精品解析：四川广元外国语学校高中分校2025-2026学年高一下学期第二次阶段检测数学试题

广元外国语学校高中分校2025-2026学年（下）第二次阶段性检测 高一年级数学检测题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，是线段的中点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 将复数的实部与虚部进行交换，得到的复数为（ ） A. B. C. D. 3. 在某人工智能推荐系统中，用户偏好与商品特征会被编码为特征向量，即，其中代表用户偏好向量，代表商品特征向量，越小，商品越符合用户喜好.已知某用户偏好向量，某件商品的特征向量，当该商品最符合该用户喜好时，的值是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是空间两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题错误的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 设的内角的对边分别为，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰品．如图所示，现有棱长为的正方体水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成饰品，则该饰品的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.某同学为了估算索菲亚教堂的高度，在教堂的正东方找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶、教堂塔尖的仰角分别是和，在楼顶处测得教堂塔尖的仰角为，则该同学计算索菲亚教堂的高度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点是半径为1的扇形圆弧上一点，，，若，则的最小值是（ 　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记的内角的对边分别为，已知，则（ ） A. B. C. 的外接圆的周长为 D. 为锐角三角形 10. 已知向量，满足，则下列结论中正确的有（ ） A. 与的夹角为 B. C. D. 与的夹角为 11. 已知正方体的棱长为为棱的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与所成的角为 B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 平面 D. 过点且与垂直的平面截正方体所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则向量与的夹角余弦值为__________. 13. 如图，若圆台的上、下底面半径分别为，，则此圆台的内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为________． 14. 如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，水面高度.将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则 __________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知关于的一元二次方程的两个根为，且是一对共轭复数． （1）若（是虚数单位），求实数的值； （2）若，求的值． 16. 《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图，在阳马中，平面，为的中点. （1）求证：平面； （2）若，求证：. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）证明：为等腰三角形． （2）若D是边BC的中点，，求的面积． 18. 如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． （1）求证：四点共面； （2）求证：平面； （3）已知点是棱上的一点，且平面平面，求的值． 19. 希尔密码是基于矩阵运算的一种加密算法，在希尔密码中，每个英文字母都用数字来代替，其加密过程如下：假设明文中2个字母对应的数字分别为，记，加密矩阵，加密过程是，其中，则密文为数字分别对应的字母．若所得数字大于25，则取该数对26取余数后余数对应的字母，例如，若，则取数字4对应的字母． （1）若加密矩阵，求明文为“”的希尔密码的密文． （2）若． ①在中，，点在边上，且，，求的面积； ②在中，角的对边分别为且恒成立，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广元外国语学校高中分校2025-2026学年（下）第二次阶段性检测 高一年级数学检测题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，是线段的中点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，是线段的中点， 所以， 所以点的坐标是. 2. 将复数的实部与虚部进行交换，得到的复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，则所求复数为． 3. 在某人工智能推荐系统中，用户偏好与商品特征会被编码为特征向量，即，其中代表用户偏好向量，代表商品特征向量，越小，商品越符合用户喜好.已知某用户偏好向量，某件商品的特征向量，当该商品最符合该用户喜好时，的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，， 当时，取得最小值. 4. 已知是空间两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题错误的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用面面垂直的判定判断A；利用线面垂直的性质判断BD；确定面面位置关系判断C. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由，得或相交，C错误； 对于D，由，得，D正确. 故选：C 5. 设的内角的对边分别为，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理求得，再由正弦定理及三角形面积公式即可求解. 【详解】因为， 所以由余弦定理可得，解得， 因为为三角形内角，所以． 又， 由正弦定理可得， 所以的面积． 6. 水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰品．如图所示，现有棱长为的正方体水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成饰品，则该饰品的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】原正方体棱长为，裁去八个相同的四面体时，切割点应该为正方体各棱的中点， 每个面切掉四个角后，剩余一个边长为的小正方形， 则六个小正方形面的面积和为： 而切掉正方体的个顶点后，每个切口新增一个边长为的正三角形， 则八个正三角形面的面积和为， 所以该饰品的表面积为. 7. 圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.某同学为了估算索菲亚教堂的高度，在教堂的正东方找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶、教堂塔尖的仰角分别是和，在楼顶处测得教堂塔尖的仰角为，则该同学计算索菲亚教堂的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得，然后利用正弦定理求得，从而求得. 【详解】在中，，， 故，， 在中，，， ， 由正弦定理得，， 所以. 8. 如图，点是半径为1的扇形圆弧上一点，，，若，则的最小值是（ 　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对两边同时平方可得出的关系，通过三角换元即可求解. 【详解】由题：，点是半径为1的扇形圆弧上一点，则， 则， 即，， 化简得：，令， 因为，，，先增大后减小， 所以的最小值为较小值， 即的最小值为， 所以的最小值为1. 故选：B 【点睛】此题考查通过向量线性关系求参数取值范围，此题常见处理办法可以平方处理然后三角换元，可以建立直角坐标系用坐标求解，还可根据等和线定理数形结合求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记的内角的对边分别为，已知，则（ ） A. B. C. 的外接圆的周长为 D. 为锐角三角形 【答案】BCD 【解析】 【详解】由正弦定理得，解得，故A错误； 由余弦定理得，整理得： ，解得或（舍去）， ，故B正确； 设三角形外接圆半径为，则， 外接圆周长为：，故C正确； ， 最大边为，对应角， 由余弦定理， 故最大角为锐角，则为锐角三角形，故D正确． 10. 已知向量，满足，则下列结论中正确的有（ ） A. 与的夹角为 B. C. D. 与的夹角为 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用数量积运算律结合模长计算判断A，C，应用平面向量数量积及夹角公式计算求解判断B，D. 【详解】因为，所以，所以B错误； 所以，因为，所以，所以A正确； 因为，所以C正确； 因为，且， 所以，所以D正确． 11. 已知正方体的棱长为为棱的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与所成的角为 B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 平面 D. 过点且与垂直的平面截正方体所得截面的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A，求即可；B，求即可；C，先求证平面，得出，再同理可得，利用线面垂直的判定定理即可求证；D，作出过点且与平面平行的截面即可. 【详解】如图，对于A，在正方体中，， 故直线与所成的角即为直线与所成的角，即或其补角， 在中，，则不为，故A错误； 对于B，因为平面，所以直线与平面所成角为， 则，故B正确； 对于C，连接，则， 又平面平面，所以， 又，平面，故平面， 因为平面，所以，同理可证， 因为平面，故平面，故C正确； 对于D，由C选项可知平面， 故过点且与垂直的平面截正方体所得截面与平面平行. 设的中点分别为，，依次连接， 则，，， 且，， 可得六边形为正六边形， 而平面平面，故平面. 同理可证平面， 又平面，故平面平面， 即过点且与垂直的平面截正方体所得截面即为六边形，边长为， 其面积为，D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则向量与的夹角余弦值为__________. 【答案】 【解析】 【详解】设与的夹角为，则. 13. 如图，若圆台的上、下底面半径分别为，，则此圆台的内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据几何图形相似求出内切球的半径，进而根据球的表面积公式可求出结果. 【详解】连接，如图所示. 根据题意可知，， 所以，因为. 所以. 因为，所以. 所以，所以， 所以圆台的内切球半径为，所以圆台的内切球的表面积为. 故答案为：. 14. 如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，水面高度.将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则 __________. 【答案】## 【解析】 【分析】延长，交直线于点,设,由水的体积不变可列式求出，再求出，由二倍角的正弦公式和同角三角函数的平方公式化简已知式，代入即可得出答案. 【详解】如图，延长，交直线于点， 由题意可得：，， 设，则， 因为密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为的斜坡上， 容器里的水的体积不变，且放在坡角为的斜坡上时， 水的体积等于长为9cm、宽为9cm、高为的长方体的体积与长为9cm、宽为9cm、高为的长方体的体积的一半之和， 因为，解得：，即， 因为，所以， 因为，所以， 所以， . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知关于的一元二次方程的两个根为，且是一对共轭复数． （1）若（是虚数单位），求实数的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 法一：由是的一个根，可得， 整理得，则, 所以. 法二：由是的一个根，可知也是的一个根， 韦达定理可得：，. 【小问2详解】 设， 由，得. 又因为，得， 所以，. 16. 《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图，在阳马中，平面，为的中点. （1）求证：平面； （2）若，求证：. 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明； （2）根据线面垂直的判定定理和性质定理分析证明. 【小问1详解】 连接交于点，连接， ∵分别为的中点，则， 平面，平面， ∴平面. 【小问2详解】 ∵平面，平面， ∴， 又∵为矩形，则，且平面， ∴平面， 由平面，可得， 若，且为的中点，则， 平面，，则平面， 平面，故. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）证明：为等腰三角形． （2）若D是边BC的中点，，求的面积． 【答案】（1）证明：因为由正弦定理得 因为，由余弦定理得， 代入化简可得 所以为等腰三角形。 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理的推论进行计算可得，证明等腰三角形； （2）利用余弦定理推论求得，再计算三角形的面积； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题可知因为D是边BC的中点，， 在和中，利用余弦定理的推论得 代入，可得 由得 则的面积 18. 如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． （1）求证：四点共面； （2）求证：平面； （3）已知点是棱上的一点，且平面平面，求的值． 【答案】（1）证明如下： 连接，因为点分别为棱的中点，则， ∵在正方体中且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴四点共面； （2）证明如下： 连接、分别交、于点、，连接， 在正方体中，且， ∴，则， 同理可得， ∴， ∴， ∵平面，平面， ∴平面. （3） 【解析】 【分析】（1）连接，即可证明，，从而得证； （2）连接、分别交、于点、，连接，即可证明，从而得到，即可得证； （3）根据面面平行的性质得到，即可得到，从而得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以， 又，所以，因为，所以. 19. 希尔密码是基于矩阵运算的一种加密算法，在希尔密码中，每个英文字母都用数字来代替，其加密过程如下：假设明文中2个字母对应的数字分别为，记，加密矩阵，加密过程是，其中，则密文为数字分别对应的字母．若所得数字大于25，则取该数对26取余数后余数对应的字母，例如，若，则取数字4对应的字母． （1）若加密矩阵，求明文为“”的希尔密码的密文． （2）若． ①在中，，点在边上，且，，求的面积； ②在中，角的对边分别为且恒成立，证明：． 【答案】（1）； （2）①； ②在中，由①及，得，， 由余弦定理得， 由两边同时平方得， 整理得，即， 依题意，，则， 因此，，，于是，所以. 【解析】 【分析】（1）利用给定的定义直接计算即可. （2）①利用给定的定义，结合三角恒等变换求出函数，进而求出，再利用正弦定理及三角形面积公式求解；②由①求出，利用数量积的定义及运算律、余弦定理，结合一元二次不等式恒成立推理得证. 【小问1详解】 “”对应的数字分别为13，5，由， 33对26的余数为7，因此密文两个字母对应的数字分别为18，7，密文为“”， 所以明文为“”的希尔密码的密文为“”. 【小问2详解】 ①依题意， 则， ， 由，得， 在中，由，得， 则，解得，， 在中，， 由正弦定理得， ， 所以的面积为. ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $