专题01 整式的乘除（含平方差与完全平方公式）（期末复习专项训练+13大题型）七年级数学下学期新教材北师大版

专题01 整式的乘除（含平方差与完全平方公式） 题型1 整式运算之选择题（常考点） 题型8整式乘法与几何图形面积问题（重点） 题型2 科学记数法（常考点） 题型9通过对完全平方公式变形求值 题型3 整式乘法中的不含某项的参数问题 题型10多项式乘多项式规律探究问题（难点） 题型4求完全平方式中的字母系数 题型11平方差公式在几何图形中的应用（重点） 题型5零指数幂、负整数指数幂的计算（重点） 题型12完全平方公式在几何图形中的应用（重点） 题型6 整式的化简求值（常考点） 题型13整式运算中的新定义型问题（难点） 题型7 利用乘法公式进行简便运算 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 整式运算之选择题（共5小题） 1．（25-26九年级下·辽宁丹东·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）下列各式运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·广西河池·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·新疆吐鲁番·期末）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·江西赣州·期末）下列计算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 题型二 科学记数法（共5小题） 6．（25-26八年级上·河南漯河·期末）科技发展中，芯片被誉为现代工业的掌上明珠．某种芯片每个探针单元的面积为，用科学记数法可表示为_____________． 7．（25-26八年级上·河南信阳·期末）2025年4月19日，全球首场人形机器人半程马拉松赛在北京举行．人形机器人的发展是科学技术进步的结果，比如说人形机器人的碳纤维骨架的表面粗糙度不超过0.8微米，（1米微米），请将米用科学记数法表示应为___________米． 8．（25-26八年级上·山东德州·期末）“池上无风有落晖，杨花晴后自飞飞．为将纤质凌清镜，湿却无穷不得归”这是韩愈描写柳絮的《池上絮》．每年的四五月份是我国北方柳絮纷飞的季节，据统计每枚柳絮的质量最轻只有．将数据用科学记数法可表示为___________． 9．（25-26七年级上·河南商丘·期末）《哪吒之魔童闹海》是中国影史首部百亿票房影片，为在影片中呈现细腻的法术光芒，在特效制作中对单个粒子的渲染精度要求极高，其中某关键特效粒子的半径为0.0000025米，其中数据0.0000025用科学记数法可表示为________． 10．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）制造高性能显示屏时，需要使用一种掺杂了稀土元素铕（）的超薄有机膜．经测量，该薄膜的厚度非常薄，仅为毫米，数值用科学记数法表示为_____． 题型三 整式乘法中的不含某项的参数问题（共5小题） 11．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）若中不含m的一次项，则________． 12．（25-26七年级上·上海·期末）若的展开式中不含x的一次项，则_____． 13．（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期末）若展开后不含的二次项，则常数的值为_______． 14．（25-26八年级上·广东汕头·期末）要使展开式中不含项，则k的值等于______． 15．（25-26七年级上·重庆·期末）已知．若的值与x的取值无关，则当时，A的值为________． 题型四 求完全平方式中的字母系数（共5小题） 16．（25-26八年级上·四川泸州·期末）若可以用完全平方式来分解因式，则的值为________． 17．（25-26八年级上·山东临沂·期末）若是一个完全平方式，则k的值为______． 18．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）多项式□是完全平方式，则“□”代表的式子是_______． 19．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）已知多项式是完全平方式，则的值是______． 20．（25-26八年级上·江西上饶·期末）多项式添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可以是___________（任写一个符合条件的即可）． 题型五 零指数幂、负整数指数幂的计算（共5小题） 21．（25-26七年级上·河南郑州·期末）计算或化简： (1)计算： (2)化简：． 22．（25-26八年级上·河南安阳·期末）化简 (1) (2) 23．（25-26七年级上·山东济南·期末）计算： (1)； (2)． 24．（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 25．（25-26八年级上·江西赣州·期末）计算： (1) (2) 题型六 整式的化简求值（共5小题） 26．（24-25八年级上·四川眉山·期末）化简求值：，其中，． 27．（25-26八年级上·山西长治·期末）先化简，再求值：，其中a，b满足 28．（25-26八年级上·四川乐山·期末）先化简，再求值：，其中． 29．（25-26八年级上·山东临沂·期末）（1）计算：； （2）先化简，再求值：．其中，． 30．（25-26七年级上·山西晋中·期末）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中． 题型七 利用乘法公式进行简便运算（共5小题） 31．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）计算 (1) (2)简便运算： 32．（24-25七年级下·陕西西安·期末）计算： (1)； (2)（用整式乘法公式简便运算）， 33．（25-26八年级上·山东济宁·期末）计算下列各式： (1) (2)（用简便方法计算） 34．（25-26八年级上·河北邢台·期末）按要求完成下列各小题： (1)计算：； (2)用简便方法计算：． 35．（25-26八年级上·甘肃金昌·期末）用简便方法计算： (1)； (2)． 题型八 整式乘法与几何图形面积问题（共5小题） 36．（25-26七年级上·山东济南·期末）如图，有一块长为米，宽为米的长方形苗圃，现计划扩建，以如图方式向外扩建x米的距离． (1)请用含有x和a的式子表示扩建后的苗圃的面积； (2)若，扩建后的面积比原面积的大了400平方米，求a的值． 37．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）近年来城区老旧小区改造已成为群众关心的热点问题．为提高南海社区居民的宜居环境，市政府在社区规划修建一个广场（如图）． (1)用含的式子表示该广场的面积； (2)若米、米，修建该广场每平方米需要元，请求出修建该广场的总费用． 38．（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期末）如图，有一块长、宽的长方形地块，现计划在中间修筑一个长、宽的长方形塑像基台（空白部分），其余部分（阴影部分）铺上草坪． (1)用含的代数式表示草坪的面积；（结果需化简） (2)当时，求草坪的面积． 39．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）书籍是人类进步的阶梯！为了爱护书籍，人们常用封皮进行包裹．现有一本数学课本（如图1），其长为、宽为、厚为．小军用一张长方形纸（如图2）包好了这本数学书，图中虚线为折痕，阴影部分是裁掉区域，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长（）即为折叠进去的宽度．请解答下列问题：（用含x的代数式表示，并化为最简） (1)图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的长为______，宽为______； (2)求图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的总面积． 40．（25-26七年级上·四川内江·期末）【方法点拨】 在求代数式的值时，遇到这样一类题：“代数式的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是把x、y看作字母，a看作系数，然后合并同类项，即原式．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即，则． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式不含项，则________； （2）已知，，且的值与y的取值无关，求x的值； 【拓展延伸】 （3）用7张长为a，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设右上角部分的面积为，左下角部分的面积为，当的长发生变化时，的值始终保持不变．请求出a与b之间的数量关系． 题型九 通过对完全平方公式变形求值（共5小题） 41．（25-26八年级上·江西赣州·期末）已知，，利用乘法公式求下列各式的值： (1)； (2)． 42．（25-26八年级上·重庆黔江·期末）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 43．（25-26八年级上·河南许昌·期末）已知，求下列代数式的值： (1)； (2)； (3)． 44．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）拓展探究： 材料：我们知道，，两式相减可得：，由此可得公式：． (1)已知，，求的值： (2)探究：已知，，求（用m 、n 表示）； (3)已知，求的值． 45．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）【举一】教材118页“拓展探索”的第7题如下： 已知，，求的值． 分析：对于类似这样的问题，我们不妨从式子结构特征出发，运用整体思想解决． 解答：因为，所以，即． 因为，所以． 【反三】参考上述过程请你解答教材中类似的问题 (1)若，． ①________； ②求的值； (2)已知，，求与的值． 题型十 多项式乘多项式规律探究问题（共5小题） 46．（25-26八年级上·福建福州·期末）在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2026年1月份的月历，我们任意选择其中所示的阴影方框部分，将每个阴影方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减（乘积大的减小的），例如：，．不难发现，结果都是7． (1)请你再选择一个类似方框列出算式进行计算，看一看是否符合这个规律？ (2)设任意一个月历中类似方框的左上角的数为，请你列出代数式进行计算，看一看是否有同样的规律？ 47．（25-26八年级上·山东临沂·期末）观察下列各式： ； ； … (1)请根据上述规律直接写出计算结果：______；______． (2)设这两个两位数的十位数字都为a，其中一个两位数的个位数字为b，另一个两位数的个位数字为c，且．请用代数式表示上述规律，并用所学的知识说明上述规律的正确性． 48．（25-26八年级上·江西宜春·期末）探索题： 根据前面的规律，回答下列问题： (1)_________； (2)当时，________； (3)求：的值．（请写出解题过程）； 49．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）综合与实践：月历中的奥秘 【提出问题】月历上的数每行、每列之间都存在一定的规律，那这些数字经过运算得到的结果是否也存在规律呢？ 【初步探究】 （1）如图1是2026年1月的月历，小芝在月历中用如图2中所示的“Z型框”框住四个数a，b，c，d．（1）用含a的代数式表示 ； ． 【拓展探究】 （2）探究的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由． 【迁移运用】 （3）受月历中日期排列启发，小明研究形如的多项式，其中a，b是正整数且．若a，b可表示某月中两个日期的编号（1～31），请求出所有可能的m值． 50．（25-26八年级上·河南周口·期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，我们利用的方框在日历上框出一些数，选取方框中位于顶点处的4个数，设这个数分别为，计算“”的值，探索其运算结果的规律． 如年月份的日历图，当时（如图），小明在其中画出两个的方框，通过计算，：发现． (1)请你利用整式的运算对小明发现的规律加以证明： (2)请同学们利用小明的方法，借助年月份的日历，继续进行如下探究． 当时，如图，在日历中用的方框框住位置上的4个数，探究“”的值的规律（直接写出结论，不用证明）； 当时，如图，若在日历中用的方框框住位置上的个数，直接写出“”的值的规律； (3)通过以上的探究过程，请你写出“”运算结果的一般规律（用含的式子表示）． 题型十一 平方差公式在几何图形中的应用（共5小题） 51．（25-26八年级上·河南开封·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2） (1)上述图1到图2的操作能验证的等式是 ． (2)应用所得的公式计算：． 52．（25-26八年级上·江苏南通·期末）图1是一个长为，宽为的长方形，将四个这样的长方形拼成如图2所示的“回”字形图其中四边形是正方形，中间的四边形也是正方形． (1)观察图2，直接写出，，之间的等量关系式：____________； (2)如果长方形的两条边，满足：，，求的值； (3)将两个正方形，如图3摆放，是边上任意一点，若两个正方形面积之和为34，，求图中阴影部分面积之和． 53．（25-26八年级上·山东济宁·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请写出图，图，图阴影部分的面积分别能解释的乘法公式． 图：___________，图：___________，图：__________ (2)根据上述图中你探索发现的结论，完成下列计算： 已知，，求代数式①；②的值． (3)若，求的值． 54．（25-26八年级上·山东日照·期末）小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后，分别进行了如下数学实践：材料准备：如图1所示的若干个、的小正方形以及的小长方形硬纸片． 【实践1】小明选取部分硬纸片拼成一个图形，证明公式：． （1）请你帮小明完成拼图设计； （2）应用上述公式解决如下问题： ①已知，，求的值； ②若，则______． 【实践2】小红将的小正方形中裁剪掉一个边长为a的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （3）上述操作能验证的公式是______； （4）计算：． 55．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）两数和（差）的完全平方公式，在数学发展的长河中，这一经典恒等式不仅揭示了代数结构的对称与简洁，更是勾连几何直观与代数运算的重要桥梁，通过对它的灵活运用与变形，我们可以探索更广泛的数学问题，体会数学内在的统一之美． 例：若，求的值． 解：因为， 所以． 根据上面的解题思路和方法，解决下列问题： (1)已知，，则________； (2)若x满足，求的值； (3)如图，是某校的运动场所规划用地示意图：在正方形空地中开发一个长方形的排球运动场区域，经测量该区域的面积为250平方米，米，米．以为边开发正方形区域为篮球运动场，以为边开发正方形区域为乒乓球运动场，开发长方形区域为羽毛球运动场，求篮球运动场区域比乒乓球区域大多少平方米？ 题型十二 完全平方公式在几何图形中的应用（共5小题） 56．（25-26八年级上·广东广州·期末）数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1阴影部分的面积能解释的乘法公式：______； (2)用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图2的正方形，请你根据阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系：______； (3)若，，求的值； (4)如图3，正方形和正方形的边长分别为m，，若，，E是的中点，求阴影部分面积的和． 57．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）【教材原理】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为． 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为_____ 【应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，求的值． （3）若满足，求的值． 58．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）阅读以下解法： “若满足，求的值”．解：设，则，则，即． 解决以下问题： (1)若满足，则_______； (2)若满足，求的值； (3)如图，在长方形中，分别是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积． 59．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）【阅读理解】数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”这就是“算两次”原理．例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．如图1可以得到． 【类比应用】 （1）如图2，可以得到的代数恒等式是：　　； 【结论应用】 （2）若满足，求的值； 【迁移应用】 （3）两块完全相同的特制直角三角板()如图3所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若一块直角三角板的面积为，与面积之和为，求线段的长． 60．（25-26八年级上·山东德州·期末）阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． （1）下图给出的甲、乙、丙3个正方形分割方案，分别验证了以下乘法公式： ①②③ 甲、乙、丙3个图形对应的乘法公式序号按顺序排列为_____； 【解决问题】 （2）利用（1）中所得到的等式，解决下面的问题： ①若，求的值． ②若满足，求的值； 【拓展提升】 （3）如图丁，在线段上取一点，分别以，为边作正方形，，连接，，．若阴影部分的面积和为17，的面积为11，求的长度． 题型十三 整式运算中的新定义型问题（共5小题） 61．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）定义为二阶行列式，规定它的运算法则为：．例如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 62．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）已知，是实数，定义关于“”的一种运算如下：． (1)化简： ； (2)若，，求下列式子的值： ①； ②； (3)若，求的值． 63．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）已知和为有理数，现规定一种新的运算符号，定义，例如：，请根据符号的意义解决下列问题： (1)的值为_____________； (2)若是一个完全平方式，则_____________； (3)已知，且，求的值． 64．（25-26八年级上·河南焦作·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，则8，16，24都是“和谐数”． (1)特例感知：40___________“和谐数”，2026___________“和谐数”．（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为99，求阴影部分的面积． 65．（24-25八年级上·江西上饶·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于______对称； (2)若关于x的多项式关于对称，求b的值； (3)若整式关于对称，求m的值． $专题01 整式的乘除（含平方差与完全平方公式） 题型1 整式运算之选择题（常考点） 题型8整式乘法与几何图形面积问题（重点） 题型2 科学记数法（常考点） 题型9通过对完全平方公式变形求值 题型3 整式乘法中的不含某项的参数问题 题型10多项式乘多项式规律探究问题（难点） 题型4求完全平方式中的字母系数 题型11平方差公式在几何图形中的应用（重点） 题型5零指数幂、负整数指数幂的计算（重点） 题型12完全平方公式在几何图形中的应用（重点） 题型6 整式的化简求值（常考点） 题型13整式运算中的新定义型问题（难点） 题型7 利用乘法公式进行简便运算 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 整式运算之选择题（共5小题） 1．（25-26九年级下·辽宁丹东·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、积的乘方法则、单项式除以单项式法则，对各选项逐一判断即可得到正确结果． 【详解】解： A、同底数幂相乘，底数不变指数相加，，故此选项不符合题意； B、∵ 与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； C、积的乘方等于各因式分别乘方，，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意． 2．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）下列各式运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据负整数指数幂、零指数幂、幂的乘方以及同底数幂相乘的运算法则，逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、，故选项计算正确，符合题意； B、，故选项计算错误，不符合题意； C、，故选项计算错误，不符合题意； D、，故选项计算错误，不符合题意． 3．（25-26八年级上·广西河池·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．，正确； B．，故不正确； C． ，故不正确； D． ，故不正确． 4．（24-25八年级上·新疆吐鲁番·期末）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A：根据0次幂的运算法则：，可知，故此选项不符合题意； B：根据合并同类项运算法则，与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； C：根据整式的除法，，可知，故此选项不符合题意； D：根据整式的乘方运算法则，，故此选项符合题意． 5．（25-26八年级上·江西赣州·期末）下列计算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的相关运算法则，包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及单项式除以单项式的运算法则，需依据这些法则对每个选项进行计算判断． 【详解】解：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加 ∴A选项中，，A错误． ∵幂的乘方，底数不变，指数相乘 ∴B选项中，，B错误． ∵积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 ∴C选项中，，C正确． ∵单项式除以单项式，系数相除，同底数幂分别相除 ∴D选项中，，D错误． 故选：C． 题型二 科学记数法（共5小题） 6．（25-26八年级上·河南漯河·期末）科技发展中，芯片被誉为现代工业的掌上明珠．某种芯片每个探针单元的面积为，用科学记数法可表示为_____________． 【答案】 【分析】绝对值小于1的正数用科学记数法表示的一般形式为，其中，为原数左边起第一个非零数字前面所有零的个数． 【详解】解：． 7．（25-26八年级上·河南信阳·期末）2025年4月19日，全球首场人形机器人半程马拉松赛在北京举行．人形机器人的发展是科学技术进步的结果，比如说人形机器人的碳纤维骨架的表面粗糙度不超过0.8微米，（1米微米），请将米用科学记数法表示应为___________米． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，进行求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·山东德州·期末）“池上无风有落晖，杨花晴后自飞飞．为将纤质凌清镜，湿却无穷不得归”这是韩愈描写柳絮的《池上絮》．每年的四五月份是我国北方柳絮纷飞的季节，据统计每枚柳絮的质量最轻只有．将数据用科学记数法可表示为___________． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：将数据用科学记数法可表示为． 故答案为： 9．（25-26七年级上·河南商丘·期末）《哪吒之魔童闹海》是中国影史首部百亿票房影片，为在影片中呈现细腻的法术光芒，在特效制作中对单个粒子的渲染精度要求极高，其中某关键特效粒子的半径为0.0000025米，其中数据0.0000025用科学记数法可表示为________． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是整数，n的绝对值等于小数点移动的位数． 【详解】解：． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）制造高性能显示屏时，需要使用一种掺杂了稀土元素铕（）的超薄有机膜．经测量，该薄膜的厚度非常薄，仅为毫米，数值用科学记数法表示为_____． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．将用科学记数法表示，需确定系数和指数即可解答． 【详解】解：由题意，将的小数点向右移动5位得到， ，即， 故答案为：． 题型三 整式乘法中的不含某项的参数问题（共5小题） 11．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）若中不含m的一次项，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，要求表达式展开后不含的一次项，需使的一次项的系数为零． 【详解】解： ， 不含的一次项， ， ． 故答案为 ：． 12．（25-26七年级上·上海·期末）若的展开式中不含x的一次项，则_____． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，通过多项式乘法，确定展开式中x的一次项系数，并令其为零求解． 【详解】解：的展开式中，的一次项由与相乘、与相乘得到， 即的一次项系数为：， 因不含的一次项， 故， 解得． 故答案为． 13．（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期末）若展开后不含的二次项，则常数的值为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，利用多项式乘多项式的法则，将整式展开后再合并同类项，因为不含二次项，令二次项系数为零，求解的值． 【详解】解： ， 展开后不含的二次项， ， 解得：． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·广东汕头·期末）要使展开式中不含项，则k的值等于______． 【答案】 【分析】本题考查了已知多项式乘积不含某项求字母的值，解题关键是掌握不含某项、则某项的系数为零是解题的关键． 先根据多项式乘法展开，然后合并同类项，然后让项的系数为零，据此列出关于k的方程求解即可． 【详解】解：， ∵展开式中不含项， ∴项的系数，解得：． 故答案为：． 15．（25-26七年级上·重庆·期末）已知．若的值与x的取值无关，则当时，A的值为________． 【答案】3 【分析】本题考查了整式加减的无关型问题，掌握多项式乘以多项式法则是解题关键．原式利用多项式乘以多项式法则和整式加减运算法则计算，再根据值与x的取值无关，求出、的值，进而得到代数式，再代入计算求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 的值与x的取值无关， ，， ，， ， 当时，A的值为， 故答案为：3． 题型四 求完全平方式中的字母系数（共5小题） 16．（25-26八年级上·四川泸州·期末）若可以用完全平方式来分解因式，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式，完全平方式：的特点是首平方，尾平方，首尾底数积的两倍在中央． 根据完全平方式的特点作答即可． 【详解】解：∵即可以用完全平方式来分解因式， ∴， 解得． 故答案为：． 17．（25-26八年级上·山东临沂·期末）若是一个完全平方式，则k的值为______． 【答案】 【分析】本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如这样的式子是完全平方式． 根据完全平方式的定义，将表达式与标准形式比较系数，得出关于k的方程并求解即可 【详解】解：∵是完全平方式， ∴可表示为， 可知， 即． 故答案为：． 18．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）多项式□是完全平方式，则“□”代表的式子是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，通过完全平方式的标准形式对比，已知首项和中间项，即可确定缺失的平方项． 【详解】解：完全平方式的形式为 ， ∴ 对应 ， 对应 ， ∴ ，， 故缺失项为 ， 故答案为： ． 19．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）已知多项式是完全平方式，则的值是______． 【答案】或 【分析】本题考查了完全平方式，根据完全平方式的结构特点列出关于的方程解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵多项式是完全平方式， ∴， 解得或， 故答案为：或． 20．（25-26八年级上·江西上饶·期末）多项式添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可以是___________（任写一个符合条件的即可）． 【答案】（或或） 【分析】本题考查完全平方式． 根据完全平方式的结构特征，即可求解． 【详解】解：， 若添加一次项，则需添加，得到， 若添加四次项，设，则需添加， ∵原多项式为， ∴， ∴， ∴， ∴添加的单项式可以是或或． 故答案为：（或或）． 题型五 零指数幂、负整数指数幂的计算（共5小题） 21．（25-26七年级上·河南郑州·期末）计算或化简： (1)计算： (2)化简：． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了整式的加减，负整数指数幂，零指数幂等知识，解题的关键是： （1）根据负整数指数幂的意义，乘方的意义，零指数幂的意义等计算即可； （2）根据去括号法则和合并同类项法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 22．（25-26八年级上·河南安阳·期末）化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了负整数指数幂、零指数幂、有理数的乘方、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及合并同类项等知识点，熟练掌握幂的相关运算法则及有理数的运算规则是解题的关键． （1）先根据负整数指数幂、零指数幂及乘方的运算法则，分别计算、和，再进行加减运算． （2）先根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则及积的乘方法则，分别计算、和，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 23．（25-26七年级上·山东济南·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)20 (2) 【分析】此题考查了零指数幂，负整数指数幂，绝对值，同底数幂的乘除，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算零指数幂，负整数指数幂，绝对值，然后计算加减； （2）首先计算同底数幂的乘除，然后计算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了0指数幂、负整数指数幂、幂的乘方、幂积的乘方、同底数幂的乘除等知识，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）先计算有理数的乘方、0指数幂和负整数指数幂的运算，再计算加减即可； （2）先计算幂的乘方，再进行同底数幂的乘除运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 25．（25-26八年级上·江西赣州·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，涉及零指数幂，负整数指数幂，积的乘方，幂的乘方，单项式乘以单项式等知识，熟练掌握相关运算法则为解题关键； （1）根据有理数乘方，零指数幂，负整数指数幂计算各项再算加减法即可； （2）先算括号内的，再算积的乘方，最后算除法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型六 整式的化简求值（共5小题） 26．（24-25八年级上·四川眉山·期末）化简求值：，其中，． 【答案】，值为3 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值．先计算括号内整式的乘法运算，再合并，最后计算整式的除法运算，最后代入计算即可． 【详解】解： 当，时， 原式． 27．（25-26八年级上·山西长治·期末）先化简，再求值：，其中a，b满足 【答案】； 【分析】本题考查整式的运算及绝对值和偶次方的非负性，根据整式的运算法则及绝对值和偶次方的非负性即可求出答案． 【详解】解： ， ， ，， 解得：，， 当，时，原式 28．（25-26八年级上·四川乐山·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，8 【分析】本题主要考查了整式的混合运算．先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式法则计算括号内的，再计算除法，然后根据非负数的性质，求出x，y的值，再把x，y的值代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解：原式        =． ∵， ∴， ∴， 当时， 原式． 29．（25-26八年级上·山东临沂·期末）（1）计算：； （2）先化简，再求值：．其中，． 【答案】（1）；（2）， 【分析】对于本题，重点掌握完全平方公式，平方差公式． （1）根据完全平方公式计算即可； （2）先由完全平方公式和平方差公式计算中括号，再计算多项式除以单项式，最后代入求值即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当，时， 原式． 30．（25-26七年级上·山西晋中·期末）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中． 【答案】(1)；24 (2)；2 【分析】本题主要考查了整式混合运算的化简求值， 对于（1），先根据完全平方公式和平方差公式展开，再根据整式的加减法计算，然后代入求值即可； 对于（2），先去括号，再根据整式的加减法计算，然后代入求值即可． 【详解】（1）解： ， 当，时，原式； （2）解： ，   当时，原式． 题型七 利用乘法公式进行简便运算（共5小题） 31．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）计算 (1) (2)简便运算： 【答案】(1)2 (2)1 【分析】本题考查了零指数幂和负整数指数幂的意义，平方差公式． （1）先根据零指数幂、负整数指数幂的意义、绝对值的意义化简，再算加减； （2）利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 32．（24-25七年级下·陕西西安·期末）计算： (1)； (2)（用整式乘法公式简便运算）， 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了平方差公式，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算，再根据有理数加法法则计算即可； （2）将写成，然后利用平方差公式计算，再根据有理数混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 33．（25-26八年级上·山东济宁·期末）计算下列各式： (1) (2)（用简便方法计算） 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的计算，平方差公式的运用，熟练掌握相关计算法则是解题的关键． （1）先计算多项式乘以多项式以及平方差公式，最后合并同类项即可； （2）将变形为，采用平方差公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 34．（25-26八年级上·河北邢台·期末）按要求完成下列各小题： (1)计算：； (2)用简便方法计算：． 【答案】(1) (2)999991 【分析】本题考查了完全平方公式与平方差公式的计算． （1）根据完全平方公式，单项式乘以多项式进行计算即可求解； （2）先变形为，再根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 35．（25-26八年级上·甘肃金昌·期末）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10000 (2)505 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用． （1）将式子变形为符合完全平方公式的形式进行简便计算； （2）利用平方差公式进行简便计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 题型八 整式乘法与几何图形面积问题（共5小题） 36．（25-26七年级上·山东济南·期末）如图，有一块长为米，宽为米的长方形苗圃，现计划扩建，以如图方式向外扩建x米的距离． (1)请用含有x和a的式子表示扩建后的苗圃的面积； (2)若，扩建后的面积比原面积的大了400平方米，求a的值． 【答案】(1)平方米 (2) 【分析】本题考查了多项式乘法和一元一次方程的应用，解题的关键是根据图形变化准确表示出扩建后长方形的长和宽，再利用面积公式建立方程求解． （1） 先求出扩建后长方形的长和宽，再根据长方形面积公式列出表达式并化简； （2） 先求出原面积与扩建后面积的差，代入得到关于的一元一次方程，解方程求出的值． 【详解】（1）解：扩建后的长为：， 扩建后的宽为：， 扩建后的面积为： 故扩建后的面积为 平方米． （2）解：原面积为：， 面积增加量为：， 当 时，面积增加了400平方米， 代入得，即，， ∴． 答：的值为． 37．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）近年来城区老旧小区改造已成为群众关心的热点问题．为提高南海社区居民的宜居环境，市政府在社区规划修建一个广场（如图）． (1)用含的式子表示该广场的面积； (2)若米、米，修建该广场每平方米需要元，请求出修建该广场的总费用． 【答案】(1)； (2)660000． 【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值以及整式的运算，熟练掌握用割补法求不规则图形的面积和代数式的运算是解题的关键． （1）用大矩形的面积减去凹进去的小矩形的面积，即可表示出广场的面积． （2）将、的值代入（1）中得到的面积表达式，求出广场的面积，再乘以每平方米的费用，即可得到总费用． 【详解】（1）解：如图， ； （2）解：当米，米时， 平方米， 总费用(元) 38．（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期末）如图，有一块长、宽的长方形地块，现计划在中间修筑一个长、宽的长方形塑像基台（空白部分），其余部分（阴影部分）铺上草坪． (1)用含的代数式表示草坪的面积；（结果需化简） (2)当时，求草坪的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了长方形面积公式，多项式乘法法则及整式的加减运算． （1）根据长方形面积公式求出长方形地块和塑像的面积，再通过两者面积的关系求出草坪的面积， （2）将a、b的值代入草坪面积的表达式中求出具体数值即可． 【详解】（1）解：由图可知，草坪的面积是： ， 答：草坪面积为； （2）解：当时， ， 答：草坪的面积是． 39．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）书籍是人类进步的阶梯！为了爱护书籍，人们常用封皮进行包裹．现有一本数学课本（如图1），其长为、宽为、厚为．小军用一张长方形纸（如图2）包好了这本数学书，图中虚线为折痕，阴影部分是裁掉区域，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长（）即为折叠进去的宽度．请解答下列问题：（用含x的代数式表示，并化为最简） (1)图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的长为______，宽为______； (2)求图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的总面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，多项式乘以多项式与几何图形，明确题意，准确列出代数式是解题的关键． （1）根据题意，列出代数式，即可求解； （2）利用长方形的面积公式得到，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，长为，宽为， 故答案为：，； （2）解：由题意得， 40．（25-26七年级上·四川内江·期末）【方法点拨】 在求代数式的值时，遇到这样一类题：“代数式的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是把x、y看作字母，a看作系数，然后合并同类项，即原式．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即，则． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式不含项，则________； （2）已知，，且的值与y的取值无关，求x的值； 【拓展延伸】 （3）用7张长为a，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设右上角部分的面积为，左下角部分的面积为，当的长发生变化时，的值始终保持不变．请求出a与b之间的数量关系． 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了整式加减运算和化简求值，解题关键是熟练掌握多项式乘以多项式，单项式乘以多项式法则． （1）根据多项式不含项，列出方程解答即可； （2）先求，根据多项式的值与y的取值无关可知：化简后的多项式含有y的项的系数之和为0，列出方程解答即可； （3）观察图形，求出和的面积，则可求出，进而可得到答案． 【详解】解：（1） ∵该多项式不含项， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）∵，， ∴ ∵的值与y的取值无关， ∴， ∴； （3）解：设， 依题意，，， ∴， ∵当的长发生变化时，的值始终保持不变， ∴．即． 题型九 通过对完全平方公式变形求值（共5小题） 41．（25-26八年级上·江西赣州·期末）已知，，利用乘法公式求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查了整式乘法的公式，掌握完全平方公式的形式和变形是解题的关键． （）利用完全平方公式变形计算即可； （）利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵， ∴或． 42．（25-26八年级上·重庆黔江·期末）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，多项式的乘法． （1）根据完全平方公式得到，进而计算即可； （2）先计算多项式的乘法，再化为，进而计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 43．（25-26八年级上·河南许昌·期末）已知，求下列代数式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式及其变形是解题的关键． （1）根据计算求解即可； （2）根据计算求解即可； （3）根据计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：由（1）得 ∴ ． 44．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）拓展探究： 材料：我们知道，，两式相减可得：，由此可得公式：． (1)已知，，求的值： (2)探究：已知，，求（用m 、n 表示）； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式变形求代数式的值． (1)利用完全平方公式可得：，，把等式两边分别相减即可求出的值； (2)利用完全平方公式可得：，根据，即可求出； (3)利用完全平方公式可得：，把代入即可求代数式的值． 【详解】（1）解：， ， 整理得：， ， ， 整理得：， 得：， 解得：； （2）解：， ， 整理得：， 又， ， ， 故答案为：； （3）解： ， ， 原式. 45．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）【举一】教材118页“拓展探索”的第7题如下： 已知，，求的值． 分析：对于类似这样的问题，我们不妨从式子结构特征出发，运用整体思想解决． 解答：因为，所以，即． 因为，所以． 【反三】参考上述过程请你解答教材中类似的问题 (1)若，． ①________； ②求的值； (2)已知，，求与的值． 【答案】(1)①；②； (2)，． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形应用和整体代入的数学思想，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键． （1）①已知和，利用完全平方公式，将变形为，整体代入求值． ②已知和，利用完全平方公式，先由求出，再整体代入求． （2）已知和，利用两式相减消去、求出，再利用两式相加消去求出． 【详解】（1）解：①∵，， ∴ ； ②∵，， ∴ ； （2）解：∵ ， ∴ ， ∵ ∴ ． 题型十 多项式乘多项式规律探究问题（共5小题） 46．（25-26八年级上·福建福州·期末）在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2026年1月份的月历，我们任意选择其中所示的阴影方框部分，将每个阴影方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减（乘积大的减小的），例如：，．不难发现，结果都是7． (1)请你再选择一个类似方框列出算式进行计算，看一看是否符合这个规律？ (2)设任意一个月历中类似方框的左上角的数为，请你列出代数式进行计算，看一看是否有同样的规律？ 【答案】(1)（答案不唯一），符合规律 (2)有，见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，解题的关键是掌握新定义运算规则． （1）根据规则列出算式进行计算即可； （2）根据规则列出代数式，然后利用整式的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：（答案不唯一），符合规律； （2）解：方框中的左上角的数为，则其他3个数为， 方框中4个位置上的数交叉相乘，再相减， 列式得，， ， ， 结果为7，所以有同样的规律． 47．（25-26八年级上·山东临沂·期末）观察下列各式： ； ； … (1)请根据上述规律直接写出计算结果：______；______． (2)设这两个两位数的十位数字都为a，其中一个两位数的个位数字为b，另一个两位数的个位数字为c，且．请用代数式表示上述规律，并用所学的知识说明上述规律的正确性． 【答案】(1)5621；9016 (2)；理由见解析 【分析】本题考查多项式乘多项式的应用，正确表示出两个乘数是解题的关键． （1）利用所给规律可直接得出答案； （2）两个乘数可以表示为和，积可以表示为，根据多项式乘多项式，结合可证． 【详解】（1）， ； 故答案是：；． （2）用代数式表示规律：； 理由如下：， ， ． 48．（25-26八年级上·江西宜春·期末）探索题： 根据前面的规律，回答下列问题： (1)_________； (2)当时，________； (3)求：的值．（请写出解题过程）； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘法的规律探究及应用，解题的关键是通过已知等式总结出与多项式相乘的规律，并利用规律解题． （1）根据所给的四个等式归纳规律解答即可； （2）把，代入（1）中的等式求值即可； （3）根据（1）中得到的规律，在所求的代数式前添加，然后再计算即可． 【详解】（1）解：由所给的四个等式，可归纳出：； 故答案为：； （2）解：当时，； 故答案为：； （3）解：原式 ． 49．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）综合与实践：月历中的奥秘 【提出问题】月历上的数每行、每列之间都存在一定的规律，那这些数字经过运算得到的结果是否也存在规律呢？ 【初步探究】 （1）如图1是2026年1月的月历，小芝在月历中用如图2中所示的“Z型框”框住四个数a，b，c，d．（1）用含a的代数式表示 ； ． 【拓展探究】 （2）探究的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由． 【迁移运用】 （3）受月历中日期排列启发，小明研究形如的多项式，其中a，b是正整数且．若a，b可表示某月中两个日期的编号（1～31），请求出所有可能的m值． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）18或12 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，能根据题意得出所框月历中四个数的关系是解题的关键． （1）根据所给“Z型框”的特征，用含a的代数式分别表示出b和d即可； （2）根据题意，用a分别表示出其余字母，再据此进行计算即可； （3）根据及a，b为正整数且a，b可表示某月中两个日期的编号（1～31），求出a和b的值，据此得出m的值即可． 【详解】解：（1）由题意得：； 故答案为：，； （2），理由如下： ∵， ∴； （3）因为，a，b为正整数且a，b可表示某月中两个日期的编号（1～31）， 所以或或或． 又因为， 所以或12， 即所有可能的m值为18或12． 50．（25-26八年级上·河南周口·期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，我们利用的方框在日历上框出一些数，选取方框中位于顶点处的4个数，设这个数分别为，计算“”的值，探索其运算结果的规律． 如年月份的日历图，当时（如图），小明在其中画出两个的方框，通过计算，：发现． (1)请你利用整式的运算对小明发现的规律加以证明： (2)请同学们利用小明的方法，借助年月份的日历，继续进行如下探究． 当时，如图，在日历中用的方框框住位置上的4个数，探究“”的值的规律（直接写出结论，不用证明）； 当时，如图，若在日历中用的方框框住位置上的个数，直接写出“”的值的规律； (3)通过以上的探究过程，请你写出“”运算结果的一般规律（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析； (2)；； (3)． 【分析】本题考查了多项式乘以多项式中的规律探究，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设框出的第一个数为，则剩下三个数为，，，列式进行即可； （）设框出的第一个数为，则剩下三个数为，，，列式进行即可； 设框出的第一个数为，则剩下三个数为，，，列式进行即可； （）根据，，中的规律，推出相应的规律即可． 【详解】（1）解：设框出的第一个数为，则剩下三个数为，，， ∴； （2）解：设框出的第一个数为，则剩下三个数为，，， ∴； 设框出的第一个数为，则剩下三个数为，，， ∴； （3）解：当时，； 当时，； 当时，； ， ∴． 题型十一 平方差公式在几何图形中的应用（共5小题） 51．（25-26八年级上·河南开封·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2） (1)上述图1到图2的操作能验证的等式是 ． (2)应用所得的公式计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，灵活运用平方差公式是解题的关键． （）根据两个图形中阴影部分的面积相等，分别用代数式表示出来，列出等式即可； （）先将化成，再应用所得的公式即可计算得到结果． 【详解】（1）解：图面积为，图面积为， ∵阴影面积相等， ∴， 故答案为：； （2）解： ． 52．（25-26八年级上·江苏南通·期末）图1是一个长为，宽为的长方形，将四个这样的长方形拼成如图2所示的“回”字形图其中四边形是正方形，中间的四边形也是正方形． (1)观察图2，直接写出，，之间的等量关系式：____________； (2)如果长方形的两条边，满足：，，求的值； (3)将两个正方形，如图3摆放，是边上任意一点，若两个正方形面积之和为34，，求图中阴影部分面积之和． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，利用图形面积之间的关系得到，之间的等量关系式是解题的关键. （1）根据大正方形的面积等于个小长方形和小正方形面积之和，可得结论； （2）利用（1）中关系式计算可得结论； （3）设两个正方形，边长分别为，，先根据完全平方公式的变形求出，利用三角形的面积公式计算出阴影部分的面积，然后整体代入即可. 【详解】（1）解：∵大正方形的面积等于个小长方形面积和小正方形面积之和， ， ； 故答案为：； （2）解：由（1）得， 又∵， ∴； （3）解： 设两个正方形，边长分别为，， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ． 53．（25-26八年级上·山东济宁·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请写出图，图，图阴影部分的面积分别能解释的乘法公式． 图：___________，图：___________，图：__________ (2)根据上述图中你探索发现的结论，完成下列计算： 已知，，求代数式①；②的值． (3)若，求的值． 【答案】(1)；； (2)①；② (3) 【分析】本题考查乘法公式的几何背景，准确识图，熟练掌握图形的面积计算，乘法公式的结构特征是解决问题的关键． （1）根据图中的阴影部分是一个边长为的正方形得面积为，再根据图中的阴影部分是由两个边长分别为，的正方形和两个长为，宽为的长方形构成得面积为，由此可得出答案；根据图中的阴影部分是一个边长为的正方形得面积为，再根据图中边长为的大正方形是由边长分别为的正方形和两个长为，宽为的长方形构成及阴影部分构成得面积为，由此可得出答案；根据图中两种不同拼图计算面积即可得出答案； （2）①根据图所得出的乘法公式可求出的值； ②根据图及①的结论可求出，再根据图所得出的乘法公式即可求出的值； （3）设，，则，，根据即可得出的值． 【详解】（1）解：∵图中的阴影部分是一个边长为的正方形， ∴图中的阴影部分的面积为， 又∵图中的阴影部分是由两个边长分别为，的正方形和两个长为，宽为的长方形构成， ∴图中的阴影部分的面积为， ∴， ∴图能解释的乘法公式是：； ∵图中的阴影部分是一个边长为的正方形， ∴图中的阴影部分的面积为， 又∵图中边长为的大正方形是由边长分别为的正方形和两个长为，宽为的长方形构成及阴影部分构成， ∴图中的阴影部分的面积为：， ∴， ∴图能解释的乘法公式是：； ∵图中的左边阴影部分是一个长为，宽为的长方形， ∴图中的阴影部分的面积为， ∵图中的右边阴影部分的面积是边长的正方形与边长为的正方形的差， ∴图中的右边阴影部分的面积为， ∴， ∴图能解释的乘法公式是：； 故答案为：；；； （2）解：①∵， 又∵，， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 当，时，； 当，时，； 综上所述，的值为； （3）解：设，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的值为． 54．（25-26八年级上·山东日照·期末）小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后，分别进行了如下数学实践：材料准备：如图1所示的若干个、的小正方形以及的小长方形硬纸片． 【实践1】小明选取部分硬纸片拼成一个图形，证明公式：． （1）请你帮小明完成拼图设计； （2）应用上述公式解决如下问题： ①已知，，求的值； ②若，则______． 【实践2】小红将的小正方形中裁剪掉一个边长为a的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （3）上述操作能验证的公式是______； （4）计算：． 【答案】（1）见解析；（2）①；②3；（3）；（4） 【分析】（1）根据大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和证明完全平方公式； （2）①利用完全平方公式变形计算即可求解； ②设，，求得，，再利用完全平方公式变形计算即可求解； （3）分别表示出两个图形中阴影部分的面积，即可列出等式； （4）利用（3）得出的等式化简各个括号内的式子，再计算有理数的加减法与乘法即可得到答案． 【详解】（1）解：如图， 大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即． 从而验证了完全平方公式：； （2）①∵，，， ∴， ∴； ②设，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴； 故答案为：3； （3）解：由图2中剩余部分的面积为；图2中长方形的面积为：， ， 故答案为：； （4）解： ． 55．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）两数和（差）的完全平方公式，在数学发展的长河中，这一经典恒等式不仅揭示了代数结构的对称与简洁，更是勾连几何直观与代数运算的重要桥梁，通过对它的灵活运用与变形，我们可以探索更广泛的数学问题，体会数学内在的统一之美． 例：若，求的值． 解：因为， 所以． 根据上面的解题思路和方法，解决下列问题： (1)已知，，则________； (2)若x满足，求的值； (3)如图，是某校的运动场所规划用地示意图：在正方形空地中开发一个长方形的排球运动场区域，经测量该区域的面积为250平方米，米，米．以为边开发正方形区域为篮球运动场，以为边开发正方形区域为乒乓球运动场，开发长方形区域为羽毛球运动场，求篮球运动场区域比乒乓球区域大多少平方米？ 【答案】(1)28 (2)； (3)篮球运动场区域比乒乓球区域大525平方米． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题关键是掌握完全平方式的变形． （1）根据所给思路，结合完全平方公式变形计算即可； （2）设，，然后根据完全平方公式变形计算即可； （3）设，，由题意得，，根据，求得，利用平方差公式即可求得的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：28； （2）解：设，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即； （3）解：设，， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴（负值已舍）， ∵， ∴，即篮球运动场区域比乒乓球区域大525平方米． 题型十二 完全平方公式在几何图形中的应用（共5小题） 56．（25-26八年级上·广东广州·期末）数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1阴影部分的面积能解释的乘法公式：______； (2)用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图2的正方形，请你根据阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系：______； (3)若，，求的值； (4)如图3，正方形和正方形的边长分别为m，，若，，E是的中点，求阴影部分面积的和． 【答案】(1) (2) (3) (4)6 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式的应用． （1）图1中由两个长与宽分别为a、b的小长方形与一大一小两个正方形构成一个大的正方形，利用边长为正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为a、b的正方形的面积可得； （2）图2中利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加小正方形的面积可得； （3）利用，代入求值即可； （4）延长交于点K，记的面积为，矩形的面积为，的面积为，的面积为，结合已知条件分别表示出阴影部分的图形和的表达式，再将二者相加，结合，，即可求得阴影部分的面积． 【详解】（1）解：在图1中，由图可知，， ， 由题意得，， 即， 故答案为：． （2）解：在图2中，由图可知，，，， 由题图可知，， 即， 故答案为：． （3）解：由题意得，， ∵，， ∴， ∴． （4）解：如图，延长交于点K，记的面积为，矩形的面积为，的面积为，的面积为， ∵正方形边长为m，正方形边长为n，E为的中点， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， 即阴影部分面积的和为6． 57．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）【教材原理】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为． 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为_____ 【应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，求的值． （3）若满足，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征，图形的面积公式是解决问题的关键． （1）根据图②中“阴影部分两个正方形的面积之和=大正方形的面积-两个长方形的面积”得，据此即可得出答案； （2）由（1）的结论得，将代入计算即可得出答案； （3）设，则，进而得，由（1）的结论得，由此即可得出答案． 【详解】解：（1）∵图②中大正方形的边长为，阴影部分两个正方形的边长分别为a，b，两个长方形的宽和长分别为a，b， 大正方形的面积为，阴影部分两个正方形的面积分别为，长方形的面积为， 又阴影部分两个正方形的面积之和大正方形的面积两个长方形的面积， ， 故答案为：； （2）由（1）的结论得：， 又， ； （3）设，则， ， ， ， 由（1）的结论得：， ， ． 58．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）阅读以下解法： “若满足，求的值”．解：设，则，则，即． 解决以下问题： (1)若满足，则_______； (2)若满足，求的值； (3)如图，在长方形中，分别是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查完全平方公式与图形的面积，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． ()设，利用题干中给出的方法，结合完全平方公式，求解即可； ()设，利用完全平方公式变形求解即可； ()利用阴影部分的面积等于两个正方形的面积和，列出代数式，再利用完全平方公式，进行求解即可． 【详解】（1）解：设，则， ∴根据完全平方公式：代入数值： ， 所以， 故答案为：； （2）解：设，则， ∴根据完全平方公式：代入数值：， 解得：， ∴； （3）解：如图可得：， 设，则，且， 根据完全平方公式：， ∴． 59．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）【阅读理解】数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”这就是“算两次”原理．例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．如图1可以得到． 【类比应用】 （1）如图2，可以得到的代数恒等式是：　　； 【结论应用】 （2）若满足，求的值； 【迁移应用】 （3）两块完全相同的特制直角三角板()如图3所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若一块直角三角板的面积为，与面积之和为，求线段的长． 【答案】【小问1】； 【小问2】； 【小问3】 【分析】（1）通过两种方法计算图2中长方形的面积，一种是直接用长乘宽，另一种是将其分割为小正方形和小矩形后求和，从而推导出对应的代数恒等式． （2）利用完全平方公式的变形，通过设元将已知条件转化为和的具体值，再代入变形公式即可求出所求代数式的值． （3）设出直角三角板的直角边，利用三角板的面积和与的面积和这两个条件，结合完全平方公式求出直角边的和，得到线段的长度． 【详解】（1）解：图2中，大长方形的长为，宽为，面积为； 同时，大长方形可分割为一个边长为的正方形、三个长为宽为的矩形和两个边长为的正方形，面积和为， 故恒等式为； （2）解：设，， 则，． ∵， ∴； （3）解：设，． ∵，、、共线， ∴，． ∵三角板的面积为， ∴，即． ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴，即． 60．（25-26八年级上·山东德州·期末）阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． （1）下图给出的甲、乙、丙3个正方形分割方案，分别验证了以下乘法公式： ①②③ 甲、乙、丙3个图形对应的乘法公式序号按顺序排列为_____； 【解决问题】 （2）利用（1）中所得到的等式，解决下面的问题： ①若，求的值． ②若满足，求的值； 【拓展提升】 （3）如图丁，在线段上取一点，分别以，为边作正方形，，连接，，．若阴影部分的面积和为17，的面积为11，求的长度． 【答案】（1）①③②；（2）① 73，②185；（3） 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，完全平方公式变形求值． （1）分别用两种方法表示出阴影部分的面积即可解答； （2）①利用即可解答；②设，则，由公式即可解答； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，由题意可得，，，即，，求出，进而得到，即可解答． 【详解】（1）解：图甲中，由图可知，，也可以表示为， ∴，即， 图乙中，由图可知，，也可以表示为， ∴，即， 图丙中，由图可知，，也可以表示为， ∴， ∴甲，乙，丙3个图形按顺序排列为①③②； 故答案为：①③②． （2）解：①∵，， ； ②设，则， 由公式，得， 即； （3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 由题意可得，，，即，， ， ， ，， ，即． 题型十三 整式运算中的新定义型问题（共5小题） 61．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）定义为二阶行列式，规定它的运算法则为：．例如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查新定义运算，平方差公式，完全平方公式，根据新定义进行计算是解题的关键． （1）根据二阶行列式的运算法则进行计算即可求解； （2）根据二阶行列式的运算法则建立方程，根据完全平方公式进行计算，解方程即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， 即， 解得． 62．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）已知，是实数，定义关于“”的一种运算如下：． (1)化简： ； (2)若，，求下列式子的值： ①； ②； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)①② (3) 【分析】本题考查定义新运算，完全平方公式的变形应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据新定义，化简计算即可； （2）因为，由（1）知，则，又已知，则变形计算即可：①②； （3）令，则，由得，求即求即可． 【详解】（1）解：由新定义运算可知： ； 故答案为：； （2）解：∵ 由（1）知， 即， ， 又∵， ①； ②， ∴； （3）解：令 则， 由得， ∴， 即． 63．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）已知和为有理数，现规定一种新的运算符号，定义，例如：，请根据符号的意义解决下列问题： (1)的值为_____________； (2)若是一个完全平方式，则_____________； (3)已知，且，求的值． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，完全平方公式的运用，整式的运算，熟练掌握相关运算方法，准确计算为解题关键． （1）根据题目中给出的定义代入计算即可； （2）根据题目中给出的定义代入得到式子，再根据完全平方公式求解即可； （3）先根据题目中给出的定义得到，再利用完全平方公式得出，代入求解即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：10； （2） ， 是一个完全平方式， ， ， ， 故答案为：； （3） ， ， ， ． 64．（25-26八年级上·河南焦作·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，则8，16，24都是“和谐数”． (1)特例感知：40___________“和谐数”，2026___________“和谐数”．（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为99，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是，不是 (2)“和谐数”能被8整除．理由见解析 (3)5000 【分析】本题考查了平方差公式的应用． （1）根据“和谐数”的定义判断即可； （2）根据“和谐数”的定义计算得到，即可作答； （3）结合（2）的计算即可． 【详解】（1）解：设， 解得，是整数， ∴40是“和谐数”； 设， 解得，不是整数， ∴2026不是“和谐数”； 故答案为：是，不是； （2）解：“和谐数”能被8整除．理由如下： ， 是正整数， 能被8整除， 能被8整除； （3）解： ， 阴影面积为5000． 65．（24-25八年级上·江西上饶·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于______对称； (2)若关于x的多项式关于对称，求b的值； (3)若整式关于对称，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据新定义判断出对称轴是解题的关键． （1）利用完全平方公式对多项式进行配方，根据新定义判断即可； （2）求出的对称轴，令对称轴即可； （3）对多项式进行配方，根据新定义判断即可． 【详解】（1）解：， 则多项式关于对称； （2）解：∵， ∴关于x的多项式关于对称， ∴， ∴； （3）解： ， ∴关于对称， ∴． $