八年级数学下学期期末模拟卷01（新教材北师大版）

2025-2026学年八年级下学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版八年级数学下册全部。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的乘积的形式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、原式变形左边是整式乘法，结果是多项式，不是几个整式乘积的形式，不符合要求； B、左边是多项式，右边是两个整式的乘积，且变形正确，符合因式分解的定义； C、，右边中不是整式，不符合要求； D、，原式变形错误，不符合要求． 2．下列图形中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别；根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 3．下列变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据一元一次方程变形与不等式的基本性质逐项判断即可解答． 【详解】解：A．方程两边同除以得，与选项中结果不符，故A错误； B．不等式两边同乘，不等号方向改变，得，与选项中结果不符，故B错误； C．给两边同时加c可得 又，则，，即，故C正确； D．举反例：若，满足，但，，不满足 ，故D错误． 4．2026年郑州植物园迎春花展以“骏马迎春花满商都”为主题，紧扣生肖元素，展示马蹄莲、蝴蝶兰、石斛兰、秋海棠等特色花卉及年宵花卉60余种．如图为展会上一种三角形花架，D，E分别是的中点，若，则的长为（   ） A． B．7 C．14 D．21 【答案】C 【详解】解：D，E分别是的中点， 是的中位线， ． 5．下列说法错误的是（   ） A．当时，分式无意义 B．当时，分式的值为正数 C．当分式时， D．无论x取何值，的值总为正数 【答案】C 【分析】本题考查了分式的意义、分式有意义时，自变量的取值范围．掌握分式有意义的条件是解题关键．选项A、B、D均正确，选项C错误，因为当时，分式无意义，不能使分式值为 【详解】对于A:当 时，分母 ，分式无意义，选项A正确，不符合题意； 对于B:当 时，分母 ，分子为正，分式值为正，选项B正确，不符合题意； 对于选项C:∵ 分式 ， 需分子为0且分母不为0，即 且 ， ∴ 或 ，但 时， ，分式无意义， ∴ 只有 成立，选项C错误，符合题意； 对于D:分母 ，分子为正，分式值总为正数，选项D正确，不符合题意． 故选：C． 6．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（    ） ①平分； ②作图依据是； ③； ④点在的垂直平分线上． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】①根据尺规作图利用证明，可得结论； ②利用①的过程可得结论； ③利用直角三角形的性质和角平分线的定义进行判断； ④利用等角对等边得出相等的边，然后根据线段垂直平分线的判定定理得出结论． 【详解】解：①如图所示，连接， 由尺规作图可知，，且， ∴， ∴， 即平分， 故①正确； ②由①可得作图依据是, 故②错误； ③∵，， ∴， ∴， ∴， 故③正确； ④由③可得， ∴， ∴点在的垂直平分线上， 故④正确； 综上，正确的选项有①③④，共3个． 7．如图，将直角三角形沿方向平移得到三角形，连接，，，，三角形的周长为．下列结论： ①；②；③；④四边形的周长为；⑤阴影部分的面积为．其中正确的个数为（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用平移后对应线段平行且相等、对应角相等，结合线段长度、周长与面积公式逐一判断结论． 【详解】解：由平移可知，在上，因此，①正确； 平移距离相等，即，②正确； 平移后对应角相等，故，③正确； 四边形的周长， 周长为12，， 周长，④正确； ， ， 阴影面积 梯形的面积 ⑤错误， 综上，正确的个数为4． 8．如图，一次函数的图象与x轴交于点，与的图象交于点，则下列说法错误的是（     ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．关于x，y的方程组的解是 D．不等式的解集是 【答案】D 【分析】先根据一次函数图象与x轴的交点解答A，再根据两直线的交点解答B，C，然后根据直线在直线下方的部分的自变量取值解答D． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴当时，， 所以方程的解是，则A正确； ∵一次函数的图象和一次函数的图象交于点， ∴当时，两个函数值相等， 即方程的解是，则B正确； 方程组的解是，则C正确； 不等式的解集是，则D错误． 9．若整数使关于的不等式组的解为，且使关于的分式方程的解为正整数，则满足条件的的值之和为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】A 【分析】先解不等式组，根据已知解集确定a的取值范围，再解分式方程，结合分式方程的解为正整数且不为增根，找出所有符合条件的整数a，计算a的和即可． 【详解】解： 解①得， 解②得， ∵不等式组的解集为 ∴， 解得； 解分式方程，得 ∵分式方程的解为正整数，，是整数且 ∴是正整数，且， ∴ ∴或或 ∴或4或1 ∴满足条件的的值之和为． 10．如图，在中，平分交于点，连接，点分别是的中点，连接．交于点．延长交于点．则下列结论中：①平分；②；③；④；⑤，正确的有（   ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定与性质，证明，所以，进而可以判断①；根据三角形中位线定理，证明四边形是平行四边形，进而可以判断②；由，进而可以判断③；根据勾股定理，进而可以判断④；证明四边形是平行四边形，所以，进而可以判断⑤． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分，故①正确； ∵点M，N分别是的中点， ∴，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵，， ，故③正确； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故④错误； ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，故⑤正确， 综上所述：结论正确的有①②③⑤． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若二次根式有意义，则正整数m的值可以是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次根式中被开方数大于等于列出不等式，再结合正整数的定义求解即可． 【详解】解：有意义， 解得， 又为正整数， ∴m的值可以是5． 12．已知点与点关于原点对称，则的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查关于原点对称点的性质，若两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都互为相反数，据此求出、的值，代入代数式计算即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， ， ． 13．若多项式可因式分解为，则的值为________． 【答案】 【分析】先展开因式分解后的多项式，通过对比系数得到和的值，再代入计算即可． 【详解】解：由题意知，． ， ． ， ． 14．如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，再分别以点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交边于点．已知，的周长为48，则的长是___________． 【答案】4 【分析】由四边形是平行四边形，则，，所以，由作图可知平分，，通过，可得，又平行四边形的周长为48，则，然后通过线段和差即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由作图可知：平分，， ∴， ∴， ∵平行四边形的周长为48， ∴， ∴， ∴． 15．对于，，我们定义两种运算：，．则__________． 【答案】 【分析】本题为新定义运算题，先根据给定的两种运算定义，将目标式中的新运算转化为常规分式，再依据分式除法法则及平方差公式进行化简计算即可． 【详解】解：根据新定义运算：，，则， ∴ ． 16．我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为的凸四边形叫做“准筝形”．如图，在中，，，，是所在平面内任意一点，若四边形是“准筝形”，则四边形的面积为_________． 【答案】 或或 【分析】过点作交的延长线于点，根据含角直角三角形的性质结合勾股定理求解，的长 ，进而求得，的长，然后根据“准筝形”的定义分三种情况讨论，若，，若，，若，，分别构造直角三角形，利用等边三角形的性质结合勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作交的延长线于点， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ，， ， 四边形是“准筝形”， 分三种情况讨论： 若，，如图，过点作于， 是等边三角形，， ，， ， ． 若，，如图，连接，作于点，于， 是等边三角形， ，，， ，， ， ，， ，， ； 若，，如图，连接，过点作，交延长线于点，过点作于， 是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， ， 综上，四边形的面积为或或． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】；数轴见解析 【分析】先分别解不等式①和②，然后求公共解，得到不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以原不等式组的解集是； 在数轴上表示为： ． 18．先化简，再求值：，其中满足． 【答案】， 【分析】先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据平方和算术平方根的非负性求出，，然后代入求解． 【详解】解：原式 ． 因为， 所以，． 所以，． 所以，原式． 19．如图，已知：是等边三角形，，，且． (1)求证： (2)判断的形状？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质与判定和全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据证明，即可得出结论； （2）根据等边三角形的性质可得，结合（1）的结论，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴ 在和中， ∴， ∴． （2）解：是等边三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 20．如果一个正整数能表示成两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数是“智慧数”，如，因此8是“智慧数”． (1)28________“智慧数”（填“是”或“不是”）； (2)说明16是一个“智慧数”； (3)设两个连续奇数为和（其中为正整数），说明它们构造的“智慧数”能被8整除． 【答案】(1)不是 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）设较小奇数为，根据“智慧数”的定义得，求出n的值判断是否符合“智慧数”的定义即可； （2）由可知16是一个“智慧数”； （3）利用平方差公式进行分解，判断分解后的结果是否是8的倍数即可． 【详解】（1）解：设两个连续奇数的平方差为28，较小奇数为，则， 展开整理得， 解得， ∵不是奇数， ∴28不是“智慧数” （2）解：∵，且和是两个连续奇数， ∴16符合“智慧数”的定义， ∴16是一个“智慧数”； （3）解： ， ∵是8的倍数， ∴两个连续奇数为和构造的“智慧数”能被整除． 21．在如图所示的平面直角坐标系中，有．点，，． (1)将向x轴负方向平移4个单位得到，画出图形并写出点的坐标； (2)以原点O为旋转中心，将顺时针旋转后得到，画出图形并写出点的坐标； (3)可以看作是由先向右平移4个单位，然后以原点O为旋转中心，顺时针旋转得到的．除此之外，还可以由经过旋转变换得到，请在图中找出旋转中心．并写出其旋转中心的坐标． 【答案】(1)见解析，点的坐标为； (2)见解析，点的坐标为； (3)见解析，点． 【分析】本题考查了旋转变换与平移变换作图． （1）找出点A、B、C向左平移4个单位的对应的点的位置，然后顺次连接即可得到； （2）利用网格特点，找出点A、B、C以原点O为旋转中心，顺时针旋转后的对应的点的位置，然后顺次连接即可得到； （3）任意连接两个对应点，再作出对应点连线的垂直平分线，交点就是旋转中心． 【详解】（1）解：如图所示，点的坐标为； ； （2）解：如图所示，点的坐标为； （3）解：连接，并分别作的垂直平分线，相交于点P， 所以，点就是所求的旋转中心． 22．把烦恼丢进风里，把自己还给自然．随着夏季的到来，为给游客提供更好的旅游体验，某景区计划购买A，B两种型号的帐篷．已知A型号帐篷的单价比B型号帐篷的单价多300元，用3200元购买A型号帐篷的数量与用2000元购买B型号帐篷的数量相等． (1)求A，B两种型号帐篷的单价各多少元？ (2)若该景区计划购买A，B两种型号的帐篷共30顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买A型号帐篷的数量不超过B型号帐篷数量的2倍． ①B型号帐篷至少要买多少顶？ ②景区用于此次购买的计划资金为22000元，问此计划资金是否一定够用？ 【答案】(1)，两种型号帐篷的单价分别为800元、500元 (2)①型号帐篷至少要买10顶；②计划资金一定够用 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）设型号帐篷的单价为元，则型号帐篷的单价为元，根据用3200元购买A种帐篷的数量与用2000元购买B种帐篷的数量相等建立方程求解即可； （2）①设型号帐篷购买顶，则型号帐篷购买顶，根据购买A型号帐篷的数量不超过B型号帐篷数量的2倍列出不等式求出m的取值范围， ②设总费用为元，列出w关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设型号帐篷的单价为元，则型号帐篷的单价为元，依题意有： ， 解得． 经检验，是原方程的解． ∴ ． 故：，两种型号帐篷的单价分别为800元、500元． （2）解：①设型号帐篷购买顶，则型号帐篷购买顶，依题意有： ， 解得：． 故：型号帐篷至少要买10顶． ②设总费用为元，则有： ， ． ， 随的增大而减小． 又， ∴当时， ． 故：此计划资金一定够用． 23．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式__________的“梦想解”；（填序号） ①；②，③． (2)若关于，的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． (3)若关于的方程和关于的不等式组有正整数“梦想解”，且所有正整数“梦想解”的和为10，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)③ (2) 或 (3) 【分析】（1）先求出不等式①、②、③的解集，判断即可； （2）先求出方程组的解和的值，根据题意得出关于m的不等式组，解不等式组即可； （3）先求出方程和解不等式组，求出n的范围，根据正整数“梦想解”的和为10，得出，最后可得答案． 【详解】（1）解：解①得：，故不是①的“梦想解”， 解②得：，故不是②的“梦想解”， 解③得：，故是③的“梦想解”， 是方程和不等式③的“梦想解”； （2）解方程组，得， ， 方程组的解是不等式组的“梦想解”， ， 解不等式组得：， 为整数， 或； （3）解方程：，得：， 解不等式组，得：， 关于x的方程和关于x的不等式组有“梦想解”， ， 解不等式组得：， 因为所有正整数“梦想解”的和为10，所以正整数“梦想解”为1，2，3，4， ，解得：， 综上：． 24．【阅读】 三角形中位线定义：在中，若点D、E分别是与的中点，则是的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． (1)【定理证明】 证明三角形的中位线定理的方法有多种．我们可以延长至F，使得，连接，再利用全等三角形、平行四边形的知识进行证明，请结合图2，完成证明． 已知：在中，点D，E分别是，的中点． 求证：，且． (2)【定理应用】 如图3，在中，D是边的中点，是的平分线，于点E，连接．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】（1）通过延长中位线构造全等三角形和平行四边形，利用全等三角形和平行四边形的性质完成证明． （2）利用角平分线和垂线构造全等三角形得到线段相等关系，再结合中位线定理求线段长度． 【详解】（1）证明：延长至，使，连接． 是的中点， ． 在和中， ， (SAS)． ，． ． 是的中点， ． ． 又， 四边形是平行四边形． ，． ． （2）解：延长交于点． 平分， ． ， ． 在和中， ， (ASA)． ，E是的中点． 是的中点， 是的中位线． ． ． ． 25．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形． (1)如图，在邻余四边形中，，是钝角，，则 ． (2)如图，在中，，，垂直平分交于点E，垂足为D，，，F为上一点，求证：四边形是邻余四边形． (3)如图1，图2，在邻余四边形中，，是钝角，E为B中点，， ①如图1，当时，判断四边形ADCE的形状并证明你的结论． ②如图2，当，时，直接写出CD的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①四边形是平行四边形，理由见解析；② 【分析】（1）根据邻余四边形的定义求解即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得出，，，根据勾股定理求出，在中根据勾股定理的逆定理可判定，根据三角形内角和定理可求出，然后根据邻余四边形的定义即可得证； （3）根据邻余四边形的定义、平行线的判定与性质以及三角形内角和定理可求出，证明，得出，，则，最后根据平行线的判定即可得出结论； ②过A作交的延长线于F，连接，可证，得出，，由邻余四边形知，可求出，根据勾股定理求出，最后根据线段的垂直平分线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵在邻余四边形中，，是钝角， ∴， 又， ∴， 故答案为：； （2）证明：连接， ∵垂直平分， ∴，，， 又， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是邻余四边形； （3）解：①四边形是平行四边形， 理由：∵在邻余四边形中，，是钝角， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； ②过A作交的延长线于F，连接， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 由邻余四边形知：， ∴，即， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版八年级数学下册全部。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．下列图形中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．下列变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 4．2026年郑州植物园迎春花展以“骏马迎春花满商都”为主题，紧扣生肖元素，展示马蹄莲、蝴蝶兰、石斛兰、秋海棠等特色花卉及年宵花卉60余种．如图为展会上一种三角形花架，D，E分别是的中点，若，则的长为（   ） A． B．7 C．14 D．21 5．下列说法错误的是（   ） A．当时，分式无意义 B．当时，分式的值为正数 C．当分式时， D．无论x取何值，的值总为正数 6．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（    ） ①平分； ②作图依据是； ③； ④点在的垂直平分线上． A．个 B．个 C．个 D．个 7．如图，将直角三角形沿方向平移得到三角形，连接，，，，三角形的周长为．下列结论： ①；②；③；④四边形的周长为；⑤阴影部分的面积为．其中正确的个数为（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 8．如图，一次函数的图象与x轴交于点，与的图象交于点，则下列说法错误的是（     ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．关于x，y的方程组的解是 D．不等式的解集是 9．若整数使关于的不等式组的解为，且使关于的分式方程的解为正整数，则满足条件的的值之和为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 10．如图，在中，平分交于点，连接，点分别是的中点，连接．交于点．延长交于点．则下列结论中：①平分；②；③；④；⑤，正确的有（   ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若二次根式有意义，则正整数m的值可以是________．（写出一个即可） 12．已知点与点关于原点对称，则的值是______． 13．若多项式可因式分解为，则的值为________． 14．如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，再分别以点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交边于点．已知，的周长为48，则的长是___________． 15．对于，，我们定义两种运算：，．则__________． 16．我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为的凸四边形叫做“准筝形”．如图，在中，，，，是所在平面内任意一点，若四边形是“准筝形”，则四边形的面积为_________． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 18．先化简，再求值：，其中满足． 19．如图，已知：是等边三角形，，，且． (1)求证： (2)判断的形状？并说明理由． 20．如果一个正整数能表示成两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数是“智慧数”，如，因此8是“智慧数”． (1)28________“智慧数”（填“是”或“不是”）； (2)说明16是一个“智慧数”； (3)设两个连续奇数为和（其中为正整数），说明它们构造的“智慧数”能被8整除． 21．在如图所示的平面直角坐标系中，有．点，，． (1)将向x轴负方向平移4个单位得到，画出图形并写出点的坐标； (2)以原点O为旋转中心，将顺时针旋转后得到，画出图形并写出点的坐标； (3)可以看作是由先向右平移4个单位，然后以原点O为旋转中心，顺时针旋转得到的．除此之外，还可以由经过旋转变换得到，请在图中找出旋转中心．并写出其旋转中心的坐标． 22．把烦恼丢进风里，把自己还给自然．随着夏季的到来，为给游客提供更好的旅游体验，某景区计划购买A，B两种型号的帐篷．已知A型号帐篷的单价比B型号帐篷的单价多300元，用3200元购买A型号帐篷的数量与用2000元购买B型号帐篷的数量相等． (1)求A，B两种型号帐篷的单价各多少元？ (2)若该景区计划购买A，B两种型号的帐篷共30顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买A型号帐篷的数量不超过B型号帐篷数量的2倍． ①B型号帐篷至少要买多少顶？ ②景区用于此次购买的计划资金为22000元，问此计划资金是否一定够用？ 23．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式__________的“梦想解”；（填序号） ①；②，③． (2)若关于，的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． (3)若关于的方程和关于的不等式组有正整数“梦想解”，且所有正整数“梦想解”的和为10，请直接写出的取值范围． 24．【阅读】 三角形中位线定义：在中，若点D、E分别是与的中点，则是的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． (1)【定理证明】 证明三角形的中位线定理的方法有多种．我们可以延长至F，使得，连接，再利用全等三角形、平行四边形的知识进行证明，请结合图2，完成证明． 已知：在中，点D，E分别是，的中点． 求证：，且． (2)【定理应用】 如图3，在中，D是边的中点，是的平分线，于点E，连接．若，，求的长． 25．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形． (1)如图，在邻余四边形中，，是钝角，，则 ． (2)如图，在中，，，垂直平分交于点E，垂足为D，，，F为上一点，求证：四边形是邻余四边形． (3)如图1，图2，在邻余四边形中，，是钝角，E为B中点，， ①如图1，当时，判断四边形ADCE的形状并证明你的结论． ②如图2，当，时，直接写出CD的长． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版八年级数学下册全部。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．下列图形中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．下列变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 4．2026年郑州植物园迎春花展以“骏马迎春花满商都”为主题，紧扣生肖元素，展示马蹄莲、蝴蝶兰、石斛兰、秋海棠等特色花卉及年宵花卉60余种．如图为展会上一种三角形花架，D，E分别是的中点，若，则的长为（   ） A． B．7 C．14 D．21 5．下列说法错误的是（   ） A．当时，分式无意义 B．当时，分式的值为正数 C．当分式时， D．无论x取何值，的值总为正数 6．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（    ） ①平分； ②作图依据是； ③； ④点在的垂直平分线上． A．个 B．个 C．个 D．个 7．如图，将直角三角形沿方向平移得到三角形，连接，，，，三角形的周长为．下列结论： ①；②；③；④四边形的周长为；⑤阴影部分的面积为．其中正确的个数为（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 8．如图，一次函数的图象与x轴交于点，与的图象交于点，则下列说法错误的是（     ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．关于x，y的方程组的解是 D．不等式的解集是 9．若整数使关于的不等式组的解为，且使关于的分式方程的解为正整数，则满足条件的的值之和为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 10．如图，在中，平分交于点，连接，点分别是的中点，连接．交于点．延长交于点．则下列结论中：①平分；②；③；④；⑤，正确的有（   ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若二次根式有意义，则正整数m的值可以是________．（写出一个即可） 12．已知点与点关于原点对称，则的值是______． 13．若多项式可因式分解为，则的值为________． 14．如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，再分别以点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交边于点．已知，的周长为48，则的长是___________． 15．对于，，我们定义两种运算：，．则__________． 16．我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为的凸四边形叫做“准筝形”．如图，在中，，，，是所在平面内任意一点，若四边形是“准筝形”，则四边形的面积为_________． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 18．先化简，再求值：，其中满足． 19．如图，已知：是等边三角形，，，且． (1)求证： (2)判断的形状？并说明理由． 20．如果一个正整数能表示成两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数是“智慧数”，如，因此8是“智慧数”． (1)28________“智慧数”（填“是”或“不是”）； (2)说明16是一个“智慧数”； (3)设两个连续奇数为和（其中为正整数），说明它们构造的“智慧数”能被8整除． 21．在如图所示的平面直角坐标系中，有．点，，． (1)将向x轴负方向平移4个单位得到，画出图形并写出点的坐标； (2)以原点O为旋转中心，将顺时针旋转后得到，画出图形并写出点的坐标； (3)可以看作是由先向右平移4个单位，然后以原点O为旋转中心，顺时针旋转得到的．除此之外，还可以由经过旋转变换得到，请在图中找出旋转中心．并写出其旋转中心的坐标． 22．把烦恼丢进风里，把自己还给自然．随着夏季的到来，为给游客提供更好的旅游体验，某景区计划购买A，B两种型号的帐篷．已知A型号帐篷的单价比B型号帐篷的单价多300元，用3200元购买A型号帐篷的数量与用2000元购买B型号帐篷的数量相等． (1)求A，B两种型号帐篷的单价各多少元？ (2)若该景区计划购买A，B两种型号的帐篷共30顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买A型号帐篷的数量不超过B型号帐篷数量的2倍． ①B型号帐篷至少要买多少顶？ ②景区用于此次购买的计划资金为22000元，问此计划资金是否一定够用？ 23．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式__________的“梦想解”；（填序号） ①；②，③． (2)若关于，的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． (3)若关于的方程和关于的不等式组有正整数“梦想解”，且所有正整数“梦想解”的和为10，请直接写出的取值范围． 24．【阅读】 三角形中位线定义：在中，若点D、E分别是与的中点，则是的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． (1)【定理证明】 证明三角形的中位线定理的方法有多种．我们可以延长至F，使得，连接，再利用全等三角形、平行四边形的知识进行证明，请结合图2，完成证明． 已知：在中，点D，E分别是，的中点． 求证：，且． (2)【定理应用】 如图3，在中，D是边的中点，是的平分线，于点E，连接．若，，求的长． 25．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形． (1)如图，在邻余四边形中，，是钝角，，则 ． (2)如图，在中，，，垂直平分交于点E，垂足为D，，，F为上一点，求证：四边形是邻余四边形． (3)如图1，图2，在邻余四边形中，，是钝角，E为B中点，， ①如图1，当时，判断四边形ADCE的形状并证明你的结论． ②如图2，当，时，直接写出CD的长． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期期末模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C C C C C D A B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（答案不唯一） 12． 13． 14．4 15． 16．或或 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分） 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以原不等式组的解集是；...............3分 在数轴上表示为： ．...............6分 18．（6分） 【详解】解：原式 ．...............3分 因为， 所以，． 所以，． 所以，原式．...............6分 19．（6分） 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴ 在和中， ∴， ∴．...............3分 （2）解：是等边三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形．...............6分 20．（6分） 【详解】（1）解：设两个连续奇数的平方差为28，较小奇数为，则， 展开整理得， 解得， ∵不是奇数， ∴28不是“智慧数”...............2分 （2）解：∵，且和是两个连续奇数， ∴16符合“智慧数”的定义， ∴16是一个“智慧数”；...............4分 （3）解： ， ∵是8的倍数， ∴两个连续奇数为和构造的“智慧数”能被整除．...............6分 21．（8分） 【详解】（1）解：如图所示，点的坐标为； ；...............3分 （2）解：如图所示，点的坐标为；...............6分 （3）解：连接，并分别作的垂直平分线，相交于点P， 所以，点就是所求的旋转中心．...............8分 22．（8分） 【详解】（1）解：设型号帐篷的单价为元，则型号帐篷的单价为元，依题意有： ， 解得． 经检验，是原方程的解． ∴ ． 故：，两种型号帐篷的单价分别为800元、500元．...............4分 （2）解：①设型号帐篷购买顶，则型号帐篷购买顶，依题意有： ， 解得：． 故：型号帐篷至少要买10顶． ②设总费用为元，则有： ， ． ， 随的增大而减小． 又， ∴当时， ． 故：此计划资金一定够用．...............8分 23．（8分） 【详解】（1）解：解①得：，故不是①的“梦想解”， 解②得：，故不是②的“梦想解”， 解③得：，故是③的“梦想解”， 是方程和不等式③的“梦想解”；...............2分 （2）解方程组，得， ， 方程组的解是不等式组的“梦想解”， ， 解不等式组得：， 为整数， 或；...............5分 （3）解方程：，得：， 解不等式组，得：， 关于x的方程和关于x的不等式组有“梦想解”， ， 解不等式组得：， 因为所有正整数“梦想解”的和为10，所以正整数“梦想解”为1，2，3，4， ，解得：， 综上：．...............8分 24．（12分） 【详解】（1）证明：延长至，使，连接． 是的中点， ． 在和中， ， (SAS)． ，． ． 是的中点， ． ． 又， 四边形是平行四边形． ，． ．...............6分 （2）解：延长交于点． 平分， ． ， ． 在和中， ， (ASA)． ，E是的中点． 是的中点， 是的中位线． ． ． ．...............12分 25．（12分） 【详解】（1）解：∵在邻余四边形中，，是钝角， ∴， 又， ∴， 故答案为：；...............3分 （2）证明：连接， ∵垂直平分， ∴，，， 又， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是邻余四边形；...............6分 （3）解：①四边形是平行四边形， 理由：∵在邻余四边形中，，是钝角， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形；...............9分 ②过A作交的延长线于F，连接， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 由邻余四边形知：， ∴，即， ∵，， ∴， ∵，， ∴．...............12分 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $