专题01 等腰（等边）三角形（期末复习专项训练+8大题型）八年级数学下学期新教材北师大版

**基本信息** 聚焦等腰（等边）三角形及相关性质，以8类题型构建从基础到综合的递进训练，覆盖期末高频考点与推理意识、几何直观等核心素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等腰（等边）三角形|20题|含性质求解、多结论判断、综合证明及新定义问题，难度从基础到难点递进|以性质与判定为核心，延伸至动态几何与新定义，构建“概念-应用-拓展”逻辑链| |相关性质综合|20题|涵盖直角三角形性质、HL全等、垂直平分线及角平分线性质与综合应用|关联直角三角形、轴对称性质，形成三角形几何性质的横向联系，强化知识网络构建|

高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01 等腰（等边）三角形 题型归纳·内容导航 题型1利用等腰（等边）三角形的性质求解（常考点） 题型5利用直角三角形的性质求解（常考点） 题型2等腰（等边）三角形的性质与判定多结论问题（难点） 题型6直角三角形全等的性质和HL综合（重点） 题型3等腰（等边）三角形的性质和判定综合问题（重点） 题型7利用垂直平分线、角平分线的性质求解（常考点） 题型4等腰（边）三角形中的新定义型问题（难点） 题型8垂直平分线与角平分线的综合问题（重点) 题型通关·靶向提分 题型一利用等腰（等边）三角形的性质求解（共5小题） 1.(25-26八年级上·浙江杭州期末)如图，等腰Rt△ABC,∠ABC=90°，AD=BD=AB,则∠CDB= B 2.(24-25八年级上·安微马鞍山期末)在ABC中，AB=AC,点D为BC中点，如果∠BAD=40°， AD=AE,则∠EDC= 3.(25-26八年级上陕西西安期末)如图，在ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线交于点D,过点D作 EF∥BC交AB于点E,交AC于点F.若AB=6,AC=4,BC=8,则△AEF的周长是 B (25-26八年级上·四川成都期末)如图，在ABC中，AB=AC=8,以AC为边向右侧作等边△ACD, 1/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 连接BD,将△BDC沿BD翻折得到△BDC',过点A作AE∥BD交BC'的延长线于点E,连接CE,若 AE=2,则△BCE的面积是 5.(25-26八年级上·福建漳州期末)如图，在ABC中，∠B=90°，AB=8,BC=6,点P在AC上，当 点P与ABC中的两个顶点构成等腰三角形时，CP的长为一， A 题型二等腰（等边）三角形的性质与判定多结论问题（共5小题） 6.(25-26七年级下·上海金山期末)如图，∠B,∠C的平分线相交于点D,过点D作EF∥BC,交AB 于点E,交AC于点F,下列结论中：①BE=DE:②DF=ED:国∠BDC=0+号A,④△AEF周长 =AB+AC,正确的有() D B A.①② B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 7.(25-26八年级上·安徽六安期末)如图，ABC是等边三角形，AD是∠BAC的角平分线，点E是射线 AD上一动点，连接CE,以CE为边在下方构造等边△CEF,连接BF,DF;有以下结论：①AE=BF;② 当AE=2DE时，∠ACE=30°；③当AB=12时，则DF的最小值为3；④当B,E,F三点共线时， AE=4DE;其中正确结论个数是() 2/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.(25-26八年级上广东东莞期末)如图，ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,BM是AC边的中线，有 AD⊥BM,垂足为点E交BC于点D,且AH平分∠BAC交BM于N,交BC于H,连接DM,则下列结 论： ①∠AMB=∠CMD;②HN=HD; ③BN=AD;④∠BNH=∠MDC; H D 错误的有()个. A.0 B.1 C.2 D.3 9.(25-26八年级上山东德州期末)如图，P是∠BAC内部一点，P关于AB、AC的对称点分别是点P、 点B,连接PP分别与AB,AC交于点M,点N,连接PM,PN,下列结论：①若∠BAC=30°，则 △PB,A是等边三角形；②aPMN的周长等于线段PB的长；③PA平分∠MPN;④，∠MPN+LBAC=90 正确的有() M A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 10.(25-26八年级上·黑龙江佳木斯期末)如图，点A在直线BC上，△ABD、△AEC都是等边三角形， BE和AD交于点M,DC和AE交于点N.有如下结论：(1)△ABE≌△ADC;(2)AB=DN;(3) 3/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AP+PD=BP;(4)CP平分∠APE;(5)△AMN是等边三角形.其中正确结论有()个 D M B A.2 B.3 C.4 D.5 题型三等腰（等边）三角形的性质和判定综合问题（共5小题） 11.(25-26八年级上·陕西安康期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,点E为边CD上一点，AE, BE分别平分∠DAB,∠CBA,延长AE交BC的延长线于点F. (I)求证：△ABF是等腰三角形； (②)若AD=2,BC=4,求AB的长. 12.(25-26八年级上·贵州遵义·期末)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D是边BC上的 一个动点（不与B、C重合）·连接AD,以点A为直角顶点，以AD为一边作RtAADE,使AD=AE,边 DE交AC于点F. D (I)求证：△ABD≌△ACE; (2)若BD=2,求CE的长； (3)若点D是BC的中点，试判断DF与AC是否垂直？请说明理由， 13.(25-26八年级上湖北荆门·期末)ABC、△DBE都是等边三角形. 4/14 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (I)如图1，当C、B、E在一条直线上时，求证：AE=CD; (②)如图2，将。DBE绕着点B旋转，CD延长线与AE交于点F,则∠AFC的度数是多少？为什么？ (3)如图3，当△DBE的边长为4，且∠AEC=120°时，若G为AC边的中点，求EG的长， 14.(24-25七年级下·山东济南期末)如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=a(0°<a<60),射线CM 交线段AB于点D,作点A关于射线CM的对称点P,直线AP与直线BC交于点Q,与射线CM交于点H, 连接CP交AB于点E. H D H D (Q) /PB B B 图1 图2 图3 (I)如图1，当点P位于直线BC上时，∠APC= °（用含的代数式表示）： (2)如图2，当∠AQC=a时，判断P9与QB的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当CP1AB时，连接BP,若AH=2,BP=√5，则AC= 15.(25-26八年级上福建泉州期末)如图，ABC和ADE都是等腰三角形，AB=AC,AD=AE,且 ∠BAC=∠DAE,连接BD、CE 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：BD=CE; (2)如图2，己知点D在BC边上，LBAC=∠DAE=108°，BC=12.若F为BC上的一点，且 ∠BAD+∠FAC=54°，求△EFC的周长： (3)如图3，己知LBAC=∠DAE=120°，点Q为BC的中点，过点Q作DQ的垂线QH(点H在BC上方)， 5/14 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 连接CH、AH.当LDBC=LACH时，试求∠DAH的度数. 题型四等腰(G边)三角形中的新定义型问题（共5小题） 16.（24-25八年级下广东中山期末)定义：在ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,若a2+ab=c2,则 称ABC为“类直角三角形”.请根据以上定义解决下列问题： 图1 图2 (I)如1图，ABC为等边三角形，请判断该三角形是否为“类直角三角形”，并说明理由； (②)如2图，等腰三角形ABC为“类直角三角形”，其中AC=BC,AB>AC,请求出∠B的大小 17.(24-25八年级上江苏扬州期末)定义：在ABC中，若BC=a,AC=b,AB=c,a、b、c满足 ac+a2=b2,则称这个三角形为“类勾股三角形”.请根据以上定义解决下列问题： D E 图1 图2 (1)如图1所示，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，AB=BC,AC>AB.求∠A的度数， (2)如图2所示，在ABC中，∠B=2∠A,且∠C>∠A.求证：ABC为“类勾股三角形”.小明同学想到可 以在AB上找一点D使得AD=CD,再作CE⊥BD. ①探索△CDB的形状并说明理由， ②请你帮助小明完成证明过程， 18.(25-26八年级上河南南阳·期末)定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成 的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”， 己知在ABC中，AB=AC,点D在边AC上. 6/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 图1 图2 (I)如图1，如果BD=BC,求证：BD是ABC的等角分割线”； (2)如图2，如果BD⊥AC,且BD是ABC的“等角分割线”，求∠C的度数 19.(25-26八年级上黑龙江牡丹江期末)【阅读材料】定义：如图1，在ABC中， AB=AC,∠BAC=90°，等边△ABD在AB的左侧，连接CD,AF平分∠CAD交CD于点F.则称等腰 Rt△ABC和△ACD互为“伴侣三角形”，∠AEB称为“伴侣角. D B E D 图1 图2 图3 (I)【解决问题】图2中，等边△ABD在AB的右侧，其它条件不变，若等腰Rt△ABC和△ACD互为“伴侣三 角形”，求“伴侣角”∠AEB的度数； (②)【拓展延伸】在(1)的条件下，AH⊥BC于点H,如图3，探究AF、EF,EH之间的数量关系，并加 以证明. 20.(25-26八年级上江苏扬州·期末)【概念】直角三角形中，过直角顶点和斜边上一点的线段将直角分 成两个锐角，若这两个锐角的度数分别等于此直角三角形中的另外两个内角的度数，则称此线段为直角三 角形的“等锐角线” 7/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B B 458 20° 图1 图2 B B 30° 30° C A 图3 备用图 【辨析】图1中Rt△ABC有 条“等锐角线”； 图2中若AD是Rt△ABC的等锐角线”，则∠BAD= 【探究】如图3，ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，ABC的等锐角线”AD交BC于点D,画出示意图， 写出线段BD与BC的数量关系，并说明理由. 题型五利用直角三角形的性质求解（共5小题） 21.(25-26八年级上陕西延安期末)如图，在ABC中，∠BAC=15°，AC=BC=10,AD1BC交BC 延长线于点D,则AD的长为 22.(25-26八年级上江苏淮安·期末)如图，在ABC中，∠C=90°，BD是ABC的角平分线，过点D作 BC的平行线，交AB于点E,若AE=13,AD=12,则AB的长为 23.(25-26八年级上陕西西安期末)如图，在ABC中，BD平分∠ABC,与边AC交于点D,AE是 ABC的边BC上的高，BD,AE交于点F.已知∠C=70°，∠BAE=42°，则LBDC的度数为· 8/14 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 24.(25-26八年级上河南漯河·期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D在BC上，且 BD=2CD,过点D作BC的垂线交AB于点E,点F为线段AC上一个动点，若BE=8cm,则△DEF的周 长的最小值为 D 25.(25-26八年级上四川成都期末)如图，在aABC中，∠ACB=90°，D为边AB的中点，E、F分别为 边AC、BC上的点，且AE=AD,BF=BD·若DE=2√2，DF=6,则线段AB的长度为 E B 题型六直角三角形全等的性质和HL综合（共5小题） 26.(25-26八年级上江苏连云港期末)如图，AD,BC相交于点0，AB=CD,AM⊥BC于点M, DN I AM,与BC交于点N,BN=CM. B (I)求证：∠B=∠C; (2)若AB=5,BC=6,BN=2,求线段AD的长. 27.(25-26八年级上·陕西西安期末)如图，在△ABC,AC=BC,分别过A,B作过C的直线1的垂线， 垂足分别为M、N,且AM=CN. 9/14 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B M N (1)求证： ABC为直角三角形； (2)若AM=3,BN=5,求AB的长. 28.(25-26八年级上·上海期末)如图，已知AB⊥BE,AD⊥CF,垂足为D,点C在线段BE上， DF=BE,AE=AF. A B◇ C E (I)求证：∠BCA=∠DCA; (2)如果CE=4,CF=14,CA=13,求AD的长. 29.(25-26八年级上·江苏泰州期末)将Rt△ABC与Rt△DAE按如图所示的方式摆放，延长DE交BC于点 F,连接AF,其中∠ACB=∠DEA=90°，AD=AB,BC=BF+EF. B (1)证明：AE=AC: (2)若AE=5,AD=13,求CF长. 30.(25-26八年级上·上海普陀·期末)如图1，在ABC中，AC=BC,点E在边AB上，连接CE,过点 B作BF⊥CE,垂足为点F,过点A作AG⊥CE,交CE的延长线于点G,BF=CG. G G E B B 图1 图2 备用图 10/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：LACB=90°； (②)如图2，点D是AB的中点，点E在线段AD上，连接DF. ①当BE=BC时，求证：LEDF=LBCF; ②连接AF,设AC=a,如果AF⊥DF,用含a的代数式表示DF的长. 题型士利用垂直平分线、角平分线的性质求解（共5小题） 31.(25-26八年级上江苏南京期末)如图，在ABC中，BC=10cm,AC的垂直平分线交BC于D,连 接AD,AB的垂直平分线交AD于F,则BDF的周长是 cm. 32.(25-26八年级上湖北荆门期末)如图，在ABC中，∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，已知 AD=5cm,BC=14cm,则△BCD的面积是cm2. 33.(25-26八年级上湖北成宁.期末)如图，在ABC中，AB=4,AC=7,AD是∠BAC的平分线，M为 BC的中点，ME∥AD交BA的延长线于E,交AC于F,则BE= E D M 34.(25-26八年级上江苏南通期末)如图，在ABC中，∠BAC=30°，DE垂直平分AC,垂足为D, 交边AB于点E,FG垂直平分BC,垂足为G,交线段DE于点F,连接BF,CF,若∠ACF=22°，则 ∠ABF度数为 °，若DE=1,BE=V3,则EF= 11/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 35.(25-26八年级上福建福州期末)如图，ABC中，∠ACB=60°，AG平分∠BAC交BC于点G, BD平分∠ABC交AC于点D,AG,BD相交于点F,BE⊥AG交AG的延长线于点E,连接CE,下列结 论：①∠4FB=20P:②Sc<2Sc;③4B=BG+40:①2-分，其中正确的结论有 (填 写序号即可). O G d 题型八垂直平分线与角平分线的综合问题（共5小题） 36.(25-26八年级上山东聊城期末)如图，ABC中，EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E, AD⊥BC,垂足为D,且AB=EC,连接AE. B D E (I)求证：点D为BE的中点； (2)若AC=10,ABC的周长为26，求CD的长； 37.(25-26八年级上四川广安期末)如图，在ABC中，点D在边BC的延长线上，连接AD,∠ABC的 平分线交AD于点E,连接CE,过点E作EH⊥BD于点H,若LACE=34°，LCEH=56°· 12/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B H (I)求证：AE平分∠CAF; (2)若AB=8,CD=10,AC=6,且SA4BE=16,求△ACD的面积. 38.(25-26八年级上·福建福州期末)如图，在RtAABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线交AB于点D ,交BC于点E,连接CD,AE. D B E (1)若∠B=30°，求∠CAE的度数： (2)在(1)的条件下，求证：点E在线段CD的垂直平分线上. 39.(25-26八年级上河北邢台期末)如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=60°，D为AC上一点， CD=CE,∠ACE=60°， B (I)求证：△BCD≌△ACE; (2)延长BD交AE于F,连接CF,且AF=CF. ①求证：BF为边AC的垂直平分线； ②直接写出线段BF与DF之间的数量关系. 40.(25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末)如图1，AD是ABC的角平分线，DE⊥AB,DF1AC,垂足 分别为E,F,连接EF,EF与AD相交于点G. 13/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 G M G E ) D 图1 图2 (I)AD与EF垂直吗？证明你的结论， (2)若ABC的面积为21，AB=6,DF=3,求AC的长. (3)如图2，若∠MDN的两边分别与AB、AC相交于M、N两点，且∠MDN=∠EDF,请写出AM、AN、 AE三条线段的数量关系并简要说明理由. 14/14专题01 等腰（等边）三角形 题型1 利用等腰（等边）三角形的性质求解（常考点） 题型5 利用直角三角形的性质求解（常考点） 题型2 等腰（等边）三角形的性质与判定多结论问题（难点） 题型6 直角三角形全等的性质和HL综合（重点） 题型3 等腰（等边）三角形的性质和判定综合问题（重点） 题型7 利用垂直平分线、角平分线的性质求解（常考点） 题型4 等腰（边）三角形中的新定义型问题（难点） 题型8 垂直平分线与角平分线的综合问题（重点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 利用等腰（等边）三角形的性质求解（共5小题） 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，等腰，，，则________． 【答案】/15度 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．证明为等边三角形，可得，可得的度数，再由等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵等腰，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 2．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期末）在中，，点D为中点，如果，，则______ 【答案】20 【分析】先推导出，，进而求出，则，即可解答． 【详解】解：在中，D为中点，，，， ，， ∴， 又， ， ． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，，，则的周长是_______． 【答案】10 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证明，则，据此根据三角形的周长公式和线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵在中，，的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴的周长． 4．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，以为边向右侧作等边，连接，将沿翻折得到，过点A作交的延长线于点E，连接，若，则的面积是___________________ ． 【答案】 【分析】设，求出，，进而解求得，再解，求，可得最后解求出高即可得解． 【详解】解：设， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠可知， ∵， ∴， 如简略图，在中，过A作于点H， 则，， 在中，， ∴， 连接， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图， 则， ∴， 在中，如图，过E作于点G， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，，，点P在上，当点P与中的两个顶点构成等腰三角形时，的长为______． 【答案】2或5或6或 【分析】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的定义和性质等知识，分情况讨论是解题关键． 首先根据勾股定理确定的长度，然后结合等腰三角形的定义和性质，分情况讨论，即可获得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 根据题意，点P与中的两个顶点构成等腰三角形，可分情况讨论， ①当为等腰三角形，且时，如下图， 则； ②当为等腰三角形，且时，如下图， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当为等腰三角形，且时，如下图， 则； ④当为等腰三角形，且时，如下图，过点作于点， ∵， ∴，解得， ∴， ∵，， ∴， ∴． 综上所述，的长为2或5或6或． 故答案为：2或5或6或． 题型二 等腰（等边）三角形的性质与判定多结论问题（共5小题） 6．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，，的平分线相交于点，过点作，交于点，交于点，下列结论中：①；②；③；④周长，正确的有（    ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】由中，与的平分线交于点，，易证得和都是等腰三角形，继而可得，又由的周长为：；即可得的周长等于与的和． 【详解】解：， ，， 中，与的平分线交于点， ，， ，， ，，故①正确； 与不一定相等，故②错误； ∵在中，和的平分线相交于点， ∴，， ， ，故③正确； 的周长为： ，故④正确； 综上，正确的有①③④． 7．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，是等边三角形，是的角平分线，点是射线上一动点，连接，以为边在下方构造等边，连接，；有以下结论：①；②当时，；③当时，则的最小值为；④当，，三点共线时，；其中正确结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】利用等边三角形的性质证，进而证明线段相等，再结合角平分线的性质和垂线段最短的性质来判断各个结论的正确性即可解答． 【详解】解：、都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ，故①正确； 是等边三角形，是的角平分线， ，，， 当时，设，则，， 在中，， ，， ， 在中，， ， ，故②正确； ， ， 点在与夹角为的直线上运动， 根据垂线段最短，当时，的值最小， ， ， 在中，， ，故③正确； 当，，三点共线时，如图， 、都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ， ，， ，， 设，则， ， ， ，故④正确； 8．（25-26八年级上·广东东莞·期末）如图，中，是边的中线，有，垂足为点交于点，且平分交于，交于，连接，则下列结论： ①；②； ③；④； 错误的有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质与全等三角形的判定与性质，灵活构造辅助线并运用全等三角形的判定定理是解题的关键．通过证明多组三角形全等，分别对四个结论进行逐一验证，进而判断结论的正确性． 【详解】解：如图，作交延长线于， ，，平分， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ，，，故②③正确； ， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ，，故①④正确． 故选：． 9．（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，是内部一点，关于、的对称点分别是点、点，连接分别与，交于点，点，连接，，下列结论：①若，则是等边三角形；②的周长等于线段的长；③平分；④．正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质及等边三角形的判定与性质，熟知轴对称的性质是解题的关键． 根据轴对称的性质，依次对所给结论进行判断即可． 【详解】解：∵点关于、的对称点分别是点、点， ，，，． ，． 是等边三角形，故①正确． 由轴对称可知，，， ，故②正确． 由轴对称可知，，， ，． ， ． ． 平分，故③正确． ，， ． ， ． ，故④正确． 10．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，点在直线上，、都是等边三角形，和交于点，和交于点．有如下结论：（1）；（2）；（3）；（4）平分；（5）是等边三角形．其中正确结论有（   ）个 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线定义，恰当运用全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据等边三角形的性质可得三角形三边相等，三个角都是，易证，，，为等边三角形，由三角形内角和定理证得，在中，；在上取一点，使，可证得是等边三角形及，据此可进一步来判断各个结论的正确性． 【详解】解：、都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， 故（1）正确； 、都是等边三角形， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， 是等边三角形， 故（5）正确； ， ， ， ， ， ， 故（2）错误； ，如图， ， , ，即， 在上取一点，使，则是等边三角形， ， ， ， ， ，故（3）正确； ， ，即， ， ， 平分，故（4）正确． 综上所述，（1）（3）（4）（5）正确， 故选：C． 题型三 等腰（等边）三角形的性质和判定综合问题（共5小题） 11．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在四边形中，，点为边上一点，，分别平分，，延长交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，得，因为，，所以，则，而，可根据“”证明，得，即可解答； （2）由全等三角形的性质得，由，得，而，可根据“”证明，得，即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ，分别平分，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：由（1）得， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 的长是6． 12．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，，点是边上的一个动点（不与重合）．连接，以点为直角顶点，以为一边作，使，边交于点． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)若点是的中点，试判断与是否垂直？请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)，理由见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先证明，然后通过“”证明即可； （）通过全等三角形的性质即可求解； （）由点是的中点，，，则有，，再求出，则有，最后通过三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（）得：， ∴； （3）解：，理由： 如图， ∵点是的中点，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）、都是等边三角形． (1)如图1，当、、在一条直线上时，求证：； (2)如图2，将绕着点旋转，延长线与交于点，则的度数是多少？为什么？ (3)如图3，当的边长为，且时，若为边的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用． （1）证明，即可得证； （2）同理可得，根据三角形的内角和定理，即可求解； （3）延长交于点，延长至，使得，同理可得得出，，进而证明是等边三角形，得出，证明得出，即可证明，得出，进而证明，得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵、都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下， ∵、都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴； （3）解：如图所示，延长交于点，延长至，使得， 同理可得， ∴，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵为边的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 14．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，射线交线段于点，作点关于射线的对称点．直线与直线交于点，与射线交于点，连接交于点． (1)如图，当点位于直线上时，______（用含的代数式表示）； (2)如图，当时，判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图，当时，连接，若，，则______． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）设，根据轴对称的性质得出，从而得出，根据等边对等角得，由列出方程，求解可得答案； （2）证明，根据全等三角形的性质可得结论； （3）在上截取，连接，证明，得，根据勾股定理得出的值，进而再根据勾股定理得出结果． 【详解】（1）解：设， ∵点与点关于射线对称，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：． 理由：由（1）知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：如图， 在上截取，连接， ∵点与点关于射线对称，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，和都是等腰三角形，，且，连接、． (1)如图1，求证：； (2)如图2，已知点在边上，，．若为上的一点，且，求的周长； (3)如图3，已知，点为的中点，过点作的垂线（点在上方），连接．当时，试求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)12 (3) 【分析】（1）先证明，证明即可得到结论； （2）由（1）可知，，得到，证明，得到垂直平分，证明，即可得到答案； （3）延长至点，使得，连接，，，，证明，求出，证明，证明垂直平分，即可求出的度数为． 【详解】（1）解：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：同（1）可得，， ． ， ， ， 即． 又是等腰三角形 垂直平分， ， 即的周长是12； （3）解：如图，延长至点，使得，连接，，，， 为中点， ． 在和中， ， ， ． ， ， ， ， ， 同（1）可得，， ， 又， ， ， ，即， ， 即， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 又， 垂直平分， ． 即的度数为． 题型四 等腰（边）三角形中的新定义型问题（共5小题） 16．（24-25八年级下·广东中山·期末）定义：在中，，，，若，则称为“类直角三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)如1图，为等边三角形，请判断该三角形是否为“类直角三角形”，并说明理由； (2)如2图，等腰三角形为“类直角三角形”，其中，，请求出的大小． 【答案】(1)等边三角形不是“类直角三角形”，理由见解析； (2)的度数为． 【分析】本题是三角形综合题，考查等腰三角形的判定、等边三角形的性质、勾股定理、“类勾股三角形”的定义等知识． （1）设等边三角形的三边长分别为a，b，c，则，根据题意得到，即可判断； （2）根据题意得到，根据“类勾股三角形”的定义得到，得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的定义求出． 【详解】（1）等边三角形不是“类直角三角形”，理由如下： 设等边三角形的三边长分别为a，b，c，则， ∴， ∴等边三角形不是“类直角三角形”； （2）∵等腰三角形是“类直角三角形”，，， ∴，且． ∴． ∴是直角三角形，且． 又∵， ∴是等腰直角三角形． ∴的度数为． 17．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）定义：在中，若，，，满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)如图1所示，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，．求的度数． (2)如图2所示，在中，，且．求证：为“类勾股三角形”．小明同学想到可以在上找一点使得，再作． ①探索的形状并说明理由． ②请你帮助小明完成证明过程． 【答案】(1)； (2)①等腰三角形，理由见解析；②见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合“类勾股三角形”的定义得到是等腰直角三角形，由此即可求解； （2）①根据等边对等角得到，由三角形外角的性质得到，结合题意得到，根据三角形的定义即可求解； ②根据等腰三角形的性质得到，，在中，，在中，，由此得到，结合“类勾股三角形”的定义即可求解． 【详解】（1）解：，， ，， 是类勾股三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ； （2）解：①等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ， 是等腰三角形 ②由①得， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 是“类勾股三角形”． 18．（25-26八年级上·河南南阳·期末）定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”．已知在中，，点D在边上． (1)如图1，如果，求证：是的“等角分割线”； (2)如图2，如果，且是的“等角分割线”，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理等知识点． （1）由等边对等角得到，，则，再由三角形的外角性质即可求证； （2）先由等腰三角形性质以及三角形内角和定理得到，再由外角性质得到，，然后再分类讨论即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的“等角分割线”； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∵是的“等角分割线”， ∴①，， 解得：； ②，， 解得：（舍去）， 综上：． 19．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）【阅读材料】定义：如图1，在中，，等边在的左侧，连接，平分交于点F．则称等腰和互为“伴侣三角形”，称为“伴侣角”． (1)【解决问题】图2中，等边在的右侧，其它条件不变，若等腰和互为“伴侣三角形”，求“伴侣角”的度数； (2)【拓展延伸】在（1）的条件下，于点H，如图3，探究、，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1) (2)；证明见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质，得出，根据角平分线定义得出，根据三角形外角的性质得出； （2）根据等腰三角形的性质得出，，求出，根据直角三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：； 证明：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【概念】直角三角形中，过直角顶点和斜边上一点的线段将直角分成两个锐角，若这两个锐角的度数分别等于此直角三角形中的另外两个内角的度数，则称此线段为直角三角形的“等锐角线”． 【辨析】图1中有_________条“等锐角线”； 图2中若是的“等锐角线”，则_________； 【探究】如图3，中，，，的“等锐角线”交于点，画出示意图，写出线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】【辨析】1；70或20；【探究】或，图和理由见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质． 【辨析】根据“等锐角线”的定义可知的“等锐角线”是的平分线，所以有条“等锐角线”；当时，根据“等锐角线”的定义可知或； 【探究】当时，根据含角的直角三角形的性质，可得；当时，可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可知，根据等角对等边可得，所以可得． 【详解】【辨析】解：中，，， ， 的“等锐角线”是的平分线， 有条“等锐角线”； 如下图所示， 是的“等锐角线”， ； 如下图所示， 是的“等锐角线”， ， ； 综上所述，或； 故答案为：，或； 【探究】解：或 理由如下： 在中，，， ， 如下图所示，当时， ， ， ，， ， ； 如下图所示，当时， 可知， ， 是等边三角形， ， ， ； 综上所述，或. 题型五 利用直角三角形的性质求解（共5小题） 21．（25-26八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，，，交延长线于点，则的长为___________． 【答案】 【分析】根据，得到，从而得到，结合，根据含30度角的直角三角形的性质，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，，是的角平分线，过点作的平行线，交于点，若，，则的长为_______． 【答案】18 【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质以及平行的性质，先根据角平分线和平行得到，用勾股定理计算出，那么，代入即可． 【详解】解：是的角平分线， ， 平行于， ，， ， ， 在中，得 ， ， ． 故答案为：． 23．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，平分，与边交于点D，是的边上的高，，交于点．已知，，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】由已知结合直角三角形的两个锐角互余，可得，由角平分线的定义可得，根据三角形的内角和定理，即可得的度数． 【详解】解：∵是的边上的高， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 24．（25-26八年级上·河南漯河·期末）如图，在中，，点在上，且，过点作的垂线交于点，点为线段上一个动点，若，则的周长的最小值为___________． 【答案】 【分析】的周长为，其中是定值，因此周长的最小值由的最小值决定；利用对称点性质，作点关于的对称点，则，根据“两点之间线段最短”，当、、三点共线时，取得最小值，最后计算和的长度，相加即可得到周长的最小值． 【详解】解：∵，， ∴，， 在中，，， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴． 作点关于的对称点， ∵，即， ∴是线段的垂直平分线， ， 连接，交于点，此时，根据“两点之间线段最短”，，这是的最小值． 在中，，， ∴， ∴的周长为． 25．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，D为边的中点，E、F分别为边上的点，且，．若，，则线段的长度为_________________ ． 【答案】 【分析】延长到M，使得，连接，过点E作于点N，先证明，再证明，得，，然后证明是等腰直角三角形，则，在中求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到M，使得，连接，过点E作于点N， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵D为边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型六 直角三角形全等的性质和HL综合（共5小题） 26．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，，相交于点，，于点，，与交于点，． (1)求证：； (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先通过线段和差关系证明，根据平行线的性质结合证明，进而证明，最后根据全等三角形的对应角相等即可得证； （2）先通过线段和差关系求解，的长，在中，由勾股定理求解的长，证明，得到的长，以及，在中，由勾股定理求解的长，进而根据求解即可． 【详解】（1）证明：，，， ． 于点，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ，， 在中，由勾股定理得：， ， ， 在和中， ， ， ，， 在中，由勾股定理得：， ． 27．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在，．分别过，作过的直线l的垂线，垂足分别为、，且． (1)求证：为直角三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质． (1)利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据直角三角形的两个锐角互余可证，从而可证结论成立； (2)根据全等三角形的性质可知，利用勾股定理可以求出，再次利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， 在中，， ， ， 为直角三角形； （2）解：， ， ， ， ， . 28．（25-26八年级上·上海·期末）如图，已知，，垂足为，点在线段上，，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合，，，，运用证明，得，同理得，即可作答． （2）设，由（1）得，则，，结合，，得，解得，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：设， 由（1）得， ∴ 则， ∵， ∴， ∵， ∴ 解得， ∴， ∵ ∴在中， ∴ 解得（负值已舍去）． 29．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）将与按如图所示的方式摆放，延长交于点F，连接，其中，，． (1)证明：； (2)若，，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． （1）利用证明，然后利用全等三角形的对应边相等可证得结论； （2）先利用勾股定理求得，证明得到 设， 在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，又，， ∴， ∴； （2）解：在中， ∴ ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ 设，则， 在中， 则 解得 ∴的长为． 30．（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图1，在中，，点在边上，连接，过点作，垂足为点，过点作，交的延长线于点． (1)求证：； (2)如图2，点是的中点，点在线段上，连接． ①当时，求证：； ②连接，设，如果，用含的代数式表示的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）利用证明（直角三角形全等的判定定理） 即可． （2）①连接，证明，，，继而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，得到，等量代换证明即可． ②过点D作交于点P，连接，证明，则，得，从而得，则，在中利用勾股定理求得，从而求得，再用三勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ， ∴， 在和中， ∵， ∴（直角三角形全等的判定定理）， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）①解：∵，， ∴，， 连接，如图， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ②解：如图，过点D作交于点P，连接， 则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，勾股定理得， 即， ∴， 即， 在中，由勾股定理得， ∵点D为线段的中点， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 题型七 利用垂直平分线、角平分线的性质求解（共5小题） 31．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于D，连接，的垂直平分线交于F，则的周长是___________ 【答案】10 【分析】由线段垂直平分线的性质推出，得到的周长，即可求解． 【详解】解：垂直平分， ， 在的垂直平分线上， ， 的周长 ． 32．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，在中，，是的平分线，已知，，则的面积是_____． 【答案】35 【分析】本题考查角平分线的性质．过点D作交于点E，根据角平分线性质可知，进而计算的面积即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E，    ∵平分，，， ∴， ∴． 故答案为：35． 33．（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）如图，在中，，是的平分线，M为的中点，交的延长线于E，交于F，则________． 【答案】5.5 【分析】根据平行线的性质，利用“”证明，再根据全等三角形的性质结合等腰三角形的判定与性质进行等量代换求解． 【详解】如图，过点作交的延长线于， ，， 为的中点， ， 在和中， ， ， ， 又，平分， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， 即． 34．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，垂直平分，垂足为，交边于点，垂直平分，垂足为，交线段于点，连接，若，则度数为__________，若，，则__________． 【答案】 / 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)、等腰三角形的性质(等边对等角)、含角的直角三角形的性质以及勾股定理(直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方)等知识点．①利用线段垂直平分线性质得，结合等腰三角形等边对等角推出，再通过角度差计算得；②过点作，构造直角三角形，先在中用含角的直角三角形性质和勾股定理求边长，再设，在中用勾股定理表示，结合列方程求解得． 【详解】①连接，如图所示： ∵垂直平分，， ∴，则 ， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴ ∴； ②过点作，交的延长线于点，如图所示： ∴和都是直角三角形， ∵垂直平分， ∴和都是直角三角形，在中，， ∴， 由勾股定理得：， 在中，， ， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 设， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 35．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，中，，平分交于点，平分交于点，相交于点，交的延长线于点，连接，下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有______（填写序号即可）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了角平分线的定义和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 由三角形内角和定理可得，进而由角平分线的定义得，即可判定①；延长交的延长线于点，可得，即得，即得到，设的面积为，的面积为，则的面积，的面积，可得的面积的面积的面积的面积，即可判定②；在上截取，连接，可证，得到，进而可得，即可证，得到，即可判定③；由可得，又根据角平分线的性质可得，即得到，由直角三角形的性质得，即得，即可判定④，综上即可求解． 【详解】解：①∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴，故①正确； ②如图，延长交的延长线于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设的面积为，的面积为，则的面积，的面积， ∴的面积的面积的面积的面积，故②错误； ③如图，在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴ 又∵，， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④∵， ∴， 又∵平分， ∴点到的距离相等， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的结论有①③④， 故答案为：①③④． 题型八 垂直平分线与角平分线的综合问题（共5小题） 36．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，中，垂直平分，交于点，交于点，，垂足为，且，连接． (1)求证：点为的中点； (2)若，的周长为，求的长； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键． （1）由垂直平分线的性质，得，结合题意证为等腰三角形，再根据等腰三角形的三线合一，即可求证； （2）根据，，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：垂直平分， ， ， ， 为等腰三角形， ， ， 点为的中点． （2）解：，的周长为， ， ，， ， ． 37．（25-26八年级上·四川广安·期末）如图，在中，点在边的延长线上，连接，的平分线交于点，连接，过点作于点，若，． (1)求证：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点作于点，于点根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、，即可得到，根据角平分线的判定定理即可解答； （2）根据结合已知条件可得的长，最后运用即可解答． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点，于点． 平分， ． ，， ， 平分， ， ， 平分． （2）解：，，，且， ， ， ， ， 故的面积为32． 38．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，． (1)若，求的度数； (2)在（1）的条件下，求证：点在线段的垂直平分线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查垂直平分线判定及性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握好相关知识是关键． （1）由垂直平分线的性质可得，则，结合三角形内角和定理求出的度数； （2）通过证明可得，利用垂直平分线的判定定理可证明． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵垂直平分， ∴， 由（1）可得， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上． 39．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，在中，，，为上一点，， (1)求证：； (2)延长交于，连接，且． ①求证：为边的垂直平分线； ②直接写出线段与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；② 【分析】（1）先证明是等边三角形，利用即可证明； （2）①利用线段垂直平分线的判定定理即可证明； ②利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴，． 在和中， ， ∴； （2）①证明：∵，， ∴点B，F均在边的垂直平分线上， ∴为边的垂直平分线； ②解：． 由（2）①可知且平分， ∴为等边三角形中边上的高， ∴平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 在中，， ∴． 40．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图1，是的角平分线，，，垂足分别为，，连接，与相交于点． (1)与垂直吗？证明你的结论． (2)若的面积为21，，，求的长． (3)如图2，若的两边分别与、相交于、两点，且，请写出、、三条线段的数量关系并简要说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)，见解析 【分析】（1）由角平分线的性质得，由判定，由全等三角形的性质得，由等腰三角形的性质，即可求证； （2）由三角形面积得，即可求解； （3）由可判定，进而能得出，由即可求解． 【详解】（1）解：； 证明如下： 是的角平分线，，， ，． 在和中 ， ， ， 又是的角平分线， ． （2）解：， ， ，， ， ． （3）解：， 理由：由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， ． $