线的定义可得，由平行四边形的性质可得，，，再结合平行线的性质可得，由等角对等边得出，求出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵平分交边于点E， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是， 故选：C． 6．（25-26八年级上·陕西延安·期末）我国已经成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在环保、节能等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油汽车对比调查发现，电动汽车平均每千米的充电费比燃油汽车平均每千米的加油费少0.4元，若充电费和燃油费均为100元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍，求这款电动汽车平均每千米的充电费用是多少？若设这款电动汽车平均每千米的充电费用是元，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】充电费和燃油费均为100元时，电动汽车行驶总路程=燃油汽车行驶总路程×3，据此列方程即可. 【详解】解：设这款电动汽车平均每千米的充电费用是元， ∵电动汽车平均每千米的充电费比燃油汽车平均每千米的加油费少0.4元， ∴燃油汽车平均每千米的加油费为元， ∵路程=总费用÷每千米费用，总费用均为100元， ∴电动汽车可行驶总路程为，燃油汽车可行驶总路程为， 又∵电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍， ∴． 7．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）若关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况求参数的范围，先解不等式组得到其解集，再根据整数解的个数确定具体整数解，进而推导m的取值范围即可． 【详解】解： 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的整数解共有3个， ∴整数解为1、0、， ∴； 故选C 8．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，直线为线段的垂直平分线，D为的中点，M为直线上任意一点．若，面积为20，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】连接，由线段的垂直平分线的性质得，转化为，当B，M，D共线时，由等腰三角形三线合一得，根据面积求出即可． 【详解】解：连接， 直线为线段的垂直平分线， ， ，当B，M，D共线时等号成立， D为的中点，， ， ，面积为20， ， ， 的最小值为8． 二、填空题 9．（25-26八年级上·陕西延安·期末）若分式有意义，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】分式有意义的条件是分母不为零，据此列式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴． 10．（25-26八年级上·广东广州·期末）若分式的值为0，则m的值为______． 【答案】 3 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0． 【详解】解：分式的值为0，则分子，解得， 检验分母：当时，分母， ∴符合题意， 故答案为：3． 11．（25-26九年级上·河南郑州·期末）若，则_______． 【答案】 【分析】将所求分式利用分式加减法法则拆分为常数与已知分式的差，再代入已知条件计算即可． 【详解】解： ， 因为，所以代入得： 原式． 12．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）将点P先向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到点．若点P的坐标为，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】根据平面直角坐标系中点的平移规律：横坐标左移减，右移加；纵坐标上移加，下移减，结合点的坐标进行计算即可． 【详解】解：因为点的坐标为， 根据题意，得点的坐标是即． 13．（25-26八年级上·福建泉州·期末）已知为正整数，，则___________． 【答案】 【分析】本题考查分组分解法因式分解，平方差公式，对多项式合理分组是解题关键． 先对等式左边多项式进行分组因式分解，将原方程转化为三个连续奇数乘积等于的形式，再对分解质因数，匹配对应的连续奇数后求解的值． 【详解】解： ， 则， 可得， 可分解为：，其中、、是三个连续奇数，且满足，，， 由，可解得． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）一次函数和的图像如图所示，其交点为，则不等式的解集是______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数交点与不等式的关系，解题的关键是看懂一次函数图像． 根据一次函数交点与不等式关系直接求解即可得到答案． 【详解】解：由图像可得， 在P点右侧的图像在的下方， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是________． 【答案】 【分析】先根据等腰三角形三线合一的性质，得出垂直平分，因此点与点关于对称，将转化为；再根据垂线段最短，确定当时，取得最小值，即的长度；接着用勾股定理算出的长，进而得到的长；最后用三角形面积的两种不同表示方法，求出的长，即为的最小值． 【详解】解：∵，平分， ∴垂直平分， ∴点与点关于直线对称， ∴， ∴， 如图，根据“垂线段最短”，当、、三点共线，且时，取得最小值，即的长度， 在中，，，由勾股定理：， ∴， ∵， ∴， ∴，的最小值为． 【点睛】这类“两动点+对称轴”的最短路径问题，核心是利用轴对称将同侧点转化为异侧点，再用“垂线段最短”求解，面积法是求斜边上高的常用技巧． 16．（25-26八年级上·广西河池·期末）如图，平分，于点，点在上，若，，则的面积为________． 【答案】12 【分析】利用角平分线的性质，得出点到的距离等于的长，再根据三角形面积公式求解的面积． 【详解】解：如图所示，过点作于点． 平分，，， （角平分线上的点到角两边的距离相等）． ∵， ． 又∵， ． 17．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）已知关于的方程组的解满足，则的取值范围为_________． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的加减消元法与一元一次不等式的求解，关键是运用整体思想简化计算，无需分别求解和的具体表达式．将方程组的两个方程左右两边相加，提取公因式后得到关于的代数式，再根据已知条件建立一元一次不等式，最后解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：， ①+②得：， 整理化简，得； ， ，解得； 故答案为：． 18．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，边与边交于点，若恰为等边三角形，则的长度是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及等边三角形的性质，熟练掌握这些性质并能综合运用，推导出线段之间的等量关系是解题的关键． 先利用平行四边形的性质得到对边相等，再根据折叠性质和等边三角形的性质，推导出的边长，进而求出的长度． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵为等边三角形， ∴，． ∵， ∴． 由折叠性质可知，， ∴， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 19．（25-26七年级上·北京海淀·期末）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】 ，图见解析 【分析】本题考查的知识点是求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集，解题关键是熟练掌握解不等式组． 分别求出不等式组中两个不等式的解集，再得出不等式组的解集，然后表示在数轴上． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集为， 将其解集在数轴上表示出来为： 20．（25-26八年级上·山东聊城·期末）（1）计算： （2）解方程： （3）解不等式组： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得； （2）根据分式方程的解法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解； （3）根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）去分母，得， 去括号，得 移项，得， 合并同类项，得，即， 系数化为1，解得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解； （3） 解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为． 21．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，， (1)将向上平移一个单位长度，再向右平移一个单位长度，写出平移后的的坐标 (2)画出关于轴对称的，并直接写出点的坐标； (3)的面积为_________． 【答案】(1) (2)见解析； (3) 【分析】（1）利用平移变换的性质即可得出； （2）利用轴对称的性质分别作出各点的对应点，顺次连接即可； （3）利用割补法计算即可． 【详解】（1）解：∵将向上平移一个单位长度，再向右平移一个单位长度，， ∴的坐标为，即； （2）解：如图所示：； （3）解：如图：. 22．（25-26八年级上·河南周口·期末）为了提高学生的阅读能力，学校开展了“书香校园”活动，计划购买一批图书．已知购买本科技类图书和本文学类图书共需元；购买本科技类图书和本文学类图书共需元． (1)求每本科技类图书和每本文学类图书的价格； (2)学校决定购买科技类图书和文学类图书共本，且购买总费用不超过元，求最多可以购买科技类图书多少本． 【答案】(1)每本科技类图书元，每本文学类图书元 (2)本 【分析】（）设每本科技类图书元，每本文学类图书元，根据题意列出方程组解答即可求解； （）设购买科技类图书本，则购买文学类图书本，根据题意列出不等式解答即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设每本科技类图书元，每本文学类图书元， 由题意得，， 解得， 答：每本科技类图书元，每本文学类图书元； （2）解：设购买科技类图书本，则购买文学类图书本， 由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴的最大值为， 答：最多可以购买科技类图书本． 23．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）方法探究： 已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式．设另一个因式为，多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：． 我们把以上分解因式的方法叫做“试根法”． 问题解决： (1)用“试根法”分解因式：． (2)对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，多项式可以表示成，试求出题目中． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）将代入，可得多项式含有因式，设并将其展开进行求解即可； （2）将展开进行求解即可． 【详解】（1）解：将代入多项式，得 ， ∴多项式含有因式， 设， ∴ ∴一次项系数： 解得， 常数项：， ∴； （2）解：由题意得， ， ∴二次项系数： 解得， 常数项： 解得． 24．（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，点在线段上，，且，．连接，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得，再根据即可得证； （2）根据三角形外角的定义及性质得，再根据全等三角形的性质得，最后根据角的和差可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的定义及性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 25．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，点是对角线，的交点，过点且垂直于． (1)求证：； (2)若，，则与之间的距离为____________； (3)若的周长是24，，则四边形的周长为____________． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)16 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定等，解题的关键是证明． （1）先由平行四边形的性质得到，，则，，即可证明得到； （2）由三角形面积公式可得，据此求解即可； （3）由（1）的结论知，，再利用四边形周长公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，O是与的交点， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形，O是与的交点， ∴， ∴， ∵过点且垂直于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即与之间的距离为4， 故答案为：4； （3）解：∵四边形是平行四边形，周长是24， ∴， ∵， ∴， 由（1）的结论知， ∴四边形的周长为， 故答案为：16． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 专题06期末真题常考百练通关(120题19大常考题型) 真题实战，百练通关 选填常考题 解答常考题 题型1特殊三角形的有关求解 题型11分式的化简求值 题型2利用线段垂直平分线的性质求解 题型12求解分式方程 题型3利用角平分线的性质求解 题型13平移或旋转的作图 题型4不等式的基本性质 题型14求不等式组的解集 题型5一元一次不等式（组）的解集 题型15 根据三角形的有关性质求解或证明 题型6 不等式与一次函数 题型16 因式分解与几何图形问题 题型7 中心对称图形的识别 题型17分式方程的应用 题型8判断是香是因式分解 题型18平行四边形的性质与判断 题型9分式的运算 题型19 不等式与一次函数的综合 题型10 根据平行四边形的性质求解 题型一特殊三角形的有关求解（共5小题） 1.(25-26八年级上海南省直辖县级单位期末)如图，把ABC沿DE折叠，使点A落在点A处，若 LA=40°，则∠1+∠2等于() A.40° B.60° C.80° D.90° 2.(25-26八年级上江苏南京·期末)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D是边BC上一点，若 BD=1,CD=7,则AD的长为() D A.7 B.6 C.5 D.4 3.(25-26八年级上·广东珠海期末)如图，在ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B=45°， 1/28 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠C=85°，则∠DAE为() A.50° B.40° C.30° D.20° 4.(25-26八年级上陕西西安期末)如图，在ABC中，BD平分∠ABC,与边AC交于点D,AE是 ABC的边BC上的高，BD,AE交于点F,已知∠C=70°，∠BAE=42°，则LBDC的度数为 B 5.(25-26八年级上江苏淮安期末)如图，在ABC中，∠C=90°，BD是ABC的角平分线，过点D作 BC的平行线，交AB于点E,若AE=13,AD=12,则AB的长为 D 题型二利用线段垂直平分线的性质求解（共5小题） 6.(25-26九年级上·四川绵阳·期末)如图，在ABC中，AB=AC且AD1BC于D,EF垂直平分AC, 与BC交于E,与AC交于F,若AB=5,BC=8,则EC的长为() D/E A.25 8 B.9 c. D 7.(24-25八年级上山西阳泉·期末)如图，ABC中，BD平分∠ABC,BC的垂直平分线交BC于点E, 交BD于点F,连接CF,若LA=80°，∠ABD=20°，则LACF的度数是() 2/28 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.20° B.40° C.45° D.60° 8.(24-25八年级上四川眉山期末)如图，在ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于2AB长为半径 画弧，两弧相交于点M、N,作直线MN,交BC于点D,连接AD.若AC=5,BC=I0,则△ADC的 周长为() D 米 A.20 B.15 C.10 D.25 9.(25-26八年级上江苏南京·期末)如图，在ABC中，BC=10cm,AC的垂直平分线交BC于D,连 接AD,AB的垂直平分线交AD于F,则BDF的周长是 cm. 10.(25-26八年级上北京房山期末)如图，在ABC中，AB=AC=2,∠BAC=45°，AD⊥BC于点 D,点E和点P分别是AB,AD上的动点，连接PB,PE,则PB+PE的最小值为 题型三利用角平分线的性质求解（共5小题） 11.(25-26八年级上·广西贵港期末)如图，在ABC中，∠C=90°，D是BC边上的一点， 3/28 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠1=∠2，BC=12,BD=8,则点D到AB的距离为() C A.3 B.4 C.8 D.12 12.(25-26八年级上山东德州期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90□，AB=13,AC=5,BC=12, 根据尺规作图痕迹可知，△BPD的周长是() B A.17 B.18.5 C.20 D.25 13.(25-26八年级上·浙江期末)如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=52°，AD平分∠BAC交BC于点 D,DE∥AB交AC于点E,则∠ADE的度数是() D A.45° B.41° C.44° D.54° 14.(25-26八年级上湖北荆门期末)如图，在ABC中，∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，已知 AD=5cm,BC=14cm,则△BCD的面积是cm2. B 15.(25-26八年级上·上海期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10,AC=6,AD平分 ∠BAC,则B2 CD 4/28 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型四不等式的基本性质（共5小题） 16.(25-26八年级上浙江金华.期末)若x>y,则下列结论一定成立的是() A.-2x>-2y B.x-b<y-b C. D.言+m>芳+m 17.(25-26八年级上浙江台州期末)若m>n,则下列不等式一定成立的是() A.m2>n2B.m-1<n+1 C.2 18.(25-26八年级上浙江杭州期末)若a<b<0<c,a,b,c是实数，则() A.a+b+c>0 B.a-b+c<0 C.a+b-cx0 D.a-b-c<0 19.(24-25七年级下.江苏无锡期末)若m>n,则-2m -2n.(填>“<“≥”或“≤”). 20.（24-25六年级下山东威海·期末)比较大小：(x-5)(x+1)（x-2).(填>”，“<”或“=”) 题型五一元一次不等式（组）的解集（共5小题） 21.(24-25七年级下·北京海淀期末)如图，数轴上表示的不等式的解集是() -10 2 3 A.x>1 B.x<1 C.x21 D.x≤1 2x+2≥0 22.（24-25八年级上·浙江丽水·期末)不等式组 -x>-1 的解集在数轴上表示正确的为() C. x+2>-1 23.(25-26八年级上·浙江嘉兴期末)不等式组 1-2x<3的解为() A.x>-1 B.x>-3 C.x<-3 D.-3<x<-1 24.(25-26八年级上·上海期末)不等式2√2x-2<3x的解集为· 5/28 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 25. (24-25七年级下重庆期末)若关于y的方程0-1-卫-y-4有非负整数解，且关于x的不等式组 x-az2 2 的解集为x>1,则所有符合条件的整数α的值之和为 x-4<3x-2) 题型六不等式与一次函数（共5小题） 26.（24-25八年级下.甘肃临夏期末)如图直线y=-x+m与y=x+3的图象，则关于x的不等式 -x+m>x+3的取值范围为() y=x+3 y=-x+m A.x<1 B.x<0 C.x<-1 D.x<-2 27.(25-26九年级上·黑龙江哈尔滨期末)若一次函数y=kx+b的图象如图所示，则下列结论中正确的 是() y=kx+b 2 A.k<0 B.b=-1 C.y随x的增大而减小 D.当x>0时，y>0 28.(25-26八年级上·甘肃酒泉期末)己知一次函数y,=kx+b与y2=mx+n的图象如图所示，当>y2时， x的取值范围是() y=kx+b y,=mx+n A.x<2 B.x>2 C.x<1 D.x>1 6/28 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 29.(25-26八年级上浙江杭州期末)如图，一次函数y=-x+5与y2=x+b(k≠0，k,b为常数)的 图象交于点A,则关于x的一元一次不等式-x+5<x+b的解为. y2-kx+b 13-+5 30.(25-26八年级上，安徽期末)一次函数y=x+b与y=mx+n的图像如图所示，则不等式组 0<kx+b<mx+n的解集为 y=mx+n 5 y=kx+b 题型土中心对称图形的识别（共5小题） 31.(24-25七年级下.吉林长春.期末)自1969年中国第一条地铁“北京地铁1号线”建成通车以来，地铁成 为市民们出行的一种便利方式，下列城市的地铁标志中是中心对称图形的是（) 32.(24-25八年级下·浙江宁波期末)下列四幅作品分别代表二十四节气中的四个节气：“芒种“夏至“白 露“大雪”，其中属于既是轴对称图形又是中心对称图形的是（) B C. D 33.(24-25九年级上·云南迪庆期末)“瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排 水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特 7/28 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 有的文化艺术遗产下面“瓦当”图案中是中心对称图形的是() g⊙ B. @☑O ☑可 @⑤ 88 D 34.(25-26八年级上·四川泸州期末)剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一.以下剪纸中，是中心对称 图形的是() B 35. (25-26九年级上·河南周口期末)古典园林的窗格不仅看上去美观，而且会用寓意、谐音来表达吉祥、 愿望.下列窗格样式的图案中，是中心对称图形的是() 题型八判断是否是因式分解（共5小题） 36.(25-26八年级上·福建福州期末)下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是(). A.x(x-1)=x2-x B.x2-2x+1=x(x-2)+1 C.x2-y2=(x+y)(x-y) 37.(25-26八年级上湖北十堰期末)下列因式分解正确的是() A.a2-9=(a+3)(a-3】 B.x2-3x-4=xx-3-4 8/28 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 C.4m2-4m+1=(4m-1）2 D.a2-b2=(a-b12 38.(25-26八年级上河南开封期末)下列变形是因式分解的是() A.x2-2=(x+10(x-1)-1 B.x2-4xy+4y2=(x-2y)2 c1+ D.(x+2)(x-2)=x2-4 39.(24-25八年级上·四川眉山期末)下列因式分解正确的是() A.8a3-4a2+2a=2a4a2-2a B.x2-4x-4=(x-22 C.m2+n2=(m+n) D.2x2-8=2(x+2)x-2 40.(25-26八年级上·山西长治期末)下列因式分解正确的是() A.-10a3+25a2+5a=5a-2a2+5a B.2mn+6mn2=mn2+6n】 C.6xy2-9x'y-y=xy(6y+9x-y2) D.4a3+12ab+9b2=(2a+3b) 题型九分式的运算（共5小题） 41,(25-26九年级上河南周口期末)计算(a十2+a 1 ，的结果为() 2 B.2a+1 2 2a+1 A. a+1 a+l C.a+1 D.(a+12 42.(25-26八年级上安徽芜湖期末)计算1， =() x+2x+1x+2 1 1 A.(x+2 B.x+1 C.1 D.1 x+2 43.(25-26八年级上广东广州期末)下列运算正确的是() A.2 155 2x 2y xy B.5x÷2w2-2 C.2b2 a b D.（y-y=-y 5a2 2b 5a x-y 42526九年级上四川成都期末)已知a+3功=2，则+1口% 一的值为 a 9/28 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 45.(25-26九年级上四川成都期末)已知实数a满足a2-2a-4=0,则 a+2a-1）.a-4 a2-2aa2-4a+4a-2 题型土根据平行四边形的性质求解（共5小题） 46.(25-26八年级上·山东东营期末)如图，将平行四边形ABCD的边BC延长，若∠A=110°，则∠1=() A.70° B.80° C.100° D.110° 47.(24-25八年级下·贵州毕节·期末)如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O.己知AB=5cm, △COB的周长比AOB的周长多3cm,则AD的长为() D A.3cm B.5cm C.8cm D.9cm 48.(24-25八年级下.甘肃酒泉期末)如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC,BD交于点O, 若AC+BD=10,则0C+0D= D 49.(24-25八年级下·陕西西安期末)如图，在口ABCD中，AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.若 AE:AF=2:3,口ABCD的周长为50，则AB的长为 A D F E C 50.(24-25八年级下·广东深圳期末)如图，平行四边形ABCD的面积为7，对角线AC,BD交于点O, 线段EF经过点O,交AD于点E,交BC于点F,则阴影部分面积为 10/28 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型土一分式化简求值（共5小题） 51.(24-25八年级下·福建漳州期末)先化简，再求值： 1-1）x2-1 ÷ x+2x2-2x+1 其中x=3. 52. (25-26八年级上河北沧州期末)以下是小茗同学化简分式 3m-4-÷m-l m-2m2-4 的运算过程： 3m-4m-2】 m-1 解：原式 ① m-2m-2 (m+2)(m-2) =3m-4-m-2、（m+2)(m-2 -② m-2 m-1 -2(m-3(m+2) -③ m-1 (1)上面的计算过程从第_步开始出现错误； (2)请你写出完整的解答过程，并从1,2,3中选一个合适的数代入求值. 觅.25-26八年级上山东临沂期末)先化简3’3-m 2m3-4m2 ,然后从0,1,2,3中选取一 m2-4m+4 个合适的数代入求值. 54。(25.26八年级上山东聊城期末)先化简：x，-产+6x+9 x-3x+2 ÷x-2-5） x+2 ,再从-3，-2,0,3四 个数中选一个你喜欢的数代入求值. 55.《25-26八年级上江西赣州期末)先化简：-1,2x+1,并在“-1,1,2中选择一个你喜欢 x-22-x 的数代入求值. 题型土二求解分式方程（共5小题） 56.(24-25七年级上上海青浦期末)解方程：1-，x=1 1-xx-1 57.(24-25八年级上山东聊城期末)解方程： ①)x+2= 3 x-1 2x-2 (2) 124 x-1x+1x2-1 58.(24-25八年级上·四川绵阳·期末)解答下面各题： 11/28 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)计算： a.a+(2a)+a: (2)解分式方程：x 2x-1-1 x-1x2-1 59.(25-26七年级上上海奉贤期末)解方程：+ - +13 2-x 60. 2*3s5 (25-26九年级上山东烟台期未)(1)计算：5 2-x (解方程) (2)5xym-n+20xy3(n-m(因式分解) 题型土三平移或旋转的作图（共5小题） 61.(25-26八年级上·安徽六安期末)如图，在边长为1的小正方形网格中建立平面直角坐标系，己知 ABC是格点三角形（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上）· (I)画出ABC关于x轴对称的图形△AB,C,并写出点A、B的坐标 (2)将ABC向右平移5个单位，画出平移后的△4，B,C2; (3)已知P为y轴上一动点，当AP+CP取最小值时，此时点P的坐标是 62.(25-26九年级上·西藏日喀则期末)画一画. 12 11 10 9 6 B 5 2 0123456789101112131415161718 (1)画出三角形ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形. 12/28 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 (2)请标出点E(9,3),F(13,3),并以EF为一条边，画一个与三角形ABC面积相等的钝角三角形. 63.(25-26九年级上安微芜湖·期末)如图，在平面直角坐标系中，ABC的各顶点坐标分别为 A-2,-2,B(-4,-1,C(-4,-4). 4 -1 532-1012345x 2 .3 4 5 (1)画出ABC关于原点对称的△A,B,C1; (2)画出ABC绕原点顺时针旋转90°后得到的△4，B,C,. 64.(25-26九年级上山东烟台期末)如图，在平面直角坐标系x0y中，ABC的顶点坐标分别为 A-3,0),B-5,3),C-1,1 y 5 B 2 6-5-4-3-2-11 0123456x 5 (1)将ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A,B,C,点A、B、C旋转后的对应点分别为AB、C,画出旋 转后的图形△A,B,C;写出点B的坐标是_；△BOB,的形状是_· (2)若将ABC经过平移后得到△A,B,C2,点A、B、C平移后的对应点分别为A,、B2、C2,则线段AA,和 BB,的关系是_； (3)已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为6，直接写出点P的坐标_· 65.(25-26九年级上安徽期末)如图，在平面直角坐标系中，已知点A-2,4),B(-4,1),C(0,1. 13/28 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)将ABC先向下平移6个单位长度，再向右平移4个单位长度，画出平移后的△ABC; (2)将ABC绕原点0顺时针旋转90°，画出旋转后的△A,B,C2. 题型土四求不等式组的解集（共5小题） 2x-1>x+1① 66.(24-25七年级下·新疆阿克苏期末)解不等式组： x+8<4x-1②’并把解集在数轴上表示出来. x-3x-2≥4 67.（25-26八年级上陕西西安期末)解不等式组： 1+2x ,并把它的解集在数轴上表示出来. >x-1 3 68.(24-25七年级下·全国·期末)解不等式组 1+2x>x-1 3 ,将解集在数轴上表示出来，并写出不等 4x-1≥3x-4 式组的整数解. 5(x-3≤x+1 69.(24-25七年级下·四川资阳·期末)解不等式组 ,将其解集在数轴上表示出来，并写出 x-1 x 43 这个不等式组的整数解. -5-4-3-2-1012345> 70.(24-25七年级下·吉林长春期末)解不等式组 4x-1≤x+2'并将它的解集在数轴上表示出来。 2x+1>x-1 -3-2-10123→ 题型土五根据三角形的有关性质求解或证明（共5小题） 71.(25-26八年级上广东中山期末)如图，点B、E、C、F在一条直线上，AC与DE交于点G, ∠A=∠D=90°，AC=DF,BE=CF.求证：Rt△ABC≌Rt△DEF. 14/28 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 D E B 72. (25-26八年级上江西宜春期末)如图，在ABC中，∠B=60°，∠C=50°，AD是BC边上的高， AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数. DE 73. (25-26八年级上湖北咸宁.期末)如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点E,AC=AD, LACB=LADB,点F在ED上，∠BAF=∠EAD· (I)求证：△ABC≌AAFD; (2)若AC⊥BD,求证：DE=BC+BE. 74.(25-26八年级上·山东临沂期末)如图，CD是ABC的角平分线，点E在边AC上，满足DE=DB D B 图1 图2 (I)求证：∠B与LDEC互补； (2)点F是BC边上一点，满足LB+2LDFC=180°，请猜想线段CF与线段CE、线段ED之间的数量关系， 并给出证明 75.(25-26八年级上·湖南长沙期末)如图1，△OAB,△OCD都是等腰三角形， OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD,连接AC和BD相交于点E,连接OE. 15/28 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)求证：△AC0≌△BD0; (2)若LA0B=2a,求L0ED的大小： (3)如图2，若LAOB=60°，F为BD上一点，DF=CE,OF=BE,AC交OB于点G,求证：AC垂直平 分BO. 题型士六因式分解与几何图形问题（共5小题） 76.(24-25八年级上广东中山期末)【阅读材料】因式分解：x2+4xy+4y2-16 解：x2+4y+4y2=(x+2y),·将x+2y看成整体，令x+2y=M,则原式=M2-16=(M+4)(M-4) ,将M还原，则原式=(x+2y+4)(x+2y-4).上述解题过程用到的是“整体思想”，请用“整体思想”解决 以下问题： 【数学理解】(1)因式分解：(a-2b)2-6a-2b)+9; 【拓展探索】(2)证明：无论a,b取何值时，a2b2-4a)a2b2-4a-2+1的值一定是非负数， 77.(25-26八年级上·全国·期末)“整体思想”法，即把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新的字 母进行替代，可以简化多项式的结构，使因式分解更简洁明了. 例如：分解因式(a-2b+2(a-2b)+1. 解：将a-2b看成一个整体，令a-2b=x,则原式=x2+2x+1= 将x还原得，原式 =(a-2b+1)2. 请根据上述材料回答下列问题： (1)请补全横线上的步骤： (2)分解因式：x2+2x+3x2+2x-1+4. 78.(25-26八年级上·四川泸州期末)阅读下面的因式分解的过程： m3-m2+2m-2=m3-m2）+(2m-2)=m2(m-1)+2(m-1)=(m-1)(m2+2）, 16/28 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 m3-m2+2m-2=m3+2m-m2+2）=mm2+2-m2+2）=(m-1)(m2+2）. 利用上述分解因式的方法，解决以下问题： (1)分解因式a3-3a2-4a+12; (2)已知p+9=-3,求p2+3p-q2-3q的值； (3)已知ABC的三边长分别为a,b,c,且满足a2-ab+bc-c2=2a2-2ac,证明ABC是等腰三角形. 79.(25-26八年级上·江西赣州·期末)【阅读理解】 例题：若m2+2mn+2n2-4n+4=0,求m和的值； 解：由题意得：(m2+2mn+n2)+n2-4n+4=0, ∴(m+n)+n-22=0, m+n=0 m=-2 (n-2=0’解得 n=2 【问题解决】 (1)若x2+4xy+5y2-4y+4=0,求x+y的值； (2)若a,b,c是ABC的边长，满足a2+b2=12a+8b-52,c是ABC的最长边，且c为偶数，则c可能是 哪几个数？ 80.(25-26八年级上·湖南常德·期末)把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是 非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法.配方法在代数式求值、解方程、最值问题等 方面都有着广泛的应用. 例1.因式分解：a2+6a+8. 解：原式=a2+6a+9-1=(a+32-1=(a+3-1)(a+3+1)=(a+2)(a+4). 例2.若M=a2-2ab+2b2-2b+2,利用配方法求M的最小值 解：a2-2ab+2b2-2b+2=a2-2ab+b2+b2-2b+1+1=(a-b)2+(b-1)2+1. (a-b2≥0，(b-12≥0， .当a=b=1时，M有最小值1. 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)x2-x+16是一个完全平方式，求k=- (2)分解因式：x2-12x+35; 17/28 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 (3)若y=-x2+2x+131,求y的最大值： (4)当m,n为何值时，代数式m2-2mn-2m+2n2-4n+2026有最小值，并求出这个最小值. 题型土士分式方程的应用（共5小题） 81.(25-26八年级上·河北沧州期末)商场购进A、B两种儿童玩具，每个A玩具进价比每个B玩具进价 多2.5元，用200元购进A玩具的数量是用75元购进B玩具数量的2倍. (1)求A、B两种玩具进价分别为多少元？ (2)若A玩具每个售价为13元，B玩具每个售价为9.5元，商场购进B玩具的数量比购进A玩具的数量的2 倍还多4个，两种玩具全部售出后，商场要使总的利润超过120元，则最少购进A玩具多少个？ 82.(24-25八年级上·四川绵阳·期末)“读万卷书，行万里路”，某中学组织学生赴三星堆旅游景区参加研 学活动.为了让学生切身体会到三星堆文化，研学基地特设了青铜器皿制作实践活动.活动中甲、乙两队 均需制作36件青铜器皿，已知乙队每小时比甲队多制作6件，甲队完成任务所需要的时间是乙队完成任 务所需时间的1.5倍. (1)求甲、乙两队每小时各制作多少件青铜器皿？ (2)制作活动开始1小时后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回，于是甲乙两队决定合作完成剩下 的任务，如果速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？如果不能，请求出两队合作后每小时至少需要 多做多少件才能保证在乘车前完成任务. 83.(24-25八年级上·重庆北碚·期末)随着气温的逐步降低，电热毯成为了许多家庭的必需品，某商场最 新购进的A、B两款电热毯凭借智能定时，排潮除湿，双温双控等便捷操控功能，迅速赢得了消费者们的 青腺。己知A款电热毯的过价比B款电热孩的进价高 ,且商场用8400元购进的A款电热毯的床数比用 4500元购进的B款电热毯的床数多20床. (1)4、B两款电热毯的进价分别为每床多少元？ (2)若商场购进A、B两款电热毯共100床（两款电热毯均要购买），且花费的总价不高于10000元，购进 后，A、B两款电热毯均按高于进价的20%定价出售，若电热毯全部售完，设商场购进A款电热毯α床， 总利润为W元，求W与α之间的函数关系式，并利用一次函数的知识，求出最大利润， 84.(25-26八年级上·广西来宾期末)为积极推进五育融合的素质教育理念，某学校打算打造劳动实践与 美育展示相结合的区域，准备购买A、B两种不同功能的工具.通过市场调研得知：A种工具每组的价格 比B种工具每组的价格少30元，且用9000元购买A种工具的组数是用6000元购买B种工具的组数的2 倍. 18/28 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 (1)求A、B两种工具每组的价格分别是多少元？ (2)该学校计划用不超过2100元购买A、B两种工具共20组，其中：要求B种工具的数量不少于A种工具 数量的一半，问：在满足资金和数量要求的前提下，最多可以购买B种工具多少组？ 85.(25-26八年级上湖南常德期末)湘超联赛（湖南省足球协会超级联赛）是湖南人的顶级足球盛宴！ 自2016年创办以来，14支市州代表队在绿茵场上激烈角逐，既有中学生球员与成年老将同场竞技的青春 风暴，也有草根球队逆袭夺冠的热血传奇，更有非遗表演、城市文旅融合的独特魅力 2025年湘超总决赛于长沙贺龙体育场举办，赛事实行实名制入场制度，观众需凭本人身份证核验进场.小 张去离家2700米的贺龙体育场看比赛，到体育场入口核验时，发现身份证忘在家里，此时离比赛开始还 有30分钟，于是他跑步回家，拿到身份证后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回贺龙体育场，已知小张骑车 的时间比跑步的时间少了5分钟，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍. (1)求小张跑步的平均速度； (2)如果小张在家取票和寻找“共享单车”共用了4分钟，他能否在比赛开始前赶到贺龙体育场？说明理由. 题型土八平行四边形的性质与判定（共5小题） 86.(25-26九年级上·湖南长沙期末)如图，已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E, AF∥CE且交BC于点F. 】 (I)求证：△ABF≌△CDE; (2)若∠CED=50°，求∠B的大小. 87.(23-24八年级下·四川成都期末)如图，在口ABCD中，E,F分别是AD,BC边上的点，且 AE=CF. E D B (1)求证：四边形BEDF是平行四边形； (2)连接CE,若CE平分∠DCB,CF=2,DE=3,求ABCD的周长. 19/28 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 88.(24-25八年级下陕西汉中期末)如图，口ABCD中，BE,CF分别是∠ABC和LBCD的平分线， BE,CF相交于点O. E D B (1)求证：BE⊥CF; (2)若AB+BC=8,求▣ABCD的周长. 89.(24-25八年级下·新疆吐鲁番·期末)如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别是边BC和AD上的点， 且BE=DF,连接AE,CF.求证： F D B E (I)△ABE≌△CDF; (2)四边形AFCE是平行四边形. 90.(24-25八年级上·福建福州期末)如图，在平行四边形ABCD中，E,F是对角线AC上的两点， AE=CF. D B (I)求证：四边形BEDF是平行四边形： (②)当BE⊥EF时，BE=5,BF=7,求BD的长. 题型土九，不等式与一次函数的综合（共5小题） 1。(24-25八年级上浙江宁波期末)如图，在平面直角坐标系中，直线=- x+2分别与x轴、y轴 2 交于点A,点B,直线2=ax-b与直线相交于点C(2,m),与x轴相交于点D(1,0),与y轴相交于点E 20/28 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A V (1)求直线的表达式： (②限据图象，直接写出关于x的不等式ax-b>弓x+2的解集： (3)若点P是X轴上一动点，连结CP,当S.cm=2S.cE时，请求出点P的坐标. 1 92.(25-26八年级上安微合肥期末)如图，直线y,=-。x+1与直线2=2x+6分别与x轴交于点A,B 2 ,两直线交于点P. 2=2x+6 =-方x+1 B OA (1)求点P的坐标及△ABP的面积； (2)利用图象直接写出当<2时，x取值范围. 93.（25-26八年级上·安徽安庆期末)如图，已知直线4：y=-2x-3,直线：y2=x+3,4与相交 于点P,,Z分别与y轴相交于点A,B. y 2 B (1)求点P的坐标. (2)结合图象，直接写出当y>y2>0时，x的取值范围. 21/28 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)点D(m,0)为x轴上的一个动点，过点D作x轴的垂线分别交I和马于点E,F,当EF=9时，求m的值， 94.(25-26八年级上安微安庆期末)如图，正比例函数y=-3x的图象与一次函数y=+b的图象交于 点P(n,6),一次函数图象经过点B(2,2),与x轴的交点为C. y=-3x y=kx+b (1)求一次函数表达式： (2)点C的坐标为，不等式kx+b>-3x>0的解集为 95.(24-25八年级下·北京怀柔期末)小明根据学习函数的经验，探究了函数y=-2x++4的图象与性 质，请将小明的探究过程补充完整，并解决相关问题. -5-4-3-2-19 12345 543-219123.453 -2 2 3引 4 -4 5 (1)下表是y与x的几组对应值： -4 -3 -2 y -2 0 2 写出表中m的值：m= (2)如图，在平面直角坐标系x0y中，画出该函数的图象， (3)小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①对于函数y=-2x+1+4,当-2<x<2时，y的取值范围是 ②方程-2x+1+4=1有个解； 22/28 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 ③直接写出不等式-2x+1+4≤x+2的解集为 2 考题猜想·高分必刷 一、单选题 1.(25-26九年级上·广东中山期末)下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是() 2.(25-26八年级上·浙江宁波期末)设a<b<0,则下面不等式正确的是() A.-a<-b B.a+1>b+1 c.11 D.-3-3a>-3-3b a b 3.(25-26八年级上广西崇左期末)把m-n分解因式的结果是() A.（m2+n2）m2-n2） B.(m-n) C.(m+n (m-n) D.m2+n2）(m+n(m-n 4.(25-26八年级上·黑龙江鹤岗期末)如图，ABC中，BC=8,AB的垂直平分线交BC于D,AC的 垂直平分线交BC于E,则ADE的周长为() 23/28 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.8 B.4 C.12 D.16 5.(25-26八年级上·江苏南通·期末)如图，在口ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于点E,AB=6, CE=2,则ABCD的周长是() A.14 B.16 C.28 D.32 6.(25-26八年级上陕西延安期末)我国已经成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在环保、节能等 方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油汽车对比调查发现，电动汽车平均每千米 的充电费比燃油汽车平均每千米的加油费少0.4元，若充电费和燃油费均为100元时，电动汽车可行驶的 总路程是燃油汽车的3倍，求这款电动汽车平均每千米的充电费用是多少？若设这款电动汽车平均每千米 的充电费用是x元，则下列方程正确的是() 4. 100100 ×3 B. 100_100 ×3 xx-0.4 xx+0.4 c.100×3=100 D. 3=100 100 x+0.4 x-0.4 [5-2x22 7.(25-26八年级上·浙江宁波·期末)若关于x的不等式组 x-m>0 的整数解共有3个，则m的取值范围 是() A.-2<m<-1B.-2<m≤-1 C.-2≤m<-1 D.-2≤m≤-1 8.(25-26八年级上·福建漳州期末)如图，在ABC中，AB=BC,直线EF为线段BC的垂直平分线， D为AC的中点，M为直线EF上任意一点.若AC=5,ABC面积为20，则CM+MD的最小值为() E M B A.6 B.7 C.8 D.9 24/28 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 Q25-26八年级上欧西延安期末)若分式。4有意义，则实数*的取值花围是一 10.(25-26八年级上广东广州期末)若分式”3的值为0，则m的值为 m+1 《2526九华级上河南郑州期末)若则》 12.(25-26八年级上江苏泰州期末)将点P先向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到 点P.若点P的坐标为(-5,2)，则点P的坐标是 13.(25-26八年级上福建泉州期末)已知n为正整数，8n2+12n2-2n-3=693,则m= 14.(25-26八年级上·浙江宁波期末)一次函数y=3x+6和y=ax-3的图像如图所示，其交点为 P(-2,-5,则不等式3x+b>ax-3的解集是. y=3x+b y=ax-3 -2 15.（25-26八年级上广西河池期末)如图，在ABC中，AB=AC=10,AD=8,AD是∠BAC的平 分线.若P,Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PO的最小值是 16.(25-26八年级上广西河池期末)如图，OP平分∠A0B,PC10A于点C,点D在OB上，若 PC=3cm,OD=8cm,则△POD的面积为 cm2. A D B 25/28 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2x+y=1+3m 17.(25-26九年级上江苏宿迁·期末)已知关于x的方程组 的解满足x+y>0,则m的取 x+2y=1-m 值范围为 18.(25-26八年级上山东泰安期末)如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB=5,将纸片沿对角线AC 对折，BC边与AD边交于点E,若△CDE恰为等边三角形，则AD的长度是· B A E D B 三、解答题 x-4<3(x-2) 19. (25-26七年级上北京海淀期末)解不等式组1+2x+1>x ,并将其解集在数轴上表示出来。 3 20. (25-26八年级上山东聊城期末)(1)计算：-32--64× +5-2 V16 (2)解方程：2=1++1 x-2x-2 2x+1≤5(x-1 (3)解不等式组： xx+1<1 23 21.(25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末)如图，在平面直角坐标系中，ABC三个顶点的坐标分别为 A4,0,B(-1,4),C(-3,1 2 1 A 5-4-3-2-10 12 345x 3 (1)将ABC向上平移一个单位长度，再向右平移一个单位长度，写出平移后的A的坐标 (2)画出ABC关于x轴对称的△AB,C2,并直接写出点B的坐标： 26/28 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)△A,B,C,的面积为 22.(25-26八年级上河南周口·期末)为了提高学生的阅读能力，学校开展了“书香校园”活动，计划购买 一批图书.己知购买2本科技类图书和3本文学类图书共需116元；购买3本科技类图书和5本文学类图书 共需180元. (1)求每本科技类图书和每本文学类图书的价格： (2)学校决定购买科技类图书和文学类图书共100本，且购买总费用不超过2000元，求最多可以购买科技类 图书多少本. 23.(25-26八年级下·湖南衡阳·期末)方法探究： 已知二次多项式x2-4x-21,我们把x=-3代入多项式，发现x2-4x-21=0,由此可以推断多项式中有因 式(x+3).设另一个因式为x+k),多项式可以表示成x2-4x-21=(x+3)(x+k),则有 x2-4x-21=x2+(k+3x+3k,因为对应项的系数是对应相等的，即k+3=-4,解得k=-7,因此多项式 分解因式得：x2-4x-21=(x+3)(x-7). 我们把以上分解因式的方法叫做“试根法”. 问题解决： (1)用“试根法”分解因式：x2-2x-8. (2)对于三次多项式x3-x2-3x+3,我们把x=1代入多项式，发现x3-x2-3x+3=0,由此可以推断多项式 中有因式(x-),设另一个因式为x2+ax+b),多项式可以表示成x3-x2-3x+3=(x-1)(x2+ax+b,试 求出题目中a,b. 24.(25-26八年级上山东济宁期末)如图，点C在线段AB上，AD∥BE,且AD=BC,BE=AC,连 接DC,EC. E (I)求证：△ADC≌△BCE; (2)若∠A=45°，∠ADC=15°，求∠ECD的度数. 25.(25-26八年级上山东烟台期末)如图，在口ABCD中，点0是对角线AC,BD的交点，EF过点O 且垂直于AD. 27/28 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求证：OE=OF; (2)若S△4Os=3,AD=3,则AD与BC之间的距离为 (3)若oABCD的周长是24，OE=2,则四边形ABFE的周长为 28/28