专题7.3 复数的四则运算及三角表示重难点题型讲义（2个知识点+11大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学下册重难点专题提升精讲精练（人教A版必修第二册）

专题7.3 复数的四则运算及三角表示重难点题型专训 （2个知识点+11大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 复数加减法的代数运算 题型二 复数加减法几何意义的运用 题型三 复数的乘方 题型四 复数范围内方程的根 题型五 复数的除法运算 题型六 根据复数乘法运算结果求参数 题型七 根据除法运算结果求参数 题型八 共轭复数的概念及计算 题型九 复数的三角表示 题型十 复数乘、除运算的三角表示 题型十一 三角表示下复数的乘方与开方 拓展训练一 复数四则运算的相关求解 拓展训练二 三角表示的相关问题 知识点一： 复数的加、减法 1、加法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数， 规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i. 即两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加，显然两个复数的和仍然是复数． 注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形， 即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni， 则z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i. 2、加法运算律：复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的z1、z2、z3∈C， 有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 3、相反数：已知复数a＋bi(a，b∈R)，根据复数加法的定义， 存在唯一的复数－a－bi，使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi叫做a＋bi的相反数． 4、减法法则：规定两个复数的减法法则，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i. 即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数． 5、复数可以用向量来表示，已知复数z1＝x1＋y1i(x1、y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2、y2∈R)， 其对应的向量，， 如图1，且和不共线， 以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2， 根据向量的加法法则，对角线OZ所对应的向量， 而所对应的坐标是(x1＋x2，y1＋y2)， 这正是两个复数之和z1＋z2所对应的有序实数对． 6、复数的减法是加法的逆运算，如图2， 复数与向量等于）对应， 这就是复数减法的几何意义． 【注意】（1）根据复数加减法的几何意义知，两个复数对应向量的和向量所对应的复数就是这两个复数的和；两个复数对应向量的差向量所对应的复数就是这两个复数的差． （2）求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则． （3）在确定两复数的差所对应的向量时，应按照三角形法则进行． 拓展：由复数加减运算的几何意义可得出：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|. 【即时训练】 1．（25-26高一下·全国·课后作业）（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·新疆喀什·月考）复数的模为__________. 知识点二： 复数的乘、除法 1、运算法则：两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是把i2换成－1， 并把最后结果写成a＋bi(a、b∈R)的形式． 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)，则 z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 显然两个复数的积仍是复数． 2、复数乘法的运算律：对于任意z1、z2、z3∈C，有 （1）z1·z2＝z2·z1(交换律)； （2）(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)； （3）z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)． 【注意】实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立． 3、复数的乘方：复数的乘方也就是相同复数的乘积，根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立．即对复数z1、z2、z和自然数m、n有 zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝z·z，z0＝1；z－m＝(z≠0)． 【注意】实数范围内的乘方公式、运算律在复数范围内仍然成立． 4、虚数单位i的乘方 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1， 从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i. 5、规定两个复数除法的运算法则：（a、b、c、d∈R，c＋di≠0） 在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式， 再把分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，把分母变为实数，化简后就可得到所求结果． 【注意】（1）两个复数相除(除数不为0)，所得的商仍是一个复数． （2）z＝a＋bi(a，b∈R)，z·＝a2＋b2是复数除法运算中实现分母“实数化”的一个手段． 【即时训练】 1．（25-26高三上·云南保山·期末）复数等于（    ） A．16 B． C． D． 2．（25-26高一下·全国·单元测试）计算__________． 【经典例题一 复数加减法的代数运算】 【例1】（2025高二上·贵州·学业考试）已知复数（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 1．（25-26高一·全国·课后作业）已知、，且，若，则的最大值是（    ）． A．6 B．5 C．4 D．3 2．（25-26高二上·浙江·月考）若复数，则（   ） A．0 B．1 C． D． 3．（24-25高一下·福建三明·期末）设复数满足，且，则______. 4．（24-25高一下·江西南昌·月考）已知复数满足． (1)求； (2)比较与的大小． 【经典例题二 复数加减法几何意义的运用】 【例1】（24-25高一下·江苏常州·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·福建龙岩·期中）已知复数及复数． (1)求，并在复平面内用向量表示出其运算的几何意义； (2)求． 1．（25-26高三·北京·强基计划）在复平面中，所对应的复数分别为，且，的面积为S，则的面积为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 2．（24-25高一下·全国·课后作业）若向量分别表示复数，则=（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）已知分别是复数在复平面内对应的点，为坐标原点，若，则是___________三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）. 4．（2024高一下·全国·专题练习）（1）根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点，之间的距离. （2）求复平面内下列两个复数对应的两点之间的距离： ①； ②. 【经典例题三 复数的乘方】 【例1】（25-26高三上·陕西咸阳·月考）（    ） A． B． C．1 D． 【例2】（24-25高一上·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3))； (4)； (5). 1．（25-26高三上·江西鹰潭·月考）数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（，为虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，化简的结果为（    ） A．2 B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·河北·月考）若复数满足，且，则可能是（    ） A． B． C．-1 D． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）________． 4．（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知虚数是关于的方程的一个根（i是虚数单位，）． (1)求的值； (2)求证：；并求的值． 【经典例题四 复数范围内方程的根】 【例1】（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）已知是关于的方程在复数范围内的一个根，则实数（    ） A．4 B． C．2 D． 【例2】（24-25高一下·山东济宁·月考）已知为方程，的二个根． (1)求实数a，b的值； (2)猜测方程的另外一个根，并给出证明． 1．（25-26高三上·黑龙江·月考）已知是实数，是关于的方程的一个根，则（ ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·贵州黔东南·期中）若复数是关于的方程的两根，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海松江·月考）已知方程的两虚根为、，若，则实数的值为_____ 4．（24-25高一下·上海·期末）设，是实系数一元二次方程的两个虚根，且，满足：，求实数，的值． 【经典例题五 复数的除法运算】 【例1】（2026高三·四川·专题练习）复数（ ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）复数，求的值． 1．（2026·宁夏银川·一模）若（）为纯虚数，则（   ） A． B．2 C． D．4 2．（25-26高三上·浙江·期末）设复数满足，则（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（2025·河南信阳·模拟预测）若复数，则_____. 4．（24-25高一下·河南·月考）（1）求的值； （2）若关于x 的一元二次方程 的一个根是 其中，是虚数单位，求的值. 【经典例题六 根据复数乘法运算结果求参数】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）若，且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·福建三明·期中）已知复数． (1)若，求a的值； (2)求的最小值， 1．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）在复平面内，是原点，已知向量，向量对应的复数分别是，，且，则（    ） A． B．1 C．或1 D．0 2．（多选）（25-26高二上·云南保山·期末）若复数，则的值可以是（   ） A．1 B． C． D． 3．（24-25高一下·上海徐汇·月考）方程的两个虚根为，且，则实数的值是______. 4．（24-25高二上·上海徐汇·期末）（1）解方程：； （2）已知是方程的一个根，求实数、的值． 【经典例题七 根据除法运算结果求参数】 【例1】（24-25高三下·四川成都·开学考试）已知复数，，则（    ） A． B． C．0 D．1 【例2】（24-25高二下·河南南阳·期中）已知是虚数单位，复数满足. （1）求； （2）若复数的虚部为2，且是实数，求. 1．（24-25高二下·四川绵阳·月考）已知为虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则实数的值为（    ） A．－3 B．－1 C．1 D．3 2．（2025·河南·模拟预测）已知是虚数单位，若复数的实部是虚部的2倍，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏扬州·期中）实数满足，则_____． 4．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）已知复数，其中为虚数单位． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若，设，试求的值． 【经典例题八 共轭复数的概念及计算】 【例1】（2026·四川巴中·一模）已知复数 满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·上海·月考）已知是关于的方程的一个根，其中，为实数． (1)求的值； (2)设复数满足是纯虚数，求实数的值． 1．（25-26高三上·甘肃嘉峪关·月考）已知复数，则 （    ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高二上·河北邢台·开学考试）已知复数，则（   ） A． B．的共轭复数为 C． D． 3．（25-26高三上·天津南开·月考）设是虚数单位，则复数的共轭复数__________. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内画出下列复数对应的向量，并求出各复数的共轭复数． ；；；． 【经典例题九 复数的三角表示】 【例1】（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）下列复数与复数相等的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一下·全国·课后作业）将以下复数表示为三角形式（辐角取主值）： (1)； (2)； (3)． 1．（24-25高一下·四川达州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（2025高一·全国·专题练习）将复数化为三角形式正确的是（　   　） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海普陀·期末）已知复数满足．若是实系数一元二次方程的一个根，则______． 4．（25-26高一下·全国·课后作业）写出下列复数的辐角的主值． (1)； (2)． 【经典例题十 复数乘、除运算的三角表示】 【例1】（24-25高一·全国·课后作业）计算的值是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024高一下·江苏·专题练习）化简下列各式： (1) ； (2) 1．（25-26高一下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·辽宁·期末）把复数z1与z2对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数式和它的辐角主值分别是（    ） A．， B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）___________. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）计算下列各式： (1)； (2)； (3). 【经典例题十一 三角表示下复数的乘方与开方】 【例1】（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知，则在下列表达式中表示的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）设复数，求证： (1)，，1都是1的立方根； (2)． 1．（24-25高二下·广西·月考）若，则（    ） A．1 B． C． D． 2．（多选）（24-25高三上·云南·月考）设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式，其中为复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角（也被称为的辐角）．利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现，我们称这个结论为棣莫佛定理，根据以上信息，若复数满足，则可能的取值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）任何一个复数都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．计算______． 4．（2026高一·全国·专题练习）设，求和. 【拓展训练一 复数四则运算的相关求解】 【例1】（2026高三·全国·专题练习）已知为虚数单位，且复数满足，则＝（    ） A．1 B．2 C． D． 【例2】（24-25高一下·江苏常州·期中）在复平面内，复数对应的点在第四象限，设． (1)若，求； (2)若，求． 1．（25-26高三上·河南驻马店·期末）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D．5 2．（多选）（24-25高二下·江苏南京·期末）已知复数，，下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 3．（25-26高二上·湖南·期末）欧拉公式是由数学家欧拉发现的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，若，则__________． 4．（24-25高二下·上海宝山·期末）设关于复数x的方程. （1）若，，，求复数x； （2）设，，如果，且方程有实根，求复数a. 【拓展训练二 三角表示的相关问题】 【例1】（2025·辽宁·模拟预测）（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）求的立方根． 1．（2024·湖北·高考真题）复数的值是（    ） A． B．16 C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知为虚数单位，，则下列选项不是的三角形式的有（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海浦东新·期末）将复数在复平面上所对应的向量绕原点按顺时针方向旋转得到向量，那么对应的复数是_________. 4．（25-26高一下·全国·课后作业）回答下面两题 (1)求证：； (2)写出下列复数z的倒数的模与辐角： ①；②；③． 1．（25-26高一下·全国·单元测试）若，其中，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·浙江台州·期末）已知虚数，是方程的两个不同的根，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·江苏泰州·开学考试）已知复数z满足（其中i为虚数单位），则（   ） A．2 B． C． D． 4．（25-26高三下·安徽·开学考试）设，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·全国·课后作业）复数，的共轭复数是，在复平面内，复数对应的点为，与为定点，则函数取最大值时，在复平面上以，A，B三点为顶点的图形是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 6．（多选）（24-25高一下·甘肃平凉·月考）已知复数在复平面上对应的点的坐标为，则下列结论错误的是（    ） A．是实数 B．是纯虚数 C．是实数 D．是纯虚数 7．（多选）（2026·山西运城·一模）已知复数，且（），则（   ） A． B． C． D． 8．（多选）（24-25高一下·安徽合肥·期末）下列说法正确的是（    ） A．对于复数，若，则 B．若互为共轭复数，则为实数 C．若是关于的二次方程的根，则 D．复数满足，则的最小值是 9．（多选）（25-26高三上·重庆·期中）已知 ，复数 满足 ，则（    ） A． B． C． D．的最大值为 2 10．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列复数不是三角形式的是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·全国·课后作业）已知复数，，若，则实数的取值范围为_________． 12．（2025高三上·湖南常德·专题练习）已知为虚数单位，，则______． 13．（25-26高三上·上海宝山·月考）设，i为虚数单位，若是关于x的二次方程的一个虚根，则=______ 14．（25-26高一下·全国·课堂例题）若复数，，且与互为共轭复数，则的模为___________． 15．（2025·上海徐汇·二模）若方程x2﹣2x+3＝0的两个根为α和β，则|α|+|β|＝_____． 16．（24-25高一下·山东菏泽·期中）复数． (1)实数取什么值时，复数是实数？纯虚数？ (2)若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． (3)若，求的取值范围． 17．（25-26高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 18．（24-25高三上·江苏徐州·月考）已知复数，为z的共轭复数，且． (1)求m的值； (2)若是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求该一元二次方程的另一复数根． 19．（2025高三·全国·专题练习）已知复数满足． (1)若，求； (2)若，求证：． 20．（24-25高一下·福建福州·期末）在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点．它们还有如下性质： (1)设，，求证：是实数； (2)已知，，，求的值； (3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.3 复数的四则运算及三角表示重难点题型专训 （2个知识点+11大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 复数加减法的代数运算 题型二 复数加减法几何意义的运用 题型三 复数的乘方 题型四 复数范围内方程的根 题型五 复数的除法运算 题型六 根据复数乘法运算结果求参数 题型七 根据除法运算结果求参数 题型八 共轭复数的概念及计算 题型九 复数的三角表示 题型十 复数乘、除运算的三角表示 题型十一 三角表示下复数的乘方与开方 拓展训练一 复数四则运算的相关求解 拓展训练二 三角表示的相关问题 知识点一： 复数的加、减法 1、加法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数， 规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i. 即两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加，显然两个复数的和仍然是复数． 注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形， 即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni， 则z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i. 2、加法运算律：复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的z1、z2、z3∈C， 有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 3、相反数：已知复数a＋bi(a，b∈R)，根据复数加法的定义， 存在唯一的复数－a－bi，使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi叫做a＋bi的相反数． 4、减法法则：规定两个复数的减法法则，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i. 即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数． 5、复数可以用向量来表示，已知复数z1＝x1＋y1i(x1、y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2、y2∈R)， 其对应的向量，， 如图1，且和不共线， 以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2， 根据向量的加法法则，对角线OZ所对应的向量， 而所对应的坐标是(x1＋x2，y1＋y2)， 这正是两个复数之和z1＋z2所对应的有序实数对． 