专题04 因式分解的特殊分解法（期末复习专项训练+6大题型）八年级数学下学期新教材北师大版

**基本信息** 以“概念辨析-方法综合-特殊技巧-实际应用”为逻辑主线，系统整合因式分解特殊方法，通过分层题型培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |判断是否是因式分解|5题|定义辨析法|从概念本质出发，强化因式分解与整式乘法的逆向关系| |已知结果求参数|5题|待定系数法|通过逆向思维，深化对分解结果与原式系数关系的理解| |综合提公因式和公式法|5题|步骤递推法|先提公因式再套公式，构建基础方法应用逻辑| |十字相乘法|5题|“竖乘叉验”法|通过系数分解与交叉验证，掌握二次三项式特殊分解技巧| |分组分解法|5题|“分组-提公因式/套公式”法|根据多项式特征分组，培养整体思维与结构分析能力| |因式分解的应用|5题|模型转化法|将实际问题转化为分解模型，提升应用意识与问题解决能力|

专题04 因式分解的特殊分解法 题型1 判断是否是因式分解（常考点） 题型4十字相乘法因式分解（难点） 题型2 已知因式分解的结果求参数（重点） 题型5 分组分解法因式分解（难点） 题型3 综合提公因式和公式法分解因式（重点） 题型6 因式分解的应用（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 判断是否是因式分解（共5小题） 1．（25-26八年级上·福建福州·期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的定义，掌握好相关知识是关键． 因式分解是指把一个多项式化为几个整式的积的形式，依据此定义逐一判断选项即可． 【详解】解：对于选项A：从整式的积转化为多项式，是整式乘法，不符合因式分解定义，故A错误； 对于选项B：右边是整式与常数的和，不是整式的积，不符合定义，故B错误； 对于选项C：将多项式转化为两个整式与的积，符合因式分解定义，故C正确； 对于选项D：右边的不是整式，不符合因式分解的定义，故D错误． 故选：C． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）下列各式中从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义：把一个多项式分解为几个整式的积的形式．逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 是整式乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意； B. ，不是因式分解，故该选项不符合题意； C. ，是因式分解，故该选项符合题意； D. 是整式乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意． 故选：C． 3．（25-26八年级上·河南开封·期末）下列变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．根据因式分解的定义进行解答即可． 【详解】解：A．右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故该选项不符合题意； B．符合因式分解定义，是因式分解，故该选项符合题意； C．右边出现分式，不是整式的积的形式，不是因式分解，故该选项不符合题意； D．属于整式乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意． 故选：B． 4．（25-26八年级上·江西·期末）下列由左边到右边的式子变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，据此逐一判断即可求解，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：、是整式的乘法运算，不属于因式分解； 、是因式分解； 、是整式恒等变形，不属于因式分解； 、是单项式的恒等变形，不属于因式分解； 故选：． 5．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）下列各式从左边到右边的变形是因式分解的为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的定义，需依据“把一个多项式化成几个整式的积的形式”这一核心要点，逐一判断各选项是否符合要求，即可求解． 【详解】解：∵因式分解的定义为：把一个多项式转化为几个整式的积的形式 ∴对各选项分析如下： A选项：左边是多项式，右边是两个整式与的积，符合因式分解的定义 B选项：右边不是整式的积的形式，不符合定义 C选项：是从整式的积变形为多项式，属于整式乘法，而非因式分解 D选项：右边的不是整式，不符合因式分解的要求 故选：A． 题型二 已知因式分解的结果求参数（共5小题） 6．（25-26八年级上·北京·期末）已知等式：，则________． 【答案】 【分析】此题考查了已知因式分解的结果求原式，将展开为，然后比较求解即可． 【详解】解：∵ ∴． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·河南·期末）将因式分解为，若，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，完全平方公式变形求值，求一个数的算术平方根． 根据题意得出，，再根据完全平方公式变形得出，再求算术平方根，即可求解． 【详解】解：对于多项式，设其因式分解为，则展开后可得． 比较系数，得，． ∵ 又∵， ∴ 故答案为：． 8．（25-26八年级上·湖北黄石·期末）若多项式因式分解的结果是，则______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解与整式乘法，正确利用多项式乘以多项式运算法则将原式展开是解题关键．首先利用多项式乘法将原式展开，进而得出a，b的值，即可得出答案． 【详解】解：∵多项式因式分解的结果是， ， ∴，， ∴． 故答案为： 9．（25-26八年级上·广东广州·期末）在分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，求的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查分解因式与整式乘法的关系，可以根据二者为互逆过程进行解答； 直接利用多项式乘法进而得出的值，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ． 10．（25-26八年级上·全国·期末）仔细阅读下面例题，回答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，则， ∴解得． ∴另一个因式为，m的值为． 仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． (2)已知多项式中含有一个因式，试求，的值． 【答案】(1)另一个因式为，的值为 (2)， 【分析】（1）由题意可以设另一个因式为，然后根据多项式乘多项式的法则，把展开、合并同类项，根据系数等量关系，求出和的值，进而就可以得到另一个因式． （2）由题意可以设另一个因式为，然后根据多项式乘多项式的法则，把展开、合并同类项，根据系数等量关系，求出、和的值，进而就可以得到另一个因式． 本题考查了多项式的乘法，熟练掌握多项式相乘的法则是关键． 【详解】（1）（1）解：设另一个因式为，得，则， ∴ 解得 ∴另一个因式为，的值为． 故答案为：另一个因式为，的值为． （2）（2）解：设另一个因式为，得 ∴， ∴，，， ∴，，． 故答案为：，． 题型三 综合提公因式和公式法分解因式（共5小题） 11．（25-26八年级上·河南许昌·期末）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）先提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（25-26八年级上·河南周口·期末）分解因式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解． （1）先提取公因式，再根据平方差公式分解即可； （2）先根据完全平方公式因式分解，再根据平方差公式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 13．（25-26八年级上·湖南常德·期末）因式分解 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查的是因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再运用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提取公因式，再运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（25-26八年级上·山东·期末）因式分解： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的几种常用方法． （1）先提取公因式，再由平方差公式进行因式分解； （2）先展开，再由完全平方公式进行因式分解； （3）先利用平方差公式因式分解，再提取公因式即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 15．（25-26八年级上·山东泰安·期末）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （4）先利用多项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： （4）解： ． 题型四 十字相乘法因式分解（共5小题） 16．（25-26八年级上·甘肃·期末）阅读材料： 我们把形如的多项式称为“可十字相乘”型． 尝试把多项式分解：找到两数、，使，，则，，于是． 问题： (1)分解； (2)若可分解为两个一次因式，且为整数，求的所有可能值． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题主要考查了因式分解，熟知十字相乘法分解因式是解题的关键． （1）仿照题意找到两个数的和为负1，积为负12即可得到答案； （2）可分解为，其中，，根据题意可推出a、b都为整数，再把分解成两个整数的乘积即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：由题意得，可分解为，其中，， ∵m为整数， ∴为整数， 又∵， ∴a、b都为整数， ∵， ∴或或或或或 ∴的可能值为，，． 17．（25-26八年级上·江西·期末）整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： 一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：． 请仔细阅读材料，回答下列问题： (1)填空：________； (2)若可分解为（a，b均为整数），求出整数p的所有可能值有哪些？ 【答案】(1) (2)7或或2或 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，解题关键是掌握“将二次项、常数项拆分后交叉相乘验证一次项”的十字相乘方法． （1）将的二次项拆为，常数项拆为，交叉相乘再相加得到，据此可得答案． （2）把展开，得出，，把分解成两个整数的乘积形式，即可得到整数的所有可能值． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵可分解为， ∴， ∴，， ∵、为整数，且， ∴或或或或或或或 ∴或或或或或或或 ∴整数p的所有可能值为7或或2或． 18．（25-26八年级上·陕西安康·期末）材料：如何将型的式子分解因式呢？我们知道，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得：．例如：． 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图： 这样，我们可以得到：． 根据上述材料，解答下列问题： (1)用十字相乘法将分解因式的结果为________； (2)用十字相乘法将分解因式的结果为________； (3)若利用十字相乘法可分解为（均为整数），求a和p的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式的因式分解： （1）直接根据十字相乘法分解即可； （2）根据，可得，即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）解：； 故答案为： （3）解：由题意得， 均为整数， ， ． 19．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）等式是数学学习中常见的代数模型． (1)利用多项式的乘法法则推导这个等式； (2)若x、p、q都是正数，请用图形面积给出它的几何解释（画出图形并做出解释）； (3)这个模型的逆向变形可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 例如：分解因式2．． 《十字相乘法分解因式》 先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数．（如图） 这样，我们也可以得到． 请根据上述方法，将多项式分解因式． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，因式分解． （1）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，由此计算即可； （2）画出图形，根据面积的不同求法证明即可； （3）仿照题中给出的方法分解因式即可． 【详解】（1）解：根据多项式的乘法：； （2）解：如图所示为所画的图形， 大长方形的面积有两种表示方法：一种整体表示为：长宽， 另一种是四块小长方形面积之和：， 即； （3）解：如图， ∴． 20．（25-26八年级上·重庆九龙坡·期末）阅读材料： 分解因式． 观察代数式：代数式中有两部分都包含，因此可以考虑将这部分看作一个整体设定新变量：．进行换元：将t代入原代数式，则原代数式变为，进一步化简得到．先对代数式进行因式分解： ①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中间项： ③横向写出两因式，得到． 以上对代数式进行因式分解的过程叫十字相乘法，其要领可简称为“竖乘得首尾，叉乘凑中项”． 将代回原式得，进一步因式分解，得到． 上述因式分解用到了“换元法”和“十字相乘法”．请同学们根据阅读材料提供的解决问题的思想与方法以及平时所积累的学习经验，对以下式子进行因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，整体思想，换元思想，十字相乘法，掌握换元法和十字相乘法是解题的关键． （1）模仿示例方法直接利用十字相乘法进行因式分解即可； （2）模仿示例，利用换元法逐步进行因式分解即可． 【详解】（1）解：①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中间项： ③横向写出两因式， （2）解：设，则原代数式化为， 对进行因式分解 ①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中间项： ③横向写出两因式，得到 还原变量：将还原，得到 进一步分解得到 所以，． 题型五 分组分解法因式分解（共5小题） 21．（25-26八年级上·山东临沂·期末）在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组）（直接提公因式） 乙： （分成两组）（直接运用公式） 请在他们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，求式子的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查用分组分解法分解因式，分组分解时往往还要用到提公因式法和公式法，首先观察给出的多项式，将多项式进行适当的分组，使分成的各组中有公因式或可以用公式分解；然后要再用提公因式法或公式法进行分解，注意因式分解要分解到不能分解为止． （1）把前两项和第四项结合后利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式因式分解； （2）先对式子进行分组分解，把已知的两式相加得，最后整体代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∵，， ∴， ∴原式． 22．（25-26八年级上·福建泉州·期末）阅读材料：“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径． 例如：已知，求代数式的值．我们把看作一个整体代入求值，原式． 又如：因式分解． 我们把看作一个整体，令，则原式，再把a还原成得，原式． 请根据上面的提示和范例解决下面问题： (1)因式分解：______； (2)已知，求的值； (3)求证：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题以整体换元法为背景考查了完全平方公式的应用，关键是要找到整体即可解答． （1）将看作整体换元，利用完全平方公式即可求解； （2）将看成整体换元，即可求解； （3）将中第一项与第四项结合，第二项第三相结合展开，利用整体换元即可求解． 【详解】（1）解：（1）将看成整体，令， 则原式， 再将a还原，得到原式， 故答案为：； （2）∵， ∴ ∴ ； （3）证明：设这连续整数分别为n，，，，（n为整数）， 则 将看成整体，令， 则原式 ， 再将b还原，得到原式， ∵n为整数， ∴为整数， 故式子的值一定是某一个整数的平方． ∴四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方 23．（25-26八年级上·黑龙江七台河·期末）【阅读材料，掌握知识】爱动脑筋的康同学要把多项式分解因式，是这样想的：先把它的前两项、后两项分成两组，并分别提出公因式，，得到的结果中又会有公因式，于是再提出公因式，从而解决问题，解题过程如下． 原式 ． 这种方法称为分组法．分组法是中学数学解题中的一种重要思想方法．请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： 【理解知识，解决问题】 （1）将多项式分解因式的结果是 ． （2）因式分解： ． 【提炼思想，拓展应用】 （3）已知的三边长分别是，，，且满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）是等边三角形，见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是运用分组分解法分解因式、利用完全平方公式判断三角形形状，通过分组提取公因式或运用公式逐步分解． （1）观察多项式，将前两项和后两项分组，即和，分别提取公因式，得到和，注意到，转化为，此时两项有公因式，提取后得； （2）观察多项式，分组为和，分别提取公因式，得到和，两项有公因式，提取后得，再用平方差公式分解为； （3）已知等式，移项整理为．分组为和，利用完全平方公式转化为．因平方数非负，两非负数和为0则各自为0，故，三角形为等边三角形． 【详解】解：（1） ， 故答案为：； （2） ， 故答案为：； （3）， ， ， ， ，， ，， ， △是等边三角形． 24．（25-26八年级上·江西上饶·期末）请仔细阅读材料，解答下列问题： 要把分解因式，它的各项没有公因式．不能提取公因式．这是四项式．也不能直接用公式法分解因式，可以先把它的前两项分成一组，后两项分成一组，通过分组分解因式．即． 这种因式分解的方法叫做分组分解法．利用分组分解法可以把多项式分解因式．又如： ． (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，非负数的性质，解题的关键是掌握分组分解法． （1）根据分组分解法，结合平方差公式和完全平方公式，因式分解即可； （2）根据分组分解法，结合平方差公式和提公因式法，因式分解即可； （3）先将，变形为，然后根据非负数的性质，得出答案即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 解得：，， ∴． 25．（25-26八年级上·江西赣州·期末）阅读与思考： 分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例：“两两分组”： 解： 原式 例：“三一分组” 解：原式 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： (1)因式分解： ； (2)已知，，是的三边长， 且满足．试判断的形状． 【答案】(1)①；② (2)是等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了因式分解，三角形的三边关系，等腰三角形的定义，熟练掌握因式分解的方法是解题关键； （1）①两两分组进行因式分解；②三一分组进行因式分解； （2）移项后两两分组进行因式分解求得的关系即可． 【详解】（1）解：①原式 ； ②原式 ； （2）解：， ， ， ∴或， 即：或， ∴是等腰三角形． 题型六 因式分解的应用（共5小题） 26．（25-26八年级上·河北沧州·期末）认真阅读下面材料并解决问题 阅读材料： 材料一： 分解因式：； 解：， ， ， ， ； 材料二： ∵无论为何值，代数式的值都大于等于，即， ∴， 即有最小值，最小值是． 问题解决： (1)分解因式： ①； ②； (2)①求的最小值； ②直接填空：二次三项式有最 值是 ． 【答案】(1)①；② (2)①；②大；5 【分析】（1）①使用分组分解法，先利用完全平方公式对部分进行变形，再利用平方差公式进行因式分解； ②使用分组分解法，先利用完全平方公式对部分进行变形，再利用平方差公式进行因式分解； （2）①利用完全平方公式将原式变形为，结合平方的非负性求出最小值； ②利用完全平方公式将原式变形为，结合平方的非负性求出最大值． 【详解】（1）解：①， ， ， ， ； ②， ， ， ， ； （2）解：①， ， ， ， ∵， ∴， ∴当时，取得最小值； ②， ， ， ， ∵， ∴， ∴当时，取得最大值． 27．（24-25八年级上·广东中山·期末）【阅读材料】因式分解： 解：，将看成整体，令，则原式，将M还原，则原式．上述解题过程用到的是“整体思想”，请用“整体思想”解决以下问题： 【数学理解】（1）因式分解：； 【拓展探索】（2）证明：无论a，b取何值时，的值一定是非负数． 【答案】（1）；（2）见详解 【分析】（1）令，根据题中所给方法进行求解即可； （2）令，然后去括号，再根据题中所给方法进行因式分解，然后根据平方的非负性即可得证． 【详解】（1）解：将看成整体，令， 则原式， 将A还原，则原式． （2）证明：将看成整体，令， 则原式， 将B还原，则原式， ∵， ∴无论a，b取何值时，的值一定是非负数． 28．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如果一个正整数能写成，均为正整数，且，我们称这个数为“平方差数”，例如：，由，可得或根据等式性质把上、下两式相加，可得或．因为，均为正整数，所以为偶数，则应舍去，从而解得所以8是“平方差数”．据此回答下列问题： (1)判断：6 “平方差数”（填“是”或“不是”）； (2)如果一个三位数，它的百位为1，个位比十位大3，且该三位数各个数位上的数字之和为“平方差数”，求出所有符合条件的三位数． 【答案】(1)不是 (2)125、147、169 【分析】本题考查了因式分解的应用，解二元一次方程组，解题的关键是正确理解题意． （1）根据新定义求解即可； （2）设该三位数十位上的数字为x，则其各个数位上的数字之和为，再根据题意构造方程组进行讨论、求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 由，可得或 把两式相加可得，或， 解得或，不是正整数，均不符合题意， 故6不是“平方差数”， 故答案为：不是； （2）解：∵，为正整数， ∴为偶数， ∴与同是奇数或同是偶数， ∵，为偶数， ∴为偶数， ∴与都是偶数， 设该三位数十位上的数字为x，个位上的数字为，则其各个数位上的数字之和为， ∴该三位数各位数字之和， ∵为“平方差数”， 由，可得或， 可得， ∵为正整数， ∴为偶数， ∵为偶数， ∴x是偶数， 当时，， ∵当时，，解得，与a，b均为正整数矛盾， ∴此种情况不合题意，舍去； 当， ∴当时，，解得，符合题意， ∴该三位数是125， 当， ∴当时，，解得，符合题意， ∴该三位数是147； 当时，， ∴当时，，解得，符合题意， ∴该三位数是169， 当时，，与原数是三位数矛盾， ∴所有符合条件的三位数为125、147、169． 29．（25-26八年级上·福建泉州·期末）深度学习“乘法公式”时，小慧发现数学结论：当两个不同的正整数同为偶数或同为奇数时，这两个数之和与这两个数之差的平方差一定能被4整除，且这两个数的积可以表示为两个正整数的平方差．为了验证这一结论的正确性，进行了如下探究： 【特值验证】选取两个正整数3和1都是奇数，验证如下： 由于即能被4整除； 而且，可以表示为2和1的平方差．所以结论正确． （1）若选取两个正整数4和2都是偶数，请你模仿上述示例给予验证； 【规律探究】设两个正整数，且和同为奇数或同为偶数，试证明： （2）是4的倍数； （3）可以表示为两个正整数的平方差． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据题目模仿即可解答； （2）运用平方差公式求出结果即可得证； （3）由（2）可得，再进行说明即可． 【详解】解：（1）即能被4整除， 结果是4的倍数， 又， 可以表示为3和1的平方差， 故验证结论正确； （2）证明：， 且均为正整数， 是4的倍数； （3）由（2）可知，， 的奇偶性相同，不妨设， 都是正偶数， 和都是正整数， 一定能表示为两个正整数的平方差． 【点睛】解题的关键是熟练应用平方差公式． 30．（25-26八年级上·江西宜春·期末）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：若，利用配方法求的最小值． 解：． ，， 当时，有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：________； (2)已知，求的值． (3)已知，，试比较，的大小． (4)若为有理数且满足，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4)3 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的应用． （1）找到常数项为一次项系数一半的平方，然后整理成完全平方公式，再运用公式法进行分解因式，即可作答； （2）根据完全平方公式因式分解，再根据非负数的性质，求得的值，代入代数式，即可求解； （3）根据因式分解求得，根据例2的方法，即可求解； （4）根据因式分解可得，同例2的方法，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， 故答案为：． （2）， ， ， 又，，， ，，， ，， ． （3），， ，， ． （4）解：， ， ， 当时，有最小值，最小值为3，此时满足， 故答案为：3． $高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题04因式分解的特殊分解法 题型归纳·内容导航 题型1判断是否是因式分解（常考点） 题型4十字相乘法因式分解（难点） 题型2已知因式分解的结果求参数（重点） 题型5分组分解法因式分解（难点） 题型3综合提公因式和公式法分解因式（重点） 题型6因式分解的应用（难点） 题型通关·靶向提分 题型一判断是否是因式分解（共5小题）】 1.(25-26八年级上福建福州期末)下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（). A.x(x-1)=x2-x B.x2-2x+1=x(x-2)+1 C.x2-y2=(x+y)(x-y) .=+ 2.(25-26八年级上江苏泰州期末)下列各式中从左到右是因式分解的是() A.（x+1(x-1=x2-1 B.ab+ac+d=a(b+c)+d C.x2+3x+2=x+1(x+2) D.(a+b(c+d)=ac+ad+bc+bd 3.(25-26八年级上河南开封期末)下列变形是因式分解的是() A.x2-2=(x+1)(x-1)-1 B.x2-4xy+4y2=(x-2y) D.(x+2)(x-2)=x2-4 4.(25-26八年级上·江西·期末)下列由左边到右边的式子变形，属于因式分解的是() A.2(x-y)=2x-2y B.y2-4y+4=(y-2)2 C.x2-2x-3=x(x-2)-3 D.6m2n2=2m2.3n2 5.(25-26八年级上·湖南郴州·期末)下列各式从左边到右边的变形是因式分解的为（) A.x2-1=(x+1)(x-1) B.4x2-8x-1=4xx-2）-1 1/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.（x-1)2=x2-2x+1 D.r=+ 题型二已知因式分解的结果求参数（共5小题） 6.(25-26八年级上北京期末)已知等式：A+xx-y)=(x-y)(x+1),则A=」 7.(25-26八年级上河南·期末)将m2-4m-5因式分解为m+a)(m+b,若a>b,则a-b= 8.(25-26八年级上湖北黄石期末)若多项式x2+ax+b因式分解的结果是(x-2)(x+3),则ab= 9.(25-26八年级上广东广州期末)在分解因式x2+ar+b时，甲看错了b,分解结果为x+1(x-6);乙 看错了a,分解结果为(x+2)(x+3),求a+b的值. 10.(25-26八年级上全国期末)仔细阅读下面例题，回答问题： 例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是x+3,求另一个因式以及m的值 解：设另一个因式为x+n,得x2-4x+m=(x+3)(x+n,则x2-4x+m=x2+n+3)x+3n, 「n+3=-4 n=-7 m=3n解得 m=-21 另一个因式为x-7,m的值为-21. 仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式2x2+3x-k有一个因式是2x-5,求另一个因式以及k的值. (2)已知多项式x3+4x2+x+m中含有一个因式x2+x-2,试求m,的值. 题型三综合提公因式和公式法分解因式（共5小题） 11.(25-26八年级上·河南许昌期末)因式分解： (1)x3-6x2+9x (2x2+42-16x2 12.(25-26八年级上河南周口·期末)分解因式： (1)2ma2-8mb2; (2)m2-3)2-2(m2-3+1 13.(25-26八年级上湖南常德·期末)因式分解 (1)2x2+4xy+2y2; 2/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)a2(x-y)+16y-x. 14.（25-26八年级上山东·期末)因式分解： (1)3x3-27x (2)m-3(m-5)+1 3)2x+y)2-(x+2y 15.(25-26八年级上山东泰安期末)因式分解： (1)4x2-9y2; (2)a3b-2a2b2+ab3; (3)a2(x-y)+b2(y-x): 1 (4)x+1)x+2)+二 4 题型四土字相乘法因式分解（共5小题） 16.(25-26八年级上甘肃·期末)阅读材料： 我们把形如x2+(a+b)x+ab的多项式称为“可十字相乘型. 尝试把多项式x2+5x+6分解：找到两数p、q,使p+q=5,pg=6,则p=2,9=3,于是 x2+5x+6=（x+2)(x+3. 问题： (1)分解x2-x-12; (2)若x2+mx-18可分解为两个一次因式，且m为整数，求m的所有可能值. 17.(25-26八年级上江西·期末)整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法 (x+p)(x+q=x2+(p+qx+pq,反过来为x2+(p+q)x+pg=(x+p)(x+q),恰好是因式分解.基于上述 原理，将式子x2-x-6分解因式如下： x2-x-6 二次项x 常数项-6分 分解为xx 解为2×(-3) 次项-x=x(-3)+x·2,①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项x·2+x(-3)=-x;③横 3/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 向写出两因式：x2-x-6=(x+2)(x-3). 请仔细阅读材料，回答下列问题： (1)填空：x2-3x+2= (②)若x2+px-8可分解为x+a)(x+b)(a,b均为整数)，求出整数p的所有可能值有哪些？ 18.(25-26八年级上陕西安康期末)材料：如何将x2+(p+q)x+pq型的式子分解因式呢？我们知道 (x+p)(x+q)=x+(p+q)x+p9,所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得： x2+(p+q)x+p9=(x+p)(x+q.例如：：(x+I(x+2)=x2+3x+2,x2+3x+2=(x+1)x+2). 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角， 再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数， 如图： 1×2+1×1=3 这样，我们可以得到：x2+3x+2=(x+1)(x+2). 根据上述材料，解答下列问题： (1)用十字相乘法将x2+5x+6分解因式的结果为 (2)用十字相乘法将x2-3x-4分解因式的结果为： (3)若x2+px-15利用十字相乘法可分解为x+a)(x+5)(a,P均为整数)，求a和p的值， 19.(24-25八年级上辽宁大连期末)等式(x+p)(x+q)=x+p+q)x+pq是数学学习中常见的代数模型. (I)利用多项式的乘法法则推导这个等式： (2)若x、P、9都是正数，请用图形面积给出它的几何解释（画出图形并做出解释）； (3)这个模型的逆向变形可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式. 例如：分解因式2.x2+3x+2. 4/10 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 11 1×2+1×1=3 《十字相乘法分解因式》 先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上 角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数.（如图） 这样，我们也可以得到x+3r+2=(x+1(x+2). 请根据上述方法，将多项式a☐+3a-10分解因式， 20.(25-26八年级上·重庆九龙坡期末)阅读材料： 分解因式x2+3x-3)x2+3x+4)-8. 观察代数式：代数式中有两部分都包含x2+3x,因此可以考虑将这部分看作一个整体设定新变量： t=x2+3x.进行换元：将t代入原代数式，则原代数式变为t-3)(t+4)-8,进一步化简得到2+t-20.先 对代数式2+t-20进行因式分解： ①竖分二次项与常数项：2=tt,-20=(+5)×-4) +5 ②交叉相乘，验中间项： =>5t-4t= ③横向写出两因式，得到1+1-20=(1+5)(1-4) 以上对代数式2+t-20进行因式分解的过程叫十字相乘法，其要领可简称为竖乘得首尾，叉乘凑中项”. 将t=x2+3x代回原式得x2+3x-3)x2+3x+4)-8=x2+3x+5)x2+3x-4),进一步因式分解，得到 (x2+3x-3x2+3x+4)-8=x2+3x+5)(x+4)(x-1 上述因式分解用到了“换元法”和“十字相乘法”.请同学们根据阅读材料提供的解决问题的思想与方法以及平 时所积累的学习经验，对以下式子进行因式分解： (1)2x2-3x-2: (2)x2+x+1(x2+x+2-12 题型五分组分解法因式分解（共5小题） 5/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 21.(25-26八年级上·山东临沂·期末)在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲：x2-xy+4x-4y 乙：a2-b2-c2+2bc =(x2-y)+(4x-4y)(分成两组) =a2-(b2+c2-2bc)(分成两组)=a2-(b-c2(直 =xx-y)+4x-y)（直接提公因式) 接运用公式)=(a+b-c)(a-b+c =(x-y(x+4) 请在他们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：a2+b2-9-2ab; (2)若a-b=-5,b-c=3,求式子ab-bc+ac-a2的值. 22.(25-26八年级上·福建泉州期末)阅读材料：“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它是从 问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部 的联系，从而找到解决问题的新途径， 例如：已知x2-x-1=0,求代数式2x2-2x+2024的值.我们把x2-x看作一个整体代入求值，原式 =2x2-x)+2024=2×1+2024=2026, 又如：因式分解(x2+3x-4x2+3x+4. 我们把x2+3x看作一个整体，令x2+3x=a,则原式=a2-4a+4=(a-2),再把a还原成x2+3x得，原式 =(x2+3x-2°. 请根据上面的提示和范例解决下面问题： (1)因式分解：(x-y2-2(x-y)+1=; (2)已知m2-3m-1=0,求m4-3m3+m2-6m的值； (3)求证：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方. 23.(25-26八年级上·黑龙江七台河·期末)【阅读材料，掌握知识】爱动脑筋的康同学要把多项式 am+an+bm+bn分解因式，是这样想的：先把它的前两项、后两项分成两组，并分别提出公因式a,b, 得到的结果中又会有公因式，于是再提出公因式，从而解决问题，解题过程如下. 原式=(am+an)+(bm+bn) =a(m+n)+b(m+n) =(m+n)(a+b). 6/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 这种方法称为分组法.分组法是中学数学解题中的一种重要思想方法.请仿照上面的解题方法，完成下面 的问题： 【理解知识，解决问题】 (1)将多项式ab-ac+bc-b2分解因式的结果是_ (2)因式分解：x2y-4y-2x2+8=-, 【提炼思想，拓展应用】 (3)己知△ABC的三边长分别是a,b,C,且满足a2+2b2+c2=2b(a+c),试判断aABC的形状，并说明 理由。 24.(25-26八年级上·江西上饶期末)请仔细阅读材料，解答下列问题： 要把am+an+bm+bn分解因式，它的各项没有公因式.不能提取公因式.这是四项式.也不能直接用公式 法分解因式，可以先把它的前两项分成一组，后两项分成一组，通过分组分解因式.即 am+an+bm+bn=(am +an+(bm+bn)=a(m+n+b(m+n)=(m+n(a+b). 这种因式分解的方法叫做分组分解法.利用分组分解法可以把多项式分解因式.又如： x2-y2+2x-2y=(x+y)(x-y+2(x-y=x-y)(x+y+2) a2-6ab+9b2-c2=(a-3b-c2=(a-3b+c(a-3b-c. (1)分解因式：x2-2xy+y2-4; (2)分解因式：x2-4y2+2x+4y; (3)已知a2+b2-10a+4b+29=0,求a+b的值， 25.(25-26八年级上江西赣州·期末)阅读与思考： 分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多 项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解. 例1：“两两分组”： ax+ay+bx+by 解：原式=ax+ay)+(bx+byj =a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y) 例2：“三一分组” 7/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2xy+x2-1+y2 解：原式=x2+2xy+y2-1 =(x+y)2-1 =(x+y+1)(x+y-1 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解，请同学们在 阅读材料的启发下，解答下列问题： (1)因式分解： ①x2-y+5x-5y;②x2-2x+1-y2 (2)已知a,b,c是ABC的三边长，且满足ab-ac=b2-bc.试判断ABC的形状. 题型六因式分解的应用（共5小题） 26.(25-26八年级上河北沧州·期末)认真阅读下面材料并解决问题 阅读材料： 材料一： 分解因式：a2-6a+5; 解：a2-6a+5, =a2-6a+9-9+5, =(a-3)2-4, =[(a-3)+2][(a-3)-2], =(a-1)(a-5): 材料二： :无论a为何值，代数式(a-3的值都大于等于0，即(a-32≥0， (a-3-4≥-4， 即(a-3)2-4有最小值，最小值是-4. 问题解决： (①)分解因式： 8/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①a2-5a+4; ②a2+8ab+12b2; (2)①求2a2+12a+8的最小值： ②直接填空：二次三项式-3a2-12a-7有最_值是_ 27.(24-25八年级上广东中山期末)【阅读材料】因式分解：x2+4xy+4y2-16 解：x2+4xy+4y2=(x+2y)2,:将x+2y看成整体，令x+2y=M,则原式=M2-16=(M+4)(M-4), 将M还原，则原式=x+2y+4)(x+2y-4).上述解题过程用到的是“整体思想”，请用“整体思想”解决以下 问题： 【数学理解】(1)因式分解：(a-2b)2-6a-2b)+9; 【拓展探索】(2)证明：无论a,b取何值时，a2b2-4aa2b2-4a-2)+1的值一定是非负数 28.（25-26八年级上福建厦门期末)如果一个正整数m能写成m=a2-b2(a,b均为正整数，且a≠b), 我们称这个数m为“平方差数”，例如：8=8x1=4×2,由8=a2-b2=(a+b(a-b),可得 a+b=8,或 a-b=1 Q-6=2根据等式性质把上、下两式相加，可得20=9或2a=6.因为a,b均为正整数，所以2a为假数， a+b=4, 则2=9应合去，从面解得侣所以8是平方差数，锅此可答下列问题： (1)判断：6“平方差数”（填“是”或“不是”）； (2)如果一个三位数，它的百位为1，个位比十位大3，且该三位数各个数位上的数字之和为“平方差数”，求 出所有符合条件的三位数. 29.（25-26八年级上福建泉州期末)深度学习“乘法公式”时，小慧发现数学结论：当两个不同的正整数 同为偶数或同为奇数时，这两个数之和与这两个数之差的平方差一定能被4整除，且这两个数的积可以表 示为两个正整数的平方差.为了验证这一结论的正确性，进行了如下探究： 【特值验证】选取两个正整数3和1都是奇数，验证如下： 由于(3+1)2-(3-1)2=16-4=12,12÷4=3即能被4整除： 而且3×1=22-12，可以表示为2和1的平方差.所以结论正确. (1)若选取两个正整数4和2都是偶数，请你模仿上述示例给予验证； 【规律探究】设两个正整数m,n,且m和n同为奇数或同为偶数，试证明： (2)(m+n2-(m-n2是4的倍数： 9/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)m可以表示为两个正整数的平方差. 30.(25-26八年级上江西宜春期末)【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方 式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、 解方程、最值问题等都有着广泛的应用. 例1：因式分解：a2+6a+8. 解：原式=a2+6a+9-1=(a+3)2-1=a+3-1)(a+3+1=a+2)(a+4 例2：若M=a2-2ab+2b2-2b+2,利用配方法求M的最小值， 解：a2-2ab+2b2-2b+2=a2-2ab+b2+b2-2b+1+1=(a-b)2+(b-1)2+1. :(a-b)220,(b-1)2≥0， :当a=b=1时，M有最小值1. 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：a2-12a+35=; (2)已知a2+2b2+c2-2ab+4b-6c+13=0,求a+b+c的值 (3)己知P=x2-y2+6x-1,Q=2x2+4y+13,试比较P,0的大小. (4若a,b为有理数且满足ab=a+b,P=a2-4ab+b2+11,求P的最小值. 10/10