精品解析：上海市华东师范大学第二附属中学2025-2026学年高三下学期3月月考数学试题

2025-2026年华师大二附中高三下3月月考 一、填空题 1. 已知集合，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】求出集合、，再根据交集的定义可得． 详解】由题意，，， ． 故答案为： 2. 已知双曲线方程为：，则离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线方程得到双曲线的值，进而可求离心率. 【详解】由题意得双曲线的方程为，其中，，，， 则， 故离心率. 故答案为：. 3. 已知其中为虚数单位，则____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据复数的除法先对等式化简，然后根据复数相等的充要条件可得关于的方程组，解出可得． 【详解】，即， 由复数相等的条件，得， 解得， ∴. 故答案为：． 【点睛】本题考查复数的除法和复数相等的充要条件，属基础题． 4. 设是等差数列的前项和，已知，，则_______. 【答案】49 【解析】 【详解】. 5. 的二项展开式中，的系数是_________.(用数字作答) 【答案】 【解析】 【分析】 根据二项展开式通项公式求的系数. 【详解】根据二项式定理,的通项为， 当时,即r=2时,可得. 即项的系数为40 故答案为：40 【点睛】方法点晴：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 6. 设随机变量X服从成功概率为的二项分布，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据期望和方差可得关于的方程组，从而可求其值. 【详解】设,则, 所以，故， 故答案为：. 7. 自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则________. 【答案】600 【解析】 【详解】因为当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍，则， 即，又因， 所以. 8. 如图，，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】在的反向延长线上取点，使得，过作，分别交和的延长线于点、，根据平面向量基本定理，讨论点在点处与处时的值，从而得到的取值范围. 【详解】如图，在的反向延长线上取点，使得， 过作，分别交和的延长线于点、， 则，， 由于， 要使得点落在指定区域内，则点应落在上（不含端点处）， 当点在点处时，， 当点在点处时，， 所以的取值范围是. 9. 如图，地在地的正东方向，相距；地在地的北偏东方向，相距，河流沿岸（曲线）上任意一点到的距离比它到的距离远，现要在曲线上选一处建一座码头，向，，三地转运货物.经测算，从到，两地修建公路费用都是10万元，从到修建公路的费用为20万元.选择合适的点，可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低是________万元（精确到0.01）. 【答案】 【解析】 【分析】由题意根据双曲线定义确定轨迹，求出总费用的表达式结合图象得到当，，三点共线时取最小值，进而求解即可. 【详解】由题意知. 总费用的表达式为 ， 当且仅当，，三点共线时取等号. 如图，延长交过点的竖直方向直线于点，易知. 在中，，， 所以，. 因为，， 所以， 所以最小费用为万元. 10. 过抛物线的焦点的直线交于点，交的准线于点，，点为垂足.若是的中点，且，则_________. 【答案】4 【解析】 【分析】作于点，与轴交于点，借助相似三角形的性质可得，，再结合所给数据与抛物线定义计算即可得解. 【详解】作于点，与轴交于点，如图， 则， 又且是的中点，则有， 即，又，故， 又，，， 故，即，则. 故答案为：4 11. 已知向量，函数，若函数在内有且只有一个零点，则实数的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】函数在内有且只有一个零点，等价于其对应的方程在给定区间内只有一个根，进而转化为两个函数在给定区间内只有一个交点的问题，数形结合，即可求出参数的值. 【详解】， 因为函数在内有且只有一个零点， 所以在内有且只有一个实根， 得，即， 即函数在上的图象与直线只有一个交点， 当时，， 画出在上的图象如下， 结合函数图象可知，函数在区间上的图象与直线只有一个交点时， 所以，即的取值范围是． 故答案为： 12. 若正四面体的棱长为，则其外接球上一点到该正四面体四个面的距离之和的最大值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】先得正四面体的高为，由对称性不妨令球上一点在面下方时取到最大，由可得距离和的最大值为，计算即可求解. 【详解】已知正四面体的外接球为球，因为其棱长为， 所以该正四面体的高为，球的半径为， 由对称性不妨令球上一点在面下方时取到最大， 所以， 所以， 则， 所以， 则距离和的最大值为， 所以，所以和的最大值为4． 故答案为：4. 二、选择题 13. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质化简，即可根据集合间的关系判断. 【详解】由可得，由可得， 由于， 因此“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 14. 已知2018-2024年中国冰雪运动核心市场规模（单位：亿元）依次为：454.3，487.5，445.2，594.9，713.9，833.1，1083.0.对于这7个数据，则（ ） A. 该组数据的极差是628.7 B. 该组数据的中位数是594.9 C. 该组数据的40%分位数是445.2 D. 该组数据的平均数小于630 【答案】B 【解析】 【详解】A，由该组数据最大数与最小数分别为与，故该组数据的极差是，故A错误； B，将该组数据从小到大排序：445.2，454.3，487.5，594.9，713.9，833.1，1083.0，故该组数据的中位数是594.9，故B正确； C，由，故该组数据的分位数是487.5，故C错误； D，该组数据的平均数为，故D错误. 15. 设函数，若在上有且只有个零点，且对任意实数，在上存在极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质及零点个数、极值点的定义列不等式求参数范围. 【详解】由题意，当时，， 因为函数，若在上有且只有个零点， 则，解得． 又对任意实数，在上存在极值点，且的长度为， 而函数的最小正周期为，则，解得， 综上，的取值范围是. 故选：D 16. 已知集合，若中的点均在直线的同一侧，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，令，求出与的交点坐标，依题意只需或，即可求出的取值范围. 【详解】集合即为关于、的方程组的解集，显然， 所以， 令， 由，解得或， 即函数与的交点坐标为和， 又，所以为奇函数， 因为与在上严格减， 所以在上严格减， 则在上严格减， 由题意与，的交点在直线的同侧， 只需或，即或， 所以实数的取值范围为. 三、解答题 17. 已知等比数列的公比，且，． （1）求的通项公式； （2）若数列满足，且是严格增数列，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列通项公式的基本量进行运算即可； （2）是严格增数列，利用恒成立即可求解. 【小问1详解】 因为数列等比数列，且，所以或2， 若，，则与矛盾，舍去， 若，，则，，满足题意， 所以． 【小问2详解】 因为，是严格增数列， 所以对于任意正整数n都成立， ， 即对于任意正整数n都成立，所以， 因为在上严格递减， 所以当时，最大，最大值为， 所以的取值范围是. 18. 在三棱柱中，底面ABC是正三角形，，. （1）求证：； （2）若，且，求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证得点在平面ABC内的射影是的中心，进而证得； （2）法一先作出直线与平面所成角，再解三角形即可求得该角的余弦值；法二建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求得直线与平面所成角的余弦值. 【小问1详解】 过点作平面ABC于点平面ABC，所以， 又平面， 平面平面， 同理可证，又是正三角形，则是的中心， 连接AO，CO并延长交BC，AB于E，F，则E，F分别为BC，AB的中点， 又平面平面，故， 同理可证， 综上， 【小问2详解】 法一：由（1）知，三棱锥是正三棱锥， 且在底面ABC内的投影为等边的中心， 又，故三棱锥的三个侧面 均为直角三角形， 且，则，又， 可知，则， 解得,在平面中过作， 交延长线于点，则平面， 则即为直线与平面所成角，其中 ， 故 即直线与平面所成角的余弦值. 法二：以BC的中点为坐标原点，以EA，EB为x，y的正方向， 过且与平行的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 因为， 则，取，则， 又， 设直线与平面所成角为，， 所以，故， 即直线与平面所成角的余弦值. 19. 人工智能广泛地运用概率的相关知识，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为. （1）求首次试验结束的概率； （2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率进行调整. ①求选到的袋子为甲袋的概率； ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. 【答案】（1） （2）①；②方案二 【解析】 【小问1详解】 设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件， “试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件， ， 所以试验一次结果为红球的概率为. 【小问2详解】 ①因为、对立事件，， 所以， 所以选到的袋子为甲袋的概率为； ②由①得， 所以方案一中取到红球的概率 为， 方案二中取到红球的概率 为， 因为，所以方案二中取到红球的概率更大. 20. 我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.已知椭圆：，双曲线是椭圆的“姊妹”圆锥曲线，、分别为、的离心率，且，点、分别为椭圆的左、右顶点，设过点的动直线交双曲线右支于、两点，若直线、的斜率分别为、. （1）求双曲线的方程； （2）试探究是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由； （3）求的取值范围. 【答案】（1）； （2）是，； （3） 【解析】 【分析】‘（1）根据题目条件列出方程，求出，得到双曲线方程； （2）设出直线方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理求出与的比值； （3）求出与的范围，结合函数单调性求取值范围. 【小问1详解】 由题意可设双曲线：， 则， 解得，所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 设，，直线的方程为， 由得， 则，，且， 所以 ； (或由韦达定理得，即， 所以 ) 即与的比值为定值. 【小问3详解】 设直线：， 由得， 由于点为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为， 由韦达定理得，解得. 因为点在双曲线的右支上，所以， 解得，即， 同理可得， 由（2）中结论得， 得，所以， 故， 设，其图象对称轴为， 则在和上严格减， 故， 故的取值范围为. 21. 已知函数定义域为，，若，存在，对任意，都有.则称为在上的“点”. （1）设函数.求在上的最大“点”； （2）命题：，在上不存在“点”.此命题是否为真命题，说明理由； （3）设，且，.证明：在上的“点”个数不小于. 【答案】（1） （2）是，理由见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先得到函数单调性，从而确定最大“点”； （2）求出函数单调性和最大值，得到结论； （3）分情况分类讨论，结合题干条件，证明出结论 【小问1详解】 ，， 由对勾函数性质，当时，严格单调递增，在上严格单调递减， 当时，若，恒有， 所以在上的最大“点”为； 【小问2详解】 此命题是真命题，理由如下： ，令得， 当，严格单调递减， 当，严格单调递增， ， 所以是在上的最大值， 对任意，都有， 上不存在“点”； 【小问3详解】 若在上的“点”个数为0，则，符合要求： 若在上的“点”个数为， 令在上的“点”分别为、、…、， 其中，， 若，则若，由，则， 即， 若，由题意，，， 故，即，又， 故，符合要求； 若，则，，…， 由，则， 若，即，则， 若，由题意， ，且， 又，故， 即，，…，， 即有， 即，由，故， 又，故， 即在上的“点”个数不小于. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年华师大二附中高三下3月月考 一、填空题 1. 已知集合，，则_____． 2. 已知双曲线方程为：，则离心率为______． 3. 已知其中为虚数单位，则____． 4. 设是等差数列的前项和，已知，，则_______. 5. 的二项展开式中，的系数是_________.(用数字作答) 6. 设随机变量X服从成功概率为的二项分布，若，，则______． 7. 自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则________. 8. 如图，，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是________. 9. 如图，地在地正东方向，相距；地在地的北偏东方向，相距，河流沿岸（曲线）上任意一点到的距离比它到的距离远，现要在曲线上选一处建一座码头，向，，三地转运货物.经测算，从到，两地修建公路费用都是10万元，从到修建公路的费用为20万元.选择合适的点，可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低是________万元（精确到0.01）. 10. 过抛物线的焦点的直线交于点，交的准线于点，，点为垂足.若是的中点，且，则_________. 11. 已知向量，函数，若函数在内有且只有一个零点，则实数的取值范围为_________. 12. 若正四面体的棱长为，则其外接球上一点到该正四面体四个面的距离之和的最大值为___________． 二、选择题 13. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知2018-2024年中国冰雪运动核心市场规模（单位：亿元）依次为：454.3，487.5，445.2，594.9，713.9，833.1，1083.0.对于这7个数据，则（ ） A. 该组数据的极差是628.7 B. 该组数据的中位数是594.9 C. 该组数据的40%分位数是445.2 D. 该组数据的平均数小于630 15. 设函数，若在上有且只有个零点，且对任意实数，在上存在极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 已知集合，若中的点均在直线的同一侧，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 三、解答题 17. 已知等比数列的公比，且，． （1）求的通项公式； （2）若数列满足，且是严格增数列，求实数的取值范围． 18. 在三棱柱中，底面ABC正三角形，，. （1）求证：； （2）若，且，求直线与平面所成角的余弦值. 19. 人工智能广泛地运用概率的相关知识，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为. （1）求首次试验结束的概率； （2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率进行调整. ①求选到袋子为甲袋的概率； ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. 20. 我们约定，如果一个椭圆长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.已知椭圆：，双曲线是椭圆的“姊妹”圆锥曲线，、分别为、的离心率，且，点、分别为椭圆的左、右顶点，设过点的动直线交双曲线右支于、两点，若直线、的斜率分别为、. （1）求双曲线的方程； （2）试探究是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由； （3）求的取值范围. 21. 已知函数定义域为，，若，存在，对任意，都有.则称为在上的“点”. （1）设函数.求在上的最大“点”； （2）命题：，在上不存在“点”.此命题否为真命题，说明理由； （3）设，且，.证明：在上的“点”个数不小于. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $