专题05 分式与分式的化简求值（含整数问题）（期末复习专项训练+10大题型）八年级数学下学期新教材北师大版

**基本信息** 聚焦分式核心概念与运算，以10类题型构建“概念辨析-条件应用-运算提升-创新拓展”的完整逻辑链，覆盖常考点、重点及难点，强化数学抽象与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念基础|题型1-4（20题）|辨析分式定义、最简分式、公分母，判断变形正确性|从分式本质属性出发，构建概念认知框架| |条件应用|题型5-6（10题）|求解分式值为整数/正负时的未知数范围|结合分式性质，深化对分式有意义条件的理解| |运算核心|题型7-8（10题）|分式混合运算与化简求值（含自选参数）|培养运算能力，强化代数变形的规范性| |拓展创新|题型9-10（10题）|规律性问题与新定义运算（如“美好分式”）|发展推理意识与创新思维，提升数学语言表达能力|

专题05 分式与分式的化简求值（含整数问题） 题型1 分式、最简分式、最简公分母（常考点） 题型6 求使分式为正(负)数时未知数的取值范围（难点） 题型2 分式有无意义的条件（常考点） 题型7 分式的混合运算（重点） 题型3 分式的值为0的条件（常考点） 题型8 分式化简求值（重点） 题型4 判断分式变形是否正确（常考点） 题型9 分式运算有关的规律性问题（难点） 题型5 求使分式值为整数时未知数的整数值（难点） 题型10 分式运算中的新定义型问题（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 分式、最简分式、最简公分母（共5小题） 1．（25-26八年级上·广西河池·期末）下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式． 【详解】解：A．的分母π是常数，不是字母，属整式；     B．分母含字母，属分式；     C．是多项式，属整式；     D． 的分母2是常数，不是字母，属整式． 2．（25-26八年级上·河北邢台·期末）下列各式中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简分式的定义，分子与分母没有公因式的分式为最简分式． 根据最简分式的定义逐一判断各选项的分子分母是否存在公因式即可． 【详解】解：A选项的分母不含字母，属于整式，不是分式，不符合最简分式的要求； B选项中，分子分母有公因式（），约分后为，不是最简分式，不符合最简分式的要求； C选项中，分子分母有公因式（），约分后为，不是最简分式，不符合最简分式的要求； D选项是分式且分子分母无公因式，是最简分式，符合最简分式的要求； 故选：D． 3．（25-26八年级上·湖南娄底·期末）代数式，，，，，中，属于分式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的判断等知识点，解题关键是掌握分式的定义． 根据分式的定义，对每个代数式逐一分析，再作出判断． 【详解】解：是整式，它不是分式； 中是常数，分母不含字母，它是整式，它不是分式； 分母含字母，它是分式； 是整式，它不是分式； 分母含字母，它是分式； 分母含字母，它是分式， ∴属于分式的有、、，共3个， 故选：B． 4．（25-26八年级上·广东肇庆·期末）如果把分式与进行通分，它们的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简公分母的确定．先将分式的分母因式分解，再根据最简公分母的定义，取各分母所有因式的最高次幂的乘积得到最简公分母． 【详解】解：分式与的最简公分母是． 故选：C． 5．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）下列分式中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简分式的判断，根据最简分式的定义（分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式），逐一判断各选项的分子分母是否存在公因式即可． 【详解】解：选项A中，分子分母有公因式，可化简为，不是最简分式，故A不符合题意； 选项B中，分子分母有公因式，可化简为，不是最简分式，故B不符合题意； 选项C中，分子与分母没有公因式，是最简分式，故C符合题意； 选项D中，分子分母有公因式，可化简为，不是最简分式，故D不符合题意． 故选：C． 题型二 分式有无意义的条件（共5小题） 6．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）若分式的值存在，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式有意义，分式的值存在要求分母不为0，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵分式的值存在， ∴分母不能为0，即， 解得． 7．（25-26八年级上·山东德州·期末）若要使有意义，则x的取值范围为（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】要使该代数式有意义，需同时满足二次根式和分式有意义的条件，据此分别列出不等式求解，即可得到x的取值范围． 【详解】∵要使有意义，需同时满足两个条件： ①二次根式被开方数非负，即， ②分式分母不为0，即，解得， ∴的取值范围为且． 8．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）已知分式满足下列表格中的信息，则分式有可能是（   ） 的值 1 2 的值 无意义 0 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式无意义及分式的值为0的条件，分式无意义时分母为0，分式的值为0时分子为0且分母不为0，根据这两个条件分析选项即可． 【详解】∵当时，分式无意义 ∴分式的分母在时的值为0 ∵当时，分式值为0 ∴分式的分子在时的值为0，且此时分母不为0 A．当时，分母，分式无意义 当时，分子，分母，分式的值为0，符合条件，故本选项符合题意； B．当时，分母，分式有意义，不符合条件，故本选项不符合题意； C．当时，分子，分式的值不为0，不符合条件，故本选项不符合题意； D．当时，分母，分式有意义；时，分子，分式的值不为0，不符合条件，故本选项不符合题意； 故选：A． 9．（25-26八年级上·河南周口·期末）若分式无意义，则x的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式无意义的条件，熟练掌握分母为0是解题的关键． 要使分式无意义，需满足分母为0．据此求解即可． 【详解】解：由题意，得 解得：， 故选：B． 10．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）若分式有意义，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式有意义的条件．根据分式有意义的条件是分母不为零，进行求解即可． 【详解】解：由题意，即， ∴； 故选：A． 题型三 分式的值为0的条件（共5小题） 11．（25-26八年级上·山东淄博·期末）若分式的值为0，则的值是________． 【答案】0 【分析】此题考查了分式的值为0的条件．分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0．据此解答即可． 【详解】解；由分子 ，得； 当时，分母， 即的值是0． 故答案为：0 12．（25-26八年级上·广东广州·期末）若分式的值为0，则m的值为______． 【答案】 3 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0． 【详解】解：分式的值为0，则分子，解得， 检验分母：当时，分母， ∴符合题意， 故答案为：3． 13．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）若分式的值为0，则整数x的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查分式值为0的条件，解题关键是明确分式值为0需满足分子为0且分母不为0． 先求解分子为0时的x值，再排除使分母为0的x值，从而确定整数x的值． 【详解】解：根据分式的值为0得，， 解得或， 又∵， 即， ∴， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·山东临沂·期末）若分式的值为0，则x的值为______． 【答案】3 【分析】本题考查了分式值为零的条件，分式值为零的条件是分子为零且分母不为零． 根据分式值为零的条件判断即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得或， 当时，分母，分式无意义； 当时，分母，分式有意义且分式值为零． 故答案为：3． 15．（24-25八年级上·北京·期末）分式有意义，x的取值范围是__________；分式的值为0，则x的值为__________． 【答案】 3 【分析】此题考查了分式为0和分式有意义的条件． 分式有意义的条件是分母不为零；分式值为零的条件是分子为零且分母不为零．据此进行解答即可． 【详解】解：当分式 有意义时，分母， 故的取值范围是； 当分式的值为时， 需满足 ， 解得， 故的值为． 故答案为：， 题型四 判断分式变形是否正确（共5小题） 16．（25-26八年级上·河北邢台·期末）根据分式的基本性质，下列变形一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据“分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变”这一性质，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．当时，的分母为，分式无意义，故该变形不一定正确，不符合题意， B．的分子分母分别平方，并非同时乘同一个不为的整式，故变形错误，不符合题意， C．的分子分母同时加，不符合分式基本性质，故变形错误，不符合题意． D．∵中（否则原式无意义），∴，故变形正确，符合题意． 17．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）下列分式从左到右变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同时乘以或除以同一个不为0的数或式子，分式的值不变，逐项判断变形是否正确即可． 【详解】解：A、，原式变形错误，不符合题意； B、，原式变形正确，符合题意； C、只有当时，成立，原式变形错误，不符合题意； D、，原式变形错误，不符合题意； 故选：B． 18．（25-26八年级上·河南周口·期末）下列变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，需依据“分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变”这一性质，逐一分析各选项的变形是否正确，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵分式的基本性质为：分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变， ∴、将的分子分母同乘，得，与不相等，故该选项变形错误，不符合题意； 、，又，故该选项变形正确，符合题意； 、化简得（），与选项中的结果符号相反，故该选项变形错误，不符合题意； 、当时，无意义，不满足分式基本性质中“乘不为的整式”的要求，故该选项变形错误，不符合题意； 故选：． 19．（25-26八年级上·河南商丘·期末）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的约分，需根据分式的基本性质，对各选项分子分母因式分解后约分，判断等式是否恒成立． 【详解】解：∵，∴A选项错误，不符合题意； ∵，∴，∴B选项错误，不符合题意； ∵，∴，∴C选项错误，不符合题意； ∵，∴（），∴D选项正确，符合题意； 故选：D． 20．（25-26八年级上·河南周口·期末）下列变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质，是解题的关键．根据分式的基本性质及分式的符号法则，逐一判断各选项的变形是否正确即可． 【详解】解：A．的分子分母同乘10，得，故A变形错误； B．，故B变形正确； C．，故C变形错误； D．当时，无意义，不满足分式基本性质中“同乘的数不为0”的条件，故D变形错误． 故选：B． 题型五 求使分式值为整数时未知数的整数值（共5小题） 21．（25-26九年级上·山东烟台·期末）当整数m____时，分式的值也为整数． 【答案】1或或2或 【分析】此题考查分式的值． 先将分式分离常数，根据分式值为整数的条件，确定分母是6的整数约数，再通过解方程求出整数m的值． 【详解】解： ∵m为整数，分式的值也为整数． ∴是整数， ∵是奇数， ∴或， 解得整数1或0或2或， 故答案为：或或2或 22．（25-26八年级上·云南昆明·期末）若分式的值为整数，则符合条件的所有整数的和为__________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值，根据分式的值是整数列式计算是解题的关键．根据分式的值为整数，则分母 必须是分子的约数，即，，，分别求解，并筛选出整数解，最后求和即可． 【详解】解：分式的值为整数， 是的约数，即，，， 当时，； 当时，； 当时，，不是整数； 当时，，不是整数； 当时，，不是整数； 当时，，不是整数， 符合条件的整数为和， 它们的和为； 故答案为：． 23．（25-26八年级上·北京通州·期末）若为整数，且使分式的值是整数，则的值是______． 【答案】，，0，1 【分析】本题主要考查分式的值，掌握求解的方法是解题的关键；要使分式的值为整数，则分母必须为6的约数，即的值为，，，，再结合x为整数求解即可． 【详解】解：因为分式的值为整数，且x为整数，所以是6的约数， ∴或或或， 当时，解得，当时，解得； 当时，解得（不符合整数条件，舍去），当时，解得（不符合整数条件，舍去）； 当时，解得，当时，解得； 当时，解得（不符合整数条件，舍去），当时，解得（不符合整数条件，舍去）； 因此，x的值为，，0，1； 故答案为，，0，1． 24．（25-26七年级上·上海松江·期末）若分式的值为整数，则所有符合条件的正整数x的值为_______． 【答案】2或3/3或2 【分析】本题考查了分式的值，掌握相关知识是解题的关键． 分式化简为，值为整数时，是的约数，结合为正整数且分母不为零，求解即可． 【详解】解：分式， 要使分式的值为整数，则为整数，即是的约数， 的约数为和， 所以或或或， 解得或或或， 由于为正整数，且（分母）， 所以符合条件的为2或3． 故答案为：2或3． 25．（25-26八年级上·河北承德·期末）阅读资料，解决问题： 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：． (1)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式分别化为带分式； (3)如果分式的值为整数，求所有符合条件的负整数的值． 【答案】(1)假分式 (2)， (3) 【分析】本题考查分式的化简，分式的求值，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义进行判断即可； （2）根据题干给定的方法，进行求解即可； （3）先将假分式化为带分式，再根据分式的值为整数，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，分式是假分式； （2）解：； ． （3）解：， 若使原分式的值为整数，则的值为整数， 或， ∴， ∴符合条件的负整数的值为． 题型六 求使分式为正(负)数时未知数的取值范围（共5小题） 26．（24-25八年级上·山东临沂·期末）当分式的值为正数时，写出一个满足条件的的值为______________． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，根据题意可得，则，据此可得答案． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴， ∴， ∴满足题意的x的值可以为2， 故答案为：2（答案不唯一）． 27．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）已知分式的值为正数，写出一个符合条件的的正整数值：_____． 【答案】4（答案不唯一，填写1，2，3，4四个数中的任何一个都对） 【分析】本题主要考查了分式的值，根据除法的符号法则可知分子与分母同号，又分子，故分母， 从而求出的取值范围，熟练掌握分子与分母同号，分式的值大于0，分子与分母异号，分式的值小于0是解决此题的关键． 【详解】解：∵分式的值为正数， ， 又 ， ， ， 故当时，分式的值为正数， ∴的正整数值可为4（答案不唯一，填写1，2，3，4四个数中的任何一个都对）， 故答案为：4（答案不唯一，填写1，2，3，4四个数中的任何一个都对）． 28．（22-23八年级上·黑龙江大庆·期末）已知分式的值为正数，则a的取值范围________． 【答案】且 【分析】根据分式的值为正数，那么分子与分母的符号相同，结合分子大于等于0进行求解即可． 【详解】解：∵分式的值为正数，， ∴， ∴且， 故答案为：且． 29．（22-23七年级下·黑龙江绥化·期末）若分式的值为负数，则的取值范围是____． 【答案】且 【分析】根据分式的分母不能为0得出，再根据分式的值为负数得出，进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， ， 分式的值为负数， ， ， 的取值范围是且， 故答案为：且． 30．（25-26八年级上·重庆潼南·期末）若分式的值为正，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为正数或负数时字母的取值范围，解不等式；由题意得，解不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为正，且， ∴， ∴． 故答案为 ． 题型七 分式的混合运算（共5小题） 31．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）计算：． 【答案】． 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，包括分式的通分、因式分解、约分以及除法变乘法的法则，熟练掌握分式混合运算的顺序和运算法则是解题的关键． 先对括号内的分式进行通分并相加，再将除法转化为乘法，同时对分子分母进行因式分解，最后通过约分得到最简结果． 【详解】解：原式 ． 32．（25-26九年级上·陕西西安·期末）化简：． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，即可求解． 【详解】解： ． 33．（25-26七年级上·上海·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算． 先计算括号里的减法，再计算除法即可． 【详解】解： ． 34．（25-26八年级上·山东泰安·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则． （1）先计算除法，再计算减法； （2）先计算括号内减法，再计算除法． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ． 35．（25-26八年级上·重庆江北·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1)b (2) 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，分式的加减乘除混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理式子，再把除法化为乘法，运用分式的乘法进行计算，即可作答． （2）先通分括号内，再运算括号内的减法，然后把除法化为乘法，运用分式的乘法进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型八 分式化简求值（共5小题） 36．（25-26八年级上·四川自贡·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为 【分析】本题考查分式的化简求值，关键是先对括号内的式子通分，再将除法转化为乘法，通过因式分解进行约分，最后代入数值计算． 【详解】解：原式 ． 当时，． 37．（25-26八年级上·山东济宁·期末）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，平方差公式和完全平方公式，二次根式的化简，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）先对分式进行化简，然后代数求值即可； （2）先对分式进行化简，然后代数求值即可． 【详解】（1）解： 将代入上式得， 原式； （2）解： 将代入上式得， 原式． 38．（25-26八年级上·江西赣州·期末）先化简，再从，，，四个数中选一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值及分式有意义的条件，即分母不等于零，熟练掌握知识点是解题的关键； 先将除法转化为乘法，再化简即可，根据分式有意义的条件，确定的值，代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ， ，， ，，1， 当时，原式． 39．（25-26八年级上·四川泸州·期末）先化简，再求值：，其中从3、2、1、中选取一个合适的数代入求值． 【答案】化简结果为；当时，值为 【分析】本题考查分式的化简求值，关键是先因式分解、通分进行化简，再根据分母不为零的条件选择合适的代入计算． 【详解】解： ． 由分母不为零，得且，只能取， 代入得． 40．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）先化简，再求值：，取不等式的正整数解其中的一个代入求值． 【答案】；1 【分析】本题考查了分式化简求值，分式加减乘除混合运算，求一元一次不等式的整数解，分式有意义的条件，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先将中括号里的通分，再将除法转化为乘法计算，然后求得不等式的正整数解，根据分式有意义，得到字母a的值，再代入求值即可． 【详解】解：原式 解不等式，得， 不等式的正整数解为1，2，3， ∵要使分式有意义， ∴，，，， ∴且且， ∴可以取1或3， 当时， 原式 ； 当时， 原式 ． 题型九 分式运算有关的规律性问题（共5小题） 41．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）观察与思考：①；②；③ (1)根据上述等式的规律，直接写出第④个等式； (2)试用含n（为自然数，且）的等式表示这一规律，并说明该等式的正确性． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了数字类规律探究和分式的运算，正确得到规律是解题的关键； （1）根据前几个等式找到规律求解即可； （2）先根据（1）题的规律得出一般的等式形式，再根据分式的运算法则验证即可． 【详解】（1）解：因为①； ②； ③ 所以第④个等式是； （2）解：由（1）题可得：第n个等式为：； 证明：右边 左边； 所以原等式是正确的． 42．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）观察下列等式： ①； ②； ③； ．．． (1)根据以上规律写出第④个等式：___________； (2)用含字母（为正整数）的等式表示你发现的规律，并说明规律的正确性； (3)利用你发现的规律，计算：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，列代数式，解答的关键是得出所给的数字的规律． （1）根据等式的规律写出第④个等式即可； （2）根据等式的规律写出第n个等式，把等式右边进行运算即可证明； （3）所求的式子变形为，利用发现的规律进行运算即可． 【详解】（1）解：第④个等式为：， 故答案为：． （2）解：①； ②； ③； ④； …… ∴第n个式子为：． 证明：∵右边左边， ∴成立． （3）解： ． 43．（24-25八年级下·宁夏中卫·期末）下面是按一定规律排列的一列等式： ①；②；③；④ (1)根据上面等式的规律补全等式：； (2)用含（为正整数）的式子表示上述第个等式：______； (3)请证明（2）中等式的正确性； (4)根据上述等式的规律，直接写出下面算式的计算结果： ． 【答案】(1)； (2) (3)证明见解析 (4) 【分析】本题考查规律性：数字的变化类， （1）通过给出的等式，发现：左边被减数的分母与右边第一个乘数相同，第二个乘数是第一个乘数加，减数的分母是被减数的分母加，减数与被减数的分子都是； （2）通过前几项的规律，用含的代数式表示第个等式； （3）将等式左边的式子通分并化简，再与等式右边的式子进行比较即可； （4）结合（2）的结论，将分式的和转化为连续项的差，利用抵消法简化计算； 解题的关键是找到规律，然后利用规律进行推理计算．也考查了分式的加减运算． 【详解】（1）解：∵等式左边被减数的分母为，则减数的分母为：，等式右边分母为， ∴等式为：， 故答案为：；； （2）根据给出的等式，发现规律：左边被减数的分母与右边第一个乘数相同，第二个乘数是第一个乘数加，减数的分母是被减数的分母加，减数与被减数的分子都是， ∴第个等式为：， 故答案为：； （3）证明：左边 ， ∴左边右边， ∴原等式成立； （4）解： ． 44．（24-25七年级下·安徽六安·期末）观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； …… 按照以上规律，解决问题； (1)写出第5个等式：________； (2)写出第个等式（用含的式子表示，为正整数）； (3)利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化规律，分式的运算，正确得出规律是解题的关键． （1）根据题目中的等式，可以写出第5个式子即可； （2）根据题目中的等式的特点，可以写出第n个式子； （3）将所求式子变形，再利用规律运算，然后拆项，即可计算出所求式子的值． 【详解】（1）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ∴第5个等式：， 故答案为：； （2）解：根据题意，得：第个等式：； （3）解：原式 45．（25-26八年级上·北京石景山·期末）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 第1个等式； 第2个等式； 第3个等式； 第4个等式； 第5个等式_________（根据规律填空） (2)观察、归纳、得出猜想． 第n个等式为_________（用含n的式子表示，n为正整数） (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律． 若（a，b均为正整数），则的值为_________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查规律型、数字的变化类、二次根式的混合运算，解题的关键是明确题意，根据已知等式总结一般规律并应用规律解题．（1）根据题目中的例子并计算可以写出第5个等式；（2）根据（1）中特例及发现规律，可以写出相应的猜想；（3）根据猜想的左边利用分式的通分和二次根式的性质进行化简发现与右边一样即可；（4）根据（2）中的规律对比即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：第n个等式为， 故答案为：； （3）证明： ； （4）解：根据和，得 ， 解得， ∴， 故答案为：． 题型十 分式运算中的新定义型问题（共5小题） 46．（25-26九年级上·江苏·期末）定义：若分式A和分式B满足（n为正整数），则称A是B的“n阶差分式”． 例如：，我们称是的“3阶差分式”． 解答下列问题： (1)分式是分式的“________阶差分式”． (2)分式A是分式B的“2阶差分式”．若x取正整数，且A的值为正整数，求x的值． 【答案】(1)1 (2)或． 【分析】本题主要考查了“阶差分式”，分式的加减混合计算，分式的约分，正确理解题意是解题的关键． （1）只需要计算出的结果即可得到答案； （2）根据题意可得，则，再由是正整数，且x取正整数讨论即可． 【详解】（1）解；∵， ∴分式是分式的“1阶差分式”； 故答案为：1； （2）解：∵分式是分式的“2阶差分式”， ∴， ∴， ∵是正整数，且x取正整数， ∴也是正整数， ∴或． 47．（25-26八年级上·广东东莞·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“美好分式”，如：，则是“美好分式”． (1)下列分式中，属于“美好分式”的是___________；（只填序号） ①；②；③． (2)将“美好分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)判断的结果是否为“美好分式”，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2) (3)是美好分式，理由见解析 【分析】本题考查“美好分式”的定义，分式的计算和化简，掌握分式的化简是解题的关键． （1）根据“美好分式”的定义，逐一转化判断即可； （2）根据题意，将分式转化即可； （3）先根据分式的运算法则，计算的结果，再根据“美好分式”的定义，转化判断即可． 【详解】（1）解：， 是“美好分式”； ， 不是“美好分式”； ， 是“美好分式”； 故选：① ③； （2）解：； （3）是美好分式，理由如下， ， 则原式， 故的结果为“美好分式”． 48．（24-25八年级上·广东湛江·期末）我们定义，如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，那么称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 例如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请求C关于D的“雅中值”； (2)已知分式，，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，请求出E所代表的代数式． 【答案】(1)C不是D的“雅中式” (2) 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． （1）将两式作差并计算后进行判断即可； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∴不是D的“雅中式”； （2）解：∵分式，，P是Q的“雅中式”， 且P关于Q的“雅中值”是2， ∴ ． 49．（25-26八年级上·湖南·期末）定义：如果一个分式能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，则称这个分式为“优美分式”． 如；，，则、都是“优美分式”． (1)请你判断下列式子是否为“优美分式”？（在题后相应的括号中，是“优美分式”打“√”，不是“优美分式”打“×”）； ①；（    ） ②；（    ） ③；（    ） ④．（    ） (2)若“优美分式”，其中A为整式，B为常数． ①求整式A； ②若，求的值． (3)若“优美分式”与（其中a，b为常数），当两者拆分后的分式分子为相等常数时，求的取值范围． 【答案】(1)①√；②×；③√；④√； (2)①；②19； (3)且 【分析】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质：偶次方、整式、分式的化简求值，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键． （1）依据题意，根据“优美分式”的意义逐个计算判断可以得解； （2）①依据题意，由，且“优美分式”，其中A为整式，B为常数，从而可以得解； ②由，则结合①可得，，则，故，从而代入计算可以得解； （3）依据题意，设， ，故，，则，，，，从而，，代入可得即可求解． 【详解】（1）解：①， ∴①是“优美分式”． 故答案为：√； ②是整式，不是“优美分式”． 故答案为：×； ③=1+， ∴③是“优美分式”． 故答案为：√； ④， ∴④是“优美分式”． 故答案为：√； （2）解：①由题意，∵ ， 且“优美分式”，其中A为整式，B为常数， ∴整式； ②∵， ∴结合①可得，，则． ∴． ∴ ； （3）解：∵“优美分式”与（其中a，b为常数）， 当两者拆分后的分式分子为相等常数， ∴可设， ，， ∴， ， ∴， ∴，， ∴， ， ∵， ， ∵ ∴， ∴，且． 50．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）定义：如果两个分式与的和为常数，则称与互为“和常分式”，常数称为“和常值”．例如：分式，，，则与互为“和常分式”，“和常值”． (1)分式，，判断与是否互为“和常分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和常值”的值； (2)分式，，若与互为“和常分式”，且“和常值”． 求代数式（用含的式子表示）； 若分式的值为正整数，求的值； (3)分式，（，为整数），若与互为“和常分式”，求“和常值”的值． 【答案】(1)与互为“和常分式”，且“和常值” (2)；或 (3) 【分析】本题考查了分式的加法计算，正确理解“和常分式”的定义是解题的关键． （1）根据分式的加法计算法则求出的结果即可得到结论； （2）先根据分式的加法计算法则表示出，再根据“和常分式”的定义且“和常值”，列式计算即可；先表示出，再根据分式的值为正整数求解即可； （3）根据分式的加法计算法则表示出，根据与互为“和常分式”，列式后化简整理，然后对比系数列方程求解即可． 【详解】（1）解：与互为“和常分式”．理由如下： ， 与互为“和常分式”，且“和常值”． （2）解： ， 与互为“和常分式”，且“和常值”， ， ，即， ． 由可知，． 分式的值为正整数， 或， 或． （3）解： ． 与互为“和常分式”， ． ， ， ，解得， 由得， ，均为整数，满足题意， “和常值”的值为． $高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题05分式与分式的化简求值（含整数问题） 题型归纳·内容导航 题型1分式、最简分式、最简公分母（常考点） 题型6求使分式为正（负）数时抹知数的取值范围（难点） 题型2分式有无意义的条件（常考点） 题型7分式的混合运算（重点） 题型3分式的值为0的条件（常考点） 题型8分式化简求值（重点） 题型4判断分式变形是否正确（常考点） 题型9分式运算有关的规律性问题（难点） 题型5求使分式值为整数时未知数的整数值（难点） 题型10分式运算中的新定义型问题（难点） 题型通关·靶向提分 题型一分式、最简分式、最简公分母（共5小题） 1.(25-26八年级上广西河池期末)下列式子是分式的是() B.2 C.x+y D.+1 2 2.(25-26八年级上河北邢台期末)下列各式中是最简分式的是() A月 B. C.2 D.x+y xy x-y 3.(25-26八年级上湖南娄底期未)代数式-3x,1,2」 五'2品，中，属于分式的有 -3’x’x+2 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 4(25-26八年级上东肇庆期末)如果把分式25与，约 。进行通分，它们的最简公分母是（) A.x+5 B.x-5 C.x+5)(x-5) D.6x 5.(25-26八年级上湖北武汉·期末)下列分式中是最简分式的是() B. y C.x-y D.x+y)y x2-3x x+y 2 题型二分式有无意义的条件（共5小题） 6.(25-26八年级上湖南株洲期未)若分式1的值存在，则x的取值范围是() x-3 A.x≠3 B.x=3 C. D.x=-3 1/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 7.(25.26八年级上山东德州期末)若要使-丘有意义，则x的取值范围为（） 7-x A.x≥0且x≠7B.x>0且x≠7 C.x<7且x≠0 D.x≤7且x≠0 8.(25-26八年级上河北邯郸期末)已知分式M满足下列表格中的信息，则分式M有可能是() x的值 2 M的值 无意义 0 A. x-2 x-1 B.x-1 C.x+1 D.r-3 x-2 x-1 9.(25-26八年级上河南周口期未)若分式-9无意义，则x的取值为(） x+3 A.x=3 B.x=-3 C.x≠3 D. 0.(25.26八年级上湖北武汉期末)若分式2一8有 。有意义，则实数x的取值范围是() A.x≠4 B.x=4 C.x<4 D.x>4 题型三分式的值为0的条件（共5小题） 11.(25-26八年级上山东淄博期末)若分式2x的值为0则x的值是 x-5 12.(25-26八年级上广东广州期末)若分式m-3的值为0，则m的值为 m+1 13.(25-26八年级上湖北荆门期末)若分式4-的值为0，则整数x的值为 2-x 14。.(25-26八年级上山东临沂期末)若分式-3 的值为0，则x的值为 x2+x-6 15.（2425八年级上北京期末)分式-3有意义，x的取值范围是 ;分式=3的值为0，则 X x的值为 题型四判断分式变形是否正确（共5小题） 16.(25-26八年级上·河北邢台·期末)根据分式的基本性质，下列变形一定正确的是() A.y=ay B.上= C.=y+1 D.y=上 x ax x x2 xx+l x2 x 17.(25-26八年级上湖北十堰期末)下列分式从左到右变形正确的是() A.-0.5x-5 2y_2y x+0.3x+3 2/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.+11 x+3=3 D.x+1 x+1 -x+2x+2 18.（25-26八年级上河南周口期末)下列变形中，正确的是() A.0.2a-b_2a-b B.a-b-b-a=-1 0.3a+2b3a+2b b-a a-b -(a-11 a2-1(a+1)(a-1)a+1 D.bbe a ac 19.(25-26八年级上河南商丘·期末)下列等式成立的是() A.x+y=x+y B.x-3=1 2 2 x2-9x-3 xy一= C.x-xx-y D.y=y x-y 20.(25-26八年级上河南周口·期末)下列变形中，正确的是() A.0.2a-b、 2a-b B.a-b_b-a 0.3a+2b3a+2b c-d d-c 1-a-(a-1)1 C. a2-1(a+1)(a-1)a+1 D.bbe a ac 题型五求使分式值为整数时未知数的整数值（共5小题） 21.(25-26九年级上山东烟台期末)当整数m时，分式m+3的值也为整数 2m-1 22.(25-26八年级上云南昆明期末)若分式，4的值为整数，则符合条件的所有整数x的和为 2x+1 23.(25-26八年级上北京通州期末)若x为整数，且使分式，6 的值是整数，则x的值是 2x+1 24.(25-26七年级上上海松江期末)若分式-x一2的值为整数，则所有符合条件的正整数x的值为 x-1 25.(25-26八年级上河北承德期末)阅读资料，解决问题： 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如： 一车☒的分式是玉分式：当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式，如 x+2,。-,这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如： x-1'2x+1 x+2--0+3=1+3 x-1x-1 x-1 3/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①分式。是 (填“真分式”或“假分式”)； 2x ②将假分式3x+1,+3分别化为带分式， x-1’x+2 ③)如果分式+3x3的值为整数，求所有符合条件的负整数x的值. x+3 题型六求使分式为正（负）数时未知数的取值苑围（共5小题） 26。(2425八年级上山东临沂期末)当分式，名的值为正数时，写出-个满足条件的X的值为 7.2425八年级河北藏坊期末)已知分式的值为数，写出二个符合条件的的整数 28.(22-23八年级上黑龙江大庆期末)已知分式，4的值为正数，则a的取值范围 1-2a 29,(2,23七年级下黑龙江绥化期末)若分式的值为负数，则的取值范围是一 30.(25-26八年级上重庆潼南期末)若分式3x-5 6x2 的值为正，则x的取值范围是· 题型士分式的混合运算（共5小题） 31.(25-26八年级上江苏连云港期末)计算： 1+1 x2-2x x+2x-2 x2-4x+4 3a 32.（25-26九年级上陕西西安期末)化简： 1）2a-1 、a2-1a-1a+1 33.(25-26七年级上·上海期末)计算： a2-4a+4. a+1 -13） a+1 34.(25-26八年级上山东泰安期末)计算 (1-m+1÷m2-1 m-2m2+4-4m x-1-x+3）÷X-9 2叭x-6x+9x-3xx-3 35.(25-26八年级上·重庆江北期末)计算 (1)(a:-ab).a-ba-2ab+b ab 2)-6y+9y2 ÷ 2y-x x+2y-5y2 x-2y 4/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型八分式化简求值（共5小题） 36.(25-26八年级上·四川自贡期末)先化简，再求值： 37.(25-26八年级上山东济宁期末)先化简，再求值： 2}5,其中5-1. x+1x°x2+x 21-2+a a+2广a2+4a+4'其中a=5. 38.(25-26八年级上江西赣州期末)先化简 「2+1+2x中，再从-1,0,1,2四个数中选一个 x2-x 合适的数作为x的值代入求值. 6八级川州末无简，再求值：二+-（力。英中以 -1中选取一个合适的数代入求值. 40.(25-26八年级上湖南株洲期末)先化简，再求值： a+2 a-1÷a-4 a-2aa2-4+4}。,a陬不等式 2a-1<6的正整数解其中的一个代入求值. 题型九分式运算有关的规律性问题（共5小题） 41.245七年级下安故合肥期未)爱架与思考：0时行②时后@好片8 11,2 (①)根据上述等式的规律，直接写出第④个等式； (2)试用含n(为自然数，且n≥1)的等式表示这一规律，并说明该等式的正确性. 42.(24-25七年级下，安微滁州期末)观察下列等式： ①2=11 1x3139 ②2=11 2×424 ③，2-11 3×535 ()根据以上规律写出第④个等式： 5 (②)用含字母n(为正整数)的等式表示你发现的规律，并说明规律的正确性； (③)利用你发现的规律，计算：女+，+++。 1 1×32×43×5 9×11 43.(24-25八年级下.宁夏中卫·期末)下面是按一定规律排列的一列等式： 5/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4x4:②13 ①1-13 113 252x5: 363x6 ④13 447=4×7 11 3 (①根据上面等式的规律补全等式：300（))' (2)用含n(n为正整数)的式子表示上述第n个等式： (3)请证明(2)中等式的正确性； (④)根据上述等式的规律，直接写出下面算式的计算结果： 111 1×44×77×10 100×103 44.（24-25七年级下·安微六安期末)观察下列等式： 1 第1个等式： x(x+1) x1,第2个等式： 1 x(x+2(xx+22: 第3个等式： 1 1 11x xx+4xx+44: … 按照以上规律，解决问题： (1)写出第5个等式： (2)写出第n个等式（用含的式子表示，n为正整数）； 1 (3)利用上述规律计算：m(m++m+3m+6+m+6m+9+…+ (m+18)(m+21 45.(25-26八年级上·北京石景山期末)小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方 法探究下面二次根式的运算规律 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律 第1个等式 31 5 第2个等式3- 第3个等式 4-7 第4个等式 9 第5个等式 6-1 6-6 (根据规律填空) (2)观察、归纳、得出猜想 第n个等式为 (用含n的式子表示，n为正整数) 6/8 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律。 23 若a- 1 =b2 (a,b均为正整数)，则b-a的值为 题型十分式运算中的新定义型问题（共5小题） 46.(25-26九年级上江苏期末)定义：若分式A和分式B满足A-B=n(n为正整数)，则称A是B的 “n阶差分式”. 例如： 1己3，我们称是名的阶差分式 x-1x-1 解答下列问题： 0分式是分式产的 阶差分式”. ②分式A是分式B=2x的2阶差分式”.若x取正整数，且A的值为正整数，求x的值. 3-x 47.(25-26八年级上·广东东莞期末)定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和 的影试么称这个分流为关好分式，得“2-名1品川号是实新分式 (1)下列分式中，属于“美好分式”的是 (只填序号) @2,e2,@ 3 x+3 ②将“美好分式口-2x+2化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式， x-1 (③)判断5x-1÷-1的结果是否为美好分式”，并说明理由。 x+1 x x2-7x 48.(24-25八年级上·广东湛江期末)我们定义，如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数， 那么称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值” E+1'B2 例如分式A=2x, +】’A-B三2x一2一2x+2=2（x十=2，则A是B的“雅中式”，A关于 x+1x+1x+1x+1 的“雅中值”为2. +2,D=+5x+6 ()已知分式c=1 x2+4x+4 判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请求C 关于D的“雅中值”： (②)已知分式P=、E 一)·Q=,2x,P是0的雅中式”，且P关于Q的雅中值”是2，请求出E所代表的代 3-x 数式 7/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 49.(25-26八年级上·湖南·期末)定义：如果一个分式能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式 的和的形式，则称这个分式为“优美分式”. 如，++2=1+2，+2x-3-+2+3-x+2+3,则+、+2x-3都是优美分式 x-1x-1x-1 x-1’ (1)请你判断下列式子是否为“优美分式”？（在题后相应的括号中，是“优美分式打“V”,不是“优美分式”打 “x”); ①+1 ；() ②2+x ；（) ③+1 ；() ④2-4x+3 ,() x-2 2若优美分式”0+口-2+5三A+。:其中4为整式，B为常数 a-1 ①求整式A; ②若A=B,求a+2a3-3a2+4a+9的值， ③)若优美分式”M=+ar+1与N=+r+5(其中a,b为常数)，当两者拆分后的分式分子为相等常 x-2 x-1 数时，求a2-3ab+b2-4a+2b+1的取值范围 50.(25-26八年级上辽宁大连期末)定义：如果两个分式P与Q的和为常数k,则称P与9互为“和常分 式，常数k称为和常值.例如：分式P=1,Q=2m-1,P+Q=1+2m-1=2,则P与Q互为和常分 m m mm 式”，“和常值”k=2. +?,判断4与B是否互为和常分式”，若不是，请说明盟由：若是，请求出和 、《1少分式A=网工2，B=2”+9 常值”k的值； （2)分式C=2,D=M m一9，若C与D互为和常分式”，且和常值”k=2. ①求代数式M(用含m的式子表示)； ②若分式D的值为正整数，求m的值： 图分式，P”4,b为整数)·若与卫为和常分式，求和常k的值 8/8