期末复习专题11 空间中展开图、截面、动点的问题【5大题型+强化训练】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题11 空间中展开图、截面、动点的问题 考点一 空间中展开图的距离最值问题 考点二 空间多面体的截面问题 考点三 球体中截面问题 考点四 动点轨迹的问题 考点五 动点中探究性的问题 考点一 空间中展开图的距离最值问题 1．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，已知正方体中，，点P为线段上的动点，Q为平面内的动点，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·重庆渝北·期中）直四棱柱的所有棱长均为1，为棱上的动点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 3．（25-26高一下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，三棱锥中，，为正三角形，，一质点从点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 4．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知正四棱锥的侧棱长，M为SA中点，从点M出发沿着棱锥的侧面绕一圈回到点M，其最短路径的长度为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·安徽·期中）如图，在正四棱锥中，，，是棱上一动点，是棱上一点，且，则两线段，的长度的和的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·福建龙岩·期中）在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是（    ） A．6 B． C．8 D． 7．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知某圆台的轴截面为等腰梯形，其中，，．则沿该圆台表面从点到达点，最短路径的长度为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·河北邢台·期中）如图，现有一底面半径为，母线长为的圆锥，、为底面圆周上两点，且为底面直径，是的中点，一只蚂蚁沿圆锥表面从点爬到点，其移动路径的最小值为_______． 9．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）如图，已知正方体中，，P为线段上一点，Q为平面内一点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 10．（2025高一·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，是上一动点，求的最小值．    考点二 空间多面体的截面问题 11．（25-26高一下·黑龙江鸡西·期中）在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，过B，E，F三点的平面记为，则截该正方体所得截面的面积为（     ） A． B． C． D． 12．（25-26高一下·云南昆明·期中）在正方体中，为的中点，为的中点，为线段上一点且．过点，，作该正方体的截面，记为，则截面为（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 13．（2025·安徽合肥·三模）已知正四棱锥的所有棱长都等于3，点是的重心，过点作平面，若平面平面，则平面截正四棱锥的截面面积为（   ） A． B． C． D． 14．（2026高三·全国·专题练习）正四棱台的上、下底面边长分别为，高为，过下底面相邻两边的中点与两底面中心的连线的中点作截面，试导出截面形状与相关量之间的约制关系． 15．（25-26高三·全国·一轮复习）正方体中，M，N分别是，的中点，则过，M，N三点的平面截正方体所得的截面形状是（   ） A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．三角形 16．（2025高三·全国·专题练习）（多选）在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面．平面以任意角度截正方体，所截得的截面图形可能为（   ） A．等腰梯形 B．非矩形的平行四边形 C．正五边形 D．正六边形 考点三 球体中截面问题 17．（25-26高三下·广东·阶段检测）已知高为4的正四棱锥的所有顶点都在球的表面上，若球被平面所截得的截面面积为，则四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 18．（2026·河南开封·模拟预测）已知正四棱锥的高为2，，为棱的中点，若点均在球的球面上，则平面截球所得截面圆的面积为________． 19．（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知是球的直径上一点，，，为垂足，平面截球所得截面的面积为，M为内的一点，且，则球的表面积为_____；过点作球的截面，则当截面面积最小时，截面圆的半径为_____. 20．（24-25高一下·广西河池·期末）正四面体的棱长为8，为棱的中点，过点作正四面体外接球的截面，则截面面积的最小值为_____. 21．（24-25高一下·江苏连云港·期末）已知正四面体．的所有棱长均为，D，E，F分别为棱PA，PB，PC的中点，则该正四面体的外接球被平面DEF所截的截面面积为（   ） A． B． C． D． 考点四 动点轨迹的问题 22．（2026·江苏南京·模拟预测）（多选）在棱长为1的正方体中，为正方体内（含表面）的动点，为线段上的动点，若直线与的夹角为，则（   ） A．的最小值为 B．点的轨迹形成图形的面积为 C．点的轨迹与正方体表面交线的长度为 D．当点在侧面上时，的最小值为1 23．（25-26高一下·广东深圳·期中）（多选）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（ ） A．三棱锥的体积为定值 B．直线与直线所成角的余弦值为 C．的最小值为 D．点在正方体表面上运动（包含边界），且，则点的轨迹长度为 24．（25-26高一下·江苏常州·期中）如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为________． 25．（25-26高一下·广东广州·期中）（多选）已知正方体的棱长为1，，其中，且，则下列选项正确的是（ ） A．平面 B．三棱锥的体积为定值 C．的轨迹长度为 D．当时，取最小值 26．（25-26高一下·重庆·期中）（多选）如图，正方体的棱长为，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（     ） A．若平面，则的轨迹长度为 B．过，，三点的平面截正方体所得截面面积是 C．三棱锥的体积为定值 D．三棱锥的外接球体积为 27．（2026·天津·一模）在棱长为4的正方体中，点E为棱的中点，点F在底面ABCD内运动，且满足直线平面，将正方体沿平面切割，得到两个多面体，下列说法中错误的是（   ） A．点F的轨迹是一条线段，且其长度为 B．过，，F三点的截面面积为18 C．沿平面切割正方体得到较大的多面体体积为 D．在棱上不存在点P，使得平面 考点五 动点中探究性的问题 28．（25-26高一下·广西南宁·期中）如图，已知点是正方形所在平面外一点，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)若线段上存在一点使得平面平面，求的值． 29．（25-26高一下·北京顺义·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，底面．    (1)证明: 平面平面； (2)设平面平面于直线l，证明：； (3)若在线段BC上是否存在点 F，使得平面PAB，若存在点 F，则为何值时，直线EF与底面ABCD所成角为. 30．（25-26高一下·广东珠海·期中）如图所示，正四棱锥中，为侧棱上靠近点的四等分点，即，为侧棱的中点，平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)侧棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 31．（25-26高一下·广东深圳·期中）如图所示，在正方体中，点分别是棱的中点，P为线段上一动点，. (1)若平面交平面于直线l，求证：； (2)当直线时，求三棱锥的体积； (3)是否存在一点P，使得直线平面？若存在，求出此时线段与的比值；若不存在，请说明理由. 32．（25-26高一下·北京·期中）已知正方体棱长为4，是的中点，点是上一点，是上一点，且平面平面， (1)求证：点是的中点． (2)求证： (3)棱上是否存在点使得平面平面，若存在，求出三棱锥的体积，若不存在，说明理由． 33．（25-26高一下·安徽六安·期中）如图所示，已知为梯形，，，为线段上一点. (1)设平面平面，证明：； (2)在棱上是否存在点 （i）使得平面，若存在，求的值；若不存在，请说明理由； （ii）使得平面将四棱锥分成体积相等的两部分，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 1．（2026·河北沧州·一模）我国古代数学名著《九章算术》中，把底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．如图，现有堑堵木块，，，一只蚂蚁从点出发，经过棱、棱上某点，再爬到棱的中点，则这只蚂蚁爬行的最短路线的长度为（    ） A． B．4 C． D．10 2．（25-26高二上·上海嘉定·阶段检测）如图是一块长、宽、高分别为、、的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知正方体的棱长为2，平面过直线，且与平面ABCD所成的角为，则当分别取得最大值、最小值时，截正方体的截面面积之比为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·北京·开学考试）用一个平面去截正方体，不可能截得的是以下平面图形中的（    ） A．正三角形 B．梯形 C．直角三角形 D．矩形 5．（24-25高二下·云南·期中）已知正三棱锥侧棱长.一只小蚂蚁从顶点A出发沿着棱锥的侧面爬行一周回到A点，则小蚂蚁爬行的最短距离是（   ） A． B． C．3 D． 6．（2025高三·全国·专题练习）在高为的四棱锥中，底面是矩形，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，长方体的长、宽、高分别为，且分别为上底面、下底面（含边界）内的动点，当最小时，以为球心，的长为半径的球面与上底面的公共点的轨迹长度为（   ） A．2 B． C． D． 8．（25-26高一下·山西太原·期中）（多选）如图，在棱长为4的正方体中，点为中点，动点在正方形内（含边界），则（    ） A．若，则点的轨迹长度为 B．平面截正方体得到的几何体的体积的最小值为 C．若点为中点，则三棱锥的外接球表面积为 D．若与的夹角为为线段上的动点，则的最小值为4 9．（25-26高一下·黑龙江大庆·期中）（多选）如图，在棱长为6的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，BC的中点，点Q满足，则下列说法正确的有（   ）    A．平面 B．若Q，M，N，P四点共面，则 C．若，点F在侧面内（包括边界），且平面，则点F的轨迹长度为 D．若，过A，P，Q三点作该正方体的截面将该正方体分成两部分，较小体积与较大体积的比值为 10．（2026·宁夏银川·三模）（多选）如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的一动点（含边界），则下列说法中错误的是（    ） A．三棱锥外接球的表面积为 B．若平面，则动点的轨迹是一条线段 C．若平面，则动点的轨迹的长度为 D．若，则动点的轨迹长度为 11．（2026·河南濮阳·二模）（多选）如图，在棱长为2的正方体中，为上的动点，则下列结论正确的是（   ） A．平面 B．正方体外接球体积为 C．存在一点，使得直线CE与平面所成的角为 D．到平面的距离为 12．（25-26高三上·四川泸州·阶段检测）侧棱长为2的正三棱锥中，棱上存在点，使得，以为球心的球与平面相切，则该球被三棱锥截得的几何体的体积为______． 13．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为____________. 14．（25-26高一下·福建莆田·期中）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中， ，且，点E为棱的中点. (1)求证: 平面; (2)若M为上的动点，则线段上是否存在点N，使得/平面?若存在，请确定点N的位置，若不存在，请说明理由； (3)若，请在图中作出四棱锥过点B，E及棱中点的截面，并求出截面周长. 15．（25-26高一下·福建泉州·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，分别为，，的中点. (1)求证：点，，，四点共面 (2)求证：平面平面. (3)在线段上是否存在一点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 16．（25-26高一下·广东·期中）如图，圆锥的底面半径是1，高是. (1)过线段的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积与体积. (2)若过线段上的任意一点作平行于底面的截面，并以该截面为底面挖去一个圆柱，求挖去的圆柱侧面积的最大值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 空间中展开图、截面、动点的问题 考点一 空间中展开图的距离最值问题 考点二 空间多面体的截面问题 考点三 球体中截面问题 考点四 动点轨迹的问题 考点五 动点中探究性的问题 考点一 空间中展开图的距离最值问题 1．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，已知正方体中，，点P为线段上的动点，Q为平面内的动点，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用几何法，结合平面展开图，可找到最小距离，通过计算即可得到答案. 【详解】 当，即可得平面，此时是最小距离， 然后把平面与平面展开成共面， 如第二个图：即可得过作的垂线，垂足为 此时，即此时取到最小值， 因为在正方体中，， 所以 ， 所以， 即的最小值是 2．