专题06 分式方程及应用（含参数问题）（期末复习专项训练+8大题型）八年级数学下学期新教材北师大版

**基本信息** 聚焦分式方程核心考点，以8类题型构建从基础解法到综合应用的递进训练体系，强化参数问题逻辑推理与模型应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解分式方程|5题|基础解法训练，强化去分母与验根步骤|概念生成：从分式方程解法到增根、无解的概念辨析| |增根/无解求参数|10题|结合增根产生条件与整式方程无解情形|原理推导：通过参数对解的影响建立分类讨论思维| |解的情况求参数范围|5题|含参数解的正负性、非负性等限定条件|应用拓展：参数范围与不等式求解结合| |不等式与分式方程综合|5题|方程解的限定与不等式整数解综合考查|综合应用：提升运算能力与推理意识| |实际应用|5题|行程、工程、经济等问题的建模求解|模型观念：培养用数学语言表达现实问题的能力| |规律性问题|5题|裂项相消等规律探究与方程求解|创新意识：发展从特殊到一般的数学思维| |新定义型问题|5题|自定义运算或概念的理解与应用|抽象能力：提升数学眼光的迁移应用能力|

专题06 分式方程及应用（含参数问题） 题型1 解分式方程（重点） 题型5 不等式与分式方程综合含参数解的问题（难点） 题型2 已知分式方程的增根求参数的值（难点） 题型6 不等式与分式方程的实际应用（重点） 题型3 已知分式方程无解求参数的值（难点） 题型7 分式方程有关的规律性问题（难点） 题型4已知分式方程的解的情况求参数的取值范围（难点） 题型8 分式方程中的新定义型问题（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 解分式方程（共5小题） 1．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)分式方程无解 【分析】（1）根据解分式方程的步骤计算即可得出结果； （2）根据解分式方程的步骤计算即可得出结果． 【详解】（1）解：去分母可得：， 去括号可得：， 移项可得：， 合并同类项可得：， 检验，当时，， ∴分式方程的解为； （2）解：将方程整理可得：， 去分母可得：， 去括号可得：， 移项可得：， 合并同类项可得：， 检验，当时，， ∴分式方程无解． 2．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的关键思想是去分母，把分式方程转化为整式方程，求出解后再代入最简公分母检验是否增根． （1）首先把方程两边同乘，化为一元一次方程，可得：，解一元一次方程求出的值，再把求出的解代入最简公分母检验是否增根； （2）首先把方程两边同乘，化为整式方程，可得：，解整式方程求出的值，再把求出的解代入最简公分母检验是否增根． 【详解】（1）解：， 方程两边同乘， 可得：，    去括号可得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：把代入， 可得：， 是原分式方程的解； （2）解：， 方程两边同乘， 可得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：把代入， 可得：， 是原分式方程的解． 3．（25-26八年级上·山东临沂·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【分析】（1）先将方程两边乘转化为整式方程，再解整式方程，注意检验是否为原方程的根； （2）先将方程两边乘转化为整式方程，再解整式方程，注意检验是否为原方程的根． 【详解】（1）解： 方程两边乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以，原分式方程无解； （2）解： 方程两边乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以，原分式方程的解为． 4．（25-26八年级上·湖南常德·期末）解方程： (1)； (2)5． 【答案】(1)无解 (2) 【分析】（1）先变形，再方程两边同乘(，将分式方程化为整式方程求解即可； （2）先变形，再方程两边同乘，将分式方程化为整式方程求解即可． 【详解】（1）解： ， 方程可化为， 方程两边同乘(，得， 解得， 检验：当时，， 所以是分式方程的增根， 所以原分式方程无解； （2）解：， 方程可化为， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以原分式方程的解是． 5．（25-26八年级上·江西宜春·期末）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程． （1）方程两边同乘最简公分母，化为整式方程，解方程，并检验，即可求解； （2）去分母 方程两边同乘最简公分母，化为整式方程，解方程，并检验，即可求解． 【详解】（1）解： 方程两边同乘最简公分母，得： ， 解得： 当时，，因此是原方程的解． （2）解： 方程两边同乘最简公分母，得： ， 解得 当时，，因此是增根，原方程无解． 题型二 已知分式方程的增根求参数的值（共5小题） 6．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）关于x的方程有增根，则增根是___________，___________ 【答案】 【分析】熟练掌握增根的定义是解题关键，增根是分式方程化为整式方程后，使原分式方程分母为的根，先根据定义求出增根，再将增根代入化为整式方程的方程求解的值． 【详解】解：分式方程的最简公分母为， 令分母， 解得，因此增根为， 方程两边同乘最简公分母，化为整式方程得：， 将增根代入整式方程得：， 解得． 7．（25-26八年级上·河南许昌·期末） 若关于x的分式方程有增根，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，把原方程去分母化为整式方程，再解方程得到，分式方程有增根的条件是分母为零，则可得到关于a的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 解得， ∵原方程有增根， ∴，即 ∴， ∴， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·河南周口·期末）若关于x的分式方程有增根，则________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了分式方程有增根的问题，先确定分式方程的增根，再将分式方程去分母化为整式方程，把增根代入整式方程即可求出k的值． 【详解】解：原方程可变形为， 两边同乘最简公分母，得， 因为分式方程有增根，所以最简公分母，即增根为， 将代入整式方程，得， 即， 解得． 故答案为：2． 9．（25-26七年级上·上海·期末）若关于的方程有增根，则的值为________． 【答案】或22 【分析】本题考查了分式方程的增根．首先把分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到或，据此求出或，分别代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解：方程两边都乘以，得 ， ∵方程有增根， ∴或， 解得或， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 故答案为：或22． 10．（25-26八年级上·全国·期末）解分式方程会产生增根，则_____． 【答案】或 【分析】本题考查了分式无解的情况．分式方程产生增根时，增根为使最简公分母为零的未知数的值，代入去分母后的整式方程可求参数的值． 【详解】解：∵， ∴， 整理得， 化简得． ∵解分式方程会产生增根， ∴或， 解得或． 将 代入整式方程，得； 将 代入整式方程，得． 故的值为或． 故答案为：或． 题型三 已知分式方程无解求参数的值（共5小题） 11．（25-26八年级上·陕西延安·期末）若关于的分式方程无解，则的值为___________． 【答案】或 【分析】先将分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解a的值：一种是整理后整式方程中x的系数为0，整式方程无解，此时原分式方程无解；另一种是整式方程有解，但解为原分式方程的增根，此时原分式方程无解． 【详解】解：， 方程两边同乘最简公分母，得， 整理得， 当，即时，方程左边为，右边为，整式方程无解，因此原分式方程无解，符合题意． 当时，若原分式方程无解，则整式方程的解为原分式方程的增根． 分式方程的增根使最简公分母为0，即，得， 将代入，得， 解得． 综上，的值为或． 12．（25-26八年级上·山东日照·期末）若关于x的分式无解，则a的值是______． 【答案】1或3 【分析】本题考查分式方程的解法与恒等变形，分式方程的无解问题，分式方程无解的情况包括化简后的整式方程无解或解出的根为增根，据此解答即可． 【详解】解：， ，即 ， 整理得：， 当时，即时，方程无解； 当时，， 若，则，解得，此时为增根，方程无解； 综上，或， 故答案为：1或3． 13．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）若关于的分式方程无解，则______． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，关键是将分式方程化为整式方程后，讨论无解的条件；将分式方程化为整式方程得到，把增根代入求解． 【详解】解： ， 两边同乘 （）得 ： ， 整理得 ， 移项得 ， 即 ， 解得 ， ∵分式方程无解时， ∴根为增根，即 ， 代入得 ， 解得 ． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）若关于x的方程无解，则m的值______． 【答案】，， 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的定义是解题的关键． 分式方程无解的情况有两种：整式方程无解或整式方程的解为增根．先化为整式方程，再分别讨论系数为0时整式方程无解，以及解为增根1或2的情况． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得 整理得 移项得 当且时，整式方程无解 解得； 当整式方程的解为增根时，原方程无解， 增根为或 若，代入整式方程得 解得； 若，代入整式方程得 解得； 综上，的值为，，． 15．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）若关于x的分式方程无解，则满足条件的k值为_____． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程无解，理解分式方程无解的含义是解题的关键． 分式方程无解的情况有两种：一是化简后的整式方程无解；二是整式方程的解是增根（使原方程分母为零），分别求解即可． 【详解】解：方程两边同时乘以最简公分母 ，得： 整理得： 移项得： 当 即 时， 方程左边为 ，右边为 ，即 ，矛盾，整式方程无解，故原分式方程无解， 当 时，， 若解为增根，则 或 ， 当 时，，解得 ，即 ，得 ，不成立，无解， 当 时，，解得 ，即 ，整理得 ，所以 ，此时解为增根，故原方程无解， 综上，满足条件的 值为 或 ． 故答案为： 或 ． 题型四 已知分式方程的解的情况求参数的取值范围（共5小题） 16．（25-26八年级上·江苏南通·期末）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是____________． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键． 解分式方程得，检验，将代入，解得，，由题意知，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：， ， 解得，， 检验，将代入，解得，， ∵分式方程的解为正数， ∴， 解得，， ∴m的取值范围为且， 故答案为：且． 17．（25-26八年级上·山东临沂·期末）若关于的分式方程有解，则需满足的条件是__________． 【答案】且 【分析】解题关键是掌握分式方程无解的两种情况：①整式方程本身无解；②分式方程产生增根．根据分式方程无解的情况可知，分式方程有解需满足分母不为零且化简后的方程有解，通过乘以公分母化简方程，讨论整式方程的系数并排除使解为增根的情况，即可求解． 【详解】解： 方程两边同乘，得， 展开并整理，得， 当，即时，方程无解， ∴， 当时，， 又∵分母不为零，需且， 检验增根：若方程有增根，则或， 若，代入整式方程，得，化简得，不成立，所以解不可能是， 若，代入整式方程得，解得，故当时，方程产生增根，无解， 因此，分式方程有解的条件为且． 18．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）若关于的分式方程的解为非负数，则实数的最小值为___________． 【答案】 1 【分析】本题考查分式方程的解，解分式方程得到解，根据解为非负数和分母不为零的条件，确定a的取值范围，进而求出a的最小值。 【详解】解：， 解得， ∵解为非负数，得，即； 又， ∴， ∴，即， ∴且， 故a的最小值为1， 故答案为：1． 19．（25-26八年级上·河南商丘·期末）已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是________． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先求出方程的解，再根据解为负数列不等式即可． 【详解】解：， ∴且， 由题意知，， 解得且． 故答案为：且． 20．（25-26八年级上·山东临沂·期末）如果关于的分式方程的解是正数，那么实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，一元一次不等式．先解分式方程得到解，再根据解为正数列不等式，并考虑分母不为零的条件． 【详解】解：解方程， 去分母得， 解得． 由于方程的解是正数，所以，即． 又因为分母，即，则，解得， 综上所述，的取值范围是． 故答案为：． 题型五 不等式与分式方程综合含参数解的问题（共5小题） 21．（25-26八年级上·重庆·期末）若关于的分式方程的解为非负数，关于的一元一次不等式组有解且最多有个整数解，则所有满足条件的整数的值的和是_____． 【答案】 【分析】本题考查分式方程，一元一次不等式组，先解分式方程得到与的关系，根据解为非负数确定的范围；再解不等式组，根据有解且最多有个整数解确定的范围；综合两个范围得到整数的值并求它们的和．掌握一元一次不等式组的整数解的定义以及分式方程的解法是解题的关键． 【详解】解：将分式方程 去分母得：， 即， ∵关于的分式方程有解， ∴且， 解得：， ∵关于的分式方程的解为非负数， ∴，且， ∴且， ∵不等式组 ， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于的一元一次不等式组有解且最多有个整数解， ∴， ∴， 综上所述，的取值范围是且， ∴整数可取，，，，，且， ∴所有满足条件的整数的值的和是． 故答案为：． 22．（25-26八年级上·江西南昌·期末）若关于的不等式组有且只有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为___________． 【答案】4 【分析】本题主要考查已知不等式组解集求参数，已知分式方程解求参数，先解不等式组，得到解集范围，根据有且只有3个整数解，确定m的取值范围；再解分式方程，得到x关于m的表达式，根据解为非负整数且不为增根，确定m的值；最后求满足条件的整数m的和． 【详解】解：解不等式组： 由，得； 由，得． 所以不等式组的解集为． 因为有且只有3个整数解，所以整数解为1，2，3，故， 解得，所以整数m的值为2，3，4，5． 解分式方程： 方程化为， 解得． 由解为非负整数且， 所以且为整数，且， 即且是3的倍数且． 当时，不是整数； 当时，不是整数； 当时，符合要求； 当时， 不是整数． 所以符合条件的整数m只有4，故和为4． 故答案为：4． 23．（25-26八年级上·重庆渝北·期末）若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是_____． 【答案】0 【分析】本题考查解不等式组和解分式方程，准确的计算是解决本题的关键． 先解不等式组，解得取的整数，再解分式方程，根据分式方程的解，确定的取值范围，最后综合两个取值范围，即可解题． 【详解】解：， ∴， 不等式组有且仅有3个整数解， ， ∴， 由题意得， 解得， 关于的分式方程有非负整数解， 有， 解得，即， ∴， 解得，且为2的倍数，为整数， 综上所述，可取，1， 则所有满足条件的整数的值之和是， 故答案为：0． 24．（25-26八年级上·重庆潼南·期末）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有整数的和是_____． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组和分式方程的知识点，解题关键是根据不等式组无解的条件和分式方程解的非负性确定整数的取值范围． 先解不等式组，根据无解条件求出m的取值范围；再解分式方程，根据解为非负数且分母不为零求出m的取值范围，最后求公共范围内所有整数的和． 【详解】解：解不等式组： 由 得：， 由 得 ， ∵不等式组无解， ∴，即； 解分式方程， 去分母得：， 整理得：． 解得：． ∵解为非负数且， ∴且， 解得：且． ∴的取值范围为： 且 ， ∴满足条件的所有整数为 ，，，，， 满足条件的所有整数的和为． 故答案为： 25．（25-26八年级上·重庆·期末）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组的解集和分式方程的正整数解的问题，读懂题意，正确解不等式组和分式方程是做题的关键．首先根据不等式组的已知解集求出的取值范围，然后利用分式方程的正整数解求出的取值范围，最后结合两个条件即可得出答案． 【详解】解：解不等式组： 解第一个不等式，可得， 解第二个不等式，可得， 又不等式组的解集为， ，即； 解分式方程： 可化为 ， 两边乘（）得，，即； 因为要求为正整数且， 所以且，即且， 同时为偶数，故为奇数， 结合，可得满足条件的整数为、、、， 故和为． 故答案为：． 题型六 不等式与分式方程的实际应用（共5小题） 26．（25-26九年级下·河南周口·期末）某农户购进甲、乙两种插秧机，已知甲比乙每小时多插1亩，甲插18亩与乙插12亩时间相同． (1)求甲、乙每小时插秧亩数； (2)安排共10台机器，每小时完成不少于24亩，甲费用80元/台，乙60元/台，求每小时最少费用． 【答案】(1)甲每小时插秧3亩，乙每小时插秧2亩 (2)每小时最少费用680元 【分析】（1）设乙种插秧机每小时插秧x亩，则甲种插秧机每小时插秧亩，列出分式方程即可求解； （2）设安排甲种插秧机m台，则安排乙种插秧机台，先由题意求出的取值范围，再列出费用的一次函数表达式，即可求解． 【详解】（1）解：设乙种插秧机每小时插秧x亩，则甲种插秧机每小时插秧亩， 由题意得，， 解得， 经检验为原方程解， ∴, ∴甲种插秧机每小时插秧3亩，乙种插秧机每小时插秧2亩． （2）解：设安排甲种插秧机m台，则安排乙种插秧机台， 由题意得，， 解得， 设费用为， 由题意得，， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，费用最少，最少费用为元． 27．（25-26八年级上·河北沧州·期末）商场购进A、B两种儿童玩具，每个A玩具进价比每个B玩具进价多2.5元，用200元购进A玩具的数量是用75元购进B玩具数量的2倍． (1)求A、B两种玩具进价分别为多少元？ (2)若A玩具每个售价为13元，B玩具每个售价为9.5元，商场购进B玩具的数量比购进A玩具的数量的2倍还多4个，两种玩具全部售出后，商场要使总的利润超过120元，则最少购进A玩具多少个？ 【答案】(1)A种玩具进价为10元，B种玩具的进价为7.5元 (2)17个 【分析】（1）设B玩具进价为元，则A玩具进价为元，结合用200元购进A玩具的数量是用75元购进B玩具数量的2倍，再建立方程求解即可； （2）设购进A玩具个，则购进B玩具数量为个，结合总的利润超过120元，再建立不等式求解即可. 【详解】（1）解：设B玩具进价为元，则A玩具进价为元， 由题意得： 解得： 经检验是原方程的解 ∴A种玩具进价为10元，B种玩具的进价为7.5元． （2）解：设购进A玩具个，则购进B玩具数量为个，由题意得： 解得 的最小值是17 所以最少购进A玩具17个． 28．（25-26八年级上·黑龙江双鸭山·期末）近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车，已知B款车每千米行驶费用比A款车多元． (1)两款车在相同路段且行驶里程相同时，A款车的总行驶费用为元，B款车的总行驶费用为元．求纯电动汽车和燃油车的每千米行驶费用； (2)已知A款车保险费：6500元/年，保养费用：1230元/年，B款车保险费：2900元/年，保养费：0.075元/千米，综合考虑行驶费用和其它费用，小明家年平均行驶里程为多少千米时，买电动车较为划算？ 【答案】(1)纯电动汽车的每千米行驶费用为元，燃油车的每千米行驶费用为元 (2)小明家年平均行驶里程超过时，购买纯电动汽车比较划算 【分析】本题考查分式方程与一元一次不等式在实际购车费用问题中的应用，解题关键是根据 “行驶里程相同”“费用比较” 等条件建立方程或不等式，理清费用的组成部分． （1）根据两款车行驶里程相同，建立分式方程求解每千米行驶费用，注意分式方程解完后必须检验； （2）根据年使用费用的构成（行驶费用 + 保险费 + 保养费），分别列出两款车的年费用表达式，再根据 “电动车更划算” 的条件建立一元一次不等式求解． 【详解】（1）解：设A款车每千米行驶费用a元，则B款车每千米行驶费用为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， , 答：纯电动汽车的每千米行驶费用为元，燃油车的每千米行驶费用为元． （2）解：设小明家年平均行使里程为， 纯电动汽车的年使用费用为元， 燃油车的年使用费用为元， 根据题意得：， 解得：， 答：当小明家年平均行驶里程超过时，购买纯电动汽车比较划算． 29．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）“读万卷书，行万里路”，某中学组织学生赴三星堆旅游景区参加研学活动．为了让学生切身体会到三星堆文化，研学基地特设了青铜器皿制作实践活动．活动中甲、乙两队均需制作36件青铜器皿，已知乙队每小时比甲队多制作6件，甲队完成任务所需要的时间是乙队完成任务所需时间的倍． (1)求甲、乙两队每小时各制作多少件青铜器皿？ (2)制作活动开始1小时后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回，于是甲乙两队决定合作完成剩下的任务，如果速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？如果不能，请求出两队合作后每小时至少需要多做多少件才能保证在乘车前完成任务． 【答案】(1)甲队每小时制作12件青铜器皿，乙队每小时制作18件青铜器皿 (2)不能，12件 【分析】（1）设甲队每小时制作x件青铜器皿，则乙队每小时制作件青铜器皿，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值即甲队的工作效率，再将其代入中，即可求出乙队的工作效率； （2）求出甲、乙两队两小时可完成的工作量，将其与剩下的任务比较后，可得出如果速度保持不变他们不能在乘车前完成任务，设两队合作后每小时需要多做y件才能保证在乘车前完成任务，根据两队要在乘车前完成任务，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲队每小时制作x件青铜器皿，则乙队每小时制作件青铜器皿， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 件 答：甲队每小时制作12件青铜器皿，乙队每小时制作18件青铜器皿； （2）解：第1小时甲、乙两队共制作：（件）， 总任务为（件）， 剩下的任务为（件）． 合作时，甲、乙两队每小时共制作（件）， 因为，所以他们不能在乘车前完成任务． 设两队合作后每小时需要多做件才能保证在乘车前完成任务， 根据题意得：， 解得：． 所以的最小值为12． 答：不能在乘车前完成任务，两队合作后每小时至少需要多做12件才能保证在乘车前完成任务． 30．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）随着气温的逐步降低，电热毯成为了许多家庭的必需品，某商场最新购进的A、B两款电热毯凭借智能定时，排潮除湿，双温双控等便捷操控功能，迅速赢得了消费者们的青睐．已知A款电热毯的进价比B款电热毯的进价高，且商场用8400元购进的A款电热毯的床数比用4500元购进的B款电热毯的床数多20床． (1)A、B两款电热毯的进价分别为每床多少元？ (2)若商场购进A、B两款电热毯共100床（两款电热毯均要购买），且花费的总价不高于10000元，购进后，A、B两款电热毯均按高于进价的定价出售．若电热毯全部售完，设商场购进A款电热毯a床，总利润为W元，求W与a之间的函数关系式，并利用一次函数的知识，求出最大利润． 【答案】(1)A款电热毯的进价为每床120元，B款电热毯的进价为每床90元 (2)最大利润为1998元 【分析】（1）设B款电热毯的进价为每床x元，则A款电热毯的进价用含x的代数式表示出来，根据题意列关于x的分式方程并求解即可； （2）列出关于a的一元一次不等式并求其解集；分别计算A、B两款电热毯的售价，再根据“总利润款电热毯的总利润款电热毯的总利润”写出W与a之间的函数关系式，由一次函数的增减性和a的取值范围，确定当a取何值时W最大，求出其最大值即可． 【详解】（1）解：设B款电热毯的进价为每床x元，则A款电热毯的进价为每床元， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， （元）． 答：A款电热毯的进价为每床120元，B款电热毯的进价为每床90元． （2）解：根据题意，得：， 解得：， A款电热毯的售价为（元）， B款电热毯的售价为（元）， 则， ∵， ∴W随a的增大而增大， ∵且x为正整数， ∴当时，W的值最大，． 答：最大利润为1998元． 题型七 分式方程有关的规律性问题（共5小题） 31．（25-26八年级上·广东湛江·期末）探索发现：；；…根据你发现的规律，回答下列问题： (1)______，______； (2)利用你发现的规律计算：______； (3)灵活利用规律解方程：． 【答案】(1)， (2) (3)方程的解为 【分析】本题考查找规律：数字的变化类、裂项相消法计算、解分式方程，熟练掌握有理数的混合运算法则，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）观察已知等式，写出所求即可； （2）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （3）根据得出的规律化简方程，求出解即可． 【详解】（1）解：根据上述规律， 可得，， 故答案为：，． （2）解： ， 故答案为：． （3）解：化简： 故可得 解上述分式方程，化简得， 解得，经检验：当时，原方程各分母均不为0，故是原方程的解， 故方程的解为． 32．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）阅读理解并回答问题： (1)观察下列各式： …… 请你猜想出表示（1）中的特点的一般规律，用含（表示整数）的等式表示出来________； (2)请利用上述规律计算：（要求写出计算过程）； (3)请利用上述规律，解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了分式的加减法和分式方程的解法，弄清题中的拆项法是解本题的关键． （1）由题干中的各式总结规律即可； （2）原式变形后，利用拆项法变形，抵消合并即可得到结果； （3）方程利用拆项法变形后，即可通过解分式方程求出解． 【详解】（1）由题意得，； （2） ； （3） ， 整理得：， 去分母得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， 则原方程的根是． 33．（25-26八年级上·全国·期末）探索规律： (1)直接写出计算结果： = ． (2)仿照（1）的方法探究可知， 可变形为 ． (3)运用规律解方程： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的裂项相消法及分式方程的求解，解题的关键是掌握裂项公式，并利用其化简计算． （1）利用裂项相消法，将每一项拆分为两个分数的差，再抵消中间项计算； （2）仿照（1）的方法探究可得出的变形形式； （3）先利用裂项相消法化简方程左边，再解分式方程并检验． 【详解】（1）解：原式 故答案为：． （2）解： 故答案为：． （3）解：原方程可化为 ， 即， ∴， 即． 两边同乘（)得，， 解得． 检验：当时，原方程各分母均不为0，故是原方程的解． 答：原方程的解为． 34．（25-26八年级上·广东汕头·期末）（1）【观察】；； 【猜想】若为正整数，请你猜想第个等式（用含的式子表示），并证明． （2）【拓展】 ①利用你发现的规律计算：； ②利用上述规律解答：若的值为，求n的值． 【答案】（1），证明见解析；（2）①；②25 【分析】本题考查了分式规律探究，异分母减法，分式方程，理解题意，观察得到规律，并熟练掌握分式的运算法则是解题关键． （1）由题意给的规律即可通过分式的减法进行证明； （2）①根据裂项，每项拆分为两个分数之差，将所有项相加，中间项相互抵消即可求解； ②根据题目的意思，裂项合并后，得到分式方程即可求解． 【详解】（1）解：第n个等式为：； 证明如下： ． （2）解：① ． ②∵ ， ∴， 解得， 经检验是分式方程的解， 的值为25． 35．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）根据规律答题． 小明同学在一次教学活动中发现：方程 的解为 方程 的解为 方程 的解为 以此类推： (1)请你依据小明的发现，猜想关于x 的方程 的解是______； (2)根据上述的规律，猜想由关于x 的方程 得到 ________； (3)拓展延伸：由（2）可知，在解方程 时，可变形转化为 的形式求值， 按要求写出你的变形求解过程． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查分式的运算，理解材料提示的计算方法，掌握分式的混合运算是解题的关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据材料提示的计算方法计算； （3）根据题意原式变形得，结合材料提示的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，方程 的解是， 故答案为：； （2）解：猜想关于的方程得到或， 故答案为：或； （3）解：， 变形得，，整理得，， ∴或， 解得，． 题型八 分式方程中的新定义型问题（共5小题） 36．（25-26七年级上·河北保定·期末）对于实数，定义一种新运算“”为，这里等式右边是通常的实数运算．例如：． (1)求的值； (2)求方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算，解分式方程； （1）按照新运算的公式计算即可； （2）先将目标式变形为分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解： 当，，所以是原方程的解。 37．（24-25七年级下·浙江金华·期末）定义：形如，两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．如，其中，． (1)试判断，是不是十字分式方程？若是，求该方程的解． (2)若十字分式方程的解为，，求下列代数式的值： ①； ②． 【答案】(1)是，， (2)①10；② 【分析】本题考查解分式方程、代数式求值，理解“十字分式方程”的定义是解答的关键． （1）验证，是方程的解，再根据“十字分式方程”的定义可得结论； （2）由“十字分式方程”的定义得到，，． ①化为，再代值求解即可； ②化为，再代值求解即可． 【详解】（1）解：解分式方程， 去分母，得， 或， ， 经检验，、都是方程的解． 原分式方程的解为：，． ，， 方程是十字分式方程． （2）解：是十字分式方程，其解为，， ，，． ①，， ； ② ． 38．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对” (1)下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有________．（填字母） A．； B． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 【答案】(1)B (2)． 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当，时， 分式方程，解得， ， 不是“关联数对”； 当，时， 分式方程，解得， ， 是“关联数对”； 故答案为：B； （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ， 解得， ， ， 解得． 39．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）定义：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整数值”． 例如，，，，则与互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，判断与是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整数值”．若分式的值为正整数，求正整数的值． (3)记（2）中分式的值为正整数，已知分式，，且，若关于的方程无解，直接写出的值． 【答案】(1)是互为“和整分式”， (2) (3)或 【分析】本题考查新定义“和整分式”的理解，分式的加减运算，分式方程的解法及无解问题，理解新定义是解题关键． （1） 先化简分式，再计算的结果，根据新定义判断是否为和整分式并确定值． （2）先根据和整分式的定义求出，再化简，结合为正整数及为正整数求解的值． （3）先确定的值，再根据列出方程，分一次项系数为0和方程有增根两种情况求解的值． 【详解】（1）解： 是正整数 与是互为“和整分式”，“和整数值” （2）解：， 与互为“和整分式”， （） 的值为正整数，为正整数 为的负约数 或 解得或 是正整数 舍去 答：正整数的值为1． （3）解：由（2）知 两边乘得 整理得 关于的方程无解 分两种情况 情况一： 解得，此时方程，无解 情况二：方程有增根，增根为 将代入 得 解得 综上，的值为或． 40．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）不妨定义：如果两个代数式A，B的值满足，则称A，B具有和谐关系．当具有和谐关系的两个代数式A，B都是整式时，则称A，B互为和谐整式；当具有和谐关系的两个代数式A，B都是分式时，则称A，B互为和谐分式． (1)判断下列说法的正误，对的打“√”，错误的打“×”． ①整式与对任意x都具有和谐关系；（  ） ②分式 与 互为和谐分式；（  ） ③如果分式与互为和谐分式，则．（  ） (2)当时， 如果分式与始终互为和谐分式，求a和b的值； (3)已知x，y都是整数，当整式与互为和谐整式时，求x、y的值． 【答案】(1)① ×；②√；③ × (2) (3)或 或或 【分析】本题主要考查了解分式方程，解二元一次方程组，因式分解的应用，分式的加法运算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据和谐分式和和谐整式的定义可判断①②；根据和谐分式的定义可得方程，解方程可判断③； （2）根据和谐分式的定义可得，则可得到，进而得到，解之即可得到答案； （3）根据题意可得，则可推出，再把5分解成2个整数的乘积，则可得到关于x、y的方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：①， ∵对于任意的x，的值不一定为1， ∴整式与对任意x不一定具有和谐关系，故错； ②， ∴分式 与 互为和谐分式，故对； ③当分式与互为和谐分式时，则， ∴， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，故错； （2）解：∵当时， 如果分式与始终互为和谐分式， ， ∴， ∴， ∵当时，等式恒成立， ∴， ∴； （3）解：∵与互为和谐整式， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵都是整数， ∴都是整数， ∵， ∴或 或 或 解得或 或或． $高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题06分式方程及应用（含参数问题) 题型归纳·内容导航 题型1解分式方程（重点） 题型5不等式与分式方程综合含参数解的问题（难点） 题型2已知分式方程的增根求参数的值（难点） 题型6不等式与分式方程的实际应用（重点） 题型3已知分式方程无解求参数的值（难点） 题型7分式方程有关的规律性问题（难点） 题型4已知分式方程的解的情况求参数的取值范围（难点)：题型8分式方程中的新定义型问题（难点） 题型通关·靶向提分 题型一解分式方程（共5小题） 1.(25-26八年级上黑龙江鹤岗·期末)解方程 ①)21 x-4x+19 @2 2.(25-26八年级上湖南株洲·期末)解下列方程： ①13 x+12r+1 ②)x-2xx-2 =1 3.（25-26八年级上山东临沂·期末)解方程： (1)、2 4 2x-14x2-1 、315 2)23x-16x-2 4.(25-26八年级上湖南常德·期末)解方程： ①1=4 0x-2x2-4 2=5 @3r2*23 5.(25-26八年级上·江西宜春期末)解方程 03t-1 x2-9x-3 a1-x-+2 3 1/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型二已知分式方程的增根求参数的值（共5小题） 6. (25-26八年级上河北石家庄期末)关于x的方程3-2=2+”有塔根，则增根是 x+1 x+1 1m= 7.(25-26八年级上河南许昌期末)若关于x的分式方程2，++“=1有增根，则a= x-33-x 8.(2526八年级上河南周口期末)若关于x的分式方程x+,k=3有增根，则k= x-2'2-x 9. (2526七年级上上海期末)若关于X的方程、3，+m=2+m有塔根，则m的值为 x-4'x+4x2-16 10.(25.26八年级上全国期末)解分式方程2+，5=m会产生增根，则m= x+11-xx2-1 题型三已知分式方程无解求参数的值（共5小题） 电，(25-26八年级上陕西延安期末)若关于x的分式方程，32a= =3a无解，则a的值为 3-x +ax=3无解，则a的值是 卫。(25-26八年级上山东日照期末)若关于x的分式之7 13.(2526八年级上陕西商洛期末)若关于x的分式方程2，++m=2无解，则m= x-33-x 1+m= 2m+2 14.(25-26八年级上河北邯郸期末)若关于x的方程 -1-2(x-x-2无解，则m的值 15.(25-26八年级上黑龙江大兴安岭期末)若关于x的分式方程，1。十k。:3,无解，则满足 X-2X+2x2-4 条件的k值为 题型四已知分式方程的解的情况求参数的取值范围（共5小题） 6.25-26八致上江通)若关于x的分式方程，广3三么的解为正数，则m的取值范围 3-1-x 是 17.(25-26八年级上山东临沂期未)若关于x的分式方程、】。+k。=3,有解，则k需满足的 程x-2+x+2=x-4 条件是 18.(25-26八年级上四川绵阳期末)若关于x的分式方程-】，-2的解为非负数，则实数4的最小值 x-22-x 为 2/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 19.(25.26八年级上河南商丘期末)已知关于X的分式方程人+2x+k=1的解为负数，则k的取值范 x+1x+1 围是 20.(25-26八年级上山东临沂期末)如果关于x的分式方程2x-m=1的解是正数，那么实数m的取值范 x+1 围是 题型五不等式与分式方程综合含参数解的问题（共5小题） 21.(25-26八年级上重庆期未)若关于x的分式方程虹-2+，3=1的解为非负数，关于y的一元一次不 x-11-x 等式组 y-1>y-3 2有解且最多有3个整数解，则所有满足条件的整数k的值的和是 3y-k≤1 22.(25-26八年级上江西南昌·期末)若关于y的不等式组 y-2<y+2 3有且只有3个整数解，且关于x的 4y+1-m≥0 分式方程3-】=m的解为非负整数，则符合条件的所有整数m的和为 1-xx-1 +1≥x+5 23.(25-26八年级上·重庆渝北期末)若关于x的不等式组{3 有且仅有3个整数解，且 4x-2)<-2x+a+1 关于y的分式方 4少-a-7=2有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 y-11-y 24.(25-26八年级上·重庆潼南·期末)若关于x的不等式组 x+2≤3无解，且关于x的分式方程 3x>m 4一mx-一1=3的解为非负数，则满足条件的所有整数m的和是 x-33-x x-11 1 ->-X+ 236 25.(25-26八年级上·重庆期末)若关于x的一元一次不等式组 的解集为x>4,且关于y 2 a >x+1 的分式方程，二。=2+有正整数解、侧所有满足条件的整数口的值之和是 题型六不等式与分式方程的实际应用（共5小题） 26.(25-26九年级下·河南周口·期末)某农户购进甲、乙两种插秧机，已知甲比乙每小时多插1亩，甲插 18亩与乙插12亩时间相同. ()求甲、乙每小时插秧亩数： 3/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)安排共10台机器，每小时完成不少于24亩，甲费用80元/台，乙60元/台，求每小时最少费用 27.（25-26八年级上河北沧州期末)商场购进A、B两种儿童玩具，每个A玩具进价比每个B玩具进价 多2.5元，用200元购进A玩具的数量是用75元购进B玩具数量的2倍. ()求A、B两种玩具进价分别为多少元？ (2)若A玩具每个售价为13元，B玩具每个售价为9.5元，商场购进B玩具的数量比购进A玩具的数量的2 倍还多4个，两种玩具全部售出后，商场要使总的利润超过120元，则最少购进A玩具多少个？ 28.(25-26八年级上·黑龙江双鸭山期末)近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注.小明家里计 划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车，已知B款车每千米行驶费用比A款车 多0.45元 (1)两款车在相同路段且行驶里程相同时，A款车的总行驶费用为7.5元，B款车的总行驶费用为18.75元.求 纯电动汽车和燃油车的每千米行驶费用； (2)已知A款车保险费：6500元/年，保养费用：1230元/年，B款车保险费：2900元/年，保养费：0.075元/ 千米，综合考虑行驶费用和其它费用，小明家年平均行驶里程为多少千米时，买电动车较为划算？ 29.(24-25八年级上·四川绵阳·期末)“读万卷书，行万里路”，某中学组织学生赴三星堆旅游景区参加研 学活动.为了让学生切身体会到三星堆文化，研学基地特设了青铜器皿制作实践活动.活动中甲、乙两队 均需制作36件青铜器皿，已知乙队每小时比甲队多制作6件，甲队完成任务所需要的时间是乙队完成任务 所需时间的1.5倍. (1)求甲、乙两队每小时各制作多少件青铜器皿？ (②)制作活动开始1小时后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回，于是甲乙两队决定合作完成剩下 的任务，如果速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？如果不能，请求出两队合作后每小时至少需要 多做多少件才能保证在乘车前完成任务， 30.(24-25八年级上·重庆北碚·期末)随着气温的逐步降低，电热毯成为了许多家庭的必需品，某商场最 新购进的A、B两款电热毯凭借智能定时，排潮除湿，双温双控等便捷操控功能，迅速赢得了消费者们的青 的进价比B款电热毯的进价高冫且商场用8400元购进的A款电熟 元购进的B款电热毯的床数多20床. (1)A、B两款电热毯的进价分别为每床多少元？ (2)若商场购进A、B两款电热毯共100床（两款电热毯均要购买），且花费的总价不高于10000元，购进后， A、B两款电热毯均按高于进价的20%定价出售.若电热毯全部售完，设商场购进A款电热毯α床，总利润 为W元，求W与a之间的函数关系式，并利用一次函数的知识，求出最大利润. 4/7 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型土分式方程有关的规律性问题（共5小题） 31.(25-26八年级上广东湛江·期末)探索发现： =1-:1=1:111 1×2 223233x434很据你发现验 规律，回答下列问题： (1)1 1 = 4×5 ’nxn+1— 1 ，1,1 (2利用你发现的规律计算：1×2十2×3+3x4++nxI+一 1 1 1 (③)灵活利用规律解方程：xx+1+x+1(x+2+…+(x+2025x+2026x+2026· 32.(24-25七年级下·安徽合肥·期末)阅读理解并回答问题： (1)观察下列各式： 1111111111111111 21x2i262×323123x434204x545… 1 请你猜想出表示(1)中的特点的一般规律，用含x(x表示整数)的等式表示出来 xx+1) 111 1 1 (②)请利用上述规律计算：（要求写出计算过程）2+6+12 …+ (n-)n'n(n+ 1 1 1 1 3)请利用上述规律，解方程：x-2x-可+x-)xxx++1 33.(25-26八年级上·全国·期末)探索规律： 1 1 1 1 (①)直接写出计算结果：1x22×33x4 +…+ n(n+1 1 (②)仿照(1)的方法探究可知， n(n+2可变形为 1 1 1 3 3)运用规律解方程： xx+3)(x+3(x+6+(x+6)(x+92x+18 34.(2526八年袋上广东油头期未)0D【观察】21-分女-方304兮 11111-11. 【猜想】若n为正整数，请你猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明. (2)【拓展】 ①利用你发现的规律计算：，1+1+ 1 十十 1×22×33×4 2025×2026 111 ②利用上述规律解答：若2x4+4×66×8 2m2n+2的值为25 1 +… 约104’求n的值. 35.(24-25八年级上湖南怀化期末)根据规律答题. 小明同学在一次教学活动中发现：方程x+1=2+)的解为，=2，=)方程x+1=3+的解为 5/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 x=3,2=3 方程x+1=4+ 1 1 的解为x=4=4… 以此类推： )请你依据小明的发现，猜想关于x的方程x+上=8+ 1 的解是 8 (②)根据上述的规律，猜想由关于x的方程x+1+1 +=a+a≠0)得到x+1= a (3)拓展延伸：由(2)可知，在解方程x+x+2=82 时，可变形转化为x+上=a+上的形式求值，按要 x+19 a 求写出你的变形求解过程. 题型八分式方程中的新定义型问题（共5小题） 36.（2②526七年级上河北保定期未)对于实数a,6,定义一种新运算8为a@h=。合，这里等式右边 是通常的实数运算.例如：1②3=，1=-」 -1-32-8 (1)求3⑧(-2)的值： 2求方程x8(-2=2-1的解。 x-4 37.(2425七年级下浙江金华期未)定义：形如x+ab=a+bb≠0，两个解分别为x=a,x,=b的方 程称为“十字分式方程，如+2=3，其中a=2,b=1. ①)试判断x+6=-5,是不是十字分式方程？若是，求该方程的解。 2)若十字分式方程x-1=3的解为x=a,x,=b,求下列代数式的值： ①a2+3b; ②+0 a b 38.(24-25八年级下山东枣庄期末)新定义：如果两个实数a,b使得关于x的分式方程+1=b的解是 x=1成立，那么我们就把实数a,b组成的数对a,b]称为关于x的分式方程+1=b的一个“关联数对”： a+b 例如：口=2，b=-5使得关于x的分式方程子+1=5的解是x=2+-可-亏成立，所以数对2-5)就是关于 1 x的分式方程“+1=b的一个“关联数对” (1)下列数对是关于x的分式方程“+1=b的关联数对”有 (填字母) 6/7 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.[-2,4;B.3,-5 (2)若数对 -m,2+m是关于的分式方程+1=b的关联数对”，求的值。 1, 39. (25-26八年级上湖南郴州期末)定义：如果两个分式M与N的和为常数k,且k为正整数，则称M 与N互为“和整分式”，常数k称为“和整数值” 例如，M=x +'M+W=x+1 x+十x+1,则M与N互为和整分式”，“和整数值”=1. I)已知分式A=十2，B=x+9 9x+2x-可判断4与8是否互为和整分式”，若是，请求出“和整数值，若 不是，请说明理由； -2，DsE ②)已知分式C=3xr-4 9=二4：C与D互为和整分式，且“和整数值”k=3.若分式D的值为正整数， 求正整数x的值. 3)记(2)中分式D的值为正整数t,已知分式P=3x-5, x3。三3，且P+01,若关于的方程无解 3-x 直接写出m的值， 40.(25-26八年级上湖南长沙期末)不妨定义：如果两个代数式A,B的值满足A+B=1,则称A,B具 有和谐关系.当具有和谐关系的两个代数式A,B都是整式时，则称A,B互为和谐整式；当具有和谐关系 的两个代数式A,B都是分式时，则称A,B互为和谐分式. (1)判断下列说法的正误，对的打“V,错误的打“×”. ①整式x-1与x+2对任意x都具有和谐关系；() ②分式 2n-1与1-”互为和谐分式；（） n n ③如果分式x与2 +与互为和谐分式，则=3·) 回当3时，复果分式票与，之始锋互为和指分式，求a和6的值： (3)已知x,y都是整数，当整式(x+y)与-4y2+1)互为和谐整式时，求x、y的值. 7/7