专题02 不等式与不等式组运算与含参数问题（期末复习专项训练+7大题型）八年级数学下学期新教材北师大版

**基本信息** 聚焦不等式与不等式组核心考点，以7大题型构建从基础性质到综合应用的层级训练体系，强化运算能力与参数问题突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不等式的基本性质|5题|判断性质应用正误|以性质为逻辑起点，奠定变形基础| |解一元一次不等式（组）|5题|含数轴表示的求解|核心技能训练，承接性质应用| |与一次函数结合|5题|图象与不等式互化|体现数形结合，深化几何直观| |解的情况求参数|5题|由解集反推参数范围|难点突破，培养推理意识| |整数解求参数|5题|限定整数解个数求参数|进阶难点，强化抽象能力| |实际应用|5题|经济、运输等场景建模|模型意识培养，落实应用能力| |新定义型问题|5题|自定义运算或概念迁移|创新意识训练，提升综合思维|

专题02 不等式与不等式组运算与含参数问题 题型1 不等式的基本性质（常考点） 题型5 一元一次不等式（组）整数解求参数（难点） 题型2 解一元一次不等式（组）（重点） 题型6 一元一次不等式（组）的实际应用（重点） 题型3 一元一次不等式与一次函数（重点） 题型7 一元一次不等式（组）中的新定义型问题（难点） 题型4一元一次不等式（组）解的情况求参数（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 不等式的基本性质（共5小题） 1．（25-26七年级上·安徽六安·期末）下列说法，不正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】等式性质1：等式两边同时加或减同一个数，等式仍成立；等式性质2：等式两边同时乘同一个数，等式仍成立；不等式性质1：不等式两边同时加或减同一个数，不等号方向不变；不等式性质2：不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变； 【详解】解：A、若，两边同时减1，得，正确； B、若，两边同时乘6，得，正确； C、若，两边同时乘，不等号方向应改变，得，而非，错误； D、若，两边同时加1，得，正确. 2．（25-26八年级上·山东聊城·期末）若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质：性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．若取，，则，， 此时，原变形不正确，故此选项不符合题意； B．∵， ∴，原变形不正确，故此选项不符合题意； C．∵，， ∴，原变形不正确，故此选项不符合题意； D．∵，， ∴， ∴，原变形正确，故此选项符合题意． 故选：D． 3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）下列运用一元一次不等式性质的变形中，正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的性质，关键是准确掌握不等式的三个核心性质：①不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号方向不变；②不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号方向不变；③不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号方向必须改变． 【详解】解：选项A：∵，根据不等式性质①，两边同时加2，不等号方向不变， ∴，而选项中写，变形错误； 选项B：∵，根据不等式性质①，两边同时减2，不等号方向不变， ∴，而选项中写，变形错误； 选项C：∵，根据不等式性质②，两边同时乘正数2，不等号方向不变， ∴，变形正确； 选项D：∵，根据不等式性质③，两边同时乘负数，不等号方向需改变， ∴，而选项中写，变形错误； 故选：C． 4．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变， ∴若，则，选项A正确； ∵不等式两边同时乘以同一个正数，不等号方向不变， ∴若，则，选项B正确； ∵当时，，此时，不满足， ∴选项C的说法不正确； ∵不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变， ∴若，则，选项D正确； 故选：C． 5．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）下列不等式变形不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质，利用不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、若，两边同时加上c得，则A不符合题意； B、若，两边同时乘以得，则B不符合题意； C、若，两边同时乘以3得，则C不符合题意； D、若，当时，，则D符合题意； 故选：D． 题型二 解一元一次不等式（组）（共5小题） 6．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）解不等式（组） (1)； (2)，并把解集表示在数轴上． 【答案】(1) (2) ，数轴表示见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式及不等式组的解法，关键是熟练应用运算方法进行计算； （1）根据解不等式的方法计算即可； （2）分别解出两个不等式的解集，并求其公共部分，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， 解①得：； 解②得：； ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示如下： ． 7．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）解一元一次不等式（组） (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是关键． （1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解不等式即可； （2）求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即可． 【详解】（1）解： （2）解： 解不等式①得： 解不等式②得： 则不等式组的解集为： 8．（25-26八年级上·山东聊城·期末）解下列不等式或不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上： (1)； (2) 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1，得出，再在数轴上表示出来，即可作答． （2）分别解出每个不等式的解集，再得出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来，即可作答． 【详解】（1）解：∵， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 这个不等式的解集在数轴上的表示如图： （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式组的解集是， 在同一数轴上分别表示不等式组的解集： 9．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）（1）解不等式： （2）解不等式组：，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】（1）；（2），数轴表示见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，解题的关键是掌握不等式的基本性质，尤其是在去分母、系数化为1时，若两边乘（或除以）负数，不等号方向要改变； （1）先去分母，再去括号、移项、合并同类项、系数化为1； （2）分别解两个不等式，再取它们的公共解集，并在数轴上表示． 【详解】（1）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解： 解不等式 ， 去括号，得， 移项，得， 即， ∴． 解不等式 ， 去分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 移项，得． ∴ 不等式组的解集为 ． 不等式组的解集在数轴上表示为： 10．（25-26八年级上·重庆·期末）解不等式（组），并将不等式组的解集在数轴上表示出来： (1)； (2) 【答案】(1) (2)，数轴表示见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式和不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确计算是解题的关键． （）根据解一元一次不等式的步骤解答即可求解； （）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得； （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示如下： 题型三 一元一次不等式与一次函数（共5小题） 11．（25-26八年级上·河北张家口·期末）在平面直角坐标系中，一次函数（a、b是常数且）的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．方程的解是 B．不等式的解集是 C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与不等式，一次函数与一元一次方程，看懂函数图象是解题的关键． 根据函数图象逐项判断即可求解． 【详解】解：A、由函数图象可知，当时，， 所以方程的解是，原选项说法错误，不合题意； B、由函数图象可知，当时，， 所以不等式的解集是，该选项说法正确，符合题意； C、由函数图象可知，当时，，该选项说法错误，不合题意； D、由函数图象可知，当时，，该选项说法错误，不合题意． 故选：B． 12．（25-26八年级上·上海·期末）一次函数的与的部分对应值如下表所示，根据该表提供的信息，下列说法正确的是（    ） … … … … A．的值随值的增大而减小； B．的值随值的增大而增大； C．不等式的解集为； D．不等式的解集为． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的增减性，一次函数与一元一次不等式的关系，先根据表格数据判断增减性，再求出一次函数解析式，最后逐一判断各选项即可. 【详解】解：由表格可得，点，在一次函数上， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为：； 由函数图象可得，的值随值的增大而增大，A错误，B正确； 由函数图象可得，不等式的解集为，C错误，； 由函数图象可得，不等式的解集为：，D错误； 故选：B． 13．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是(    ) A．关于的方程的解是 B．关于的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于，的方程组的解是 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．根据条件结合图象对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点， ∴关于x的方程的解是，选项A判断正确，不符合题意； 关于x的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意； 当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意； 关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意； 故选：B． 14．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为． (1)求一次函数表达式； (2)点的坐标为_____，不等式的解集为_____． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）将点代入，求出n，得到．把P、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数解析式即可； （2）先求出点C坐标，再利用函数图象作答即可． 【详解】（1）解：过点， ， ∴， ∴， 一次函数过点，， ， 解得， 一次函数表达式； （2）解：把代入一次函数得：， 解得：， ∴一次函数与轴的交点的坐标为， 根据函数图象可知：不等式的解集为． 15．（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，这两个函数图象相交于点． (1)求出点的坐标； (2)结合图象，直接写出时的取值范围； (3)连接，直线上是否存在一点，使，若存在，求点的坐标． 【答案】(1) (2)当时， (3)点坐标为或 【分析】本题考查了一次函数图象和性质，解题的关键是熟练运用一次函数知识，用待定系数法求解析式，结合一次函数的性质求点的坐标． （1）把，分别代入两个解析式，求出，的解析式，联立两个解析式，解方程组即可； （2）观察图象直接判断即可； （3）根据求出点的纵坐标，代入解析式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，过点， ， 解得, ， 又过， ， 解得， ， 联立方程组得，， ， ； （2）由图象可得：当时，； （3）由（1）知，，， ， ， 设点坐标为， ， ， ， 当时，， ， 点坐标为； 当时，， ， 点坐标为； 综上，点坐标为或． 题型四 一元一次不等式（组）解的情况求参数（共5小题） 16．（25-26八年级上·河北张家口·期末）已知关于x的方程的根是正数，则实数a的最大整数值为________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式． 首先解方程得到，然后根据根为正数列不等式，求解a的取值范围，最后确定最大整数值． 【详解】解：， 移项得， 即， 所以． 由于根是正数，即， 因此， 两边乘以2得， 即． 所以a的取值范围是， 最大整数值为． 故答案为：． 17．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）关于的不等式组的解集为，则___________． 【答案】1 【分析】本题考查了不等式组的含参问题，先分别求解两个不等式，再根据该不等式组的解集得出，求出a和b的值，即可解答． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∵不等式组解集为， ∴， 解得：， ∴． 18．（25-26八年级下·全国·期末）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据“同大取大”的原则，结合已知的解集，确定参数的取值范围． 【详解】解：解不等式组 解不等式， ． 解不等式， 得． 已知不等式组的解集为，根据“同大取大”的原则，要使成为解集，必须满足． 故答案为:． 19．（23-24七年级下·江西新余·期末）若关于x的不等式有且只有3个整数解，且关于x，y方程组的解为整数，则满足条件的整数a的值为______． 【答案】4或1或0 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组．根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数，列式计算，据此求解即可． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组只有3个整数解， ∴， ∴， 解方程组， 得：，解得， 将代入④得：，解得 方程组的解为：， ∵， ∴， 关于的方程组的解为整数， 或或或或或， 或或或或， 当时，不是整数，不符合题意； 当时，是整数，符合题意； 当时，不是整数，不符合题意； 当时，是整数，符合题意； 当时，是整数，符合题意； 所有满足条件的整数的值为4或1或0， 故答案为：4或1或0． 20．（24-25七年级下·河南新乡·期末）已知关于的不等式组． （1）若该不等式组无解，则的取值范围是_____； （2）若该不等式组的解集中，每一个值均不在的范围中，则的取值范围是_____． 【答案】 或 【分析】本题考查了由一元一次不等式组的解集求参数，熟练掌握由一元一次不等式组的解集求参数是解题的关键． （1）先分别求出两个不等式的解，再根据不等式无解的含义列不等式求解即可； （2）首先根据不等式组有解求得 ，再根据题意得到或，分别求解即可． 【详解】解：（1）， 解①，得， 解②，得， 若该不等式组无解，则， 解得． 故答案为：． （2）若该不等式组的解集中，每一个值均不在的范围中， 则首先要满足不等式有解， ， 解得， 其次要满足或， 解得或， 的取值范围是或． 故答案为：或． 题型五 一元一次不等式（组）整数解求参数（共5小题） 21．（25-26八年级上·重庆·期末）关于的不等式组有且只有个整数解，则满足条件的整数的和为________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式组的整数解，关键是根据不等式组的整数解求出取值范围，用到的知识点是一元一次不等式的解法．先分别解两个不等式，得到不等式组的解集，再根据有且只有三个整数解，确定参数的范围，进而求出所有满足条件的整数并求和． 【详解】解：解不等式，得，即， ∴ 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵有且只有三个整数解，整数解为， 故需满足，即 ∴整数为和，和为 故答案为：． 22．（24-25七年级下·山东泰安·期末）已知关于的不等式组只有两个整数解，则的取值范围是___________． 【答案】/ 【分析】本题考查的是根据不等式组的整数解求解参数的取值范围，求解不等式组的解集为，再根据整数解的含义可得答案． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴， ∵原不等式组有且只有两个整数解， ∴的整数值为，， ∴． 故答案为：． 23．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）关于x的不等式恰有三个非负整数解，则b的取值范围是__． 【答案】 【分析】解出不等式得，根据不等式有三个非负整数解知，求解可得． 本题主要考查一元一次不等式的整数解，根据不等式的解得到范围是解题的关键． 【详解】解：解不等式得：， 由题意可得：， ， 故答案为：． 24．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）已知关于x的不等式组的整数解是，0，1，若为整数，则的值为______． 【答案】3或4 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 先解两个不等式，结合不等式组的整数解得出m、n的取值范围，结合m、n为整数可以确定m、n的值，代入计算可得． 【详解】解：解得 ， ∵关于x的不等式组的整数解是，0，1， ∴， 解得， ∵为整数， ∴或3，， ∴或4． 故答案为：3或4． 25．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）若关于的不等式组有解，且关于的分式方程的解为正数，则满足条件的所有整数的值的和为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的求解以及分式方程的求解与应用． 分别求出不等式组有解时的取值范围和分式方程的解为正数时的取值范围，再取交集确定满足条件的的整数值． 【详解】解：解不等式，解得， 解不等式，解得， 因为不等式组有解，所以（根据“大小小大中间找”，且有解，则要大于）， 解分式方程， 解得， 因为分式方程的解为正数，所以，解得． 又因为分母不能为0，即，解得． 结合不等式组得到的和分式方程得到的且，满足条件的整数为， 将这些整数相加：， 综上，满足条件的所有整数的值的和为． 故答案为：． 题型六 一元一次不等式（组）的实际应用（共5小题） 26．（25-26八年级上·河南周口·期末）为了提高学生的阅读能力，学校开展了“书香校园”活动，计划购买一批图书．已知购买本科技类图书和本文学类图书共需元；购买本科技类图书和本文学类图书共需元． (1)求每本科技类图书和每本文学类图书的价格； (2)学校决定购买科技类图书和文学类图书共本，且购买总费用不超过元，求最多可以购买科技类图书多少本． 【答案】(1)每本科技类图书元，每本文学类图书元 (2)本 【分析】（）设每本科技类图书元，每本文学类图书元，根据题意列出方程组解答即可求解； （）设购买科技类图书本，则购买文学类图书本，根据题意列出不等式解答即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设每本科技类图书元，每本文学类图书元， 由题意得，， 解得， 答：每本科技类图书元，每本文学类图书元； （2）解：设购买科技类图书本，则购买文学类图书本， 由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴的最大值为， 答：最多可以购买科技类图书本． 27．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，充分激发了同学们的运动热情．某商家抓住了体育用品需求量激增的商机，采购了一批篮球和足球共100个，两种球的进价与售价如下表所示．设采购个篮球，获得的总利润为元． 品名 厂家批发价元/个 商场零售价元/个 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求总利润与的函数关系式； (2)若该商家采购的篮球个数不超过足球个数，则该商家应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)采购篮球50个，足球50个，该商家能获得最大利润，最大利润是2250元 【分析】本题考查了一次函数的应用，不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，采购个篮球，则采购个足球，结合两种球的进价与售价表进行列式计算，即可作答． （2）先根据该商家采购的篮球个数不超过足球个数，得出，再结合，则随的增大而增大，故把代入，得，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，采购个篮球，则采购个足球， ∴． （2）解：∵该商家采购的篮球个数不超过足球个数， ∴， 解得， 由（1）得， ∵， ∴随的增大而增大， 故把代入，得． ∴采购篮球50个，足球50个，该商家能获得最大利润，最大利润是2250元． 28．（25-26八年级上·全国·期末）扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺．扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价 类别 成本价/（元/件） 销售价/（元/件） 甲种布料 60 100 乙种布料 40 70 (1)该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ (2)因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件．若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料数量的1.5倍，且以相同的销售价全部售完这批布料．设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元．第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)甲种布料25件，乙种布料55件 (2)第二次应购进甲种布料60件、乙种布料40件时， 利润最大， 最大利润为3600元 【分析】（1）分别设该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料的件数分别为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）根据题意，列关于m的一元一次不等式并求其解集，写出W关于m的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围，确定当m取何值时W值最大，求出其最大值和此时的值即可． 本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是解题的关键． 【详解】（1）解： 设第一次购进甲种布料 件，乙种布料 件，则： ， 解得： ∴第一次购进甲种布料 25 件，乙种布料 55 件． （2）解： 设第二次购进甲种布料件，则乙种布料为件，则根据题意得： 解得： ∴的取值范围为 （且为整数）． 设第二次全部售完后获得的利润为W元，则： ∵ ∴W 随 m 的增大而增大， ∴ 当时， 元， 此时乙种布料为 件． ∴第二次应购进甲种布料60件、乙种布料40件时，利润最大， 最大利润为3600元． 29．（25-26九年级上·云南昆明·期末）综合与实践 项目背景 近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售． 项目素材 素材1 该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，进货价和销售价如表： 价格/类别 短款 长款 进货价（元/件） 80 90 销售价（元/件） 100 120 素材2第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变）、且第二次进货总价不高于16800元． 项目任务 任务1 求两款服装分别购进的件数． 任务2 该服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，并求出最大销售利润． 【答案】任务1：短款服装购进20件，长款服装购进30件；任务2：当购进120件短款服装，80件长款服装时获得最大销售利润，最大销售利润是4800元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的性质等知识，理解题意，列出方程和不等式是解题关键． 任务1：设短款服装购进x件，长款服装购进件，根据题意列出方程求解即可； 任务2：设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装，根据题意列出不等式得出，设利润为w元，则，再由一次函数的性质求解即可 【详解】解：任务1：设短款服装购进x件，长款服装购进件， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴短款服装购进20件，长款服装购进30件； 任务2：解：设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装， 由题意可得， 解得：， 设利润为w元， 根据题意得：， 当时，把代入（元） ∵， ∴w随m的增大而减小， 当时， （元）， ∴当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元． 30．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）临近2026年春节，合肥长丰草莓，迎来草莓产销旺季，某农产品运输公司通过多轮竞标获得60吨长丰草莓的节日转运权，负责从长丰县运往合肥市区各大农贸市场．该公司转运草莓的转运初始费用为800元/吨．已知该公司安排了、、型货车20辆用于装运草莓，已知三种车型每辆车的最大装载量、运输费用如表所示： 车型 A B C 最大装载量（吨/辆） 5吨 3吨 2吨 运输费用（元/辆） 2000 1500 800 要求所有草莓一次性同时发货，且每辆车均需满载（冷藏车满载可保证草莓新鲜度），应公司要求，运输货物时型车的装载量不超过型车和型车的装载量总和，同时型车的数量不超过辆，设这次运输使用型车辆，型车辆，根据以上信息回答下列问题： (1)求与之间的函数关系式； (2)设此次转运的利润为（元），求与之间的函数关系式，并求出怎样装运才能获得最大利润：（利润转运初始总费用运输总费用） (3)由于车辆紧缺，这次运输过程中每辆型车的运输费用要增加元，该公司在本次转运中获得的最大利润为元，请求出的值． 【答案】(1)（，且为整数） (2)（，且为整数），当使用型车辆、型车辆、型车辆时，获得最大利润元 (3) 【分析】（1）根据总车辆数为辆，以及总装载量为吨，列出关于、的方程组，消元后得到与的函数关系式． （2）先根据利润转运初始总费用运输总费用列出利润关于的函数表达式，再根据题目中的车辆数量限制条件，求出的取值范围，最后根据一次函数的性质求出最大利润及对应的车辆安排方案． （3）在第(2)问的基础上，将型车的运输费用增加元，重新列出利润关于的函数表达式，根据一次函数的单调性及最大利润为元的条件，列方程求解的值． 【详解】（1）解：∵总车辆数为20辆， ∴C型车数量为， ∵总装载量为60吨， ∴， ， ， ∴； （2）解：∵转运初始总费用为元，运输总费用为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，且，， ∴， ∵B型车装载量不超过A型车和C型车装载量总和， ∴即， 解得， ∵为整数， ∴， ∵，， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值， 此时，， 最大利润元， ∴（，且为整数），当使用A型车6辆、B型车2辆、C型车12辆时，获得最大利润23400元； （3）解：∵每辆A型车运输费用增加元，， ∴ ， ∴，， ∵最大利润为17400元，且， ∴随的增大而减小， ∴，即， ∴当时，取得最大值17400， ∴， 解得． 题型七 一元一次不等式（组）中的新定义型问题（共5小题） 31．（25-26八年级上·陕西西安·期末）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)若，则的取值范围是________． (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围是 【分析】本题考查了新定义运算与一元一次不等式（组）的综合应用． （1）由等式右边运算形式确定，解不等式； （2）分和两种情况，分别用对应公式列不等式，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 解得， 故答案为：； （2）解：当，即时，， 解得，即， 故； 当，即时，， 解得，，无解； 综上，， 答：的取值范围是． 32．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）定义运算：．已知，． (1)直接写出： ， ； (2)若关于的不等式组无解，求的取值范围； (3)若的解集为，求不等式：的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二元一次方程组的解法、一元一次不等式的解法和一元一次不等式组的解法． （1）根据定义的新运算，列出二元一次方程组，解方程组可求出，的值； （2）根据（1）求出的，的值和新运算列出一元一次不等式组，解不等式组并根据不等式组解集的情况可求出的取值范围； （3）根据（1）求出的，的值和新运算列出一元一次不等式，根据解集为可得出与的数量关系；再根据，的值和新运算列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：把，代入， 得：， 解得：； 故答案为：，； （2）根据题意得； 解得： ∵关于的不等式组无解， ∴； （3）根据题意得， 整理得：， 此不等式解集为， ，且， 整理得：， 所求不等式化简得：，即， 把代入得： ，解得：， ∴ 解得：． 33．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）定义：如果一元一次不等式组的解都是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组的解都不是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的______填序号“相容不等式组”或“相斥不等式组”； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． （1）依据题意，由不等式组的解集是，不等式组的解集是，进而可以判断得解； （2）依据题意，由关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为，则或，进而计算可以得解； （3）依据题意，由是的“相容不等式组”，则，可得，又和的整数解相同，可得，进而可得，最后即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，不等式组的解集是，不等式组的解集是， 不等式组是不等式组的“相斥不等式组”． 故答案为：． （2）由题意，关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为， 或． 或． （3）由题意，是的“相容不等式组”， ． ． 的整数解为，且和的整数解相同， ． ． ． 综上所述：． 34．（24-25七年级下·江西宜春·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“从属方程”． 例如：的解为， 的解集为，发现在的范围内，所以一元一次方程是一元一次不等式组的“从属方程”． 【问题解决】 (1)判断方程是不是不等式组的“从属方程”； (2)若方程是不等式组的“从属方程”，求的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)． 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组． （1）先分别求出一元一次方程的解，一元一次不等式组的解，再根据“从属方程”的定义判断即可； （2）将m当作常数，求出一元一次方程的解，再求出一元一次不等式的解，再根据“从属方程”的定义得关于m的不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：解方程，得， ， 解不等式得，， 解不等式得，， 原不等式组的解集为， ∵在范围内， 是不等式组的“从属方程”； （2）解：解方程，得， ， 解不等式得，， 解不等式得，， 原不等式组的解集为， 方程是不等式组的“从属方程”， ， 解得． 35．（25-26八年级上·山东聊城·期末）阅读理解： 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如，已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． 问题解决： (1)请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”：_____（直接填写序号； ①；②；③ (2)若是方程组与不等式的“理想解”，求的取值范围； (3)若关于，的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的，均为正数），直接写出的取值范围． 【答案】(1)②③ (2) (3) 【分析】（1）先解方程，再求出各个不等式（组）的解集，然后根据其解集进行判断即可； （2）解方程组求出，，再代入不等式，求出的取值范围； （3）解方程组，用含有的代数式表示，，再根据已知条件列出不等式组，解不等式组求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：， 解得：， ①， 解得：， ∴不是此不等式的解； ②， 解得：， ∴是此不等式的解； ③， 解得：， ∴是此不等式组的解； ∴方程的解是此方程与②③的“理想解”， 故答案为：②③； （2）解：∵是方程组与不等式的“理想解”， ∴，， 解方程组，得：， ∴， ∴， 即的取值范围为； （3）解：解方程组，得：， ∵关于，的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的，均为正数）， ∴， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 解不等式③，得：， ∴不等式组的解集为， 即的取值范围． $高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02不等式与不等式组运算与含参数问题 题型归纳·内容导航 题型1不等式的基本性质（常考点) 题型5一元一次不等式（组）整数解求参数（难点） 题型2解一元一次不等式（组）（重点) 题型6一元一次不等式（组）的实际应用（重点） 题型3一元一次不等式与一次函数（重点) 题型7一元一次不等式（组）中的新定义型问题（难点） 题型4一元一次不等式（组）解的情况求参数（难点） 题型通关·靶向提分 题型一不等式的基本性质（共5小题） 1.(25-26七年级上·安徽六安·期末)下列说法，不正确的是() A.如果m=n,那么m-1=n-1 B.如果m=n,那么6m=6n C.如果m<n,那么-2m<-2n D.如果m<n,那么m+1<n+1 2.（25-26八年级上山东聊城期末)若a>b,则下列不等式变形正确的是() A.a2>b2 B.a-3<b-3 C.-4a>-4b D.1-3a<1-3b 3.(25-26八年级上浙江绍兴期末)下列运用一元一次不等式性质的变形中，正确的是() A.若x>3,则x+2<3+2 B.若x>3,则x-2<3-2 C.若x>3,则2x>3x2 D.若x>3,则-2x>3×(-2 4.(25-26八年级上浙江绍兴期末)下列说法不正确的是（) A.若a>b,则a-3>b-3 B.若a>b,则3a>3b C.若a>b,则ac2>bc2 D.若a>b,则-2a<-2b 5.(24-25七年级下·湖北武汉·期末)下列不等式变形不正确的是() A.若a>b,则a+c>b+c B.若a<b,则-a>-b C.若a>b,则3a>3b D.若a<b,则ac2<bc2 题型二解一元一次不等式（组）（共5小题） 6.(25-26八年级上浙江绍兴期末)解不等式（组） (1)2x+1<x+5; 1/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3-x1 (2)2 ，并把解集表示在数轴上. 3x+2≥4 7.(25-26八年级上浙江杭州·期末)解一元一次不等式（组） (1)9x-2≤7x+4; 2(x-1)>3x (2)x+1、x-2 (2> 3 8.(25-26八年级上山东聊城期末)解下列不等式或不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上： 02+1-1 3 2 [x+5≥4x-1 ②12x>1-x 9.(25-26八年级上山东菏泽期末)(1)解不等式：y一1≥2-y+2 2 5 2x-7<3(x-1) (2)解不等式组： 1 并把它的解集表示在数轴上. >x+1)一xs1 10.(25-26八年级上·重庆期末)解不等式（组），并将不等式组的解集在数轴上表示出来： (1)2x 5x+1≤4： 3 3(x-1)≤5x+1 (2)x3x+1 312 -3-210123 题型三一元一次不等式与一次函数（共5小题） 11.(25-26八年级上·河北张家口期末)在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a、b是常数且a≠0) 的图象如图所示，则下列说法正确的是() A.方程ax+b=0的解是x=1 B.不等式ax+b<0的解集是x<-1 2/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.当x<0时，y<0 D.当x>-1时，y>2 12.(25-26八年级上·上海·期末)一次函数y=kx+b(k≠0)的x与y的部分对应值如下表所示，根据该表 提供的信息，下列说法正确的是() 2 -1 0 -7 3 A.y的值随x值的增大而减小： B.y的值随x值的增大而增大； C.不等式kx+b>0的解集为x<1; D.不等式kx+b>1的解集为x<0. 13.（25-26八年级上·甘肃兰州期末)如图所示，一次函数y=kx+b(k≠0)与正比例函数y=mx(m≠0)的 图象相交于点M(1,2),下列判断错误的是() y=mx M1,2) y=kx+b A.关于x的方程mx=kx+b的解是x=1 B.关于x的不等式mx≥kx+b的解集是x≤1 C.当x<0时，函数y=kx+b的值比函数y=mx的值大 y-mx=0 x=1 D.关于x,y的方程组 :=b的解是{=2 14.(25-26八年级上·安徽安庆期末)如图，正比例函数y=-3x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点 P(n,6),一次函数图象经过点B(2,2),与x轴的交点为C. y=-3x y=kx+b (①)求一次函数表达式： 3/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)点C的坐标为，不等式kx+b>-3x>0的解集为 15.(25-26八年级上·安徽六安期末)已知：如图一次函数”=a-3与x轴相交于点B(-3,0),y2=x+b与 x轴相交于点C(5,0),这两个函数图象相交于点A. y=kx-3 y,=x+b (1)求出点A的坐标； (2)结合图象，直接写出≥2时x的取值范围； 1 (3)连接OA,直线少=x+b上是否存在一点P,使S&OCP=S△o4c,若存在，求点P的坐标。 题型四一元一次不等式（组）解的情况求参数（共5小题） 16.(25-26八年级上河北张家口期末)己知关于x的方程3x+a=x-7的根是正数，则实数a的最大整数 值为 17.(25-26八年级上·山东菏泽·期末)关于x的不等式组 x+2<b的解集为-3<x<2,则(a+)0= x-2>a 5(x-1)>5 18.(25-26八年级下·全国期末)若关于x的不等式组 的解集是x>a,则a的取值范围是 a-x<0 [4-2(x-1)23-x 19.（23-24七年级下·江西新余·期末)若关于x的不等式 有且只有3个整数解，且关于x, 9x-a>0 ax-4y=0 y方程组 x+2y=6的解为整数，则满足条件的整数a的值为 2a-x>3 20.（24-25七年级下河南新乡·期末)已知关于x的不等式组 2x+8>2a (1)若该不等式组无解，则a的取值范围是； (2)若该不等式组的解集中，每一个值均不在-1≤x≤5的范围中，则a的取值范围是 题型五一元一次不等式（组）整数解求参数（共5小题） 4/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2x-a<0 21.（25-26八年级上·重庆期末)关于x的不等式组 7-6r≤8有且只有3个整数解，则满足条件的整数a 2 的和为 x-m≥0 22.(24-25七年级下山东泰安期末)已知关于x的不等式组{ 只有两个整数解，则m的取值范围 6-3x>1 是 23.(24-25七年级下·内蒙古赤峰期末)关于x的不等式2x+b≤0恰有三个非负整数解，则b的取值范围 是一 2x+m≥0 24.(24-25七年级下.贵州黔南期末)已知关于x的不等式组 的整数解是-1,0,1，若m,n为 x-n<1 整数，则m+n的值为 x-a<0 25.（2425八年级下陕西咸阳期末)若关于x的不等式组+5-2≤+1有解，且关于x的分式方程 3 2 x-2+2=习 2二2大的解为正数，则满足条件的所有整数a的值的和为 题型六一元一次不等式（组）的实际应用（共5小题） 26.(25-26八年级上河南周口·期末)为了提高学生的阅读能力，学校开展了“书香校园”活动，计划购买 一批图书.已知购买2本科技类图书和3本文学类图书共需116元；购买3本科技类图书和5本文学类图书共 需180元， (1)求每本科技类图书和每本文学类图书的价格： (②)学校决定购买科技类图书和文学类图书共100本，且购买总费用不超过2000元，求最多可以购买科技类 图书多少本 27.（25-26八年级上江苏扬州·期末)随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，充分激发了同学们的运 动热情.某商家抓住了体育用品需求量激增的商机，采购了一批篮球和足球共100个，两种球的进价与售 价如下表所示.设采购x个篮球，获得的总利润为y元. 品名 厂家批发价元/个 商场零售价元/个 篮球 120 145 足球 100 120 5/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ()求总利润y与x的函数关系式： (2)若该商家采购的篮球个数不超过足球个数，则该商家应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少元？ 28.(25-26八年级上全国期末)扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺.扎染工艺的发展 带动了当地旅游相关产业的发展.某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料 的成本价和销售价如表： 单价 成本价/（元/件） 销售价/（元/件） 类别 甲种布料 60 100 乙种布料 40 70 (1)该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ (2)因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100 件.若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料数量的1.5倍，且以相同的销售价全部售完这批布料.设第 二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元.第二次应怎样进货，才能使第二次购进的 布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 29.(25-26九年级上·云南昆明期末)综合与实践 项目 近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩.某服装店直接从工厂 背景 购进长、短两款传统服饰进行销售， 该服装店第一次用4300元购进长、 短两款服装共50件，进货价和销售价如表： 价格/类别 短款 长款 素材1 项目 进货价（元/件） 80 90 素材 销售价（元/件） 100 120 素材2第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价 和销售价都不变)、且第二次进货总价不高于16800元. 项目 任务1 求两款服装分别购进的件数， 任务 任务2 该服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，并求出最大销售利润， 6/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 30.(25-26八年级上·安徽合肥期末)临近2026年春节，合肥长丰草莓，迎来草莓产销旺季，某农产品运 输公司通过多轮竞标获得60吨长丰草莓的节日转运权，负责从长丰县运往合肥市区各大农贸市场.该公司 转运草莓的转运初始费用为800元/吨.已知该公司安排了A、B、C型货车20辆用于装运草莓，己知三种 车型每辆车的最大装载量、运输费用如表所示： 车型 B C 最大装载量（吨辆） 5吨 3吨 2吨 运输费用（元/辆） 2000 1500 800 要求所有草莓一次性同时发货，且每辆车均需满载（冷藏车满载可保证草莓新鲜度），应公司要求，运输 货物时B型车的装载量不超过A型车和C型车的装载量总和，同时A型车的数量不超过6辆，设这次运输使 用A型车x辆，B型车y辆，根据以上信息回答下列问题： (1)求y与x之间的函数关系式： (2)设此次转运的利润为W(元)，求W与x之间的函数关系式，并求出怎样装运才能获得最大利润：（利 润=转运初始总费用~运输总费用) (3)由于车辆紧缺，这次运输过程中每辆A型车的运输费用要增加Q元，该公司在本次转运中获得的最大利 润为17400元，请求出a的值. 题型士一元一次不等式（组）中的新定义型问题（共5小题） 31.（25-26八年级上陕西西安期末)定义一种新运算“a⑧b”:当a≥b时，a⑧b=a+2b;当a<b时， a⑧b=a-2b.例如：3⑧(-4)=3+(-8)=-5，（6)⑧12=6-24=-30 (1)若(3x-5)⑧(4+x)=(3x-5)+2(4+x),则x的取值范围是 (2)已知3x+7)⑧(-4x>1,求x的取值范围， 32.(24-25七年级下湖南长沙期末)定义运算：fx,y)=ax+by.已知f(3,2)=7,f(4,3)=10. (1)直接写出：a=-,b=-; f(-x-3,2+x)20 (2)若关于x的不等式组 f(2x,x-t<0 无解，求t的取值范围： 7/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)若f(mx+3n,2m-nx)≥3m+4n的解集为x≤。，求不等式：f(mx-2m,3n-x)>-m+n的解集。 3 33.(24-25七年级下江苏泰州期末)定义：如果一元一次不等式组①的解都是一元一次不等式组②的解， 那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组①的解都不 是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相斥不等式组”。 x>2 x>4 (①)根据上述定义，判断不等式组 是不等式组 的 (填序号①“相容不等式组”或②“相斥不 x<3 x>5 等式组”)； (2)若关于x的不等式组 x>2x>a-1 (3是) 的“相斥不等式组”，求a的范围； x<a+1 1 x≥1.8 20+1的相容不等式组，且 x> x≥1.8 x>-a+1 (3)若关于x的不等式组 是 和 x≤4 x≤4 2“的整数解相同，求 x<2a+1 x<2a+1 a的范围. 34.(24-25七年级下江西宜春·期末)定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则 称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“从属方程”. 例如：x+3=5的解为x=2, -x+15>3x+3 3x-3≤5x-1 的解集为-1≤x<3,发现x=2在-1≤x<3的范围内，所以一元一次方程x+3=5是一元一 -x+15>3x+3 次不等式组 的“从属方程” 3x-3≤5x-1 【问题解决】 x+1>3x-1-1 (1)判断方程3x+2(1-x)=8是不是不等式组 2 4 的“从属方程”； 3x-1>2 x-3<2x+1 (2)若方程x-m=2是不等式组 9-4x≥x-1 的从属方程”，求m的取值范围。 35.(25-26八年级上·山东聊城期末)阅读理解： 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”.例 如，已知方程2x-1=1与不等式x+1>0,当x=1时，2x-1=2×1-1=1,1+1=2>0同时成立，则称 “x=1”是方程2x-1=1与不等式x+1>0的“理想解”. 问题解决： (1)请判断方程3x-5=1的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”： (直接填写序号： 8/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3x-5>2(x-3 324r+l:②2x+川-125；③1x 3 (2)若 x=m y=n 是方程组 x-2y=5+9与不等式x-y>1的理想解，求9的取值范围： 2x-y=2g+1 (3)若关于x,y的方程组 x-少=5a-3与不等式x+2y≥a+10的“要想解“均为正数（即理想解中的，y x+y=3a+5 均为正数)，直接写出a的取值范围. 9/9