空间位置关系与平行垂直重难点题型讲义-2024-2025学年高一下学期期末复习

专题06 空间位置关系与平行垂直重难点题型 重难点题型 题型一 空间距离最短问题 例1. 在三棱锥中，，，一只蜗牛从点出发，绕三棱锥三个侧面爬行一周后，到棱的中点，则蜗牛爬行的最短距离是（）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三棱锥的侧面展开，从而可知线段为所求，再利用余弦定理即可得解. 【详解】如图所示，将三棱锥的侧面展开，则线段为所求，    由题意得，， 由余弦定理可得， 则，即蜗牛爬行的最短距离是. 故选：D. 例2. 已知底面半径为1，体积为的圆柱，内接于一个高为的圆锥（如图），线段AB为圆锥底面的一条直径，则从点A绕圆锥的侧面到点B的最短距离为 . 【答案】 【分析】设圆柱的高为，求得，进而得到圆锥的底面半径为，母线长为，结合圆锥的侧面展开图，即可求解. 【详解】如图所示，设圆柱的高为，则，可得， 因为，所以为的中位线，所以， 则，即圆锥的底面半径为，母线长为， 则侧面展开图所得的扇形的弧长为，圆心角为， 所以从点绕圆锥的侧面到点的最短距离为. 故答案为：. 题型二 点、线、面间位置关系判断及辨析 例1. 已知为两条不同直线，，为两个不同平面，则下列说法正确的是（    ） A．若直线与平面所成角相等，则 B．若平面上有三个不同点到平面的距离相等，则 C．若上有两个不同点到平面的距离相等，则 D．若，且直线异面，则 【答案】D 【分析】根据空间中直线与平面以及平面与平面的位置关系逐一判断即可． 【详解】 对于A,比如在正方体中，直线与平面所成角均为， 但相交，A错误； 对于B，直线上的点到平面的距离相等， 故平面上有三个不同点到平面的距离相等， 但平面与平面相交，B错误； 对于C，点到平面的距离相等，但直线与平面相交，故C错误； 对于D，若，，故过可作一平面，使得，则， 由于，异面，，所以，相交，否则，进而可得， 这与，异面矛盾，所以，相交，结合，，，， 所以则，D正确． 故选：D． 例2. （多选）已知a，b，c为三条直线，，，为三个平面．下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】BCD 【分析】根据题意，由空间中直线与平面，平面与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A选项，令，，若，则一定有，，而在同一平面的a，b两条直线可以平行，也可以相交，故A错误； 对于B选项，这是线面平行的性质定理，故B正确； 对于C选项，这是面面垂直的判定定理，故C正确； 对于D项，设，，过平面内一点A，分别作，，如图所示， 因为，，，，所以， 又因为，所以，同理：， 又因为，、， 所以，故D项正确. 故选：BCD. 题型三 线面平行的判定定理及性质定理的应用 例1. 如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，判断四边形为平行四边形，进而可求证； （2）由点到平面的距离等于点到平面的距离，得到，进而可求解. 【详解】（1）取的中点，连接， ∵为的中点，∴且， ∵为的中点，∴且， ∴且， ∴四边形为平行四边形，∴. 又∵平面平面， ∴平面. （2）∵，∴， ∴. 在直三棱柱，易知平面， ∴点到平面的距离等于点到平面的距离， ∴， 又∵平面， ∴ 例2. 如图，已知等腰梯形ABCD中（图1），是BC的中点，，将沿着AE翻折（图2），使得直线AB与CD不在同一个平面，得到四棱锥 (1)求直线与所成的角的大小； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据折叠前后的图形几何性质以及异面直线夹角的求法即可得到答案； （2）平面公理与线面平行性质定理可得为中点，从而可得结论. 【详解】（1）因为，是的中点，所以，， 故四边形是菱形，从而， 所以沿着翻折成后，， 又因为，所以四边形为平行四边形，则， 则，则直线与所成的角的大小为. （2）存在，理由如下： 假设线段上是存在点，使得平面， 过点作交于，连接，，如下图， 所以，所以，，，四点共面， 又因为平面，平面平面，平面，所以， 综上，四边形为平行四边形，故， 所以为中点，故在线段上存在点，使得平面，且． 题型四 面面平行的判定定理及性质定理的应用（解答题） 例1. 如图，在各棱长均为2的正三棱柱中，，，分别为，，的中点，. (1)求点到平面的距离； (2)证明：平面平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用等体积法即可求解，或者由线面垂直的判定得平面，进而由等面积法求解距离， （2）根据线线平行证明线面平行，即可由面面平行的判定求证. 【详解】（1）（方法一）在正三棱柱中，侧棱垂直底面，底面，则，. 依题意得，，则， 所以的面积. 设点B到平面的距离为h，则由， 得，解得. （方法二）取的中点M，连接，. 因为，所以. 因为底面，底面，所以. 因为，平面，所以平面. 过B作于H，平面，则. 因为，平面,所以平面. 因为，，， 所以点B到平面的距离. （2）证明：因为D，E分别为，的中点，所以. 又，所以. 因为平面，平面，所以平面. 取的中点N，连接.因为，所以F为的中点. 又D为的中点，所以. 由于,故四边形为平行四边形， 故，所以. 因为平面，平面，所以平面. 又，平面，所以平面平面. 例2. 如图（1），在梯形PBCD中，，，A是PD中点，现将沿AB折起得图（2），点M是PD的中点，点N是BC的中点．    (1)求证：平面PAB； (2)在线段PC上是否存在一点E，使得平面平面PAB？若存在，请指出点E的位置并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，E为PC中点，证明见解析 【分析】（1）应用线面平行判定定理证明即可； （2）先取点，再应用面面平行判定定理证明即可； 【详解】（1）取AP的中点Q，连接MQ，BQ，    因为M，Q分别为PD，PA的中点， 所以，， 又因为N为BC的中点， 所以，． 所以，， 所以四边形MNBQ为平行四边形，所以， 又因为平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB． （2）存在点E，当E为PC中点时，平面平面PAB． 证明如下：由图（1）因为A是PD中点，，， 所以且， 所以四边形ABCD是平行四边形，所以． 因为E，M分别为PC，PD中点，所以， 所以， 因为平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB， 同理可知平面PAB，又因为平面平面， 所以平面平面PAB．    题型五 线面垂直的判定定理及性质定理的应用（解答题） 例1. 如图，在正方体中． (1)求证：∥平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）根据题意可得∥，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）连接，可得，，结合线面垂直的判定定理分析证明. 【详解】（1）因为为正方体，则∥，且， 可知为平行四边形，则∥， 且平面，平面，所以∥平面. （2）连接， 因为为正方形，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面， 可得平面， 由平面，可得， 同理可得：， 且，平面， 所以平面. 例2. 如图，平面，底面为矩形，，点是棱的中点. (1)求证：； (2)若，分别是，上的点，且，为上任意一点，试判断：三棱锥的体积是否为定值？若是，请证明并求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)三棱锥的体积是为定值，为. 【分析】（1）根据向量垂直的判定定理证明平面即可； （2）过作，且，过作，且，连接，则易证平面，再根据三棱锥的体积公式，即可求解． 【详解】（1）平面，平面， ，又底面为矩形，则， 又且都在面内， 平面，又平面， ，又，则， 又，点是棱的中点，则， 又且都在面内， 平面，又平面， ； （2）三棱锥的体积是为定值，且定值为，理由如下： 如图，过作，且， 过作，且，连接， 又，， ，，， ，， 又，则，故四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面，又为上任意一点， 到平面的距离为定值，又的面积也为定值， 三棱锥的体积是定值， 由（1）知平面，由，故平面， 到平面的距离为， 又的面积为， 三棱锥的体积为： ， 故三棱锥的体积是为定值，且定值为． 题型六 面面垂直的判定定理及性质定理的应用（解答题） 例1. 如图，在三棱锥中，是等边三角形，，，，，，分别，的中点. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）要证明面面垂直，转化为证明线面垂直，根据几何关系证明平面； （2）根据（1）的结果，利用垂直关系构造二面角的平面角，即可求解. 【详解】（1）因为是等边三角形，点是的中点，， 所以，且， 点分别是的中点，所以， 中，，且，， 所以，， 所以，即， 且，且平面， 所以平面，平面, 所以平面平面； （2）中，，，，， 所以， 过点作， 因为平面平面，且平面平面； 所以平面， 作，连结， 因为平面，所以， 且，平面， 所以平面，平面， 所以， 则为二面角的平面角， 中，， 中，， 所以，， 所以二面角的余弦值为. 例2. 如图，正三棱柱中，各棱长均相等，､､､分别为棱､､､的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先根据证明平行四边形得出线线平行，再应用线面平行判定定理证明即可； （2）应用线面垂直判定定理及面面垂直判定定理证明即可； （3）根据面面垂直结合二面角定义找到二面角，再应用边长求正弦及余弦值即可. 【详解】（1） 连接，，， 又为的中点，，， 四边形是平行四边形， 又平面，平面， 平面， （2）平面，， 是的中点，，又，平面， 平面， 又因为平面，， 在正方形中，､分别为棱､的中点， ，平面， 平面， 又平面，平面平面. （3）由（2）知平面，平面， 平面平面平面，且平面平面， ，设与交于点，则平面， 过作垂直，连接，则， 为二面角的平面角， 令，则，， ， 又因为，， 为的中点， ， 在直角三角形中，， 由图知，为锐角， ， 由图知二面角的平面角与二面角的平面角互补， 故二面角的平面角的余弦值为. 课后复习巩固练习 1. 如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC＝2，，A为锐角，侧棱PA＝PB＝PC＝2，一只小虫从A点出发，沿侧面绕棱锥爬行一周后回到A点，则小虫爬行的最短距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求出的值，将三棱锥沿侧棱展开，分析其展开图，由余弦定理分析可得答案． 【详解】根据题意，在三棱锥中，， 则有，可得，又，则， 而，则，又△PAB，△PAC为正三角形， 将三棱锥沿侧棱展开，得到如图所示的多边形，其中，    根据余弦定理，最短距离 故选：D． 2.（多选）已知，是不同平面，，，是不同直线，则“”的充分条件是（    ） A．，； B．，，； C．，，； D．，， 【答案】BC 【分析】根据空间中直线与平面，以及平面与平面的位置关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A,由，，则,可能相交，可能异面，可能平行，故A错误， 对于B，由线面平行的性质定理可知，，，则，B正确， 对于C,若，，，则，C正确， 对于D，若，，，则,异面或者平行，D错误， 故选：BC 3. 如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离是 ． 【答案】 【分析】蚂蚁爬行距离最短，即将圆锥侧面展开后A到C的直线距离，根据已知条件、余弦定理可求出最短距离. 【详解】圆锥的侧面展开图为半径为3的扇形，弧长为， ∴，则， 由余弦定理可知，． 故答案为：． 4. 如图，正方体的棱长为2.    (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面平行的判定定理即可得证； （2）设，首先证明即为二面角的平面角，再由解三角形的知识求解即可得答案. 【详解】（1）在正方体，且， ∴为平行四边形，∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）∵在正方形ABCD中，设，连接， ∴，， ∵中，，∴为等腰三角形，∴， ∴即为二面角的平面角， ∵在中，， ∴，即二面角的正弦值为.    5. 如图所示，三棱柱，是的中点，是的中点．求证： (1)//平面； (2)平面//平面D. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）证明线面平行，转化为线线平行即可，连接，与交于，连接，可得，即可证明； （2）先证明平面，由可知平面，即可证明平面平面. 【详解】（1）证明：由题意，是三棱柱， 连接，与交于，连接，可得， 平面，平面， 平面D. （2）是的中点，是的中点， 则，四边形为平行四边形， 则， 又平面，平面，得平面， 由可知平面， 又平面， 平面平面. 6. 在四棱锥中，底面是矩形，平面，分别是的中点. (1)求证：平面PAD； (2)求证：； (3)若PD与平面所成的角为，求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）取中点，连接，，由线面平行的判定定理即可得证； （2）先由线面垂直的判定定理证明平面，得到，再由（1）即可得证； （3）先由题意得到，，由线面垂直的判定定理证明平面，从而得证. 【详解】（1）取中点，连接，， 为的中点，，， 是的中点，底面是矩形，，， 且， 四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 平面. （2）平面，平面，， 又底面是矩形，， 又平面，平面， 平面，， 由（1）可知，. （3）平面，所以为与平面所成的角， ，又，，即为等腰三角形， 为中点，， 又由（2）可得，平面， 平面， 由（1）可知：，平面. 7. 如图，圆柱中，是一条母线，是底面一条直径，C是的中点. (1)证明：平面平面； (2)若，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由线面垂直的性质可得，然后由直径所对的圆周角等于可得，进而由线面垂直的判定定理可得平面，从而面面垂直的判定定理得证平面平面. （2）设，作,垂足于，并求的长度，进而由可得，易知是二面角的平面角，从而用余弦定理即可即可求解. 【详解】（1）证明：因为是一条母线，所以平面，而平面，则， 因为是底面一条直径，C是的中点，所以，即， 又平面且， 所以平面，而平面，则平面平面. （2）设，则，. 取的中点，则，， 作，垂足于，则，即， 进而，所以. 因为分别是的中点，连接， 所以，又，. 由，可知，是二面角的平面角. 所以. 故二面角的余弦值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 空间位置关系与平行垂直重难点题型 重难点题型 题型一 空间距离最短问题 例1. 在三棱锥中，，，一只蜗牛从点出发，绕三棱锥三个侧面爬行一周后，到棱的中点，则蜗牛爬行的最短距离是（）． A． B． C． D． 例2. 已知底面半径为1，体积为的圆柱，内接于一个高为的圆锥（如图），线段AB为圆锥底面的一条直径，则从点A绕圆锥的侧面到点B的最短距离为 . 题型二 点、线、面间位置关系判断及辨析 例1. 已知为两条不同直线，，为两个不同平面，则下列说法正确的是（    ） A．若直线与平面所成角相等，则 B．若平面上有三个不同点到平面的距离相等，则 C．若上有两个不同点到平面的距离相等，则 D．若，且直线异面，则 例2. （多选）已知a，b，c为三条直线，，，为三个平面．下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 题型三 线面平行的判定定理及性质定理的应用 例1. 如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积. 例2. 如图，已知等腰梯形ABCD中（图1），是BC的中点，，将沿着AE翻折（图2），使得直线AB与CD不在同一个平面，得到四棱锥 (1)求直线与所成的角的大小； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 题型四 面面平行的判定定理及性质定理的应用（解答题） 例1. 如图，在各棱长均为2的正三棱柱中，，，分别为，，的中点，. (1)求点到平面的距离； (2)证明：平面平面. 例2. 如图（1），在梯形PBCD中，，，A是PD中点，现将沿AB折起得图（2），点M是PD的中点，点N是BC的中点．    (1)求证：平面PAB； (2)在线段PC上是否存在一点E，使得平面平面PAB？若存在，请指出点E的位置并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 题型五 线面垂直的判定定理及性质定理的应用（解答题） 例1. 如图，在正方体中． (1)求证：∥平面； (2)求证：平面． 例2. 如图，平面，底面为矩形，，点是棱的中点. (1)求证：； (2)若，分别是，上的点，且，为上任意一点，试判断：三棱锥的体积是否为定值？若是，请证明并求出该定值；若不是，请说明理由. 题型六 面面垂直的判定定理及性质定理的应用（解答题） 例1. 如图，在三棱锥中，是等边三角形，，，，，，分别，的中点. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的余弦值. 例2. 如图，正三棱柱中，各棱长均相等，､､､分别为棱､､､的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值. 课后复习巩固练习 1. 如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC＝2，，A为锐角，侧棱PA＝PB＝PC＝2，一只小虫从A点出发，沿侧面绕棱锥爬行一周后回到A点，则小虫爬行的最短距离为（    ）    A． B． C． D． 2.（多选）已知，是不同平面，，，是不同直线，则“”的充分条件是（    ） A．，； B．，，； C．，，； D．，， 3. 如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离是 ． 4. 如图，正方体的棱长为2.    (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 5. 如图所示，三棱柱，是的中点，是的中点．求证： (1)//平面； (2)平面//平面D. 6. 在四棱锥中，底面是矩形，平面，分别是的中点. (1)求证：平面PAD； (2)求证：； (3)若PD与平面所成的角为，求证：平面. 7. 如图，圆柱中，是一条母线，是底面一条直径，C是的中点. (1)证明：平面平面； (2)若，求二面角的余弦值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$