（25-26高一下·重庆渝北·期中）直四棱柱的所有棱长均为1，为棱上的动点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】 将所在平面与所在平面展平至同一平面内，如右图 在左图中，由于，，得是等边三角形，故． 在右图中，． 两点之间线段最短，连接，最小为． 3．（25-26高一下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，三棱锥中，，为正三角形，，一质点从点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先作出三棱锥的侧面展开图，利用平面图形中两点之间直线段最短可得最短路线的长. 【详解】因为，为正三角形，所以， 所以， 将三棱锥的侧面沿侧棱剪开，展开的平面图形如图所示， 则线段即为点B的最短路线的长， 因为 , 由余弦定理得到， 即， 所以，即点B的最短路线的长为. 4．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知正四棱锥的侧棱长，M为SA中点，从点M出发沿着棱锥的侧面绕一圈回到点M，其最短路径的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将正四棱锥沿展开，再结合等边三角形性质求解即可. 【详解】如图所示，将正四棱锥沿展开，由可知， 由，为中点，为中点,可知， 所以为等边三角形，即， 故从点M出发沿着棱锥的侧面绕一圈回到点M，其最短路径的长度为， 故选：A. 5．（25-26高三上·安徽·期中）如图，在正四棱锥中，，，是棱上一动点，是棱上一点，且，则两线段，的长度的和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把沿展开后，，，三点共线时，最小，计算即可得. 【详解】如图，把沿展开，使，，，，五点共面． 当，，三点共线时，的值最小， 由正四棱锥性质可得， 则展开图中到的距离， 又，则， 此时． 故选：B. 6．（25-26高一下·福建龙岩·期中）在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】把四边形，展开至同一个平面，求出长即可得解. 【详解】把四边形，展开至同一个平面，连接，，， 过点作，则，又，则， 在中，，，则， 此时线段中点到点的距离，即线段与相交， 因此的最小值就是展开图中的长，点为与的交点， 所以的最小值为. 故选：B    7．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知某圆台的轴截面为等腰梯形，其中，，．则沿该圆台表面从点到达点，最短路径的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由已知数据确定圆台母线与高，再利用侧面展开图中距离求解最短路径长即可. 【详解】根据题意，圆台上底面圆的直径为，因此上底面圆的半径为，下底面圆的直径为，因此下底面圆的半径为， 圆台的母线长为，则圆台的侧面展开图如图所示，从点到达点的最短路径即为， 假设将圆台补全为一个圆锥，设小圆锥的母线长为，则有，代入数据，解得， 所以小圆锥的母线长为，即，大圆锥的母线长为，即， 展开图的圆心角由下底面圆的周长决定，即，解得， 由于位于内侧弧长的中点，因此， 在中，，，由余弦定理得，代入数据，解得 即从点到达点的最短路径的长度为. 8．（25-26高一下·河北邢台·期中）如图，现有一底面半径为，母线长为的圆锥，、为底面圆周上两点，且为底面直径，是的中点，一只蚂蚁沿圆锥表面从点爬到点，其移动路径的最小值为_______． 【答案】 【分析】将圆锥沿着母线展开，确定点的位置，结合勾股定理可求得的长，即为所求. 【详解】因为圆锥的底面半径为，底面圆的周长即扇形的弧长为， 又因为圆锥的母线长为，所以展开图扇形的圆心角为，展开图如图所示． 易知为半圆弧的中点，且， 结合题意可知，，则，即其移动路径的最小值为． 9．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）如图，已知正方体中，，P为线段上一点，Q为平面内一点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用几何法，结合平面展开图，可找到最小距离，通过计算即可得到答案. 【详解】    当，即可得平面，此时是最小距离， 然后把平面与平面展开成共面， 如第二个图：即可得过作的垂线，垂足为 此时，即此时取到最小值， 由正方体可知：， 所以. 故选：A 10．（2025高一·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，是上一动点，求的最小值．    【答案】 【分析】将沿为轴旋转至与平面共面，可得，利用求解即可． 【详解】如图，将以为轴旋转至与平面共面位置，旋转后的点记为， 由图可知， 取的中点，连结， 由已知条件可知，， 根据勾股定理可得， 即的最小值为．    考点二 空间多面体的截面问题 11．（25-26高一下·黑龙江鸡西·期中）在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，过B，E，F三点的平面记为，则截该正方体所得截面的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出辅助线，得到截面图形，并求出面积 【详解】连接，，， 因为E，F分别是棱，的中点，所以， 又，故，，则四点共面， 故截该正方体所得截面为四边形， ，， ，四边形为等腰梯形， 过点分别作，交于点， 则，故， 故，所以截面面积为. 12．（25-26高一下·云南昆明·期中）在正方体中，为的中点，为的中点，为线段上一点且．过点，，作该正方体的截面，记为，则截面为（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【分析】根据正方体的性质，结合已知条件，利用几何法推出截面的形状． 【详解】如图所示，在正方体中， 由于平面平面，且平面与平面的交线为， 故平面与平面的交线必过点，且与平行， 不妨设正方体的棱长为1，在矩形中，由题可知，； 在矩形中，，； ， 又， ，故， 平面与平面的交线就是， 平面平面，且平面与平面的交线为， 平面与平面的交线必过点，且平行于， 设，平面，平面平面，平面， 平面， ，则与的交点位于的延长线上， 位于上，连接， 则平面与平面的交线为， ，，，，五点共面， 截面为五边形，故C正确． 【点睛】 13．（2025·安徽合肥·三模）已知正四棱锥的所有棱长都等于3，点是的重心，过点作平面，若平面平面，则平面截正四棱锥的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点依次在平面内作平行线，可得到截面，根据比例确定边长知截面为等腰梯形即可求面积. 【详解】 点是的重心，，过作交于，并延长交于， 过作，过作，如图四边形为截面， ∵点是的重心，，∴， ∴，，，， 四边形为等腰梯形，故面积为. 故选：C. 14．（2026高三·全国·专题练习）正四棱台的上、下底面边长分别为，高为，过下底面相邻两边的中点与两底面中心的连线的中点作截面，试导出截面形状与相关量之间的约制关系． 【答案】答案见解析 【分析】当截面与棱台的棱相交于点时，截面形状为五边形，当截面的一条边和棱台的上底面相交于一条边时，截面为六边形，由与的大小关系，得约制关系． 【详解】本题应有两种情况： （1）当截面与棱台的棱相交于点时，如图1截面形状为五边形，易知． ，，即，若，则与重合． 当时截面形状为五边形． （2）当截面的一条边和棱台的上底面相交于一条边时，如图2，截面为六边形，此时和相交于点， 则，又，所以，即． 当时，截面为六边形． 15．（25-26高三·全国·一轮复习）正方体中，M，N分别是，的中点，则过，M，N三点的平面截正方体所得的截面形状是（   ） A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．三角形 【答案】C 【详解】解析  连结并延长交的延长线于H，连结DH， 因为M是的中点，所以直线DH经过点M， 连接MN，则，则等腰梯形， 即为过、M、N三点的正方体的截面， 故选：C. 16．（2025高三·全国·专题练习）（多选）在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面．平面以任意角度截正方体，所截得的截面图形可能为（   ） A．等腰梯形 B．非矩形的平行四边形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】ABD 【分析】分别画出满足要求的截面图形，可得ABD均正确；假设五边形为正五边形，由面面平行的性质结合相似性以及勾股定理得出矛盾结论可判断C. 【详解】A选项，画出截面图形如图1，分别是所在棱的中点， 四边形为等腰梯形，故A正确； B选项，在正方体中， 作截面（如图2所示）分别交于点， 根据平面平行的性质定理可得四边形中，，且， 故四边形是平行四边形，但不一定是矩形，故B正确； C选项，经过正方体的一个顶点去截可得到五边形（如图3所示）， 假设五边形为正五边形， 设正方体棱长为2，因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以，同理可得， 设，则，， 由于∽，所以，即， 设，则，故， 由勾股定理得， 令，即，化简得， 由得，故，即， 故，，， 解得，此时，两点重合，同理可得也重合，不满足要求，故假设不成立， 不可能是正五边形，故C错误； D选项，取六边形的中点， 依次连接得到六边形，其中各边长度均相等， 六边形为正六边形（如图4所示），故D正确． 故选：ABD 考点三 球体中截面问题 17．（25-26高三下·广东·阶段检测）已知高为4的正四棱锥的所有顶点都在球的表面上，若球被平面所截得的截面面积为，则四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】球被平面所截得的截面面积为，可得截面圆的半径为，正方形的边长为， 设球的半径为，则到平面的距离为， ，解得， 所以四棱锥的体积为. 18．（2026·河南开封·模拟预测）已知正四棱锥的高为2，，为棱的中点，若点均在球的球面上，则平面截球所得截面圆的面积为________． 【答案】 【分析】先利用正四棱锥的性质，可求出正四棱锥外接球的半径，再利用空间向量求出球心到截面的距离，最后利用球的截面性质可求出截面圆的半径，即可求解截面圆的面积. 【详解】    在正四棱锥中，底面是边长的正方形，底面中心记为， 则底面正方形对角线长为，故， 正四棱锥的高，外接球的球心在高 上，设外接球半径为， 由勾股定理得：， 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则， 因为是中点，所以， 可得：， 设平面的法向量为， 则， 令，可得，即， 由，设球心到平面的距离为， 则， 设截面圆半径为，由球的截面性质， 所以截面圆的面积. 19．（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知是球的直径上一点，，，为垂足，平面截球所得截面的面积为，M为内的一点，且，则球的表面积为_____；过点作球的截面，则当截面面积最小时，截面圆的半径为_____. 【答案】 . 【分析】由题意截面的面积为求出截面圆半径，继而可求球的半径，即可求得球的表面积；过点作球的截面，确定截面圆与垂直时，球心到截面圆的距离最大，即可求得截面面积最小时，截面圆的半径. 【详解】设球的半径为R，由于，故， 球所得截面的面积为，设截面圆半径为r，则， 则，即，解得， 故球的表面积为； 过点作球的截面，则当截面面积最小时，只需该截面圆的半径最小； 设球心到截面圆的距离为d，设截面圆半径为，则， 故只需d最大，此时截面圆与垂直， 即， 故， 故答案为：； 20．（24-25高一下·广西河池·期末）正四面体的棱长为8，为棱的中点，过点作正四面体外接球的截面，则截面面积的最小值为_____. 【答案】 【分析】根据正四面体的特征可结合三角形的边角关系求解长度，即可根据勾股定理求解球半径，由与截面垂直时截面最小，即可根据勾股定理求解. 【详解】由正四面体的特征可知其外接球的球心在高所在的直线上，设球心为， 则,, , 设外接球的半径为,则, 代入的值可得, 要使过点作正四面体外接球的截面中面积最小，则到球心的距离最大，即与截面垂直时，此时截面最小， 则到球心的距离, 故截面圆的半径为, 因此截面圆的面积为， 故答案为： 21．（24-25高一下·江苏连云港·期末）已知正四面体．的所有棱长均为，D，E，F分别为棱PA，PB，PC的中点，则该正四面体的外接球被平面DEF所截的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将正四面体如图放于正方体中，由题目条件可得外接球半径，注意到四面体相似于四面体，相似比为，据此可得球心到到平面距离，然后可得截面圆半径，可得答案. 【详解】将正四面体如图放于正方体中，因的所有棱长均为， 则正方体棱长为，该正四面体的外接球即正方体的外接球，球心O为正方体中心， 外接球半径为.因D，E，F分别为棱PA，PB，PC的中点，则 棱长均为，则四面体相似于四面体，相似比为. 注意到， 则，设中心为，则为正四面体的高. 则. 又三点共线，则到平面距离为. 注意到该正四面体的外接球被平面DEF所截的截面为圆，则圆半径为，故截面面积为. 故选：C 考点四 动点轨迹的问题 22．（2026·江苏南京·模拟预测）（多选）在棱长为1的正方体中，为正方体内（含表面）的动点，为线段上的动点，若直线与的夹角为，则（   ） A．的最小值为 B．点的轨迹形成图形的面积为 C．点的轨迹与正方体表面交线的长度为 D．当点在侧面上时，的最小值为1 【答案】ACD 【分析】对于A，由图通过折叠相关平面，使共面，据此可判断选项正误；对于B和C，由题设可得M的轨迹为如图以为顶点，AB为高，为母线的圆锥侧面的，据此可判断选项正误；对于D，注意到，据此可判断选项正误． 【详解】对于A，由图注意到，将平面沿折叠至平面处，使共面， 则，当且仅当三点共线时取等号，故A正确； 对于B，注意到，则M的轨迹为如图以为顶点，AB为高，为母线的圆锥侧面的， 则点M的轨迹所形成图形的面积为：，故B错误； 对于C，由B分析，点M的轨迹与正方体表面的交线长度为：，故C正确； 对于D，注意到，过N作平行线交于，则， 从而，当且仅当三点共线时取等号，故D正确. 23．（25-26高一下·广东深圳·期中）（多选）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（ ） A．三棱锥的体积为定值 B．直线与直线所成角的余弦值为 C．的最小值为 D．点在正方体表面上运动（包含边界），且，则点的轨迹长度为 【答案】ABD 【分析】根据体积桥可确定A正确；作出异面直线所成角，结合余弦定理可求得B正确；将与沿直线展开到同一平面内，根据可求得C错误；过作出平面的平行平面截正方体所得的截面，根据线面垂直关系可确定点轨迹即为正六边形，知D正确. 【详解】对于A，连接， 四边形为正方形，， 平面，平面，， 平面，，平面， 点到平面的距离， 又， ，即三棱锥的体积为定值，A正确； 对于B，延长至点，使得，连接， ，，又， 四边形为平行四边形，， 异面直线与所成角即为（或其补角）， ，，， ， 直线与直线所成角的余弦值为，B正确； 对于C，将与沿直线展开到同一平面内，如下图所示， （当且仅当为线段与交点时取等号），； ，，； ，为等边三角形，， ， ， 的最小值为，C错误； 对于D，，，，平面， 平面，又平面，； 同理可证得：， ，平面，平面； 取中点，连接， ，平面，平面，平面， ，平面，平面，平面， ，平面，平面平面， 作出平面截正方体所得的截面，其中分别为的中点，则截面平面； 平面，平面， 则当平面时，， 点的轨迹即为正六边形，点的轨迹长度为，D正确. 24．（25-26高一下·江苏常州·期中）如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为________． 【答案】 【分析】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，，可证明平面，点在平面内，进而可得点在面与面的交线上，即可求解. 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点， 所以，同理可得， 因为，， 所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证，， 所以，，，，，共面， 因为，面，面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在面与面的交线上， 所以点在线段上， 又正方体的棱长为2，所以，则， 故点轨迹长度为. 25．（25-26高一下·广东广州·期中）（多选）已知正方体的棱长为1，，其中，且，则下列选项正确的是（ ） A．平面 B．三棱锥的体积为定值 C．的轨迹长度为 D．当时，取最小值 【答案】AC 【分析】根据题意，得到点在线段上，证得平面平面，可判定A正确；由，结合锥体的体积公式，可判定B错误；由点的轨迹为线段，可判定C正确；当时，得到为线段的中点，求得，将等边和矩形展开在一个平面上，结合余弦定理，求得的最小值，可判定D错误. 【详解】由其中，且， 可得三点共线，即在线段上， 对于A，连接， 在正方体，可得， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证：平面， 又因为，且平面，平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面，所以A正确； 对于B，因为在线段上，且平面， 所以，所以B错误； 对于C，因为在线段上，即点的轨迹为线段， 在直角中，可得，所以C正确； 对于D，当时，可得为线段的中点， 此时，， 所以， 又因为在线段上，将等边和矩形展开在一个平面上， 如图所示，设点展开后为点，连接， 在中，可得， 由余弦定理得， 因为，可得，即取最小值为，所以D错误. 26．（25-26高一下·重庆·期中）（多选）如图，正方体的棱长为，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（     ） A．若平面，则的轨迹长度为 B．过，，三点的平面截正方体所得截面面积是 C．三棱锥的体积为定值 D．三棱锥的外接球体积为 【答案】ABC 【分析】对于A：先找平行的平行平面，确定过且与该平面平行的平面和底面的交线，该交线即为点的轨迹，再计算轨迹长度；对于B：先找过三点的平面与正方体各棱的交点，确定截面的形状，再用对应多边形面积公式计算截面面积；对于C：利用等体积法将三棱锥的体积转化为的体积，判断点到平面的距离是否为定值，即可判断体积是否为定值；对于选D：三棱锥的外接球可以补形为长方体外接球，利用长方体的外接球计算半径，再代入球的体积公式计算. 【详解】对于A：取的中点，连接， 因为是中点，是中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，，，所以，又因为， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，，所以平面平面， 要想平面，只需在平面内运动即可，又因为在平面内运动，所以点的轨迹为平面与平面在正方体内部的交线， ，即点的轨迹长为2，A正确； 对于B：，，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为，所以，且，所以四点共面， 所以截面即为梯形，并且，，， 所以等腰梯形的高， 故其面积，B正确； 对于C：，为定值， C正确； 对于D：三棱锥的外接球可以补形为长方体外接球，半径， 所以体积，D错误. 27．（2026·天津·一模）在棱长为4的正方体中，点E为棱的中点，点F在底面ABCD内运动，且满足直线平面，将正方体沿平面切割，得到两个多面体，下列说法中错误的是（   ） A．点F的轨迹是一条线段，且其长度为 B．过，，F三点的截面面积为18 C．沿平面切割正方体得到较大的多面体体积为 D．在棱上不存在点P，使得平面 【答案】C 【分析】根据题意，取分别为的中点，连接，可得平面平面，所以，可判断A；由于，所以过三点的截面为等腰梯形，求其面积判断B；先求棱台的体积，用间接法判断C；假设存在点，使得平面，则，利用平面向量数量积运算确定点，即可判断D. 【详解】对于A，取分别为的中点，连接， 则，又平面，平面，所以平面， 同理平面， 又，平面，所以平面平面， 又易得且，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面，同理平面， 又，平面，所以平面平面 所以平面平面， 因为直线平面，所以平面， 所以，又，点的轨迹是一条线段，且其长度为，故A正确； 对于B，由A可得， 所以过三点的截面为等腰梯形， 又， 所以等腰梯形的高为， 所以截面面积为，故B正确； 对于C，易知交于一点，故平面切割正方体得到较小的多面体为棱台 其体积为， 所以平面切割正方体得到较大的多面体体积为，所以C错误； 对于D，假设存在点，使得平面， 因为平面，则， 在正方形中，如图建立平面直角坐标系， 则， 设，则， 所以，得，显然不成立，D正确. 考点五 动点中探究性的问题 28．（25-26高一下·广西南宁·期中）如图，已知点是正方形所在平面外一点，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)若线段上存在一点使得平面平面，求的值． 【答案】(1) 证明见解析 (2) 【分析】（1）依据线面平行的判定定理，构造三角形中位线得到平行于平面内的直线，即可推出线面平行； （2）依据面面平行的性质，平面平面可得对应交线平行，据此确定为中点，即可算出的值. 【详解】（1） 取的中点，连接、. 因为是的中点，所以是的中位线， 故，且. 又正方形中，是中点，且， 因此 ，，即且. 所以四边形是平行四边形，得. 又平面，平面，根据线面平行判定定理，得 平面. （2）已知平面平面，平面平面，平面平面， 根据面面平行的性质定理，得. 在中，是中点，， 因此是的中点， 可得. 29．（25-26高一下·北京顺义·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，底面．    (1)证明: 平面平面； (2)设平面平面于直线l，证明：； (3)若在线段BC上是否存在点 F，使得平面PAB，若存在点 F，则为何值时，直线EF与底面ABCD所成角为. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1） 可证平面，由面面垂直的判定定理即可证明；           （2） 可证平面，由线面平行的性质定理即可证明；         （3）由线面平行的判定定理得出点F在BC的处，再证得平面，所以即为EF与底面所成角，求解即可得出答案. 【详解】（1）因为底面，平面，则， 又因为底面为正方形，则 ， 且，平面， 可得平面， 又因为平面PBD，所以平面平面. （2）在正方形中，则， 且平面，平面，可知平面， 且平面，平面平面，所以. （3）存在点F在BC的处，使得平面． 在线段PA上取点K，使，连接KE，KB，EF． 在中，，即， 则，且， 在正方形中，F在BC的处，则，且， 可得，且，可知为平行四边形， 则，且平面，平面，所以平面， 在AD的处取点M，连接． 中，点E，M分别为的处，则，且， 因为平面，则平面，即EF在平面上的射影MF， 可知即为EF与底面所成角，                           在中，，    若，，所以. 30．（25-26高一下·广东珠海·期中）如图所示，正四棱锥中，为侧棱上靠近点的四等分点，即，为侧棱的中点，平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)侧棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）连接交于点，连接，证明即可得证； （2）证明平面，利用线面平行的性质即可证明； （3）过作的平行线交于，求出，证明平面，再根据平面即可得到平面平面，即可得到平面. 【详解】（1）连接交于点，连接， ∵四边形为正方形， ∴点为的中点，又为的中点， ， 平面PAC，平面， 平面. （2），平面，平面， 平面， 又平面，平面平面， . （3）在侧棱上存在一点，使平面，满足. 理由如下： 由，为中点得， 过作的平行线交于，连接，， 由于，则， ，平面，平面， 平面， 由（1）知平面， 又，平面， ∴平面平面， 又平面， 平面， 所以侧棱上存在一点，使得平面，且. 31．（25-26高一下·广东深圳·期中）如图所示，在正方体中，点分别是棱的中点，P为线段上一动点，. (1)若平面交平面于直线l，求证：； (2)当直线时，求三棱锥的体积； (3)是否存在一点P，使得直线平面？若存在，求出此时线段与的比值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）利用面面平行的性质，结合正方体的结构特征推理得证. （2）根据给定条件，确定点的位置，再利用等体积法计算得解. （3）作出几何图形，再借助线面平行的性质确定点并求出比值. 【详解】（1）在正方体中，平面平面， 平面平面，平面平面，则， 由分别为的中点，则，所以. （2）连接，由为中点，，得， 而，因此为中点， 点到平面的距离等于点平面的距离的一半， 即， 于是， 所以三棱锥的体积为. （3）如图，令直线交的延长线分别于， 直线交的延长线分别于， 连接交分别于，连接并延长交的延长线于， 则平面即为平面，由点分别是棱的中点， 得，则，又， 于是四边形是平行四边形，设， 平面平面，平面，要平面， 当且仅当，此时，，， 所以在上存在点P，使得直线平面，此时. 32．（25-26高一下·北京·期中）已知正方体棱长为4，是的中点，点是上一点，是上一点，且平面平面， (1)求证：点是的中点． (2)求证： (3)棱上是否存在点使得平面平面，若存在，求出三棱锥的体积，若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)存在，. 【分析】（1）先应用面面平行性质定理得出点是的中点，再应用平面平面性质定理，得出，即可证明； （2）连接，通过证明平面得出，同理进而证明平面，即可证明线线垂直. （3）结合（2）应用线面垂直性质定理证明判断，再应用三棱柱及棱锥体积公式计算求解. 【详解】（1）设平面与直线交于. 因为平面平面，设平面平面， 连接，平面平面，所以， 又因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以，所以， ∵在正方体中，,所以， 在正方形中，是的中点，所以点是的中点， 又因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以，且点是的中点， 所以点是的中点． （2）连接，因为在正方形中，，，，平面， ∴平面，平面，， 同理可证，又，平面， ∴平面，且平面平面， 所以平面，平面，所以； （3）取中点，连接， 因为平面平面，平面平面， 设平面平面，所以， 而,所以,又因为是中点，所以是中点， 连接，设，则是中点， 而G为中点，所以， 又由（2）知平面，所以平面， 而平面，使得平面平面， 又过且与平面垂直的平面存在且唯一， 故当且仅当G为中点时，平面平面. 连接， 又因为 ， 所以. 33．（25-26高一下·安徽六安·期中）如图所示，已知为梯形，，，为线段上一点. (1)设平面平面，证明：； (2)在棱上是否存在点 （i）使得平面，若存在，求的值；若不存在，请说明理由； （ii）使得平面将四棱锥分成体积相等的两部分，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）存在，；（ii）存在， 【分析】（1）由得平面，再由线面平行的性质定理，结合两平面交线，证得； （2）（i）连接交于，利用的比例关系和线面平行判定，得到的值； （ii）根据梯形底面积比求两部分体积比，再结合棱锥体积公式列方程，解得的值. 【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面平面，且平面，所以. （2）（i）存在点，使得平面，此时. 证明如下：连接交于点，连接 因为，且，所以，又因为，， 所以，因为平面，平面，所以平面. （ii）存在，且，理由如下： 记四棱锥的体积是. 由，得，故， 即. 设，则. 令，得，解得. 故存在点，当时，平面将四棱锥分为体积相等的两部分. 1．（2026·河北沧州·一模）我国古代数学名著《九章算术》中，把底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．如图，现有堑堵木块，，，一只蚂蚁从点出发，经过棱、棱上某点，再爬到棱的中点，则这只蚂蚁爬行的最短路线的长度为（    ） A． B．4 C． D．10 【答案】C 【分析】通过几何体的侧面展开，将空间折线转化为平面线段，结合勾股定理求最短路径. 【详解】由堑堵的定义可知，所以，如图， 将面与面展开在一个平面内，延长至点，使得， 连接，分别交，于点，，由对称性可知，， 所以所求最短距离为． 故选：C． 2．（25-26高二上·上海嘉定·阶段检测）如图是一块长、宽、高分别为、、的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】展开可能走过的长方体平面，由两点之间线段最短求出各个最短距离比较即可求解. 【详解】第一种情况:把我们所看到的前面和上面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是和 则所走的最短线段是； 第二种情况:把我们看到的左面与上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是和 所以走的最短线段是； 第三种情况:把我们所看到的前面和右面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是和 所以走的最短线段是； 三种情况比较而言，第二种情况最短. 故选：A. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知正方体的棱长为2，平面过直线，且与平面ABCD所成的角为，则当分别取得最大值、最小值时，截正方体的截面面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设平面平面，过点C作于K，连接，得，则即为平面与平面ABCD所成的角，设，则，通过当分别取得最大值、最小值，进而确定截面计算面积即可； 【详解】设平面平面，易知平面ABCD，所以， 过点C作于K，连接，又平面，可得， 则即为平面与平面ABCD所成的角，设，则， 若，则，故，结合面面角的取值范围，可假想， 则取得最大值，此时平面即为平面ACGE，则截面面积为； 易知，所以当时，取得最小值，此时， 则平面，设BF，DH的中点分别为M，N，则平面必过MN， 所以截面面积为，所以截面面积之比为． 故选：A. 4．（25-26高二上·北京·开学考试）用一个平面去截正方体，不可能截得的是以下平面图形中的（    ） A．正三角形 B．梯形 C．直角三角形 D．矩形 【答案】C 【分析】根据题意，结合正方体的几何结构特征，以及正方体截面的性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，在正方体中，连接， 此时截面为等边三角形，所以A不符合题意； 对于B中，取的中点分别为，连接， 可得，且，所以， 所以截面为等腰梯形，所以B不符合题意； 对于D中，在正方体中，截面为矩形，所以D不符合题意； 对于C中，在分别取点，设， 可得， 则， 同理可得：，所以均为锐角， 所以截面为锐角三角形，所以C符合题意. 故选：C. 5．（24-25高二下·云南·期中）已知正三棱锥侧棱长.一只小蚂蚁从顶点A出发沿着棱锥的侧面爬行一周回到A点，则小蚂蚁爬行的最短距离是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】将三棱锥的侧面展开，则所求最短距离可转化为求的长度，利用勾股定理即可得到答案． 【详解】 将三棱锥三个侧面沿着剪开展开置于同一平面内如图所示，则，所求最短距离为线段的长度， 而，由勾股定理得， 所以虫子爬行的最短距离. 故选：D 6．（2025高三·全国·专题练习）在高为的四棱锥中，底面是矩形，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点在底面的投影为，连接，作，垂足为，根据已知求得，，最后由余弦定理及平方关系得，应用面积公式求三角形面积. 【详解】如图，设点在底面的投影为，连接，则， 在中，由，，得，作，垂足为， 由，易知点到，的距离相等，所以，， 在中，， 在中，， 在中，，则， 在中，， 在中，，，， 由余弦定理得，所以， 所以. 故选：C 7．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，长方体的长、宽、高分别为，且分别为上底面、下底面（含边界）内的动点，当最小时，以为球心，的长为半径的球面与上底面的公共点的轨迹长度为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由最小时，得到分别为的三等分点，得到以为球心，的长为半径的球面与上底面的交线对应的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，结合扇形的弧长公式，即可求解. 【详解】由题意得，要使得最小，则要在同一个平面内，即平面内， 如图（1）所示，可得， 所以， 当最小时为， 此时，即分别为的三等分点， 因为，所以， 分别在取点，使得， 可得， 则以为球心，的长为半径的球面与上底面的交线对应的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，如图（2）所示， 所以轨迹的长度为. 8．（25-26高一下·山西太原·期中）（多选）如图，在棱长为4的正方体中，点为中点，动点在正方形内（含边界），则（    ） A．若，则点的轨迹长度为 B．平面截正方体得到的几何体的体积的最小值为 C．若点为中点，则三棱锥的外接球表面积为 D．若与的夹角为为线段上的动点，则的最小值为4 【答案】BCD 【分析】选项A，结合勾股定理求出点的轨迹，利用圆的周长计算即可；选项B，分析可得与重合时，此时截得的三棱锥体积最小，进而求解判断即可；选项C，取中点，连接，分析可得等腰的外接圆圆心在上，且外接圆半径为，再过点作底面的垂线，设为三棱锥的外接球的球心，结合底面，可得，进而求出外接球半径，再根据球的表面积公式求解判断即可；选项D，由题意知点在以为圆心，4为半径的圆弧上，再利用对称性结合平面几何知识即可判断D. 【详解】对于A，，则在以为圆心，半径为4的四分之一圆周上，如图， 轨迹长度为，故A错误； 对于B，由于平面中为固定位置， 因此，要使平面截正方体得到的几何体的体积最小， 则与重合时，此时截得的三棱锥体积最小， 而，故B正确； 对于C，如图所示，， 取中点，连接，则等腰的外接圆圆心在上， 外接圆半径，依题意易知，， 根据正弦定理可知，，则， 过点作底面的垂线，由于底面， 设为三棱锥的外接球的球心，则， 而，则，又， 则三棱锥的外接球的半径为， 所以三棱锥的外接球表面积为，故C正确； 对于，由与的夹角为，则， 所以点在以为圆心，4为半径的圆弧上， 连接，由对称性可知，当点位于上时，最小，过作于， 在中，，则， 故，如图在平面中，过点作于点， 则，当且仅当三点共线时取等号，故D正确． 9．（25-26高一下·黑龙江大庆·期中）（多选）如图，在棱长为6的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，BC的中点，点Q满足，则下列说法正确的有（   ）    A．平面 B．若Q，M，N，P四点共面，则 C．若，点F在侧面内（包括边界），且平面，则点F的轨迹长度为 D．若，过A，P，Q三点作该正方体的截面将该正方体分成两部分，较小体积与较大体积的比值为 【答案】ACD 【分析】根据正方体的结构特征可知侧面互相平行，可判断A；根据平面的性质及正方体的截面可判断B；根据面面平行的判定可判断点F的轨迹，进而判断C；时，先找出过A，P，Q三点的正方体的截面，进而可判断D. 【详解】A，根据正方体的结构特征可知，平面平面， 又平面，所以 平面，故A正确； B，因为三个不共线的点M，N，P确定一个平面，如图1：    当分别为所在棱的中点时，T，M，N，P四点共面，所以重合， 平面与正方体的截面为平面六边形 ，此时，故B错误； C，取的中点E，上靠近的三等分点G，连接 ，如图2：    则 ，又平面，平面，则平面， 因为 ， ，所以四边形 为平行四边形，所以， 又平面，平面，则平面， 由 ， 平面，所以平面 平面， 所以点F的轨迹为线段，由勾股定理可知其长度为，故C正确； D，延长，与的延长线交于点H， 连接，与棱交于I，与的延长线交于点J，连接，与棱交于点K，如图3：    则过A，P，Q三点的正方体的截面为五边形 ， 由比例关系可得， ， ，所以较小体积与较大体积的比值为，故D正确. 10．（2026·宁夏银川·三模）（多选）如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的一动点（含边界），则下列说法中错误的是（    ） A．三棱锥外接球的表面积为 B．若平面，则动点的轨迹是一条线段 C．若平面，则动点的轨迹的长度为 D．若，则动点的轨迹长度为 【答案】BCD 【分析】三棱锥的外接球即为三棱锥的外接球，利用正弦定理可得的外接圆半径，再利用外接球性质可求出外接球半径，再利用表面积公式计算即可得A；取与中点，利用面面平行性质定理可得平面平面，则可得B；取靠近点的四等分点，利用线面垂直判定定理可得平面，则可得动点的轨迹为线段，计算出即可得C；由对称性，可假设平面，利用线面垂直性质定理与勾股定理可得，即可得在平面内轨迹，同理可得点所有轨迹，即可得D. 【详解】对于A，由四边形为正方形，故三棱锥的外接球即为三棱锥的外接球， 设三棱锥的外接球半径为，的外接圆半径为， ，，故， 又，则，故，解得， 因为平面，故三棱锥的外接球球心在过的外接圆圆心和平行的直线上， 则，，即， 故三棱锥的外接球的表面积为，故A正确， 对于B，取与中点、，连接、、， 由正方体性质可得，，又平面，平面， 故平面，平面，平面，故平面， 又，、平面，故平面平面， 由平面，则点的轨迹是除去点，故B错误； 对于C，取靠近点的四等分点，连接， 由正方体性质可得平面，又平面，故， 由，，故与相似， 则，故， 故，又，、平面，故平面， 又平面，故动点的轨迹为线段，，故C错误； 对于D，若平面，因为平面，平面， 故，由，则，即点的轨迹为以为圆心，在平面内半径为1的四分之一圆，同理可得，点也可为以为圆心，在平面内半径为1的四分之一圆， 点也可为以为圆心，在平面内半径为1的四分之一圆， 故其轨迹长度为，故D错误. 11．（2026·河南濮阳·二模）（多选）如图，在棱长为2的正方体中，为上的动点，则下列结论正确的是（   ） A．平面 B．正方体外接球体积为 C．存在一点，使得直线CE与平面所成的角为 D．到平面的距离为 【答案】ABC 【分析】由线面平行的判定可判断A，由正方体外接球的直径为对角线可判断B，由线面角定义可判断C，由等体积法判断D. 【详解】对于A：由于在正方体中，则四边形为平行四边形， 所以，平面，平面， 所以平面，A正确； 对于B：正方体外接球的直径为对角线，即， 所以，B正确； 因为平面，则为直线CE与平面所成的角， 则， 若，则，所以， 又，， 所以存在一点，使得直线CE与平面所成的角为，C正确； 由A知平面，为上的动点， 所以到平面的距离等于到平面的距离， 设到平面的距离， ，， 由等体积可得：，即， 所以，所以到平面的距离为，D错误. 12．（25-26高三上·四川泸州·阶段检测）侧棱长为2的正三棱锥中，棱上存在点，使得，以为球心的球与平面相切，则该球被三棱锥截得的几何体的体积为______． 【答案】 【分析】取线段的中点，过点作平面，先求证平面，进而求证平面，再计算球的半径，最后计算球的体积即可求出. 【详解】取线段的中点，连接， 因为为等腰三角形，为等边三角形，所以，， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 因为，所以，所以， 过点作平面，垂足为，则， 因为，所以， 则，即以为球心的球的半径为， 则该球的体积为， 则该球被三棱锥截得的几何体的体积为. 故答案为： 13．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为____________. 【答案】 【分析】取的中点分别为，证明平面即可确定轨迹并求出其长度. 【详解】取的中点分别为，连接， 由分别为的中点，得，同理得， 由，得四边形是平行四边形，则，， 同理，，因此点共面， 而，面，面，则平面， 又平面，于是点在平面内，又点在上底面（含边界）， 因此点在面与面的交线上，点的轨迹为线段， 所以点的轨迹长度为. 14．（25-26高一下·福建莆田·期中）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中， ，且，点E为棱的中点. (1)求证: 平面; (2)若M为上的动点，则线段上是否存在点N，使得/平面?若存在，请确定点N的位置，若不存在，请说明理由； (3)若，请在图中作出四棱锥过点B，E及棱中点的截面，并求出截面周长. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在为线段中点，证明见解析； (3)作图见解析，截面周长为. 【分析】（1）取线段的中点，连接，通过证明可得结论； （2）当为线段中点时，平面，通过证明面面可得结论； （3）取线段的中点，连接，通过证明，得到四边形为截面，然后分别求出各边的长即可. 【详解】（1）取线段的中点，连接， 因为分别为线段的中点， 所以，且， 又，且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）当为线段中点时，平面， 证明：取线段中点，连接 因为分别为线段的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面； 因为，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； 又面， 则面面，又面， 所以面， 所以当为线段中点时，平面； （3）取线段的中点，连接， 因为，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又分别为线段的中点， 所以， 所以，则四边形为四棱锥过点及棱中点的截面， 则，，， 在中，，， 所以， 则， 所以截面周长为. 15．（25-26高一下·福建泉州·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，分别为，，的中点. (1)求证：点，，，四点共面 (2)求证：平面平面. (3)在线段上是否存在一点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在，. 【分析】（1）易得，进而可得，再由平面公理即可证明； （2）先利用线线平行证明线面平行，再根据线面平行证明面面平行即可； （3）取中点，连接，，，利用中位线定理，结合平行四边形性质证明四边形是平行四边形，即证，再根据线面平行的判定定理即证结果. 【详解】（1）证明：，分别为，的中点，， 底面是平行四边形，. ，所以点，，，四点共面. （2）由（1）知，因为平面，平面，平面. ，分别为，的中点，， 因为平面，平面，平面. 又，，平面，所以平面平面. （3）线段上存在一点，使得平面，且. 证明如下：取的中点，连接，，， 因为，，分别是，，的中点，，， 所以，，所以四边形是平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以平面，此时． 16．（25-26高一下·广东·期中）如图，圆锥的底面半径是1，高是. (1)过线段的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积与体积. (2)若过线段上的任意一点作平行于底面的截面，并以该截面为底面挖去一个圆柱，求挖去的圆柱侧面积的最大值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）求得圆柱的底面半径和高，由此求得剩下几何体的表面积和体积. （2）首先求得圆柱的侧面积表达式，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）由题可知，， 所以剩下几何体的表面积为：， 体积为 （2）取上一点，设，则， 所以， 所以圆柱侧面积为， 所以当时，圆柱侧面积最大，为 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $