精品解析：上海市华东师范大学第二附属中学2025-2026学年高三下学期考前模拟数学试卷

2026届华二附中高三下考前模拟数学试卷 （5.25） 一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第题每题4分，第题每题5分) 1. 已知集合，，则集合_________． 【答案】 【解析】 【详解】已知集合，， ． 2. 若（是虚数单位），则复数的虚部是______． 【答案】2 【解析】 【详解】因为复数，则.所以复数的虚部是. 3. 已知等差数列的前项和为，，，则_________． 【答案】25 【解析】 【分析】根据题意列出关于和的方程，求解出，再求出. 【详解】设等差数列的公差为. ，，得. ，. 4. 已知，幂函数的大致图象如图所示，则_________． 【答案】 【解析】 【详解】由图象知，时，在第一象限单调递减，故排除， 图象关于轴对称，故函数是偶函数， 时，，定义域为，满足，是偶函数； 时，，定义域为，满足，是奇函数； ． 5. 在的展开式中，常数项是__________．（用数字作答） 【答案】24 【解析】 【详解】展开式的通项公式为， 令，即. 的展开式中，常数项是. 6. 立德中学进行新年联欢，有一个抽奖游戏，箱子中放了100个一样规格的红包，里面分别放入1，2，3，…，99，100元，若依次（不放回）抽两次红包，得到的奖金数额之和为偶数的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用组合数公式及古典概型概率公式计算即可得. 【详解】抽到的两个红包可能性有种， 由奇数加奇数为偶数，偶数加偶数为偶数， 则其中奖金数额之和为偶数的可能性有种， 故抽到的奖金数额之和为偶数的概率为. 7. 已知向量，，．若，，三点共线，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】求出，后，借助向量共线的坐标运算计算即可得. 【详解】由，，，则，， 由，，三点共线，则，解得. 8. 如果无穷等比数列所有奇数项的和等于所有项和的3倍，则公比______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，所有项和，奇数项的和，结合已知即可求解. 【详解】解：由题意可知，所有项和， 奇数项的和， ， 解可得，或(舍) 故答案为. 【点睛】本题主要考查了无穷等比数列的求和公式的简单应用，属于基础试题． 9. 一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球9个，其余为黑球．参与者从盒子中有放回的随机取次球，若其中取到白球的个数为，（，，），当概率（，，）时，则______． 【答案】13或14 【解析】 【分析】根据题意可得，利用二项分布的公式求解即可. 【详解】由题可得每次取到白球的概率为， 参与者从盒子中有放回的随机取m次球，若其中取到白球的个数为，则， 所以， 若概率最大，则有， 所以，解得，又，故或14， 所以或14时，概率的值最大 10. 函数在上的值域为，则的值为______． 【答案】##2.5 【解析】 【分析】先由绝对值、余弦函数的有界性以及求出，分类讨论求出，即可求解. 【详解】因为，， 所以当且仅当且时， 所以, 又，所以 所以，易知在上单调递减，在单调递增， 所以当时，，不满足题意； 当时，因为，所以， 注意到，且在单调递增， 所以，所以 故答案为：. 【点睛】利用三角函数求值的关键： （1）角的范围的判断； （2）根据条件选择合适的公式进行化简计算； （3）合理地利用函数图像和性质. 11. 如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，母线千米，母线与圆锥底面所成角的大小为，为母线上靠近的三等分点.现要建设一条从到的环山观光公路，当公路长度最短时，这条公路从出发到的过程中，先上坡、后下坡，则公路的上坡路段长为______千米.（精确到0.1千米） 【答案】1.1 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面展开图，求出圆锥底面半径及展开图的圆心角，由余弦定理求出，过作的垂线，垂足为，则为点到环山观光公路的最短距离，得为公路的上坡路段，由面积相等法求，由勾股定理求出. 【详解】设母线与圆锥底面所成角，圆锥底面半径为， 则，解得， 故圆锥底面周长，展开图扇形的圆心角为. 如图所示，将圆锥侧面沿展开成扇形， 由条件得 ，， ，则最短路径为在展开图中的线段， 在中，由余弦定理得 , 故， 在中，过作的垂线，垂足为，则为点到环山观光公路的最短距离，故为公路的上坡路段， 在中， , 故， 得. 故答案为：1.1 12. 设，若存在使得对恒成立，则实数的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先考虑时的范围，对于时，可利用存在使得，结合特值法求得，从而可得的最小值. 【详解】记， 因为， 故为周期函数且周期为，故只需讨论的情况. 当时， ， 当时，， 此时， 令，则， 而， ，故， 当，先证：给定和，证明：存在使得； 由余弦函数的性质得的解为，， 若任意 与交集为空， 则且，此时无解，矛盾，故无解； 故存在，使得， 在上面结论中取，则存在，使得， 取，则，取即， 故，故， 综上，可取，使得等号成立. 综上，. 二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第题每题4分，第题每题5分) 13. 已知、是非零实数，若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于ABD：举反例说明即可；对于C：利用作差法分析判断即可. 【详解】对于选项AD：例如，满足，但，故AD错误； 对于选项B：利用，满足，但，故B错误； 对于选项C：因为， 且，、是非零实数，则， 可得，即，故C正确； 故选：C. 14. “明数理”数学兴趣小组通过调查，整理出天津市三月份每日最高气温与最低气温的数据，绘制了气温与日期关系的散点图（如图），并进行统计学分析，下列说法正确的是（ ） A. 小明根据散点图判断气温与日期无相关关系 B. 小华利用最小二乘法计算最高气温与日期的经验回归方程为，其中x为日期（3月1日为，3月31日为） C. 小红计算出最低气温与日期的相关系数为0.9397，以此判断两者的相关程度很弱 D. 小强判断无论是最高气温与日期，还是最低气温与日期都正线性相关 【答案】D 【解析】 【分析】由散点图，回归直线方程的性质，变量间的相关关系分别判断即可求解． 【详解】对于A，观察散点图，横轴代表日期，纵轴代表气温，图中的散点分布并不是杂乱无章的，而是呈现出一种带状分布， 且整体趋势是随着日期的增加，气温也在逐渐升高，这种趋势表明气温与日期之间存在密切的联系，即存在相关关系，故A错误； 对于B，回归直线方程中，斜率反映了变量随的变化趋势， 若表示变量随的增大而增大，为正相关，若表示变量随的增大而减小，为负相关； 由散点图可知，气温随日期的增大而升高，属于正相关，所以回归方程的斜率应为正数， 而小华计算最高气温与日期的经验回归方程斜率为，故B错误； 对于C，的值越大，相关性越强，小红计算出最低气温与日期的相关系数为0.9397，以此判断两者的相关程度很强，故C错误； 对于D，由散点图可知，无论是最高气温还是最低气温，其数据点都呈现出随日期增加而上升的趋势，为正线性相关，故D正确． 15. 已知函数，若当时，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论，去掉绝对值，结合一元二次不等式的求解即可得解. 【详解】当，时，， 当时，，此时， 所以，不满足当时，，故不符合题意； 当，时，，解得， 由于时，，故，解得； 当，时，恒成立，符合题意； 当，时，，解得， 由于时，，故，解得. 综上. 故选：B 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是对分类讨论，结合因式分解方法有针对性求解时的的解集，从而可求解. 16. 已知平行四边形的两个顶点为，另两个顶点在圆上.对于给定的t，若这样的平行四边形有且只有一个，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合圆的性质，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【详解】由圆，可知圆心为，半径为，可得直径， 又由点，，可得， ①当， 若以为平行四边形的一边时， 如图所示，作与直线平行的直线，使得截得的弦长为， 此时存在两条直线与圆相交，可构成两个平行四边形，不符合题意； 若以为平行四边形的一条对角线时，可得的中点， 过点作直线的垂线，此直线与圆有两个公共点，如图所示， 此时点分别是和的中点，所以四边形为平行四边形， 综上可得，此时构成的平行四边形的个数为3个，不符合题意； ②当，此时为平行四边形的对角线， 要使得这样的平行四边形有且只有一个，则满足且点在圆内， 由，可得，解得或， 又由在圆内，可得，整理得，解得， 所以，所以实数的取值范围为. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知函数两个相邻零点的距离为，且. （1）求、的值； （2）设，求的单调递增区间. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的最小正周期，可求出的值，再利用可得出的值； （2）利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的单调性可得出关于的不等式，即可解得函数的单调递增区间. 【小问1详解】 因为函数两个相邻零点的距离为， 故函数的最小正周期为，所以，即， 又因为，故. 【小问2详解】 因为 ， 由可得， 故函数的单调递增区间为. 18. 某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表： 质量差（单位：） 54 57 60 63 66 件数（单位：件） 5 21 46 25 3 （1）求样本质量差的平均数；假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值； （2）已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的来自第1条生产线.若两条生产线的废品率分别为0.016和0.012，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件. （i）求抽取的零件为废品的概率； （ii）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率. 参考数据：若随机变量，则. 【答案】（1）， （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）先求出，再利用正态曲线的对称性求解； （2）（i）利用全概率公式求解；（ii）利用条件概率公式求解． 【小问1详解】 由题意可知， 则， 所以 ； 【小问2详解】 （i）设事件表示“随机抽取一件该企业生产的该零件为废品”， 事件表示“随机抽取一件零件为第1条生产线生产”， 事件表示“随机抽取一件零件为第2条生产线生产”， 则，，，， 所以； （ii）因为， 所以， 所以． 19. 如图，在直三棱柱中，点在上，. （1）证明：平面； （2）若，，二面角的大小为. ①求与平面所成角的大小； ②点在侧面内，且三棱锥的体积为，求的轨迹长度. 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）应用线面垂直性质得出，再应用线面垂直得出平面； （2）①先由面面垂直性质定理得出平面，进而得出线面角结合边长计算求解；②先证明平面，进而平面平面，再结合点到平面再结合体积计算边长即可. 【小问1详解】 在直三棱柱中，平面， 因为平面，所以. 又因为，，，平面， 所以平面. 【小问2详解】 ①作于，作于，连接. 由（1）知平面 因为平面，所以平面平面 因为平面平面，平面，，所以平面. 所以与平面所成角正弦值为. 因为平面，所以. 因为，，，平面，所以平面. 因为平面，所以. 所以平面与平面所成二面角即 设为. 因为，，所以为等腰直角三角形. 因为，所以. 因为，所以. 同理. 在中，，解得，所以. 设与平面所成角为.在中，. 因为，所以 ②设到平面距离为. 因为，所以 取中点，连接，，. 因为，平行且相等，所以四边形为平行四边形 因为，不在平面内，平面，所以平面. 同理平面. 因为，、平面，所以平面平面. 所以平面与平面间距离为到平面距离. 因为为正方形，所以.因为，所以 因为平面，平面，所以. 因为，，平面，所以平面. 因为为中点，所以到平面距离为. 所以点轨迹长度即线段长度. 20. 已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于，两点（点在轴上方）． （1）当双曲线的渐近线方程为，求双曲线的离心率； （2）若，点，点在双曲线上，且，求点的坐标； （3）若，点在双曲线上，直线交轴于点（点在点的右侧），且的重心在轴上，记，的面积分别为，，求的最小值． 【答案】（1） （2）或； （3） 【解析】 【分析】（1）由双曲线渐近线方程得到，由得到，由计算出的值，利用离心率求出． （2）由得到双曲线的方程，求出的坐标，由得到，从而得到的坐标，（i）当点在点右侧时，求出，利用点斜式得到直线，直线与双曲线联立方程组求出点的坐标；（ⅱ）当点在点左侧时，求出，利用点斜式求出直线，直线与双曲线联立方程组得到点的坐标. （3）由得到双曲线的方程，设直线，，，，直线与双曲线联立，利用韦达定理得到，，由直线过点且与双曲线右支交于、两点，得到的范围，由的重心在轴上得到，由点在点的右侧可得，从而得到，得到的范围，计算，计算，利用基本不等式得到的最小值. 【小问1详解】 已知双曲线渐近线方程为，即， 又，故，则， 所以双曲线的离心率为． 【小问2详解】 由，故双曲线，则， 又，所以，则， 因为， （i）当点在点右侧时，有 ， 则直线，即， 所以，解得，，即， 则，所以点的坐标为； （ⅱ）当点在点左侧时，有 ， 则直线，即， 所以 ，解得，，即， 则，所以点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 【小问3详解】 若，则双曲线的方程为， 设直线，，，， ，联立得：，，， 则，， 的渐近线方程为， 因为直线过点且与双曲线右支交于、两点，所以， 又因为的重心在轴上，所以， 由点在点的右侧，可得，所以，解得，所以， 而，代入可得， 因为为的重心，所以，， 所以 ， 代入化简可得：， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 21. 已知函数在定义域上的导函数为，对任意实数，定义集合 ． （1）设，求集合； （2）设，集合 ，求证：“对任意，”是“为偶函数”的必要不充分条件； （3）设，，若对任意且，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由定义得，求出，，，列出的不等式组求出的范围，从而得到． （2）必要性：由为偶函数得到，求导得到，从而得到函数是奇函数，由得到，即，故必要性成立；不充分性：不妨取，求出，则有 ，满足题设，但函数显然不是偶函数，从而得到结论. （3）由对任意 且，都有，可得：对任意 且，都有，即函数在上是不减函数，求出，设， 求出，由得到对恒成立，即对恒成立，构造函数，求出，利用导数求出的单调性，利用单调性画出大致图像，求出，分别按照，，讨论求解得到的范围，从而得到实数的取值范围． 【小问1详解】 由定义得， 而，，， 故解得，， 综上，． 【小问2详解】 必要性：若函数为偶函数，， 则对任意的，有， 对上式两边同时求导，可得：， 故函数是奇函数，， 若，则，即， 进而有，即， 故对任意，，故必要性成立； 不充分性：不妨取，， 此时，满足题设，但函数显然不是偶函数，故充分性不成立， 综上，“对任意，”是“为偶函数”的必要不充分条件. 【小问3详解】 由对任意 且，都有， 可得：对任意 且，都有， 即函数在上是不减函数，即恒成立， 由，可得：， 设， 则， 则对恒成立，即对恒成立， 令，，故， 故函数在和是减函数，在是增函数， 大致图像如图，， （i）当时，不等式可化为，此时， （ⅱ）当时，不等式可化为， 此时，故； （ⅲ）当时，不等式可化为， 此时，故； 综上，实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届华二附中高三下考前模拟数学试卷 （5.25） 一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第题每题4分，第题每题5分) 1. 已知集合，，则集合_________． 2. 若（是虚数单位），则复数的虚部是______． 3. 已知等差数列的前项和为，，，则_________． 4. 已知，幂函数的大致图象如图所示，则_________． 5. 在的展开式中，常数项是__________．（用数字作答） 6. 立德中学进行新年联欢，有一个抽奖游戏，箱子中放了100个一样规格的红包，里面分别放入1，2，3，…，99，100元，若依次（不放回）抽两次红包，得到的奖金数额之和为偶数的概率为_________． 7. 已知向量，，．若，，三点共线，则_________． 8. 如果无穷等比数列所有奇数项的和等于所有项和的3倍，则公比______． 9. 一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球9个，其余为黑球．参与者从盒子中有放回的随机取次球，若其中取到白球的个数为，（，，），当概率（，，）时，则______． 10. 函数在上的值域为，则的值为______． 11. 如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，母线千米，母线与圆锥底面所成角的大小为，为母线上靠近的三等分点.现要建设一条从到的环山观光公路，当公路长度最短时，这条公路从出发到的过程中，先上坡、后下坡，则公路的上坡路段长为______千米.（精确到0.1千米） 12. 设，若存在使得对恒成立，则实数的最小值为______． 二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第题每题4分，第题每题5分) 13. 已知、是非零实数，若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 14. “明数理”数学兴趣小组通过调查，整理出天津市三月份每日最高气温与最低气温的数据，绘制了气温与日期关系的散点图（如图），并进行统计学分析，下列说法正确的是（ ） A. 小明根据散点图判断气温与日期无相关关系 B. 小华利用最小二乘法计算最高气温与日期的经验回归方程为，其中x为日期（3月1日为，3月31日为） C. 小红计算出最低气温与日期的相关系数为0.9397，以此判断两者的相关程度很弱 D. 小强判断无论是最高气温与日期，还是最低气温与日期都正线性相关 15. 已知函数，若当时，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 已知平行四边形的两个顶点为，另两个顶点在圆上.对于给定的t，若这样的平行四边形有且只有一个，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知函数两个相邻零点的距离为，且. （1）求、的值； （2）设，求的单调递增区间. 18. 某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表： 质量差（单位：） 54 57 60 63 66 件数（单位：件） 5 21 46 25 3 （1）求样本质量差的平均数；假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值； （2）已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的来自第1条生产线.若两条生产线的废品率分别为0.016和0.012，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件. （i）求抽取的零件为废品的概率； （ii）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率. 参考数据：若随机变量，则. 19. 如图，在直三棱柱中，点在上，. （1）证明：平面； （2）若，，二面角的大小为. ①求与平面所成角的大小； ②点在侧面内，且三棱锥的体积为，求的轨迹长度. 20. 已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于，两点（点在轴上方）． （1）当双曲线的渐近线方程为，求双曲线的离心率； （2）若，点，点在双曲线上，且，求点的坐标； （3）若，点在双曲线上，直线交轴于点（点在点的右侧），且的重心在轴上，记，的面积分别为，，求的最小值． 21. 已知函数在定义域上的导函数为，对任意实数，定义集合 ． （1）设，求集合； （2）设，集合 ，求证：“对任意，”是“为偶函数”的必要不充分条件； （3）设，，若对任意且，都有，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $