精品解析：广东省汕头市澄海澄华中学2025-2026学年度第二学期初二八年级数学期中考试卷

2025－2026学年度第二学期 初二数学科期中质量检测试卷 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）（在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把所选的选项填写在答题卷相应的位置上） 1. 如果有意义，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键；因此此题可根据二次根式有意义的条件进行求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故选：B． 2. 以下列各组数的长为边作三角形，不能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 4，5，6 C. 6，8，10 D. 9，12，15 【答案】B 【解析】 【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、32+42=52，故是直角三角形，不符合题意； B、42+52≠62，故不是直角三角形，符合题意； C、62+82=102，故是直角三角形，不符合题意； D、92+122=152，故是直角三角形，不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 3. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：首先明确最简二次根式的两个判定条件：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母． ∵ 同时满足上述两个条件，∴A符合要求； ∵ ，被开方数16是能开得尽方的数，∴B不是最简二次根式； ∵ ，被开方数20含能开得尽方的因数4，∴C不是最简二次根式； ∵ ，被开方数含分母，∴D不是最简二次根式． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则将各式计算后进行判断即可． 【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，先求出的值，再代入计算得到的值，最后求出的结果即可． 【详解】∵二次根式中被开方数为非负数， ∴，， 即：， 解得 ， 将代入，得， ∴ ． 6. 如图，在中，，点是的中点，若，则的长为（ ） A. 5 B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质．先根据勾股定理求出，再由直角三角形斜边上中线的性质即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵点是的中点， ∴． 故选：A． 7. 内角和为的多边形是(　　) A. 七边形 B. 六边形 C. 五边形 D. 四边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，根据多边形内角和的计算方法，即可求出边数． 【详解】解：依题意有， 解得． 该多边形为六边形， 故选：B． 8. 如图，一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是（　　） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】∵展开后由勾股定理得：AB2=12+（1+1）2=5， ∴AB=， 故选C． 【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键． 9. 如图，在中，的平分线交于点E，若，则的度数为( ) A. 112° B. 116° C. 128° D. 148° 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出，再求出，进而可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵的平分线交于点E，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，掌握这些知识点是解题的关键． 10. 如图，在菱形中，、分别是边、上的动点，连接，，、分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三角形中位线定理可得，则当有最小值时，有最小值，即当时，有最小值，由等腰直角三角形的性质可求的最小值，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 、分别为、的中点， ， 当有最小值时，有最小值， 当时，有最小值， 四边形是菱形， ，， 当时，， 的最小值， 的最小值为． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是三角形的中位线定理、菱形的性质、勾股定理解直角三角形，解题关键是作出正确的辅助线构造以为中位线的三角形． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）（请将下列各题的正确答案填写在答题卷相应的位置上） 11. 若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义求出即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， =3， ∴a=3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了同类二次根式和最简二次根式，能根据同类二次根式的定义得出a=3是解此题的关键，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式． 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据非负数的性质，几个非负数的和为时，每个非负数都为，据此先求出和的值，再代入分式计算即可得到结果． 【详解】 ，，且 ， 解得， 将，代入 得：． 13. 如图，在数轴上点所对应的实数是3，过点作且，以为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点对应的实数为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先由点的坐标得出的长，再利用勾股定理求出的长，根据圆的半径相等得出，最后由实数与数轴上点的对应关系求解即可． 【详解】解：点所对应的实数是3， ， ， ， 在 中，，， 由勾股定理可得， 以为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点， 点对应的实数为． 14. 如图，已知矩形ABCD的两条邻边的长分别为6和8，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长等于______． 【答案】20 【解析】 【分析】根据矩形的性质可证得△AEH≌△BEF≌△CGF≌△DGH，从而得到EF=FG=GH=EH，可得到四边形EFGH是菱形，再由勾股定理可得EH=5，即可求解． 【详解】解：在矩形ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=8，∠A=∠B=∠C=∠D， ∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点， ∴AH=DH=BF=CF=4，AE=BE=CG=DG=3， ∴△AEH≌△BEF≌△CGF≌△DGH， ∴EF=FG=GH=EH， ∴四边形EFGH是菱形， ∵AE=3，AH=4，∠A=90°， ∴EH=5， ∴四边形EFGH的周长等于4×5=20． 故答案为：20 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 15. 一副直角三角板如图放置，，．点在的延长线上，，若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了30度角的性质，勾股定理，平行线的性质，等角对等边． 过点B作于点M，根据30度角的性质及勾股定理求出，由得到，根据30度角的性质求出，再由勾股定理求出，根据等角对等边得到，即可求出的长． 【详解】解：过点B作于点M， 在中，，，， ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 故答案为：. 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的混合运算法则，计算即可． 【详解】解：原式 ． 17. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，E，F分别是，的中点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 首先由平行四边形得到，，然后结合中点性质得到，即可判定四边形是平行四边形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， 、F分别是、的中点， ，， ， 四边形是平行四边形． 18. 如图，在矩形中，点E，F在边上，，交于点M，且，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质，由矩形的性质得出，，由等边对等角得出，推出，再由证明，即可得证． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知．求下列各式的值． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式加法法则、乘法法则是解题的关键． （1）根据二次根式的加减法法则分别求出、，根据平方差公式把原式变形，代入计算即可； （2）根据完全平方公式把原式变形，代入计算得到答案． 【小问1详解】 解： ，， ，， ； 【小问2详解】 解：，， ∴，， ． 20. 如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】连接，先由勾股定理求解，再由勾股定理逆定理证明，最后根据四边形的面积等于与的面积之和求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴，（舍负） ∵， ∴， ∴ ∴ ∴四边形的面积． 21. 阅读下面的材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 例如： 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 解：， （1）二次根式进行“分子有理化”； （2）比较和的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，实数的大小比较，本题是阅读型，正确理解题干中的方法并熟练运用是解题的关键． （1）利用题干中的方法将分子有理化即可； （2）利用题干中的方法先将它们分子有理化，通过比较倒数的大小得出结论． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：，， ， ． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22. 如图，在中，，，，点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动，同时点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒（），过点作于点，连接，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）当四边形成为菱形时，求出相应的值； （3）能成为直角三角形吗？如果能，请直接写出相应的的值，如果不能，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3）能， 【解析】 【分析】（1）由题意得，由含30度直角三角形的性质得，从而可得，即可得四边形为平行四边形； （2）当四边形为菱形时，有，由此建立方程即可求得t的值； （3）当时，能成为直角三角形，此时得四边形是矩形，则有，列式即可求得t的值． 【小问1详解】 证明：由题意得； ∵，， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：当四边形为菱形时，则； ∵， ∴， 即； 故当时，四边形为菱形． 【小问3详解】 解：当时，为直角三角形； ∵， ∴四边形是矩形， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， 解得：； 而不可能为直角， 故当时，为直角三角形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质，矩形的判定与性质，含30度直角三角形的性质等知识，掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键． 23. 在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 O 的两条直线分别交边 AB、CD、AD、BC 于点 E、F、G、H． （1）如图①，若四边形 ABCD 是正方形，且 AG＝BE＝CH＝DF，则 S四边形AEOG＝ S正方形 ABCD； （2）如图②，若四边形 ABCD 是矩形，且 S四边形 AEOG＝S矩形 ABCD，设 AB＝a， AD＝b，BE＝m，求 AG 的长（用含 a、b、m 的代数式表示）； （3）如图③，若四边形 ABCD 是平行四边形，且 AB＝3，AD＝5，BE＝1， 试确定 F、G、H 的位置，使直线 EF、GH 把四边形 ABCD 的面积四等分． 【答案】（1）；（2）AG＝；（3）当 AG＝CH＝，BE＝DF＝1 时，直线 EF、GH 把四边形 ABCD 的面积四等分． 【解析】 【分析】（1）如图①，根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得到结论； （2）如图②，过O作ON⊥AD于N，OM⊥AB于M，根据图形的面积得到mb＝ AG•a，于是得到结论； （3）如图③，过O作KL⊥AB，PQ⊥AD，则KL＝2OK，PQ＝2OQ，根据平行四边形的面积公式得到＝ ，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】（1）如图①， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠OAG＝∠OBE＝45°，OA＝OB， 在△AOG与△BOE中，， ∴△AOG≌△BOE， ∴S四边形AEOG＝S△AOB＝S正方形 ABCD； 故答案为； （2）如图②，过O作ON⊥AD于 N，OM⊥AB于M， ∵S△AOB＝S矩形ABCD，S四边形AEOG＝S矩形ABCD， ∴S△AOB＝S四边形AEOG， ∵S△AOB＝S△BOE+S△AOE，S四边形AEOG＝S△AOG+S△AOE， ∴S△BOE＝S△AOG， ∵S△BOE＝BE•OM＝m·b＝mb，S△AOG＝AG•ON＝AG•a＝AG•a， ∴mb＝AG•a， ∴AG＝； （3）如图③，过O作KL⊥AB，PQ⊥AD， 则 KL＝2OK，PQ＝2OQ， ∵S平行四边形ABCD＝AB•KL＝AD•PQ， ∴3×2OK＝5×2OQ， ∴＝， ∵S△AOB＝S平行四边形ABCD，S四边形AEOG＝S平行四边形ABCD， ∴S△AOB＝S四边形AEOG， ∴S△BOE＝S△AOG， ∵S△BOE＝BE•OK＝×1×OK，S△AOG＝AG•OQ， ∴×1×OK＝AG•OQ， ∴＝AG＝， ∴当AG＝CH＝，BE＝DF＝1时，直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分． 【点睛】本题考查了正方形、矩形、平行四边形的性质及三角形、四边形的面积问题，认真阅读材料，理解并证明 S△BOE＝S△AOG是解决问题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第二学期 初二数学科期中质量检测试卷 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）（在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把所选的选项填写在答题卷相应的位置上） 1. 如果有意义，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数的长为边作三角形，不能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 4，5，6 C. 6，8，10 D. 9，12，15 3. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 6. 如图，在中，，点是的中点，若，则的长为（ ） A. 5 B. 10 C. D. 7. 内角和为的多边形是(　　) A. 七边形 B. 六边形 C. 五边形 D. 四边形 8. 如图，一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是（　　） A. B. C. D. 2 9. 如图，在中，的平分线交于点E，若，则的度数为( ) A. 112° B. 116° C. 128° D. 148° 10. 如图，在菱形中，、分别是边、上的动点，连接，，、分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）（请将下列各题的正确答案填写在答题卷相应的位置上） 11. 若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为_________． 12. 已知，则______． 13. 如图，在数轴上点所对应的实数是3，过点作且，以为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点对应的实数为______． 14. 如图，已知矩形ABCD的两条邻边的长分别为6和8，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长等于______． 15. 一副直角三角板如图放置，，．点在的延长线上，，若，则的长为_____． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，E，F分别是，的中点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 18. 如图，在矩形中，点E，F在边上，，交于点M，且，求证：． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知．求下列各式的值． （1）； （2）． 20. 如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积． 21. 阅读下面的材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 例如： 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 解：， （1）二次根式进行“分子有理化”； （2）比较和的大小． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22. 如图，在中，，，，点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动，同时点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒（），过点作于点，连接，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）当四边形成为菱形时，求出相应的值； （3）能成为直角三角形吗？如果能，请直接写出相应的的值，如果不能，请说明理由． 23. 在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 O 的两条直线分别交边 AB、CD、AD、BC 于点 E、F、G、H． （1）如图①，若四边形 ABCD 是正方形，且 AG＝BE＝CH＝DF，则 S四边形AEOG＝ S正方形 ABCD； （2）如图②，若四边形 ABCD 是矩形，且 S四边形 AEOG＝S矩形 ABCD，设 AB＝a， AD＝b，BE＝m，求 AG 的长（用含 a、b、m 的代数式表示）； （3）如图③，若四边形 ABCD 是平行四边形，且 AB＝3，AD＝5，BE＝1， 试确定 F、G、H 的位置，使直线 EF、GH 把四边形 ABCD 的面积四等分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $