培优12 空间点线面间的位置关系、平行与垂直13大重难题型（期末复习讲义）高一数学下学期人教A版

培优12 空间点线面间的位置关系、平行及垂直 （期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 平面的概念及其表示 题型02 平面的基本事实与及推论 题型03 空间点、线共面判定与证明 题型04空间三点共线、三线共点问题 题型05 异面直线的判定 题型06 异面直线所成角的计算 题型07空间直线与平面的位置关系判定 题型08 空间平面与平面的位置关系判定 题型09线面平行的判定与性质证明（核心必考） 题型10 面面平行的判定与性质证明 题型11 线面垂直的判定与性质证明（高频压轴） 题型12面面垂直的判定与性质证明 题型13平行与垂直的综合判定与真假命题判断 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 空间点、线、面位置关系与平面公理 掌握平面三大基本事实及推论；能判断共面、共线、共点、异面关系 基础必考小题，以选择、填空为主，难度低，侧重概念辨析与命题判断 空间平行关系（线面、面面）的判定与性质 熟练运用线面平行、面面平行的判定与性质定理；规范证明书写 期末解答题必考第一问，中等难度，步骤分多，是必拿分核心题型 空间垂直关系（线面、面面）的判定与性质 掌握线线、线面、面面垂直的转化链；能完成综合证明 期末解答题压轴核心考点，区分度高，是拉开分数的关键题型 平行与垂直综合命题判断 综合运用平行、垂直定理；快速判断多结论命题的真假 多选高频压轴题，陷阱多、易错，重点考查逻辑严谨性 知识点01 平面 1、平面的概念 几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等，这样的一些物体中抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周无限延展的. 2、平面的特点 （1）平面是平的；（2）平面是没有厚度的；（3）平面是无限延展而没有边界的；（4）平面是由空间点、线组成的无限集合；（5）平面图形是空间图形的重要组成部分． 3、平面的画法 我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面 （1） 当平面水平放置时，平行四边形的锐角一般画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍，如图①； 如果一个平面的一部分被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来，如图②. （2）当平面竖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成铅垂线． 4、平面的表示方法 （1）一个希腊字母：如，，等； （2）两个大写英文字母：表示平面的平行四边形的相对的两个顶点，如平面或平面.； （3）四个大写英文字母：表示平面的平行四边形的四个顶点，如平面 知识点02 平面的三个基本事实及其推论 1. 平面的三个基本事实 基本事实 内容 图形 符号 基本 事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α 基本 事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 2.用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论： 推论 内容 图形 作用 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 确定平面的依据 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 知识点03 空间点、直线、平面之间的位置关系 1、点、直线、平面位置关系的符号表示 点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线，平面都是点构成的集合．点与直线（平面）之间的位置关系用符号“”“∉”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“”“”表示．点、直线、平面之间位置关系的符号表示举例如下： 位置关系 符号表示 位置关系 符号表示 点P在直线a上 Pa 点Q不在直线a上 Qa 点A在平面α内 Aα 点B不在平面α内 Bα 直线a在平面α内 aα 直线l不在平面α内 lα 直线a与b相交于点A A∩b=A 平面α,β相交于直线l Α∩β=l 2.直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图形 语言 符号 语言 a∥b a∥α α∥β 相交关系 图形 语言 符号 语言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l 独有关系 图形 语言 符号 语言 a，b是 异面直线 a⊂α 知识点04平行关系的判定及性质 1.直线与直线平行 （1）基本事实4 文字语言 平行于同一条直线的两条直线平行 图形语言 符号语言 直线 作用 证明两条直线平行 说明 基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性 （2）空间等角定理 ①定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 符号语言 ，或 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 推广 如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 2.直线与平面平行 (1)直线与平面平行的定义 直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 a⊄α，b⊂α，a∥b ⇒a∥α 性质定理 一条直线和一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 a∥α，a⊂β， α∩β＝b ⇒a∥b 3.平面与平面平行 (1)平面与平面平行的定义 没有公共点的两个平面叫做平行平面. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β 性质 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β，a⊂α⇒a∥β 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 平行问题的转化: 知识点05 垂直关系的判定及性质 1. 直线与直线垂直 （1）异面直线所成的角 ①定义：已知a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). ②范围：. （2）如果两条异面直线，所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，记作． 2.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 3.直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°. (2)范围：. 4.二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. (2)二面角的平面角 若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB. (3)二面角的平面角α的范围：0°≤α≤180°. 5.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 垂直问题的转化: 题型一 平面的概念及其表示 解｜题｜技｜巧 1.识图转语言：先辨平面、直线及位置关系，再依次用文字、符号表述。 2.符号用法：点线用“”“∉”表示，线面用“”“”表示，规范区分。 混淆“”与“”：如将“直线在平面内”表示为（正确为）； 混淆“交线”与“交点”：如将两平面交线表示为（正确为）。 3.作图要点：遮挡部分画虚线。 【典例1】（25-26高二上·上海·阶段检测)已知空间的一个点，一条直线，一个平面，用集合的语言表述它们之间可能的位置关系，表述正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一下·河南郑州·期中）下列用符号表示空间内点A，直线l，平面α，β的位置关系，符号使用不恰当的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·高一·福建龙岩·期末）用符号语言表述“若直线在平面内，则直线上的一点必在平面内”，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·高一·广东广州·期中）如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二 平面的基本事实与其推论 解｜题｜技｜巧 1. 不共线三点才确定唯一平面，先排查选项有没有遗漏掉“不共线”。 2. 区分平面和空间：空间里异面直线、空间图形，不能直接照搬平面几何结论。 3. 速记：相交或平行两条直线，能确定唯一平面；共线三点，任意两条直线不行。 4.排除秒杀：拿三脚架、门框等生活实例，或者举列反例，快速推翻错误说法。 【典例2】（25-26高一下·广东湛江·期中）给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（    ） ①三个不同的点确定一个平面； ②一条直线和一个点确定一个平面； ③两条相交直线确定一个平面；              ④两条平行直线确定一个平面. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-1】（2026春·高新区校级月考）三角架的三脚着地就可以支撑照相机进行拍照，从中可以得到的道理是（　　） A．三点确定一个平面 B．不在同一直线上的三点确定一个平面 C．两条相交直线确定一个平面 D．三条相交直线确定一个平面 【变式2-2】（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．在空间中，一个点运动只形成直线 B．在空间中，直线平行移动只形成平面 C．在空间中，直线绕与其相交的另一条直线转动形成平面或锥面 D．在空间中，矩形上各点沿同一方向移动形成长方体 【变式2-3】多选（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）下列命题错误的是（ ） A．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 B．四边形可以确定一个平面 C．经过同一直线上的3个点的平面有且仅有3个 D．经过两条平行直线，有且只有一个平面 题型三 空间点、线共面判定与证明 解｜题｜技｜巧 证明点、线共面的主要依据是基本事实1、基本事实2及其推论，常用的方法有： （1）重合法：先证明有关点、线确定平面α，再证明其余点、线确定平面β，最后证明平面α，β重合； （2）纳入法：先由条件确定一个平面，再证明有关的点、线在此平面内． 【典例3】（25-26高一下·全国·课后作业）在正方体中，E，F分别为，的中点，，，如图． (1)求证：D，B，E，F四点共面； (2)作出直线与平面的交点R的位置． 【变式3-1】(24-25高二下·福建莆田·期末）如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点. 求证：，，，四点共面. 【变式3-2】（24-25高一下·河北·月考）下列判断正确的是（    ） A．若空间五点中任何三点不共线，则这五点不共面 B．若空间五点中任何四点不共线，则这五点不共面 C．若空间五点中有三点共线，则这五点必共面 D．若空间五点中有四点共线，则这五点必共面 【变式3-3】（24-25高一下·甘肃兰州·月考）在如图所示的正方体或四面体中，分别是棱的中点，这四个点不共面的图有（    ）   A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型四 空间三点共线、三线共点问题 解｜题｜技｜巧 1、 证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是基本事实3.此类问题的证明常用以下两种方法： （1）双平面法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3知这些点都在这两个平面的交线上； （2）两点定线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明剩下的点也在这条直线上． 2、证明三线共点的基本方法：先找交点：先证其中2条直线相交，得到一个公共点；再证共线：证明这个交点，同时在另外两个平面里，必然在两平面交线（也就是第三条直线）上。 【典例4】（25-26高三·上海·一轮复习）如图，在正方体中，对角线与平面交于点O，AC与BD交于点M，E为AB的中点，F为的中点，求证：，O，M三点共线． 【变式4-1】（2026·高一·吉林长春·期中）已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线、、三线共点． 【变式4-2】（25-26高一下·江苏·期中）如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，有以下结论正确的是（　　） A．EF与GH平行 B．EF与GH共面 C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 D．EF与GH的交点M一定在直线AC上 【变式4-3】（24-25高二上·上海·单元测试）.已知在正方体中，E、F分别为、的中点，，．求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线； (3)DE、BF、三线交于一点． 题型五 异面直线的判定 解｜题｜技｜巧 判定或证明两条直线异面的常用方法 1、定义法：不同在任何一个平面内（既不平行也不相交）的两条直线异面。 2、判定定理：的直线是异面直线．一条线和平面相交，它和平面内不过交点的线是异面。 3、推论法：两条异面线上各取两点，交叉连出的新线也是异面。 4、反证法：先假设两条线共面（平行或相交），推出矛盾，就证明它们是异面。 【典例5-1】（25-26高一下·全国·课后作业）在长方体中，与棱异面的棱有（   ）条 A．4 B．3 C．2 D．1 【变式5-1】（25-26高二上·北京·期中）已知正方体中，、分别为和的中点，则直线和的位置关系为（    ） A．平行 B．异面 C．相交 D．垂直   【变式5-2】（多选）（2027高三·全国·专题练习）（多选）如图，，，，分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在棱的中点，则表示直线，是异面直线的图形有（     ） A． ① B．② C．③ D．④ 【变式5-3】（24-25高一下·河北邢台·期中）如图，这是一个正方体的展开图，关于原正方体，有以下四个结论：①；（2）；（3）；（4）.其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型六 异面直线所成角的计算 解｜题｜技｜巧 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 【典例6】（2026·高二·上海杨浦·期末）在四面体中，，分别为的中点，若异面直线与所成的角为，则异面直线与所成的角为__________. 【变式6-1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在三棱锥中，，分别是，上的点，且，，则与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·高一·江苏南通·期中）已知空间四边形的对角线，，，分别为，的中点，若，则异面直线，所成角为______． 【变式6-3】（25-26高二上·浙江杭州·期中）如图，在圆锥中，是底面圆O的直径，D，E分别为，的中点，，，则直线与直线所成角的大小为______． 题型七 空间直线与平面的位置关系判定 解｜题｜技｜巧 空间中直线与平面有且只有三种位置关系：直线在平面内（有无数个公共点），直线与平面相交（有且只有一个公共点），直线与平面平行（无公共点）。 判断空间中直线与平面的位置关系，一般先作出几何图形，直观判断，然后依据基本事实给出证明．另外，借助模型（如正方体、长方体）举反例也是解决这类问题的有效方法。 【典例7】（2026春.温州期中）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（　　） A．若m∥n，n∥α，则m∥α B．若m∥α，n⊂α，则m∥n C．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n D．若m∩n＝A，m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β 【变式7-1】（2026·昆明·模拟）已知平面α，β和直线m，且m⊂α，则“α∥β”是“m∥β”的（　　） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式7-2】（多选题）（2026·高一·浙江宁波·期中）下列命题正确的有（    ） A．如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线一定在这个平面内 B．过直线外一点，只能作一个平面与这条直线平行 C．如果一条直线与平面内的无数条直线平行，则该直线与平面平行 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【变式7-3】【多选题）（2026·高一·湖南娄底·期中）若直线l与平面α相交，则下列结论正确的是（   ） A．平面α内存在无数条直线和直线l异面； B．平面α内任意直线都和直线l不平行； C．平面α内有且仅有一条直线和直线l相交； D．平面α内任意直线都与直线l相交. 题型八 空间平面与平面的位置关系判定 解｜题｜技｜巧 两个平面之间的位置关系有且只有两种：平行和相交．判断两个平面之间的位置关系的主要依据是两个平面之间有没有公共点．解题时要善于将自然语言或符号语言转换成图形语言，借助空间图形进行判断。 【典例8-1】（2025春·汕头期末）已知l，m是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　） A．若l∥m，l⊂α，m⊂β，则α∥β B．若l⊥m，l⊥α，m∥β，则α∥β C．若l⊥m，l⊥α，m⊥β，则α⊥β D．若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m 【典例8-2】（2026·高一·贵州黔西南·月考）已知平面和直线，且则与的位置关系是___________． 【变式8-1】（2026·辽宁·一模）已知直线a和平面，若，则a与的位置关系为________． 【变式8-2】（24-25高一下·广东清远·期中）若一直线上有两点到一个平面的距离都等于2，则该直线与这个平面的位置关系是（　　） A．直线在平面内 B．直线平行平面 C．直线与平面相交 D．直线与平面相交或平行 题型九 线面平行的判定与性质证明（核心必考） 解｜题｜技｜巧 线面平行的判定: 1. 找目标直线所在平面，在已知平面内找平行线 1. 用中位线、平行四边形、相似证线线平行 1. 套用判定定理得出线面平行 线面平行的性质: 1. 过已知直线作辅助平面，与已知平面产生交线 1. 直接得出直线与交线平行 1. 利用平行关系求解边长、角度、位置关系 【典例9-1】（25-26高一下·天津滨海新区·期中）如图，已知在直三棱柱中，，，，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：； 【典例9-2】（2026·山东青岛·二模节选）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，，E是PD的中点． （1）求证：CE∥平面PAB； （2）若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使MN∥平面PAB？说明理由． 【变式9-1】（2026春.朝阳区校级期中）如图，在三棱锥P﹣ABC中，E、F分别是AB、AP的中点，平面EFGH∩平面PBC＝GH． （1）求证：EF∥平面PBC； （2）求证：EF∥GH； （3）若三棱锥P﹣ABC的各棱长均为2，求它的表面积． 【变式9-2】（25-26高一下·浙江温州·期中）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点.    (1)求证：平面； (2)求证： 【变式9-3】（2026春·金水区校级期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，点E，F分别为AD，PC的中点，设平面PCD∩平面PBE＝l． （1）证明：DF∥平面PBE； （2）证明：DF∥l； （3）在棱AB上是否存在点N，使得EN∥平面FBD？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 题型十 面面平行的判定与性质证明 解｜题｜技｜巧 面面平行的判定： 1. 在一个平面内找出两条相交直线 1. 分别证明两条相交直线平行于另一平面 1. 满足条件即可证面面平行 面面平行的性质： 1. 已知面面平行，直接得到面内线平行另一面 1. 作截平面，利用交线平行转化线线关系 1. 借助等距性质求高度、体积、线段长度 【典例10-1】（25-26高一下·广西南宁·期中）如图，已知点是正方形所在平面外一点，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)若线段上存在一点使得平面平面，求的值． 【典例10-2】（2025春·葫芦岛期末）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，D为BB1的中点． （1）求证：平面A1BC⊥平面AA1C1C； （2）在A1C1上是否存在一点E，使得DE∥平面A1BC，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【变式10-1】（2026春·增城区期中）如图，ABCD，ABEF是两个全等的矩形，它们不在同一个平面内，G，H分别是BC，BE的中点． （1）证明：D，G，H，F四点共面． （2）证明：直线DG，AB，FH经过同一点． （3）证明：平面GBH∥平面DAF． 【变式10-2】（2026春·渝中区期中）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，点E在棱AA1上，点F在棱CC1上，G在棱BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是棱B1C1上一点． （1）求证：E，B，F，D1四点共面； （2）若平面A1GH∥平面BED1F，求证：H为B1C1的中点． 【变式10-3】（2026春·宁波期中）如图，三棱锥P﹣ABC各棱长均为1，侧棱上的D，E，F满足PD＝DA，，线段BC上的点G满足AG∥平面DEF，点Q在PC上，AQ∥DF． （1）求证：平面AQG∥平面DEF； （2）求证：QG∥EF； （3）若GC＝2BG，求λ的值． 题型十一 线面垂直的判定与性质证明（高频压轴） 解｜题｜技｜巧 线面垂直的判定: 1. 在目标平面找两条相交直线 1. 证已知直线分别与两相交线垂直 1. 套用定理证出线面垂直 线面垂直的性质: 1.已知线面垂直，直接得直线垂直面内所有直线 2.利用垂直关系求角度、证垂直、算边长 【典例11-1】（25-26高一下·广东惠州·期中）如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，，是侧棱的中点． (1)求证：平面． (2)求异面直线与所成的角． 【典例11-2】（25-26高一下·天津南开·期中）如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上．    (1)若为中点，求证：平面； (2)若，求证； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 【变式11-1】（25-26高一下·四川遂宁·期中）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的大小． 【变式11-2】（25-26高二上·上海·阶段检测）在长方体中，，，E为棱上一动点， (1)当平面时，求线段的长度； (2)在上是否存在定点，使得恒成立？如果存在，求的长度． 题型十二 面面垂直的判定与性质证明 解｜题｜技｜巧 面面垂直的判定: 1.在一个平面内寻找能垂直另一平面的直线 2.证明该直线垂直目标平面 3.即可推出两平面垂直 面面垂直的性质: 1. 找准两垂直平面的公共交线 1. 在其中一个面内作交线的垂线 1. 得到线面垂直，再推导线线垂直、面面关系 【典例12-1】（25-26高三·上海·二轮复习）如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若点，分别为，的中点，求证:平面平面. 【变式12-1】（25-26高二上·江西·月考）如图，四棱锥的底面是正方形，平面平面，，是的中点，是上靠近点的三等分点.证明：    (1)平面； (2)平面平面. 【变式12-2】（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，，求直线与平面所成角的正弦值. 【变式12-3】（25-26高一下·重庆·期中）在四棱锥中，底面是直角梯形，，，底面，，，点在直线上. (1)求证：平面平面； (2)在直线上找一点，使得平面，并求的长. 题型十三 平行与垂直的综合判定与真假命题判断 解｜题｜技｜巧 1. 定理优先：严格对照线面、面面平行与垂直的判定定理、性质定理，条件缺一不可，不凭直观判断。 2. 转化：平行：线线平行⇄线面平行⇄面面平行； 垂直：线线垂直⇄线面垂直⇄面面垂直。 3. 模型速判：用正方体/长方体构造模型，快速验证命题真假，举反例排除错误选项。 4. 符号辨析：分清点∈线/面、线⊂面、线⊄面、线∩面、面∩面的符号规范，避免表述错误。 5. 注意：线面平行必须满足线在面外且平行于面内一条直线； 面面平行必须是一个面内两条相交直线都平行于另一个面； 空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行； 面面垂直不能直接推出线面垂直，必须满足线在面内且垂直于交线。 【典例13】(多选）（25-26高一下·全国·单元测试）如图所示，直线垂直于圆所在的平面，内接于圆，且为圆的直径，点为线段的中点．现有结论中正确的是（   ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D． 【变式13-1】（多选）（2025·福建厦门·三模）如图，一个漏斗的上面部分可视为长方体，下面部分可视为正四棱锥，为正方形的中心，两部分的高都是该正方形边长的一半，则（ ） A． B．平面 C．平面平面 D．与为相交直线 【变式13-2】（25-26高一上·河北石家庄·开学考试）如图，已知正方体，分别是的中点，则不正确的是（    ）    A．直线与直线垂直，直线平面； B．直线与直线平行，直线平面； C．直线与直线相交，直线平面； D．直线与直线异面，直线平面； 【变式13-3】（25-26高一下·重庆·期中）在四棱锥中，底面是直角梯形，，，底面，，，点在直线上. (1)求证：平面平面； (2)在直线上找一点，使得平面，并求的长. 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高二上·贵州遵义·月考）可以用集合语言将“公理1：如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上．”表述为（    ） A．，且，，则 B．若，且，，则 C．若，且，，则 D．若，且，，则 2．（24-25高一下·天津河西·月考）下列命题中真命题的为（    ） A．经过三点确定一个平面 B．两条直线确定一个平面 C．经过两点可以作无数个平面 D．经过一条定直线和一个定点的平面有且只有一个 3．(24-25高一下·全国·课堂例题)如图所示，在三棱锥中，，，，分别是棱，，，的中点，则与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 4．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知l，m是两条不同的直线，为平面，，下列说法中正确的是（   ） A．若l与不平行，则l与m一定是异面直线 B．若，则l与m不可能垂直 C．若，且，则l与m可能平行 D．若，且l与不垂直，则l与m可能垂直 5．（24-25高一下·湖南衡阳·期中）如图，在正方体中，异面直线与所成的角是（    ） A． B． C． D． 期末重难突破练（测试时间：40分钟） 1．（2026·上海杨浦·期末）在四面体中，，分别为的中点，若异面直线与所成的角为，则异面直线与所成的角为__________. 2．（多选）(25-26高一上·河北石家庄·开学考试)如图，已知正方体，分别是的中点，则不正确的是（    ）    A．直线与直线垂直，直线平面； B．直线与直线平行，直线平面； C．直线与直线相交，直线平面； D．直线与直线异面，直线平面； 3．（（24-25高一下·湖北·期末）如图为一个组合体，其底面为正方形，平面，，且.求证： (1)平面； (2)平面. 4.（25-26高三上·云南昆明·开学考试）如图，在正方体中，，分别为，的中点． (1)证明直线平面； (2)设，求三棱锥的体积． 5．（25-26高一下·全国·单元测试）在四棱锥中，O为与的交点，平面，是正三角形，，． (1)求异面直线和所成角的大小； (2)若点E为棱上一点，且平面，求的值． 期末综合拓展练（测试时间：40分钟） 1．（25-26高一下·广东清远·月考）如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，平面，，为的中点，为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求三棱锥的体积. 2.（25-26高一下·吉林长春·期中）如图，在正四棱锥中，点在棱上运动，当平面时，______． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）如图1，在梯形中，，，为中点，是与的交点，将沿翻折到图2中的位置得到四棱锥．求证： 4．(24-25高一下·山东泰安·阶段检测)如图，在等腰梯形中，，.将沿着翻折，使得点到点，且. (1)求证：平面平面； (2)求二面角平面角的正切值； (3)求点到平面的距离. 32 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优12 空间点线面间的位置关系、平行及垂直 （期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 平面的概念及其表示 题型02 平面的基本事实与及推论 题型03 空间点、线共面判定与证明 题型04空间三点共线、三线共点问题 题型05 异面直线的判定 题型06 异面直线所成角的计算 题型07空间直线与平面的位置关系判定 题型08 空间平面与平面的位置关系判定 题型09线面平行的判定与性质证明（核心必考） 题型10 面面平行的判定与性质证明 题题型11 线面垂直的判定与性质证明（高频压轴）题型12面面垂直的判定与性质证明 题型13平行与垂直的综合判定与真假命题判断 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 空间点、线、面位置关系与平面公理 掌握平面三大基本事实及推论；能判断共面、共线、共点、异面关系 基础必考小题，以选择、填空为主，难度低，侧重概念辨析与命题判断 空间平行关系（线面、面面）的判定与性质 熟练运用线面平行、面面平行的判定与性质定理；规范证明书写 期末解答题必考第一问，中等难度，步骤分多，是必拿分核心题型 空间垂直关系（线面、面面）的判定与性质 掌握线线、线面、面面垂直的转化链；能完成综合证明 期末解答题压轴核心考点，区分度高，是拉开分数的关键题型 平行与垂直综合命题判断 综合运用平行、垂直定理；快速判断多结论命题的真假 多选高频压轴题，陷阱多、易错，重点考查逻辑严谨性 知识点01 平面 1、平面的概念 几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等，这样的一些物体中抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周无限延展的. 2、平面的特点 （1）平面是平的；（2）平面是没有厚度的；（3）平面是无限延展而没有边界的；（4）平面是由空间点、线组成的无限集合；（5）平面图形是空间图形的重要组成部分． 3、平面的画法 我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面 （1） 当平面水平放置时，平行四边形的锐角一般画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍，如图①； 如果一个平面的一部分被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来，如图②. （2）当平面竖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成铅垂线． 4、平面的表示方法 （1）一个希腊字母：如，，等； （2）两个大写英文字母：表示平面的平行四边形的相对的两个顶点，如平面或平面.； （3）四个大写英文字母：表示平面的平行四边形的四个顶点，如平面 知识点02 平面的三个基本事实及其推论 1. 平面的三个基本事实 基本事实 内容 图形 符号 基本 事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α 基本 事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 2.用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论： 推论 内容 图形 作用 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 确定平面的依据 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 知识点03 空间点、直线、平面之间的位置关系 1、点、直线、平面位置关系的符号表示 点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线，平面都是点构成的集合．点与直线（平面）之间的位置关系用符号“”“∉”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“”“”表示．点、直线、平面之间位置关系的符号表示举例如下： 位置关系 符号表示 位置关系 符号表示 点P在直线a上 Pa 点Q不在直线a上 Qa 点A在平面α内 Aα 点B不在平面α内 Bα 直线a在平面α内 aα 直线l不在平面α内 lα 直线a与b相交于点A A∩b=A 平面α,β相交于直线l Α∩β=l 2.直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图形 语言 符号 语言 a∥b a∥α α∥β 相交关系 图形 语言 符号 语言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l 独有关系 图形 语言 符号 语言 a，b是 异面直线 a⊂α 知识点04平行关系的判定及性质 1.直线与直线平行 （1）基本事实4 文字语言 平行于同一条直线的两条直线平行 图形语言 符号语言 直线 作用 证明两条直线平行 说明 基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性 （2）空间等角定理 ①定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 符号语言 ，或 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 推广 如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 2.直线与平面平行 (1)直线与平面平行的定义 直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 a⊄α，b⊂α，a∥b ⇒a∥α 性质定理 一条直线和一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 a∥α，a⊂β， α∩β＝b ⇒a∥b 3.平面与平面平行 (1)平面与平面平行的定义 没有公共点的两个平面叫做平行平面. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β 性质 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β，a⊂α⇒a∥β 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 平行问题的转化: 知识点05 垂直关系的判定及性质 1. 直线与直线垂直 （1）异面直线所成的角 ①定义：已知a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). ②范围：. （2）如果两条异面直线，所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，记作． 2.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 3.直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°. (2)范围：. 4.二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. (2)二面角的平面角 若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB. (3)二面角的平面角α的范围：0°≤α≤180°. 5.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 6.垂直问题的转化: 题型一 平面的概念及其表示 解｜题｜技｜巧 1.识图转语言：先辨平面、直线及位置关系，再依次用文字、符号表述。 2.符号用法：点线用“”“∉”表示，线面用“”“”表示，规范区分。 混淆“”与“”：如将“直线在平面内”表示为（正确为）； 混淆“交线”与“交点”：如将两平面交线表示为（正确为）。 3.作图要点：遮挡部分画虚线。 【典例1】（25-26高二上·上海·阶段检测)已知空间的一个点，一条直线，一个平面，用集合的语言表述它们之间可能的位置关系，表述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点线、点面、线面关系的数学表达符号判断各项的正误. 【详解】由点线、点面关系用或表示，线面关系用或表示， 所以A、B、C错，D对. 【变式1-1】（24-25高一下·河南郑州·期中）下列用符号表示空间内点A，直线l，平面α，β的位置关系，符号使用不恰当的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，A选项正确； ，B选项错误；D选项正确； ，C选项正确；故选：B. 【变式1-2】（2026·高一·福建龙岩·期末）用符号语言表述“若直线在平面内，则直线上的一点必在平面内”，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由直线在平面内，得； 由点在直线上，得；由点在平面内，得， 选项A正确，选项BCD都错.故选：A 【变式1-3】（2026·高一·广东广州·期中）如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】点和面、点和线的关系用“”或“”表示，故A错误； 线面关系用“”或“”表示，故BD错误； 根据图形有，C正确.故选：C 题型二 平面的基本事实与其推论 解｜题｜技｜巧 1. 不共线三点才确定唯一平面，先排查选项有没有遗漏掉“不共线”。 2. 区分平面和空间：空间里异面直线、空间图形，不能直接照搬平面几何结论。 3. 速记：相交或平行两条直线，能确定唯一平面；共线三点，任意两条直线不行。 4.排除秒杀：拿三脚架、门框等生活实例，或者举列反例，快速推翻错误说法。 【典例2】（25-26高一下·广东湛江·期中）给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（    ） ①三个不同的点确定一个平面； ②一条直线和一个点确定一个平面； ③两条相交直线确定一个平面；              ④两条平行直线确定一个平面. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用平面公理及推论即可判断。 【详解】由三个不在同一直线上的不同的点确定一个平面，故1错误； 一条直线和直线外一个点确定一个平面，故2错误；两条相交直线确定一个平面，故3正确；两条平行直线确定一个平面，故4正确。 【变式2-1】（2026春·高新区校级月考）三角架的三脚着地就可以支撑照相机进行拍照，从中可以得到的道理是（　　） A．三点确定一个平面 B．不在同一直线上的三点确定一个平面 C．两条相交直线确定一个平面 D．三条相交直线确定一个平面 【答案】B 【分析】根据题意，由平面的基本性质分析可得答案． 【详解】解：根据题意，三角架的三脚着地就可以支撑照相机进行拍照，易得其三个脚不在同一直线上， 即不在同一直线上的三点（三角架的三脚）确定一个平面． 【变式2-2】（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．在空间中，一个点运动只形成直线 B．在空间中，直线平行移动只形成平面 C．在空间中，直线绕与其相交的另一条直线转动形成平面或锥面 D．在空间中，矩形上各点沿同一方向移动形成长方体 【答案】C 【分析】A选项，考虑点可以随意运动可判断；B选项，考虑直线沿一个固定方向平移或非固定方向平移可判断；C选项，考虑两直线的垂直与否可判断； D选项，考虑移动方向垂直矩形所在平面与不垂直于矩形所在平面可判断。 【详解】对于A，一个点运动也可以形成曲线，故A错； 对于B，在空间中，直线平行移动， 若沿着固定方向平移可能形成平面，若沿非固定方向平移可以形成曲面，故B错；对于C，在空间中，当直线与另一条直线垂直时，绕其转动形成平面，当直线不与另一条直线垂直时，绕其转动形成锥面，C正确； 对于D，矩形上各点沿同一方向移动，若移动方向与矩形所在平面垂直形成长方体，若移动方向不与矩形所在平面垂直形成非长方体的四棱柱，故D错误。 【变式2-3】（多选）（25-26高一下·浙江嘉兴·期中）下列命题错误的是（ ） A．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 B．四边形可以确定一个平面 C．经过同一直线上的3个点的平面有且仅有3个 D．经过两条平行直线，有且只有一个平面 【答案】BC 【分析】根据平面的基本性质及推论，对四个选项逐一判断，得出正确选项。 【详解】A选项正确，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，因为他们构成一个三角形， 而三角形唯一确定一个平面； B选项不正确，因为四边形包括空间四边形，此类四边形不能确定一个平面； C选项不正确，经过同一直线上的3个点的平平面有无数个，因为直线可以位于无数个平面； D选项正确，经过两条平行直线，有且只有一个平面。故选：BC. 题型三 空间点、线共面判定与证明 解｜题｜技｜巧 证明点、线共面的主要依据是基本事实1、基本事实2及其推论，常用的方法有： （1）重合法：先证明有关点、线确定平面α，再证明其余点、线确定平面β，最后证明平面α，β重合； （2）纳入法：先由条件确定一个平面，再证明有关的点、线在此平面内． 【典例3】（25-26高一下·全国·课后作业）在正方体中，E，F分别为，的中点，，，如图． (1)求证：D，B，E，F四点共面； (2)作出直线与平面的交点R的位置． 【详解】（1）由于和在同一个平面内且不平行，故必相交． 如图，设交点为O，因为F为的中点，所以且，即是的中位线，则． 同理直线与也相交，设交点为，则，故与O重合． 由此可证得，故D，B，F，E四点共面． （2）设平面为．由于， 所以，A，C，四点共面（设为）． 因为，，所以． 又，，所以， 所以． 同理可证得，从而有． 连接，交于点R，因为， 所以与平面的交点就是与的交点． 所以与的交点R就是所求的交点． 【变式3-1】(24-25高二下·福建莆田·期末）如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点. 求证：，，，四点共面. 【详解】连接， 在长方体中， ∵∴四边形是平行四边形， ∴， 又因为，分别为棱，的中点，所以， 所以， 所以，，，四点共面. 【变式3-2】（24-25高一下·河北·月考）下列判断正确的是（    ） A．若空间五点中任何三点不共线，则这五点不共面 B．若空间五点中任何四点不共线，则这五点不共面 C．若空间五点中有三点共线，则这五点必共面 D．若空间五点中有四点共线，则这五点必共面 【答案】D 【详解】平面五边形的五个顶点任何三点和四点均不共线，但这五点共面，故A，B错误； 若空间五点中有三点共线，则这五点仍不一定共面，故C错误； 若空间五点中有四点共线，则由基本事实可知，直线与直线外一点可确定唯一平面， 即这五点一定共面，故D正确．故选：D. 【变式3-3】（24-25高一下·甘肃兰州·月考）在如图所示的正方体或四面体中，分别是棱的中点，这四个点不共面的图有（    ）   A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】第一个图，如图： 分别是棱的中点，由正方体性质知，，则四个点共面； 第二个图，如图： 为棱的中点，由正方体的性质可知六点共面，记作， 因为，所以，所以与异面直线，即四个点不共面； 第三个图，如图： 因和分别是相邻侧面的中位线，所以，， 所以，即四个点共面； 第四个图，如图：    因为平面，所以平面，所以与异面直线， 即四个点不共面．故选：C 题型四 空间三点共线、三线共点问题 解｜题｜技｜巧 1、 证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是基本事实3.此类问题的证明常用以下两种方法： （1）双平面法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3知这些点都在这两个平面的交线上； （2）两点定线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明剩下的点也在这条直线上． 2、证明三线共点的基本方法：先找交点：先证其中2条直线相交，得到一个公共点；再证共线：证明这个交点，同时在另外两个平面里，必然在两平面交线（也就是第三条直线）上。 【典例4】（25-26高三·上海·一轮复习）如图，在正方体中，对角线与平面交于点O，AC与BD交于点M，E为AB的中点，F为的中点，求证：，O，M三点共线． 【详解】由题意得平面， 又，平面， 所以平面， 由基本事实3可得，点在平面和平面的交线上， 所以三点共线． 【变式4-1】（2026·高一·吉林长春·期中）已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线、、三线共点． 【详解】（1） （2）由于且，故直线相交，设交于， 则， 同理可得直线相交于点，则， 故与重合，故直线三线相交于点O， 故直线三线交于一点． 【变式4-2】（25-26高一下·江苏·期中）如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，有以下结论正确的是（　　） A．EF与GH平行 B．EF与GH共面 C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 D．EF与GH的交点M一定在直线AC上 【答案】BD 【分析】连接EH，FG，依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，即可得出E，F，G，H共面，又，可得EF与GH必相交，从而可判断出选项A和B的正误；设交点为M，可得点M在平面ACB与平面ACD的交线上，又AC是这两个平面的交线，即可得出点M一定在直线AC上，从而判断出选项C和D的正误，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接EH，FG， 依题意，可得EH∥BD，FG∥BD， 所以EH∥FG， 所以E，F，G，H共面，所以选项B正确； 因为， 所以四边形EFGH是梯形，EF与GH必相交，所以选项A错误； 设EF与GH的交点为M， 因为点M在EF上，故点M在平面ACB上， 同理，点M在平面ACD上， 所以点M在平面ACB与平面ACD的交线上， 又AC是这两个平面的交线， 所以点M一定在直线AC上，故选项C错误，选项D正确． 故选：BD． 【变式4-3】（24-25高二上·上海·单元测试）.已知在正方体中，E、F分别为、的中点，，．求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线； (3)DE、BF、三线交于一点． 【分析】（1）先证明两直线平行，再根据两平行线可确定一平面证明共面； （2）结合面面交线证明三点共线； （3）根据面面相交于一条直线，再证明三线交于一点； 【详解】证明：（1）因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1， 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1D1∥BD， 所以EF∥BD， 所以EF、BD确定一个平面，即D、B、F、E四点共面； （2）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设平面AA1C1C为α、平面BDEF为β． 因为Q∈A1C1，所以Q∈α， 又因为Q∈EF，所以Q∈β， 所以Q是α与β的公共点． 同理，P也是α与β的公共点，所以α∩β＝PQ， 又因为A1C∩β＝R， 所以R∈A1C，R∈α，且R∈β，则R∈PQ， 故P、Q、R三点共线； （3）因为EF∥BD且EF＜BD，所以DE与BF相交， 设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1， 同理，点M∈平面B1BCC1， 又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1， 所以M∈CC1， 所以DE、BF、CC1三线交于一点M． 题型五 异面直线的判定 解｜题｜技｜巧 判定或证明两条直线异面的常用方法 1、定义法：不同在任何一个平面内（既不平行也不相交）的两条直线异面。 2、判定定理：的直线是异面直线．一条线和平面相交，它和平面内不过交点的线是异面。 3、推论法：两条异面线上各取两点，交叉连出的新线也是异面。 4、反证法：先假设两条线共面（平行或相交），推出矛盾，就证明它们是异面。 【典例5-1】（25-26高一下·全国·课后作业）在长方体中，与棱异面的棱有（   ）条 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】结合长方体的特征及异面直线的定义判断即可. 【详解】 与异面的是4条棱． 【变式5-1】（25-26高二上·北京·期中）已知正方体中，、分别为和的中点，则直线和的位置关系为（    ） A．平行 B．异面 C．相交 D．垂直 【答案】C 【分析】连接，证明出四边形为梯形，可得出结论. 【详解】如下图所示，连接，    由、分别为、的中点，得，， 在正方体中，，，故四边形为平行四边形， 所以，，故，， 所以四边形为梯形，故直线、相交， 故选：C. 【变式5-2】（多选）（2027高三·全国·专题练习）（多选）如图，，，，分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在棱的中点，则表示直线，是异面直线的图形有（     ） A． ① B．② C．③ D．④ 【答案】BD 【分析】通过观察各图中点的位置关系，利用异面直线的判定方法：若两直线既不平行也不相交，且其中一条直线上的点不在另一条直线所在平面内，则它们异面，从而逐一判断每个图形. 【详解】图①中，直线；图②中，，，三点共面，但平面，，因此直线与异面； 图③中，连接（图略），，因此与共面； 图④中，，，三点共面，但平面，，因此直线与异面； 所以在图②④中，与异面． 故选：BD． 【变式5-3】（24-25高一下·河北邢台·期中）如图，这是一个正方体的展开图，关于原正方体，有以下四个结论：①；（2）；（3）；（4）.其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】画出正方体，由正方体的性质可得. 【详解】原正方体如图所示，由正方体的性质可知相交，， 则，则四边形为平行四边形，则； 因为等边三角形，则， 又空间内两条直线的夹角范围为，则直线与所成的角为； 因且，则， 则①③错误，②④正确. 故选：B. 题型六 异面直线所成角的计算 解｜题｜技｜巧 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 【典例6】（2026·高二·上海杨浦·期末）在四面体中，，分别为的中点，若异面直线与所成的角为，则异面直线与所成的角为__________. 【答案】或 【分析】设为的中点，连接，结合题设分析易得，（或其补角）为直线与所成的角，（或其补角）为直线与所成的角，进而求解即可. 【详解】如图，设为的中点，连接， 因为分别为的中点， 所以，且，， 而，则， 则（或其补角）为直线与所成的角，即或， 而（或其补角）为直线与所成的角， 当时，， 当时，， 故答案为：或. 【变式6-1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在三棱锥中，，分别是，上的点，且，，则与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作交于，连接，可证得，得是与所成的角或其补角，由平行线性质求得，由余弦定理求得，从而得与所成的角. 【详解】 作交于，如图，连接，则， 又，所以，所以， 所以是与所成的角或其补角， 由，， 所以，，，所以， 在中，， 所以与所成角的余弦值为. 【变式6-2】（2026·高一·江苏南通·期中）已知空间四边形的对角线，，，分别为，的中点，若，则异面直线，所成角为______． 【答案】 【分析】取的中点，利用异面直线所成角的定义求解即得. 【详解】在四面体中，取的中点，连接， 由M、N分别为，的中点，得， 则是异面直线AC与BD所成的角或其补角， 显然，而，有， 于是， 所以异面直线AC与BD所成的角是. 故答案为： 【变式6-3】（25-26高二上·浙江杭州·期中）如图，在圆锥中，是底面圆O的直径，D，E分别为，的中点，，，则直线与直线所成角的大小为______． 【答案】/ 【分析】取OA的中点F，BO的中点G，根据异面直线所成角的定义作出直线与直线所成角，根据勾股定理，求出各个长度，根据余弦定理，即可得答案. 【详解】取OA的中点F，BO的中点G，连接ED、EF、EG、GC、CF，如下图所示， 因为D，E分别为，的中点， 所以，且 ， 又O为AB的中点，所以，则，且 ， 因为F为OA的中点，所以且， 所以四边形EDAF为平行四边形，所以， 所以（或其补角）即为直线与直线所成角， 在中，，则， 在中，，则， 同理， 因为E，G分别为SB、BO的中点， 所以，且， 在中，， 在中，， 由图象可得为锐角，所以， 则直线与直线所成角的大小为. 题型七 空间直线与平面的位置关系判定 解｜题｜技｜巧 空间中直线与平面有且只有三种位置关系：直线在平面内（有无数个公共点），直线与平面相交（有且只有一个公共点），直线与平面平行（无公共点）。 判断空间中直线与平面的位置关系，一般先作出几何图形，直观判断，然后依据基本事实给出证明．另外，借助模型（如正方体、长方体）举反例也是解决这类问题的有效方法。 【典例7】（2026春.温州期中）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（　　） A．若m∥n，n∥α，则m∥α B．若m∥α，n⊂α，则m∥n C．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n D．若m∩n＝A，m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β 【答案】D 【分析】根据线面平行的判断定理可判断A的正误，根据线面平行的定义可判断B的正误，根据面面平行的性质可判断C的正误，根据面面平行的判定定理可判断D的正误． 【详解】解：若m∥n，n∥α，则m∥α或m⊂α，所以A选项错误； 若m∥α，n⊂α，则m∥n或m，n异面，所以B选项错误； 若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n异面，所以B选项错误； 若m∩n＝A，m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β，所以D选项正确． 故选：D． 【变式7-1】（2026·昆明·模拟）已知平面α，β和直线m，且m⊂α，则“α∥β”是“m∥β”的（　　） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】首先题目问的是“α∥β”是“m∥β”的什么条件．然后应该判断“α∥β”是否可以推出“m∥β”，是则充分，不是则相反．再判断“m∥β”是否可以直接推出“α∥β”，是则必要，否则相反；判断的时候主要应用了空间直线与平面间的位置关系． 【详解】解：由于m⊂α，若“α∥β”，由直线与平面的关系， 故可以直接推出“m∥β”成立． 则是充分条件． 反之．若“m∥β”，不可以直接推出“α∥β”成立，因平面α与平面β也可能相交． 则不是必要条件． 则“α∥β”是“m∥β”的充分不必要条件． 故选：C． 【变式7-2】（多选题）（2026·高一·浙江宁波·期中）下列命题正确的有（    ） A．如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线一定在这个平面内 B．过直线外一点，只能作一个平面与这条直线平行 C．如果一条直线与平面内的无数条直线平行，则该直线与平面平行 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】AD 【分析】由基本事实2判断A，由基本事实3判断D，由空间中点、线、面的位置关系判断B和C. 【详解】由基本事实2可知，如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线一定在这个平面内，故A正确； 因为过直线外一点可以作一条直线与已知直线平行， 所以经过这条直线且不经过已知直线的平面都与已知直线平行， 即过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行，故B错误； 一条直线平行于平面内的无数条直线，该直线与平面平行或直线在平面内，故C错误. 由基本事实3知，如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线，故D正确； 故选：AD. 【变式7-3】【多选题）（2026·高一·湖南娄底·期中）若直线l与平面α相交，则下列结论正确的是（   ） A．平面α内存在无数条直线和直线l异面； B．平面α内任意直线都和直线l不平行； C．平面α内有且仅有一条直线和直线l相交； D．平面α内任意直线都与直线l相交. 【答案】AB 【分析】根据直线与平面的位置关系进行逐一分析判断． 【详解】因为直线l与平面α相交，所以平面α内的直线与直线l的关系相交或异面， 对于A:平面α内存在无数条直线和直线l异面，故A正确； 对于B:平面α内任意直线都和直线l不平行，故B正确； 对于C:平面α内有无数条直线和直线l相交，故C错误； 对于D:平面α内任意直线都与直线l相交或异面，故D错误. 故答案为：AB. 题型八 空间平面与平面的位置关系判定 解｜题｜技｜巧 两个平面之间的位置关系有且只有两种：平行和相交．判断两个平面之间的位置关系的主要依据是两个平面之间有没有公共点．解题时要善于将自然语言或符号语言转换成图形语言，借助空间图形进行判断。 【典例8-1】（2025春·汕头期末）已知l，m是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　） A．若l∥m，l⊂α，m⊂β，则α∥β B．若l⊥m，l⊥α，m∥β，则α∥β C．若l⊥m，l⊥α，m⊥β，则α⊥β D．若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m 【答案】C 【分析】在三棱柱以及长方体中举反例，即可求解AB，根据空间中点线面的位置关系即可求解CD． 【详解】l，m是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面， 对于A，如图三棱柱中，AC∥A1C1，AC⊂平面ABC，A1C1⊂平面A1C1CA， 但是平面A1C1CA与平面ABC相交，故A错误； 对于B，如图在长方体中，AA1⊥AB，AA1⊥平面ABCD， AB∥平面A1B1BA，但平面ABCD与平面A1B1BA相交，故B错误； 对于C，若l⊥m，l⊥α，m⊥β，则α⊥β，C正确； 对于D，若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m或者l，m异面，故D错误． 故选：C． 【典例8-2】（2026·高一·贵州黔西南·月考）已知平面和直线，且则与的位置关系是___________． 【答案】平行或相交． 【分析】可通过对两平面α，β的位置关系分类讨论，研究符合题意的位置关系． 【详解】解：若α∥β，可以保证存在直线a，b，c且a∥b∥c，a⊂α，b⊂β，c⊂β， 若α∩β＝l，且a∥b∥c，a⊂α，b⊂β，c⊂β， 所以在题设条件下，α与β的关系是平行或相交． 故答案为：平行或相交． 【变式8-1】（2026·辽宁·一模）已知直线a和平面，若，则a与的位置关系为________． 【答案】或 【详解】由题意平面与垂直，直线与平面垂直， 则直线在平面内，或者与平面平行. 故答案为：或. 【变式8-2】（24-25高一下·广东清远·期中）若一直线上有两点到一个平面的距离都等于2，则该直线与这个平面的位置关系是（　　） A．直线在平面内 B．直线平行平面 C．直线与平面相交 D．直线与平面相交或平行 【答案】D 【分析】根据直线与平面的位置关系，结合题意即可判断． 【详解】由题，设直线为，平面为， 要使一条直线的两点到一个平面的距离为2，则由线面位置关系可得， 当时，可满足题意， 当与相交时，在面的异侧各有一个点可满足题意， 当时，无法满足题意， 故直线与平面相交或平行． 故选：D． 题型九 线面平行的判定与性质证明（核心必考） 解｜题｜技｜巧 线面平行的判定: 1. 找目标直线所在平面，在已知平面内找平行线 1. 用中位线、平行四边形、相似证线线平行 1. 套用判定定理得出线面平行 线面平行的性质: 1. 过已知直线作辅助平面，与已知平面产生交线 1. 直接得出直线与交线平行 1. 利用平行关系求解边长、角度、位置关系 【典例9-1】（25-26高一下·天津滨海新区·期中）如图，已知在直三棱柱中，，，，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：； 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【详解】（1）连接，交于，连接． 直三棱柱中，侧面为矩形，所以点为中点． 因为点是的中点，所以． 又平面，平面，所以平面． （2）直三棱柱中，平面，因为平面，所以． 在中，，，，则，所以． 因为，平面，， 所以平面，所以． 【典例9-2】（2026·山东青岛·二模节选）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，，E是PD的中点． （1）求证：CE∥平面PAB； （2）若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使MN∥平面PAB？说明理由． 【答案】证明见详解 【分析】（1）设F为AP中点，连接EF、BF，由三角形中位线定理、线面平行的性质，证出四边形BCEF为平行四边形，结合线面平行的判定得出结论； （2）取AD中点N，连接CN、EN，根据线面平行、面面平行的性质定理与判断定理加以证明，即可判断其存在性． 【详解】（1）证明：如下图，设F为AP中点，连接EF、BF， 因为E是PD的中点，F为AP中点，所以EF∥AD且， 因为BC∥平面PAD，BC⊂平面ABCD，且平面ABCD∩平面PAD＝AD，所以BC∥AD，且， 所以EF∥BC，且EF＝BC，可得四边形BCEF为平行四边形，CE∥BF， 因为CE⊄平面PAB，BF⊂平面PAB，所以CE∥平面PAB； （2）取AD中点N，连接CN、EN， ∵E，N分别为PD，AD的中点，∴EN∥PA， ∵EN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴EN∥平面PAB， 线段AD存在点N，使得MN∥平面PAB，理由如下： 由（1）知：CE∥平面PAB，又CE∩EN＝E， ∴平面CEN∥平面PAB，又M是CE上的动点，MN⊂平面CEN， ∴MN∥平面PAB， ∴线段AD上存在点N，使得MN∥平面PAB． 【变式9-1】（2026春.朝阳区校级期中）如图，在三棱锥P﹣ABC中，E、F分别是AB、AP的中点，平面EFGH∩平面PBC＝GH． （1）求证：EF∥平面PBC； （2）求证：EF∥GH； （3）若三棱锥P﹣ABC的各棱长均为2，求它的表面积． 【答案】证明见详解 【分析】（1）利用中位线的性质得出EF∥PB，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）利用面面平行的性质定理可证得结论成立； （3）分析可知该三棱锥为正四面体，利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）证明：因为E、F分别是AB、AP的中点， 所以EF∥PB， 因为EF⊄平面PBC，PB⊂平面PBC， 所以EF∥平面PBC． （2）证明：由（1）可知EF∥平面PBC， 因为EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面PBC＝GH， 所以EF∥GH． （3）若三棱锥P﹣ABC的各棱长均为2， 则该三棱锥为正四面体，四个面是全等的等边三角形， 一个等边三角形的面积为， 故该几何体的表面积为． 【变式9-2】（25-26高一下·浙江温州·期中）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：； 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）取中点，连、，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定即可证明； （2）先通过线面平行的判定证得面，再利用线面平行的性质证得. 【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连、 ，又， ， 四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面；    （2）在梯形中，， 又平面，平面， 平面， 平面，平面平面， ，，. 【变式9-3】（2026春·金水区校级期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，点E，F分别为AD，PC的中点，设平面PCD∩平面PBE＝l． （1）证明：DF∥平面PBE； （2）证明：DF∥l； （3）在棱AB上是否存在点N，使得EN∥平面FBD？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】证明见详解 【分析】（1）取PB的中点Q，连接QF，EQ，由题意可证得四边形DEQF为平行四边形，可证得DF∥QE，进而可证得结论； （2）由（1）及线面平行的性质定理，可证得结论； （3）取AB的中点N，由中位线的性质可得EN∥BD，再由线面平行的判断定理可得EN∥平面DBF，并可得＝1． 【详解】（1）证明：取PB的中点Q，连接QF，EQ， 因为点E，F分别为AD，PC的中点， 由题意可证得QF∥BC，且QF＝BC＝QE，BC∥DE， 所以QE∥DE，且QE＝DE， 所以四边形DEQF为平行四边形，所以DF∥QE， 而DF⊄平面PBE，QE⊂平面PBE， 所以DF∥平面PBE； （2）证明：设平面PCD∩平面PBE＝l，由（1）可得DF∥平面PBE，DF⊂平面PCD， 所以DF∥l； （3）解：在棱AB上存在点N为AB的中点，连接EN，BD， 因为E为AD的中点，所以EN∥BD，EN⊄平面FBD，BD⊂平面FBD， 所以EN∥平面FBD， 此时＝1． 题型十 面面平行的判定与性质证明 解｜题｜技｜巧 面面平行的判定： 1. 在一个平面内找出两条相交直线 1. 分别证明两条相交直线平行于另一平面 1. 满足条件即可证面面平行 面面平行的性质： 1. 已知面面平行，直接得到面内线平行另一面 1. 作截平面，利用交线平行转化线线关系 1. 借助等距性质求高度、体积、线段长度 【典例10-1】（25-26高一下·广西南宁·期中）如图，已知点是正方形所在平面外一点，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)若线段上存在一点使得平面平面，求的值． 【答案】(1) 证明见详解 (2) 【分析】（1）依据线面平行的判定定理，构造三角形中位线得到平行于平面内的直线，即可推出线面平行； （2）依据面面平行的性质，平面平面可得对应交线平行，据此确定为中点，即可算出的值. 【详解】（1） 取的中点，连接、. 因为是的中点，所以是的中位线， 故，且. 又正方形中，是中点，且， 因此 ，，即且. 所以四边形是平行四边形，得. 又平面，平面，根据线面平行判定定理，得 平面. （2）已知平面平面，平面平面，平面平面， 根据面面平行的性质定理，得. 在中，是中点，， 因此是的中点， 可得. 【典例10-2】（2025春·葫芦岛期末）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，D为BB1的中点． （1）求证：平面A1BC⊥平面AA1C1C； （2）在A1C1上是否存在一点E，使得DE∥平面A1BC，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理得AA1⊥BC，然后利用线面垂直的判定定理证得BC⊥平面AA1C1C，最后利用面面垂直的判定定理证明即可． （2）取A1C1的中点E，CC1的中点F，连接DF，EF，利用面面平行的判定定理得平面DEF∥平面A1BC，进而由面面平行的性质定理得DE∥平面A1BC，即可求解． 【详解】 解：（1）证明：由已知得，AA1⊥平面ABC， 因为BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC， 又因为AC⊥BC，AA1∩AC＝A，AC，AA1⊂平面AA1C1C，所以BC⊥平面AA1C1C， 又因为BC⊂平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面AA1C1C； （2）当点E为A1C1的中点时，符合题意． 证明如下： 取CC1的中点F，A1C1的中点E，连接EF，DE，DF， 则EF∥A1C， 因为D为BB1的中点，所以DF∥BC， 因为BC，A1C⊂平面A1BC，DF，EF⊄平面A1BC， 所以EF∥平面A1BC，DF∥平面A1BC， 又DF∩EF＝F，DF，EF⊂平面DEF，所以平面DEF∥平面A1BC， 又DE⊂平面DEF，所以DE∥平面A1BC． 故存在点E，使得DE∥平面A1BC，． 【变式10-1】（2026春·增城区期中）如图，ABCD，ABEF是两个全等的矩形，它们不在同一个平面内，G，H分别是BC，BE的中点． （1）证明：D，G，H，F四点共面． （2）证明：直线DG，AB，FH经过同一点． （3）证明：平面GBH∥平面DAF． 【答案】证明见详解 【分析】（1）连接CE，由题意易证得GH∥DF，即可证得结论； （2）由（1）可得GH＝DF，且D，G，H，F四点共面，可得DG与FH相交，设DG∩FH＝M，可证得M∈平面ABCD，M∈平面ABEF，即证得点M在平面ABCD与平面ABEF的交线上，进而可证得结论； （3）易证得HG∥DF，BG∥AD，由线面平行的判定定理及面面平行的判定定理可证得结论． 【详解】证明：（1）连接CE，四边形ABCD，ABEF是两个全等的矩形， 可得DC＝AB，且CD＝AB，EF∥AB，且EF＝AB， 所以DC∥EF且DC＝EF，所以四边形CDFE为平行四边形， 所以DF∥CE，且DF＝CE， 因为G，H分别是BC，BE的中点，可得GH∥CE且HG＝CE， 所以GH∥DF且GH＝DF， 可证得D，G，H，F四点共面； （2）由（1）可得GH＝DF，且D，G，H，F四点共面， 可得DG与FH相交， 设DG∩FH＝M， 因为DG⊂平面ABCD，所以M∈平面ABCD， 同理可得M∈平面ABEF， 所以点M在平面ABCD与平面ABEF的交线上，而平面ABCD∩平面ABEF＝AB， 所以M∈AB， 即证得直线DG，AB，FH经过同一点M； （3）由（1）可得HG∥DF，BG∥AD， 又因为DF⊂平面ADF，HG⊄平面ADF， 所以HG∥平面ADF， 同理可得BG∥平面ADF， 而HG∩BG＝G，HG，BG⊂平面BHG， 所以平面GBH∥平面DAF． 【变式10-2】（2026春·渝中区期中）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，点E在棱AA1上，点F在棱CC1上，G在棱BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是棱B1C1上一点． （1）求证：E，B，F，D1四点共面； （2）若平面A1GH∥平面BED1F，求证：H为B1C1的中点． 【答案】证明见详解 【分析】（1）在DD1上取点N，使DN＝1，连接EN，CN，易得四边形ADNE是平行四边形，以及四边形BCNE是平行四边形，由此推知CN∥BE，则FD1∥BE，得到E、B、F、D1四点共面； （2）利用面面平行的性质定理可解． 【解答】证明：（1）如图，在DD1上取一点N使得DN＝1， 连接CN，EN，则AE＝DN＝1．CF＝ND1＝2、 因为CF∥ND1，所以四边形CFD1N是平行四边形， 所以D1F∥CN． 同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN∥AD，且EN＝AD， 又BC∥AD，且AD＝BC，所以EN∥BC，EN＝BC， 所以四边形CNEB是平行四边形， 所以CN∥BE， 所以D1F∥BE， 所以E，B，F，D1四点共面； （2）因为平面A1GH∥平面BED1F，平面BB1C1C∩平面A1HG＝HG， 平面BBC1C∩平面BED1F＝BF，所以BF∥HG． 所以∠B1GH＝∠FBG＝∠CFB，在Rt△BCF中，， 在Rt△HB1G中，， 所以，即H为 B1C1 的中点． 【变式10-3】（2026春·宁波期中）如图，三棱锥P﹣ABC各棱长均为1，侧棱上的D，E，F满足PD＝DA，，线段BC上的点G满足AG∥平面DEF，点Q在PC上，AQ∥DF． （1）求证：平面AQG∥平面DEF； （2）求证：QG∥EF； （3）若GC＝2BG，求λ的值． 【答案】证明见详解 【分析】（1）由线面平行的判定定理可证AQ∥平面DEF，结合题中条件及面面平行的判定定理即可证明； （2）由（1）知：平面AQG∥平面DEF，根据面面平行的性质定理即可证明； （3）由题可知点D是PA的中点，结合AQ∥DF可得点F是PQ的中点，根据题中条件，在平面PBC内，利用平面向量基本定理和共线向量基本定理即可求解． 【详解】解：（1）证明：∵AQ∥DF，DF⊂平面DEF，AQ⊄平面DEF， ∴AQ∥平面DEF， ∵AG∥平面DEF，AQ∥平面DEF，AG∩AQ＝A，AG⊂平面AGQ，AQ⊂平面AGQ， ∴平面AQG∥平面DEF，得证； （2）证明：由（1）知：平面AQG∥平面DEF， 又平面BCP∩平面DEF＝EF，平面BCP∩平面AQG＝QG， ∴QG∥EF，得证； （3）由题意可得D是PA的中点， 由于AQ∥DF，可得， 可得F是PQ的中点，PF＝FQ， ∵，且三棱锥P﹣ABC各棱长均为1，可得BE＝PF＝λ， ∴PE＝1﹣λ，FQ＝λ，PQ＝2λ，CQ＝1﹣2λ， ∵点Q在PC上， ∴1﹣2λ＞0，解得， ∵GC＝2BG， ∴， ∴＝＝， ＝ ＝ ＝﹣2λ﹣﹣ ＝， 由（2）知：QG∥EF， ∴， ∴∃k∈R，使得， 即， 由平面向量基本定理可得，解得， 综上所述，λ的值为。 题型十一 线面垂直的判定与性质证明（高频压轴） 解｜题｜技｜巧 线面垂直的判定: 1. 在目标平面找两条相交直线 1. 证已知直线分别与两相交线垂直 1. 套用定理证出线面垂直 线面垂直的性质: 1.已知线面垂直，直接得直线垂直面内所有直线 2.利用垂直关系求角度、证垂直、算边长 【典例11-1】（25-26高一下·广东惠州·期中）如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，，是侧棱的中点． (1)求证：平面． (2)求异面直线与所成的角． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）利用四棱锥的几何形状，结合已知条件，运用线面垂直判定定理证明结论； （2）连接交于点，连接，利用几何法得出即为异面直线与所成的角，再利用勾股定理求出的各边边长，进而求出角． 【详解】（1）四棱锥的底面是正方形，， 底面，底面，， ，平面， 平面． （2）连接交于点，连接， 在中，分别是中点，则， 因此异面直线与所成的角即为或其补角， ，， ， ，故是等边三角形， ， 异面直线与所成的角为． 【典例11-2】（25-26高一下·天津南开·期中）如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上．    (1)若为中点，求证：平面； (2)若，求证； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 (3) 【分析】（1）连接交于点，先证明，再由线面平行判定定理证明结论； （2）取的中点，连接，再由线面垂直判定定理可证平面，从而得证； （3）取的中点，结合异面直线夹角定义证明为异面直线与所成角（或其补角），解三角形求其余弦值； 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为是正方形，所以为中点， 所以在中，为中位线，， 又平面，平面，平面；    （2）取的中点，连接， 因为为正三角形，所以， 又，则， 因为平面， 所以平面，又平面， 所以； （3）取的中点，因为为中点， 所以在中，为中位线，所以，， 所以为异面直线与所成角（或其补角）， 在中，，，， 由余弦定理可得， 又，所以为锐角， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【变式11-1】（25-26高一下·四川遂宁·期中）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）通过证明 平面，即可求证； （2）通过证明平面.得到即为所求的线面角，进而可求解. 【详解】（1）    由侧棱底面，底面，可得 ； 又已知，且， 平面， 根据线面垂直判定定理得： 平面， 因为平面，因此 ， 三棱柱中，，因此可得 ， 由， ，可知侧面是正方形，正方形对角线互相垂直， 因此 ，又， 平面， 根据线面垂直判定定理得 平面， 因为平面，所以 ，得证； （2）由题意可得平面，又平面，所以. 又为的中点，，所以. 因为，，平面， 所以平面. 所以直线在平面的射影为， 所以即为所求的线面角， 在中，，，为的中点， 所以. 在直角三角形中，， 故在直角三角形中，， 又，所以， 所以直线与平面所成角为. 【变式11-2】（25-26高二上·上海·阶段检测）在长方体中，，，E为棱上一动点， (1)当平面时，求线段的长度； (2)在上是否存在定点，使得恒成立？如果存在，求的长度． 【答案】(1)1； (2)存在，且. 【分析】（1）连接，交于，在面内过作，交于，根据线面平行的判定找到的位置，进而求线段长； （2）问题化为证面，进而求的位置，即可得线段长. 【详解】（1）连接，交于，在面内过作，交于， 由面，面，则面， 故与重合时，满足题设要求， 根据长方体的性质，易知是的中点，故，即所求是中点， 所以； （2）存在，且，理由如下， 要使恒成立，只需垂直于所在平面即可， 当面，而面，故， 此时，即， 所以，则，可得. 题型十二 面面垂直的判定与性质证明 解｜题｜技｜巧 面面垂直的判定: 1.在一个平面内寻找能垂直另一平面的直线 2.证明该直线垂直目标平面 3.即可推出两平面垂直 面面垂直的性质: 1. 找准两垂直平面的公共交线 1. 在其中一个面内作交线的垂线 1. 得到线面垂直，再推导线线垂直、面面关系 【典例12-1】（25-26高三·上海·二轮复习）如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若点，分别为，的中点，求证:平面平面. 【详解】（1）在菱形中，, 为的中点， 所以，又平面⊥平面，平面∩平面，平面，所以平面. （2）如图，连接 因为为正三角形, 为线段的中点， 所以，由（1）知，又，平面， 所以平面，因为平面，所以. （3）如图，连接，，， 在中，，在菱形中，， 而平面，平面，，平面， 平面，，所以平面平面， 因为平面平面，平面平面， 因为平面，，所以平面， 又平面， 所以平面平面，所以平面平面. 【变式12-1】（25-26高二上·江西·月考）如图，四棱锥的底面是正方形，平面平面，，是的中点，是上靠近点的三等分点.证明：    (1)平面； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）设与交于点，连接，证得，利用线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）取中点，连接交于点，连接，证得，再由平面平面，证得平面，得到，证得平面，进而证得平面平面. 【详解】（1）证明：如图所示，设与交于点，连接， 因为底面是正方形，所以是中点， 又因为是中点，所以， 因为平面，且平面，所以平面.    （2）证明：如图所示，取中点，连接交于点，连接， 因为，所以， 又因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 又因为平面，所以，所以， 因为，且，，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 【变式12-2】（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 (3) 【详解】（1）因为是的直径，是圆周上不同于的一动点， 所以，又因为平面，平面，所以， 又因为平面， 所以平面. （2）因为平面，平面， 所以平面平面. （3）过作于，连接，如图所示， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以是直线与平面所成的角， 在中，由等面积法得 而 所以， 在中，， 故直线与平面所成角的正弦值为. 【变式12-3】（25-26高一下·重庆·期中）在四棱锥中，底面是直角梯形，，，底面，，，点在直线上. (1)求证：平面平面； (2)在直线上找一点，使得平面，并求的长. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）证明平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （2）连接交于，过作交于，连接，，可证明平面，利用几何关系即可求出的长. 【详解】（1）四边形是直角梯形，， ， 又平面平面， ，且平面平面， 又平面平面平面； （2）连接交于，过作交于，连接，. 由平面平面，得平面可得， 又，直角中，，所以. 题型十三 平行与垂直的综合判定与真假命题判断 解｜题｜技｜巧 1. 定理优先：严格对照线面、面面平行与垂直的判定定理、性质定理，条件缺一不可，不凭直观判断。 2. 转化：平行：线线平行⇄线面平行⇄面面平行； 垂直：线线垂直⇄线面垂直⇄面面垂直。 3. 模型速判：用正方体/长方体构造模型，快速验证命题真假，举反例排除错误选项。 4. 符号辨析：分清点∈线/面、线⊂面、线⊄面、线∩面、面∩面的符号规范，避免表述错误。 5. 注意：线面平行必须满足线在面外且平行于面内一条直线； 面面平行必须是一个面内两条相交直线都平行于另一个面； 空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行； 面面垂直不能直接推出线面垂直，必须满足线在面内且垂直于交线。 【典例13】(多选）（25-26高一下·全国·单元测试）如图所示，直线垂直于圆所在的平面，内接于圆，且为圆的直径，点为线段的中点．现有结论中正确的是（   ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D． 【答案】ABD 【详解】因为为的中点，为的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. 所以A正确. 又平面，平面，所以， 由为圆的直径，得， 因为平面，所以平面. 又平面，所以平面平面. 所以B正确. 因为平面，且过一点只能作平面的一条垂线，所以C错误； 因为平面，平面，所以，所以D正确. 故选：ABD. 【变式13-1】（多选）（2025·福建厦门·三模）如图，一个漏斗的上面部分可视为长方体，下面部分可视为正四棱锥，为正方形的中心，两部分的高都是该正方形边长的一半，则（ ） A． B．平面 C．平面平面 D．与为相交直线 【答案】BCD 【详解】对于A，设正方形边长为2，由正四棱锥性质可得平面，故， 因为面，故在底面的射影为， 又不与垂直，故不与垂直，故A不正确； 对于B，由题且，故四边形是平行四边形， 所以不在平面内，平面， 所以平面，故B正确； 对于C，因为，平面，故平面， 平面即为平面，因为面，面， 所以，又因为，， 所以平面，又平面， 所以平面平面，即平面平面，故C正确； 对于D，由C可知与都在平面中且不平行，故与为相交直线，故D正确. 故选：BCD. 【变式13-2】（25-26高一上·河北石家庄·开学考试）如图，已知正方体，分别是的中点，则不正确的是（    ）    A．直线与直线垂直，直线平面； B．直线与直线平行，直线平面； C．直线与直线相交，直线平面； D．直线与直线异面，直线平面； 【答案】BCD 【详解】如图所示，连接，因为正方形，且为的中点， 所以点为的中点，又由为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 在正方体中， 因为平面，且平面，所以， 又因为正方形，可得， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以，且与不相交， 所以与为异面直线，所以A正确，B、C错误； 在直角中，可得与不垂直，所以与平面不垂直， 因为，所以与平面不垂直，所以D错误. 故选：BCD.    【变式13-3】（25-26高一下·重庆·期中）在四棱锥中，底面是直角梯形，，，底面，，，点在直线上. (1)求证：平面平面； (2)在直线上找一点，使得平面，并求的长. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）证明平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （2）连接交于，过作交于，连接，，可证明平面，利用几何关系即可求出的长. 【详解】（1）四边形是直角梯形，， ， 又平面平面， ，且平面平面， 又平面平面平面； （2）连接交于，过作交于，连接，. 由平面平面，得平面可得， 又，直角中，，所以. 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高二上·贵州遵义·月考）可以用集合语言将“公理1：如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上．”表述为（    ） A．，且，，则 B．若，且，，则 C．若，且，，则 D．若，且，，则 【答案】C 【详解】在空间几何中，点可以看成是元素，线和面应看成是集合， 根据元素属于集合，子集包含于全集可得： 公理1：如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上，用集合语言应表示为： 若，且，，则，故选：C． 2．（24-25高一下·天津河西·月考）下列命题中真命题的为（    ） A．经过三点确定一个平面 B．两条直线确定一个平面 C．经过两点可以作无数个平面 D．经过一条定直线和一个定点的平面有且只有一个 【答案】C 【详解】对于A，三点共线时不能确定一个平面，故A错误; 对于B，当两直线是异面直线时，不能确定一个平面，故B错误； 对于C，过两点平面可以转动，所以可以作无数个，故C正确； 对于D，当点在直线上时，此时平面有无数个，故D错误；故选：C. 3．(24-25高一下·全国·课堂例题)如图所示，在三棱锥中，，，，分别是棱，，，的中点，则与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 【答案】A 【详解】因为，分别是棱，的中点，所以 因为，分别是棱，的中点，所以 所以.故选：A. 4．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知l，m是两条不同的直线，为平面，，下列说法中正确的是（   ） A．若l与不平行，则l与m一定是异面直线 B．若，则l与m不可能垂直 C．若，且，则l与m可能平行 D．若，且l与不垂直，则l与m可能垂直 【答案】D 【详解】对于A，若l与不平行，则l与相交或在内，而，则l与m可能平行、 可能相交、也可能是异面直线，A错误； 对于B，，则在内存在直线，当内的直线与垂直时，此时，B错误； 对于C，若，且，，则l与m异面，C错误； 对于D，若，且l与不垂直，则l与m可能垂直， 在正方体中，取为平面，，符合题意，，D正确. 5．（24-25高一下·湖南衡阳·期中）如图，在正方体中，异面直线与所成的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以异面直线与所成的角为.故选：B 期末重难突破练（测试时间：40分钟） 1．（多选）(25-26高一上·河北石家庄·开学考试)如图，已知正方体，分别是的中点，则不正确的是（    ）    A．直线与直线垂直，直线平面； B．直线与直线平行，直线平面； C．直线与直线相交，直线平面； D．直线与直线异面，直线平面； 【答案】BCD 【分析】根据题意，利用正方体的几何结构特征，结合线面平行和线面垂直的判定与性质，进行判定，即可求解. 【详解】如图所示，连接，因为正方形，且为的中点， 所以点为的中点，又由为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 在正方体中， 因为平面，且平面，所以， 又因为正方形，可得， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以，且与不相交， 所以与为异面直线，所以A正确，B、C错误； 在直角中，可得与不垂直，所以与平面不垂直， 因为，所以与平面不垂直，所以D错误. 故选：BCD.    2．（2026·上海杨浦·期末）在四面体中，，分别为的中点，若异面直线与所成的角为，则异面直线与所成的角为__________. 【答案】或 【详解】如图，设为的中点，连接， 因为分别为的中点， 所以，且，， 而，则， 则（或其补角）为直线与所成的角，即或， 而（或其补角）为直线与所成的角， 当时，， 当时，， 故答案为：或. 3．（24-25高一下·湖北·期末）如图为一个组合体，其底面为正方形，平面，，且.求证： (1)平面； (2)平面； 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）通过面面平行的性质定理，证明线面平行即可. （2）根据线面垂直的性质定理，得线线垂直，再根据线面垂直的判定定理，证明线面垂直即可. 【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面， 又底面为正方形，故， 而平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面. （2）因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面. 4.（25-26高三上·云南昆明·开学考试）如图，在正方体中，，分别为，的中点． (1)证明直线平面； (2)设，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见详解； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定推理得证. （2）利用等体积法及锥体的体积公式计算即得. 【详解】（1）在正方体中，连接， 由，得四边形为平行四边形，则， 由分别为的中点，得，则， 而平面，平面，所以直线平面. （2）在正方体中，平面，而， 所以三棱锥的体积. 5．（25-26高一下·全国·单元测试）在四棱锥中，O为与的交点，平面，是正三角形，，． (1)求异面直线和所成角的大小； (2)若点E为棱上一点，且平面，求的值． 【答案】(1)． (2)． 【详解】（1）因为，所以异面直线和所成角为和所成角，即． 因为是正三角形，， 所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以是等腰直角三角形， 所以， 即异面直线和所成角为． （2）因为平面，平面， 平面平面，所以，所以， 因为，，所以， 所以． 期末综合拓展练（测试时间：25分钟） 1．（25-26高一下·吉林长春·期中）如图，在正四棱锥中，点在棱上运动，当平面时，______． 【答案】 【分析】设，连接，利用线面平行的性质得，从而得为中点，再利用棱锥的体积公式和转换底面法，即可求解. 【详解】如图，设，连接，因为四棱锥为正四棱锥，则为的中点， 因为平面，又平面，平面平面， 所以，则为中点，所以， 又，则，所以，则. 2．．（25-26高一下·广东清远·月考）如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，平面，，为的中点，为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 (3) 【详解】（1）连接， 因为平面，平面，所以， 因四边形为菱形且，则为正三角形， 又为的中点，则， 又，平面，则平面. （2）设为线段的中点，连接、， 因为的中点，则，且， 又且，为的中点，则且，     则四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，则平面； （3）∵，为正三角形， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴， 故三棱锥的体积为. 3．（25-26高一下·全国·课后作业）如图1，在梯形中，，，为中点，是与的交点，将沿翻折到图2中的位置得到四棱锥．求证： 【答案】证明见详解 【详解】图1中，在四边形中，，，所以四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为菱形，所以，， 所以在图2中，，，又平面，所以平面， 因为平面，所以， 又在四边形中，，， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以； 4．(24-25高一下·山东泰安·阶段检测)如图，在等腰梯形中，，.将沿着翻折，使得点到点，且. (1)求证：平面平面； (2)求二面角平面角的正切值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【详解】（1）证明： 连接，根据余弦定理， ∴，，∴， 又已知，平面， ∴平面，∵平面， ∴平面平面； （2） 由（1）知平面平面，平面平面， 作于（中点），则平面， 作于，连接，因为平面， 所以平面， ∴，所以为二面角的平面角， 因为， ∴. 所以二面角平面角的正切值为. （3）记点到平面的距离为， ∵，∴， 由（2）知，所以根据勾股定理可得， ∴. 所以点到平面的距离为. 1 / 68 学科网（北京）股份有限公司 $