6、复数的减法是加法的逆运算，如图2， 复数与向量等于）对应， 这就是复数减法的几何意义． 【注意】（1）根据复数加减法的几何意义知，两个复数对应向量的和向量所对应的复数就是这两个复数的和；两个复数对应向量的差向量所对应的复数就是这两个复数的差． （2）求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则． （3）在确定两复数的差所对应的向量时，应按照三角形法则进行． 拓展：由复数加减运算的几何意义可得出：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|. 【即时训练】 1．（25-26高一下·全国·课后作业）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复数的加法、减法运算结合模长公式即可求解. 【详解】 ， 故选：D 2．（24-25高一下·新疆喀什·月考）复数的模为__________. 【答案】 【分析】根据复数的加减运算化简复数，利用复数模的计算公式可得结果. 【详解】∵， ∴复数的模为. 故答案为：. 知识点二： 复数的乘、除法 1、运算法则：两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是把i2换成－1， 并把最后结果写成a＋bi(a、b∈R)的形式． 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)，则 z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 显然两个复数的积仍是复数． 2、复数乘法的运算律：对于任意z1、z2、z3∈C，有 （1）z1·z2＝z2·z1(交换律)； （2）(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)； （3）z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)． 【注意】实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立． 3、复数的乘方：复数的乘方也就是相同复数的乘积，根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立．即对复数z1、z2、z和自然数m、n有 zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝z·z，z0＝1；z－m＝(z≠0)． 【注意】实数范围内的乘方公式、运算律在复数范围内仍然成立． 4、虚数单位i的乘方 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1， 从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i. 5、规定两个复数除法的运算法则：（a、b、c、d∈R，c＋di≠0） 在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式， 再把分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，把分母变为实数，化简后就可得到所求结果． 【注意】（1）两个复数相除(除数不为0)，所得的商仍是一个复数． （2）z＝a＋bi(a，b∈R)，z·＝a2＋b2是复数除法运算中实现分母“实数化”的一个手段． 【即时训练】 1．（25-26高三上·云南保山·期末）复数等于（    ） A．16 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数除法和乘方法则进行求解即可. 【详解】由. 故选：D 2．（25-26高一下·全国·单元测试）计算__________． 【答案】2 【分析】根据复数的除法及乘方运算法则计算求解即可. 【详解】原式． 故答案为：2. 【经典例题一 复数加减法的代数运算】 【例1】（2025高二上·贵州·学业考试）已知复数（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的加法计算. 【详解】， . 故选：C. 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据题意由复数的加减法运算法则，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）； （2）； （3） 1．（25-26高一·全国·课后作业）已知、，且，若，则的最大值是（    ）． A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】设，得到，，计算得到，根据范围得到最值. 【详解】设，，故，，则， ， ，当时，有最大值为4. 故选：C 2．（25-26高二上·浙江·月考）若复数，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的加法法则和模长公式求解即可. 【详解】复数，则. 故选：B. 3．（24-25高一下·福建三明·期末）设复数满足，且，则______. 【答案】 【分析】设，根据题意列方程组即可计算. 【详解】设，所以，由， 所以， 因为， 所以， 故答案为：. 4．（24-25高一下·江西南昌·月考）已知复数满足． (1)求； (2)比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，代入化简，再根据复数相等的条件列方程组可求出，从而可求出复数； （2）将分别代入计算即可. 【详解】（1）设， 则由，得， 即，所以 解得， 所以． （2）， ， 因为， 所以， 所以． 【经典例题二 复数加减法几何意义的运用】 【例1】（24-25高一下·江苏常州·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数加减运算的几何意义运算求解. 【详解】在复平面中，设分别与向量对应， 由题意可得，， 因为， 即，解得，即. 故选：B. 【例2】（24-25高一下·福建龙岩·期中）已知复数及复数． (1)求，并在复平面内用向量表示出其运算的几何意义； (2)求． 【答案】(1)-2-i，作图见解析 (2) 【分析】（1）利用复数的减法运算和复数的几何意义求解； （2）利用复数的模的运算求解. 【详解】（1）解：复数． 如图，． （2）． 1．（25-26高三·北京·强基计划）在复平面中，所对应的复数分别为，且，的面积为S，则的面积为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【答案】D 【分析】利用复数加法的几何意义可求的面积. 【详解】设对应的点分别为，，则四边形为平行四边形， 如图分割该平行四边形，即平行四边形的面积为， 的面积，所以， 则， 故的面积为， 故选：D. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）若向量分别表示复数，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数减法的几何意义求得，再根据模长公式即可求解. 【详解】因为，又向量分别表示复数， 所以表示复数， 所以. 故选：B 3．（25-26高一下·全国·课后作业）已知分别是复数在复平面内对应的点，为坐标原点，若，则是___________三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）. 【答案】直角 【解析】由题可知,则以为邻边的平行四边形的对角线的长度相等,即可求解 【详解】因为, 所以, 故以为邻边的平行四边形的对角线的长度相等,即该平行四边形为矩形, 所以是直角三角形 故答案为:直角 【点睛】本题考查复数的几何意义的应用,考查数形结合思想 4．（2024高一下·全国·专题练习）（1）根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点，之间的距离. （2）求复平面内下列两个复数对应的两点之间的距离： ①； ②. 【答案】（1）（2）①；②5 【分析】（1）利用复数的几何意义化简，找到对应向量，求解向量的模即可. （2）找到对应的点坐标，再利用两点间距离公式求解即可. 【详解】（1）因为复平面内的点， 对应的复数分别为，， 所以点，之间的距离为 . （2）①易知对应的坐标为，对应的坐标为，设两点间距离为， 由两点间距离公式得； ②易知对应的坐标为，对应的坐标为，设两点间距离为， 由两点间距离公式得. 【经典例题三 复数的乘方】 【例1】（25-26高三上·陕西咸阳·月考）（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】由复数的运算求得结果. 【详解】. 故选：B. 【例2】（24-25高一上·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3))； (4)； (5). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）（2）（3）（4）根据复数的乘法运算可得答案； （5）根据的性质、复数的乘方运算可得答案；. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5） . 1．（25-26高三上·江西鹰潭·月考）数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（，为虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，化简的结果为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据（，为虚数单位），分别求得即可. 【详解】解：因为， 又， 所以. 故选：B. 2．（多选）（24-25高一下·河北·月考）若复数满足，且，则可能是（    ） A． B． C．-1 D． 【答案】ABC 【分析】应用复数乘法运算律计算求解判断各个选项. 【详解】，A选项正确； ，B选项正确； ，C选项正确； ，D选项不正确； 故选：ABC. 3．（25-26高一下·全国·课后作业）________． 【答案】 【分析】利用复数的乘方运算求解. 【详解】; 故答案为： 4．（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知虚数是关于的方程的一个根（i是虚数单位，）． (1)求的值； (2)求证：；并求的值． 【答案】(1) (2)证明见解析；. 【分析】（1）由虚数是关于的方程的一个根，代入由复数相等求解即可； （2）由（1）可知，，然后证明即可，由，即可求得. 【详解】（1）虚数是关于的方程的一个根，， 所以，整理得：， ，由，解得， 所以. （2）证明：由（1）可知，，， ， 所以， ， 所以 【经典例题四 复数范围内方程的根】 【例1】（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）已知是关于的方程在复数范围内的一个根，则实数（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用实系数一元二次方程两虚根共轭，得到方程另一根，最后利用韦达定理得到答案. 【详解】是方程的一个根，是方程的另一个根. 则由韦达定理得：，解得：， 故选：B 【例2】（24-25高一下·山东济宁·月考）已知为方程，的二个根． (1)求实数a，b的值； (2)猜测方程的另外一个根，并给出证明． 【答案】(1)； (2)猜测第三个根为，证明见解析. 【分析】（1）由题设知是的一个根，代入方程即可求参数； （2）根据（1）第三个根一定是的根，利用求根公式求解，即可证. 【详解】（1）由题设，易知是的一个根， 把代入方程，得， ，解得． （2）由题设，猜测第三个根为， 对于方程，得． 所以方程的第三个根分别是． 1．（25-26高三上·黑龙江·月考）已知是实数，是关于的方程的一个根，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】是方程的根，代入方程求解即可. 【详解】因为是关于的方程的一个根， 所以，所以，解得， 故选：C 2．（多选）（24-25高一下·贵州黔东南·期中）若复数是关于的方程的两根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据韦达定理，以及复数运算公式，即可求解. 【详解】由题意可得解得，则，，故A，B，C正确，D错误. 故选：ABC 3．（24-25高一下·上海松江·月考）已知方程的两虚根为、，若，则实数的值为_____ 【答案】 【分析】由求根公式得，解方程即可求解. 【详解】因为方程的两虚根为、，则, 若， 则， 解得，适合题意， 故答案为：. 4．（24-25高一下·上海·期末）设，是实系数一元二次方程的两个虚根，且，满足：，求实数，的值． 【答案】 【分析】设，，代入，根据复数相等计算得，再利用韦达定理计算即可. 【详解】因为，是实系数一元二次方程的两个虚根， 故设，， 因为，满足：， 所以， 化简得， 所以 所以，， 所以，. 【经典例题五 复数的除法运算】 【例1】（2026高三·四川·专题练习）复数（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的除法运算法则，求解即可. 【详解】． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）复数，求的值． 【答案】0 【分析】根据复数的除法运算先求，利用复数的四则运算即可求解. 【详解】由题意有：， 所以． 故答案为：0. 1．（2026·宁夏银川·一模）若（）为纯虚数，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【详解】， 因为为纯虚数， 所以，且， 所以. 2．（25-26高三上·浙江·期末）设复数满足，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据复数的四则运算计算即可. 【详解】由题意得， 故. 故选：A. 3．（2025·河南信阳·模拟预测）若复数，则_____. 【答案】 【分析】根据复数的乘法即除法运算可求复数，再利用模长公式求模长即可. 【详解】， ， 故答案为：. 4．（24-25高一下·河南·月考）（1）求的值； （2）若关于x 的一元二次方程 的一个根是 其中，是虚数单位，求的值. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）先对和进行化简，再根据指数幂运算法则计算； （2）将根代入方程，根据复数相等列出方程组求解、的值即可计算. 【详解】（1） （2）由题意得 因为，所以 解得 所以 【经典例题六 根据复数乘法运算结果求参数】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）若，且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的乘法运算和相等复数的性质，求出，再根据，得出，从而可求出的取值范围. 【详解】解：因为， 所以， 所以，解得：， 因为，所以，解得：或， 则实数的取值范围是. 故选：B. 【例2】（24-25高一下·福建三明·期中）已知复数． (1)若，求a的值； (2)求的最小值， 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据复数的运算，化简得到，列出方程，即可求解； （2）根据复数模的公式，化简得到，进而求得有最小值. 【详解】（1）解：由复数， 可得， 所以，解得或． （2）解：由复数， 可得， 所以当时，有最小值，最小值为. 1．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）在复平面内，是原点，已知向量，向量对应的复数分别是，，且，则（    ） A． B．1 C．或1 D．0 【答案】B 【分析】先写出，的代数形式，根据列方程组求解. 【详解】∵向量，向量对应的复数分别是，， ∴，. 又∵， ∴，解得， 故选： 2．（多选）（25-26高二上·云南保山·期末）若复数，则的值可以是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据复数的乘法运算计算即可. 【详解】因为，所以， 所以，解得或， 则或． 3．（24-25高一下·上海徐汇·月考）方程的两个虚根为，且，则实数的值是______. 【答案】/. 【分析】由题意得求出的范围，再设，则，然后利用根与系数的关系结合已知条件可求出的. 【详解】因为方程的两个虚根为， 所以，解得， 设，则， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 故答案为：. 4．（24-25高二上·上海徐汇·期末）（1）解方程：； （2）已知是方程的一个根，求实数、的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）设，直接代入求解即可. （2）将代入方程即可求解. 【详解】（1）， 设， ， 即 ， 当时，；当b=0时，a=0； 即或 （2）是方程的一个根， 即， 整理可得， 即，解得. 【经典例题七 根据除法运算结果求参数】 【例1】（24-25高三下·四川成都·开学考试）已知复数，，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】由复数除法法则求得复数z即可求得的值. 【详解】由，可得 又，则，则 故选：B 【例2】（24-25高二下·河南南阳·期中）已知是虚数单位，复数满足. （1）求； （2）若复数的虚部为2，且是实数，求. 【答案】(1)；(2). 【详解】分析：（1）根据题意，利用复数的除法运算，求解复数，进而求得复数的模； （2）设,由是实数，求解的值，即可求解复数． 详解：（1）． （2）设, 则, 是实数∴． ∴． 1．（24-25高二下·四川绵阳·月考）已知为虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则实数的值为（    ） A．－3 B．－1 C．1 D．3 【答案】A 【分析】根据复数的除法运算，求得的实部和虚部，解方程即可求得答案. 【详解】由题意可得， 故，解得 ， 故选：A 2．（2025·河南·模拟预测）已知是虚数单位，若复数的实部是虚部的2倍，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的除法运算求得复数的实部和虚部，由题意列式，求得答案. 【详解】，所以， 解得， 故选：B. 3．（24-25高一下·江苏扬州·期中）实数满足，则_____． 【答案】1 【分析】根据复数的除法运算化简，结合复数相等，求得答案. 【详解】由得：， 即 ，故， 故答案为：1 4．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）已知复数，其中为虚数单位． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若，设，试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数的定义求解即可； （2）由，则，再通过复数的乘除法计算即可. 【详解】（1）由题意可得：，且， 解得， 所以的值为； （2）若m＝2，则， 所以， 所以，， 所以. 【经典例题八 共轭复数的概念及计算】 【例1】（2026·四川巴中·一模）已知复数 满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据复数的除法运算求出，然后根据共轭复数的概念求出结果. 【详解】因为复数 满足 ，所以. 所以. 故选：D. 【例2】（24-25高一下·上海·月考）已知是关于的方程的一个根，其中，为实数． (1)求的值； (2)设复数满足是纯虚数，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据实系数一元二次方程的虚根成对出现，求出方程的另一个根，再利用韦达定理求出、的值，进而求得； （2）先计算，再根据纯虚数的实部为且虚部不为来确定实数的值. 【详解】（1）对于实系数一元二次方程，若复数是方程的根，则其共轭复数也是方程的根. 已知是方程（为实数 ）的一个根， 那么z的共轭复数也是该方程的根. 根据韦达定理，在一元二次方程中，两根之和，两根之积. 计算的值：，所以，即. 计算的值：， 因为，所以，所以. 所以. （2）已知，计算： 因为是纯虚数，根据纯虚数的定义：实部为，虚部不为. 则有 解，可得 当时，，满足条件. 所以实数的值为. 1．（25-26高三上·甘肃嘉峪关·月考）已知复数，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的运算法则和共轭复数定义计算即可 【详解】 . 则共轭复数. 故选：D. 2．（多选）（25-26高二上·河北邢台·开学考试）已知复数，则（   ） A． B．的共轭复数为 C． D． 【答案】AC 【分析】利用复数的除法运算化简，再结合共轭复数和模的定义依次判断ABC选项；根据虚数无法比大小可判断D. 【详解】，故A正确； 的共轭复数为，故B错误； ，故C正确； 虚数无法比大小，故D错误. 故选：AC 3．（25-26高三上·天津南开·月考）设是虚数单位，则复数的共轭复数__________. 【答案】 【分析】利用复数的除法求出，利用共轭复数的定义求出. 【详解】， . 故答案为：. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内画出下列复数对应的向量，并求出各复数的共轭复数． ；；；． 【答案】作图见解析，；；； 【分析】确定复数在复平面内对应的点即可画出对应的向量，再结合共轭复数的概念即可解题. 【详解】在复平面内分别画出点，，，， 则向量，，，分别为复数，，，对应的向量，如图所示． ；；；． 【经典例题九 复数的三角表示】 【例1】（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）下列复数与复数相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的除法运算化简，再转化为三角形式，从而确定正确答案. 【详解】由题设， ， 故A，C，D错误，B正确． 故选：B 【例2】（25-26高一下·全国·课后作业）将以下复数表示为三角形式（辐角取主值）： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用复数与其三角形式间的转化公式可得答案. 【详解】（1）因为， ，，所以， 所以． （2）因为，， 所以，所以 （3）原式 ． 1．（24-25高一下·四川达州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，配方得，进而得，，解得，结合即可． 【详解】由题知，，即， ， ，又时，， ，即， ， 得，即， ． 故选：D． 2．（多选）（2025高一·全国·专题练习）将复数化为三角形式正确的是（　   　） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由复数的三角形式逐个判断即可. 【详解】 所以辅角主值为，辅角为， 结合选项令，可得辅角为，BC两种情况不存在， 故选：AD. 3．（24-25高一下·上海普陀·期末）已知复数满足．若是实系数一元二次方程的一个根，则______． 【答案】 【分析】根据题意求出，然后根据是实系数一元二次方程的一个根即可求解. 【详解】设，因为， 所以，且复数在第一象限， 又复数满足，所以， 因为是实系数一元二次方程的一个根， 则有，也即， 所以，则， 故答案为：. 4．（25-26高一下·全国·课后作业）写出下列复数的辐角的主值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出复数的模，将复数的代数形式转化为三角形式，从而得到和的值，根据辐角主值的范围得到辐角主值. （2）分别按照和讨论求解. 【详解】（1）， ，， 设， 则，． 设辐角主值为，，， 即复数的辐角的主值． （2）当时，，， ，， 复数的辐角的主值； 当时，，， ，， 复数的辐角的主值． 综上所述，当时，复数的辐角的主值； 当时，复数的辐角主值． 【经典例题十 复数乘、除运算的三角表示】 【例1】（24-25高一·全国·课后作业）计算的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的三角运算公式运算即可. 【详解】因为 所以， 所以， 故选：B. 【例2】（2024高一下·江苏·专题练习）化简下列各式： (1) ； (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】利用复数三角形式的乘法除法法则，化简求值. 【详解】（1） ； （2） . 1．（25-26高一下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数乘法的三角表示公式计算即可. 【详解】因为，所以 . 故选：C. 2．（24-25高一下·辽宁·期末）把复数z1与z2对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数式和它的辐角主值分别是（    ） A．， B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可知，即可求出，再根据对应的坐标即可得出它的辐角主值. 【详解】由题可知， 则， ， 可知对应的坐标为，则它的辐角主值为. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的三角形式，属于基础题. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）___________. 【答案】 【分析】利用三角形式的复数乘法运算求解. 【详解】. 故答案为： 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）计算下列各式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据复数三角形式的乘法运算直接求解即可. 【详解】（1）原式 . （2）原式. （3） . 【经典例题十一 三角表示下复数的乘方与开方】 【例1】（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知，则在下列表达式中表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题设的表达式求出的表达式，再代入选项逐一检验即得. 【详解】因，则， 对于A，，故A项正确； 对于B， ，故B项错误； 对于C，，故C项错误； 对于D，由B项知，，故D项错误. 故选：A. 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）设复数，求证： (1)，，1都是1的立方根； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）写出复数的三角形式，利用三角形式进行计算即可证明； （2）利用复数的三角运算求出，进而可得的值. 【详解】（1） ， ， ， 所以，，1都是1的立方根； （2）， 1．（24-25高二下·广西·月考）若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】首先用三角形式表示复数，利用复数三角形式的乘方运算求得，，再求出目标式的值. 【详解】由， 所以，， 综上，. 故选：A 2．（多选）（24-25高三上·云南·月考）设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式，其中为复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角（也被称为的辐角）．利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现，我们称这个结论为棣莫佛定理，根据以上信息，若复数满足，则可能的取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据棣莫佛定理可得的一般形式，故可得正确的选项. 【详解】设，其中，则， 故，， ∵，∴，故，则 故，则， 故，故BD正确，AC错误； 故选：BD. 3．（2025高三·全国·专题练习）任何一个复数都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．计算______． 【答案】 【分析】根据，即可根据棣莫弗定理求解. 【详解】因为， 所以 ， 故答案为：． 4．（2026高一·全国·专题练习）设，求和. 【答案】；的值有，，， 【分析】将转化为三角形式后，利用幂的几何意义计算即可得. 【详解】由， 故， 则，， 则，， ，. 【拓展训练一 复数四则运算的相关求解】 【例1】（2026高三·全国·专题练习）已知为虚数单位，且复数满足，则＝（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的除法、乘方运算求出，再根据复数的模长求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以 所以 所以. 答案：A 【例2】（24-25高一下·江苏常州·期中）在复平面内，复数对应的点在第四象限，设． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据复数除法运算和加减法运算化简，再根据复数的分类列出方程组，解之即可； （2）根据，可得等式左边化简后得复数虚部等于零，可得出关系，再根据复数的模的计算公式即可得解. 【详解】（1）设， 由，得， 即，整理得， 因为，即， 所以，解得， 所以； （2）由（1）结合， 可得，所以， 所以. 1．（25-26高三上·河南驻马店·期末）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】根据复数的四则运算计算即可. 【详解】由得，，整理得， 所以，则， 所以. 故选：A. 2．（多选）（24-25高二下·江苏南京·期末）已知复数，，下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 【答案】AC 【分析】设，，根据共轭复数及复数相等的充要条件判断A、C，利用特殊值判断B、D. 【详解】设，，则，， 对于A：因为，所以，即，所以，故A正确； 对于B：令，，则， 但是，所以，故B错误； 对于C：因为，， 所以，故C正确； 对于D：令，，满足，但是，故D错误. 故选：AC 3．（25-26高二上·湖南·期末）欧拉公式是由数学家欧拉发现的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，若，则__________． 【答案】 【分析】根据欧拉公式即可求解，进而根据复数的乘法运算即可求解. 【详解】由欧拉公式得，故． 故答案为： 4．（24-25高二下·上海宝山·期末）设关于复数x的方程. （1）若，，，求复数x； （2）设，，如果，且方程有实根，求复数a. 【答案】（1）；（2）或. 【分析】(1)把给定值代入方程，利用配方法解方程即得； (2)设出复数a的代数形式并代入方程，化简整理，借助复数为0列式，结合进行分析求解即得. 【详解】（1）若，，，则原方程为， 即，解得， 所以复数； （2）由已知可得，原方程为， 设，且方程的实根为， 而，即， 又，整理得， 因，从而得， 若，则，解得， 当时，方程无实数解，当时，方程有实数解， 于是得， 若，则由可知：或2， 由方程知：，则有，代入得：，解得， 又因，即得，于是有， 综上，复数或. 【拓展训练二 三角表示的相关问题】 【例1】（2025·辽宁·模拟预测）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的乘方运算以及其三角形式的运算即可得到答案. 【详解】 ， 故选：A. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）求的立方根． 【答案】． 【分析】根据复数的三角形式先表示，利用复数乘除法的三角表示即可求解. 【详解】由题意有， 所以， 它的立方根是：． 时，这三个方根分别是：． 1．（2024·湖北·高考真题）复数的值是（    ） A． B．16 C． D． 【答案】A 【分析】应用复数的三角形式的乘方、除法运算化简求值即可. 【详解】. 故选：A 2．（2025高三·全国·专题练习）已知为虚数单位，，则下列选项不是的三角形式的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】应用复数三角形式的乘法运算求即可得答案. 【详解】由， 所以， 所以A、B、C不对，D对. 故选：ABC 3．（24-25高一下·上海浦东新·期末）将复数在复平面上所对应的向量绕原点按顺时针方向旋转得到向量，那么对应的复数是_________. 【答案】 【分析】根据复数的三角形式运算即可求解. 【详解】复数的三角形式是, 向量对应的复数是. 故答案为： 4．（25-26高一下·全国·课后作业）回答下面两题 (1)求证：； (2)写出下列复数z的倒数的模与辐角： ①；②；③． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】（1）证法1，按照复数三角形式的除法运算法则计算； 证法2，等价转化为证明两个复数相乘； （2）将复数化成三角形式，用（1）的结论求出，再化为三角形式. 【详解】（1）证法1：左边右边 证法2： ， ∴原等式成立. （2）①时， ， 的模为，辐角为. ②时， . 的模为1，辐角为. ③时， ， 的模为1，辐角为. 1．（25-26高一下·全国·单元测试）若，其中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数的四则运算求出，的值，再由模的概念求解即可. 【详解】因为， 所以，则，， 故， 故选：C． 2．（24-25高一下·浙江台州·期末）已知虚数，是方程的两个不同的根，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先因式分解得，即为的两个根，从而依次判断选项. 【详解】根据题意，， 令，其中， 由于为虚数，故为的两个根，且为， 不妨设， 则，， 则， 故只有B正确. 故选：B 3．（25-26高三下·江苏泰州·开学考试）已知复数z满足（其中i为虚数单位），则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】借助复数运算法则先计算出后利用复数模长公式计算即可得. 【详解】由，则，即， 则，故，故. 4．（25-26高三下·安徽·开学考试）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的除法运算化简可得，再由共轭复数的概念可解. 【详解】因为， 所以． 故选：C 5．（24-25高一下·全国·课后作业）复数，的共轭复数是，在复平面内，复数对应的点为，与为定点，则函数取最大值时，在复平面上以，A，B三点为顶点的图形是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】利用复数的三角形式，可得，可求的最大值，进而求得，计算可判断图形的形状. 【详解】，．， ， 当时，取得最大值， 即当，，即，时，取最大值， 此时，． 又，， ． ． 又， ，且， 该图形为等腰三角形． 故选：D． 6．（多选）（24-25高一下·甘肃平凉·月考）已知复数在复平面上对应的点的坐标为，则下列结论错误的是（    ） A．是实数 B．是纯虚数 C．是实数 D．是纯虚数 【答案】ACD 【分析】根据复数的几何意义确定复数，再根据复数运算与复数的基本概念逐项判断即可. 【详解】∵复数在复平面上对应的点的坐标为， ∴复数， ∵是纯虚数，故A项不正确，B项正确； ∵不是实数，也不是纯虚数，故C，D项都不正确. 故选：ACD. 7．（多选）（2026·山西运城·一模）已知复数，且（），则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据复数的加减法运算将已知等式化简，根据复数相等则虚部、实部分别相等列方程组求解即可. 【详解】因为，所以， 又，所以，即， 所以，解得. 8．（多选）（24-25高一下·安徽合肥·期末）下列说法正确的是（    ） A．对于复数，若，则 B．若互为共轭复数，则为实数 C．若是关于的二次方程的根，则 D．复数满足，则的最小值是 【答案】BC 【分析】对于A，通过举特例可判断选项正误；对于B，由共轭复数概念可判断选项正误；对于C，将代入方程结合复数相等定义可判断选项正误；对于D，设，由题可得，然后由三角变换可得最小值. 【详解】对于A，取，，可得，，故A错误； 对于B，因互为共轭复数，设，则，从而为实数，故B正确； 对于C，将代入方程可得，则，故C正确； 对于D，设，则，令，. 则 ，当且仅当，即时取等号，故D错误. 故选：BC 9．（多选）（25-26高三上·重庆·期中）已知 ，复数 满足 ，则（    ） A． B． C． D．的最大值为 2 【答案】ACD 【分析】利用复数的乘方、乘法运算，结合共轭复数及复数的几何意义逐项求解判断. 【详解】对于A，，得， 则，A正确； 对于B，由选项A知，，即，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，由，得在复平面内对应点在以为圆心，1为半径的圆上， 所以的最大值为，D正确. 故选：ACD 10．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列复数不是三角形式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据复数的三角形式基本格式对选项逐一判断即可得出结论. 【详解】对于A，易知复数的三角形式为，显然A不符合该形式，即A不是复数的三角形式； 对于B，因为，显然，因此辐角主值应为，因此B不是复数的三角形式； 对于C，显然符合复数的三角形式； 对于D，易知，由于，辐角主值应为，因此D不是复数的三角形式； 故选：ABD 11．（24-25高一下·全国·课后作业）已知复数，，若，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【分析】根据复数的加法运算结合复数的概念可得，运算求解即可. 【详解】由题意可得：， 因为，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 12．（2025高三上·湖南常德·专题练习）已知为虚数单位，，则______． 【答案】/ 【分析】结合复数的乘法运算及共轭复数的性质，利用复数模的运算性质求解即可. 【详解】由题意，得. 故答案为： 13．（25-26高三上·上海宝山·月考）设，i为虚数单位，若是关于x的二次方程的一个虚根，则=______ 【答案】1 【分析】由题意可得方程的另一个虚根，结合根与系数的关系可求出，即可得答案. 【详解】由题意知是关于x的二次方程的一个虚根， 故是关于x的二次方程的另一个虚根， 则，则， 故， 故答案为：1 14．（25-26高一下·全国·课堂例题）若复数，，且与互为共轭复数，则的模为___________． 【答案】5 【分析】由共轭复数的概念确定，再由模的公式即可求解. 【详解】由共轭复数的定义得 ． 故答案为：5 15．（2025·上海徐汇·二模）若方程x2﹣2x+3＝0的两个根为α和β，则|α|+|β|＝_____． 【答案】 【分析】因为，设，则，根据根与系数关系及模求解. 【详解】因为，此时方程两根为共轭虚根， 设，则， ， . 故答案为：. 16．（24-25高一下·山东菏泽·期中）复数． (1)实数取什么值时，复数是实数？纯虚数？ (2)若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意结合复数的相关概念分析求解； （2）根据题意结合复数的几何意义分析求解； （3）根据题意求得，结合复数的模长公式运算求解. 【详解】（1）若复数是实数，则，解得； 若复数是纯虚数，则， 解得. （2）因为在复平面内对应的点为， 由题意可得：，解得 所以的取值范围为． （3）因为， 由题意可得：，解得 所以的取值范围为． 17．（25-26高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）利用复数的乘法运算求解即可； （2）利用复数的乘方以及除法运算求解即可. 【详解】（1）原式． （2）因为， 所以， 原式 18．（24-25高三上·江苏徐州·月考）已知复数，为z的共轭复数，且． (1)求m的值； (2)若是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求该一元二次方程的另一复数根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据共轭复数的概念，结合复数的加法运算即可求解参数的值； （2）首先将代入一元二次方程中求出参数，的值，然后再根据求根公式求解另外一个复数根即可. 【详解】（1）已知，则， 由于，得，解得： （2）由（1）可知，，将代入方程可得：， 即：，得：，解得：，， 代入一元二次方程中得：， 解得：，， 即方程另外一个复数根为 19．（2025高三·全国·专题练习）已知复数满足． (1)若，求； (2)若，求证：． 【答案】(1)或． (2)证明见解析 【分析】（1）设，且，则，令，求解即可； （2）证法一：设且，代入，根据复数的运算化简证明；证法二：证明，即可得到结论；证法三：化简，得即可证明. 【详解】（1）设，且． ， 据题意，或 或． （2）证法一：设（，且）， 则． 证法二： ．． 证法三： ． 20．（24-25高一下·福建福州·期末）在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点．它们还有如下性质： (1)设，，求证：是实数； (2)已知，，，求的值； (3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据复数和共轭复数的性质即可证明； （2）设，则，由已知，，列等式即可求解； （3）设复数设的三角形式，利用三角函数有界性即可求解. 【详解】（1）设， ，，， 是实数； （2）设，则， ，， ，① 又， ②， 联立①②，解得， （3），设， 则， ，， . 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