专题05 分式与分式方程（期末真题汇编）数学新教材北师大版八年级下册

**基本信息** 聚焦分式与分式方程专题，汇编12大高频考点（如分式有无意义的条件、化简求值、方程应用等）的60道多地区期末真题，覆盖基础到创新应用梯度。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|35题|含分式有无意义（考点01）、值为零（考点02）、约分（考点04）等基础考点|基础题占比超50%，如江苏南京期末题考查分式无意义条件| |解答题|25题|涵盖分式混合运算（考点06）、方程应用（考点12）、规律探究（考点10）等|能力题注重综合，如甘肃兰州期末题结合实际情境考查分式方程应用；创新题如江西九江期末规律探究题，体现数学思维|

专题05 分式与分式方程 12大高频考点概览 考点01分式有无意义的条件 考点02分式值为零的条件 考点03分式的求值 考点04约分 考点05最简分式 考点06分式的混合运算 考点07分式的化简求值 考点08解分式方程 考点09根据分式方程解的情况求值 考点10分式有关的规律探究题 考点11分式有关的新定义型问题 考点12分式方程的应用 ( 地 城 考点 01 分式有无意义的条件 ) 1．（24-25八年级下·江苏南京·期末）当时，下列式子没有意义的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查分式无意义的条件，二次根式有意义的条件，当分式的分母为零或二次根式的被开方数为负数时，式子无意义，将代入各选项，逐一检验即可． 【详解】解：选项A：代入，分母为，分母为零，分式无意义，符合题意； 选项B：代入，分母为，分子为，分式值为0，有意义，不符合题意； 选项C：代入，被开方数为，根式有意义，不符合题意； 选项D：代入，分子，分母为，分式有意义，不符合题意； 综上，只有选项A在时无意义， 故选：A． 2．（24-25八年级下·全国·期末）在函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查函数自变量的取值范围．根据二次根式有意义以及分母不为0的条件即可求解． 【详解】解：依题意得， ∴， 故选：A． 3．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义，根据分母不为0进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵分式在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）若分式无意义，则______． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式无意义的条件，关键是掌握分式无意义的条件是分母等于零． 根据分式无意义的条件可得，解方程即可． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·四川南充·期末）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件列式且，求出结果即可． 【详解】解：在实数范围内有意义， 且， 解得：且， 故选：B． ( 地 城 考点 02 分式值为零的条件 ) 6．（24-25八年级下·山东济南·期末）若分式的值为0，则x的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的值为零，根据分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0，计算即可得解，熟练掌握分式的值为零的条件是解此题的关键． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，且， 解得：， 故选：A． 7．（24-25八年级下·陕西西安·期末）已知分式的值为0，那么的值为（　　） A．或 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，分式有意义的条件，熟练掌握分式的值为零的条件是解题的关键．分式的值为零即分子为0且分母不为0，由此计算即可． 【详解】解：若分式的值为0， 则且， 解得：， 故选：D． 8．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）若分式的值为，那么的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案，熟知分式的值为时要满足的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为， ∴， 解得， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·甘肃酒泉·期末）若分式的值为0，则___________． 【答案】0 【分析】考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 根据分式的值为零的条件可以求出x的值． 【详解】解：由分式的值为零的条件得，， 解得，得， ∴． 故答案为：0． 10．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）已知当时，分式没有意义；而当时，该分式值为，则代数式_____． 【答案】 【分析】本题考查分式无意义的条件，分式的值为零的条件，解题的关键是掌握：①分式无意义的条件：分式的分母等于零；②分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零．据此列式分别求出，的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵当时，分式， 此时分式没有意义， ∴， 解得：， ∵当时，分式， 此时分式的值为， ∴且， 解得：，， ∴，， ∴． 故答案为：． ( 地 城 考点 0 3 分式的求值 ) 11．（24-25八年级下·山东淄博·期末）若，则的值是（ ） A．1 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的求值，由比例关系设参数k，将x、y、z用k表示，代入分式化简即可. 【详解】解：设，则，，， 代入分式： 分子：， 分母：， ∴； 故选：B 12．（24-25八年级下·山东烟台·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的化简方法是解题关键．先根据已知等式可得，再代入化简即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：B． 13．（24-25八年级下·四川成都·期末）若，则的值为______． 【答案】/0.5 【分析】本题主要考查了分式的拆分变形，熟练掌握分式的运算性质是解题的关键．利用已知比例关系，将所求表达式拆分为已知比例与常数的差，然后代入计算． 【详解】解：∵ ， ∴． 故答案为：． 14．（24-25八年级下·广东揭阳·期末）已知，那么的值是_____． 【答案】 【分析】本题利用分式的基本性质，分子分母都除以，巧妙运用已知条件是解本题的关键，也是解本题的突破口． 根据分式的基本性质，分式的分子分母都除以，分式的值不变，再把换成1计算即可． 【详解】解：分式的分子分母都除以，得 ， ∵， ∴原式． 故答案为：． 15．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）已知 ，，计算：的值． 【答案】14 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，分式的求值， 首先利用分母有理化求出，，然后得到，，然后将分式通分代数求解即可． 【详解】∵， ∴， ∴ ． ( 地 城 考点 0 4 约分 ) 16．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）化简的结果是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的约分，解题关键是掌握分式的约分． 直接根据分式的约分法则进行约分． 【详解】解：， 故选：A． 17．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）化简分式的结果是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的约分，掌握分式约分方法是解决问题的关键．通过对分式的分子和分母分别提取公因式进行约分，即可得到化简结果； 【详解】解：， 故选：B． 18．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）化简：（   ） A．3x B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的化简，通过约分将分式化为最简形式，据此进行作答即可． 【详解】解：， 故选：B． 19．（24-25八年级下·山西临汾·期末）化简：______． 【答案】x 【分析】本题考查了约分．先将分子因式分解，再约分即可求解． 【详解】解：， 故答案为：x． 20．（24-25八年级下·辽宁锦州·期末）分式化简的结果为______． 【答案】 【分析】本题考查了约分，解题的关键是约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． 将分子与分母的公因式约去即可． 【详解】解：， 故答案为：． ( 地 城 考点 0 5 最简分式 ) 21．（24-25八年级下·广东深圳·期末）下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了最简分式的判断，根据最简分式的定义，分子和分母没有公因式的分式即为最简分式．逐一分析各选项，判断是否存在可约分的公因式． 【详解】解：选项A：，分子为1，分母为一次多项式，两者无公因式，无法约分，是最简分式． 选项B：，分子4与分母的公因数为4，约分后为，不是最简分式． 选项C：，分母可分解为，与分子有公因式，约分后为，不是最简分式． 选项D：，分子可提取公因式，分解为，与分母有公因式，约分后为，不是最简分式． 故选∶A 22．（24-25八年级下·山西长治·期末）下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简分式的概念及判断方法，解题的关键是掌握最简分式的定义（分子与分母没有公因式的分式），并能对分式的分子和分母进行因式分解以寻找公因式． 明确最简分式的定义：分子与分母没有公因式．对每个选项的分子和分母进行因式分解．检查分子分母是否存在公因式，若没有则为最简分式． 【详解】解：的分子分母有公因数 2，可化简为，因此不是最简分式，A错误． 的分母可因式分解为，分子分母有公因式，可化简为，因此不是最简分式，B错误． 的分母可提取公因式a，化为，分子分母有公因式a，可化简为，因此不是最简分式，C错误． 的分母无法因式分解，分子分母没有公因式，因此是最简分式，D正确． 故选：D． 23．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）下列各分式中，是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简分式的识别，熟知最简分式是指分子和分母没有公因式的分式．需逐一判断各选项分子与分母是否存在公因式． 【详解】解：选项A：分子为，无法因式分解；分母为，两者无公因式，故为最简分式，符合题意； 选项B：分子可分解为，与分母有公因式，约分后为，不是最简分式，不符合题意； 选项C：分子可提取公因式得，与分母有公因式，约分后为，不是最简分式，不符合题意； 选项D：分子与分母有公因式，约分后为，不是最简分式，不符合题意； 故选：A． 24．（24-25八年级下·宁夏银川·期末）化简分式：________． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的化简，熟练应用分式的基本性质是解答此题的关键． 按照分式的基本性质对分式进行化简即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 25．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）请你写出一个最简分式，使其同时满足以下两个条件：①分式的值不可能为；②当时分式有意义．这个分式可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了最简分式，分式的值不为及分式有意义的条件，根据题意写出符合条件的最简分式即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：同时满足以下两个条件：①分式的值不可能为；②当时分式有意义．这个最简分式可以是， 故答案为：． ( 地 城 考点 0 6 分式的混合运算 ) 26．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）化简分式：的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：C． 27．（24-25八年级下·山西临汾·期末）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果即可． 【详解】解： ． 28．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是运用运算法则来计算． 根据分式混合运算的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 29．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）分式化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先进行括号内异分母的分式减法计算，再将除法化为乘法计算． 【详解】解： ． 30．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，先把括号内通分，再把除法转化为乘法，约分化简，然后再算加减即可． 【详解】解：原式 ． ( 地 城 考点 0 7 分式的化简求值 ) 31．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则、因式分解技巧是解题关键．先把小括号内的式子进行通分，再把两个分式的分子和分母进行分解因式，接着把除法变成乘法后约分化简，最后代入值计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 32．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，正确化简是解答的关键．先根据分式的加减乘除运算法则，结合因式分解化简原式，然后代值求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 33．（24-25八年级下·山东济南·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键．先对括号内通分作和，再将除法化为乘法约分化简，再代入计算求值即可． 【详解】解： 当时， 原式． 34．（24-25八年级下·四川成都·期末）先化简，再求值：，请从，，中，选一个合适的数作为的值，代入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的性质化简，代入计算是关键． 根据分式的性质，分式的混合运算法则计算，再根据分式的分母不为0，找出合适的值代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴原式， 35．（24-25八年级下·重庆·期末）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查完全平方公式，因式分解，分式化简，分式混合运算，分母有理化，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．先通分、因式分解、约分，化简原式，代入的值，计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴原式 ( 地 城 考点 0 8 解分式方程 ) 36．（24-25八年级下·云南保山·期末）将关于x的分式方程去分母后所得整式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了解分式方程，将分式方程两边同时乘以即可得解． 【详解】解： 分式方程两边同时乘以得，． 故选：B． 37．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）解分式方程：． 【答案】 【分析】本题考查的是解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤（去分母化为整式方程、解整式方程、检验）是解题的关键，通过将分式方程转化为整式方程求出解，再检验确定方程的最终解． 【详解】解： 检验：当时，， 原方程的解为． 38．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）解分式方程：． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程．掌握解分式方程的步骤是解题关键．将分式方程化为整式方程求解，再检验即可． 【详解】解：方程两边同乘，得， 解得：， 检验：当时，， 即原分式方程的解是：． 39．（23-24八年级下·陕西西安·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先将方程中的分母化为相同形式，再通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后检验所得解是否为原方程的解即可． 【详解】解：， ， 解得：， 经检验，是分式方程的解， ∴原方程的解是． 40．（24-25八年级下·山东济南·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程． （1）方程两边同时乘，化为整式方程，求出结果检验即可； （2）方程两边同时乘，化为整式方程，求出结果检验即可． 【详解】（1）解：方程两边同时乘，得， 解得， 检验：将代入得， 是原方程的增根， 原方程无解； （2）解：方程两边同时乘，得， 解得， 检验：将代入得， 所以，是原方程的根． ( 地 城 考点 09 根据分式方程解的情况求值 ) 41．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（     ） A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根的定义是解题的关键．对分式方程去分母得，解得，根据分式方程有增根可得，即可求出m的值． 【详解】解： 去分母，得 解得：， ∵关于x的分式方程有增根， ∴， ∴， 解得：． 故选：A． 42．（24-25八年级下·陕西西安·期末）若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查解分式方程、分式方程的解等知识点，掌握解分式方程步骤是解题的关键． 解分式方程用m表示x，再根据关于x的分式方程的解是正数以及分式方程的增根列不等式求出m的取值范围即可． 【详解】解：， 方程两边同乘以得，解得：， ∵关于的分式方程的解是正数， ∴且，解得：且． ∴m的取值范围为且． 故选：D． 43．（24-25八年级下·广东河源·期末）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是_______． 【答案】且 【详解】本题考查解一元一次不等式，分式方程的解，熟练掌握解不等式及分式方程的方法是解题的关键． 将分式方程后根据其解是非负数得到关于m的不等式，解不等式即可． 【解答】解：原方程去分母得， 整理得：， ∵它的解为非负数， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 44．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，理解增根的定义是解题的关键． 先将分式方程化为整式方程求解，再根据分式方程有增根得出，即可求出的值． 【详解】解：， 方程可化为， 方程两边同乘，得， 解得， 关于的分式方程有增根， ， ， ， 故答案为：． 45．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）若分式方程有增根，求m的值． 【答案】或6 【分析】此题主要考查了分式方程的增根．首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到或，代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解：方程两边都乘，得， 原方程有增根， 或， 当时，， 当时，． 或6． ( 地 城 考点 10 分式有关的规律探究题 ) 46．（24-25八年级下·江西九江·期末）下列数是按一定顺序和规律排列的：第一个数是，第二个数是，第三个数是… (1)直接写出第n个数：_____和第个数：_____（n为正整数）； (2)计算第n个数与第个数的和； (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，分式加减运算，有理数四则混合运算，根据给出的数据得出一般规律，是解题的关键． （1）观察规律得出第n个数为：，第个数为即可； （2）根据分式加减运算法则计算即可； （3）根据进行变形，再化简即可得到答案． 【详解】（1）解：∵第一个数是， 第二个数是， 第三个数是…， ∴第n个数为：，第个数为； （2）解： ； （3）解： ． 47．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；…… 请根据以上规律，解答下列问题． (1)直接写出第5个等式：______． (2)写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示，为正整数），并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，找到等式的特点，得出一般规律是解题的关键． （1）根据题目中所给的三个等式，结合规律即可写出答案． （2）找到等式的规律，写出第n个等式，通过化简证明等式成立． 【详解】（1）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… ∴第5个等式：； （2）解：． 证明：左边右边， 该猜想成立． 48．（24-25八年级下·宁夏中卫·期末）下面是按一定规律排列的一列等式： ①；②；③；④ (1)根据上面等式的规律补全等式：； (2)用含（为正整数）的式子表示上述第个等式：______； (3)请证明（2）中等式的正确性； (4)根据上述等式的规律，直接写出下面算式的计算结果： ． 【答案】(1)； (2) (3)证明见解析 (4) 【分析】本题考查规律性：数字的变化类， （1）通过给出的等式，发现：左边被减数的分母与右边第一个乘数相同，第二个乘数是第一个乘数加，减数的分母是被减数的分母加，减数与被减数的分子都是； （2）通过前几项的规律，用含的代数式表示第个等式； （3）将等式左边的式子通分并化简，再与等式右边的式子进行比较即可； （4）结合（2）的结论，将分式的和转化为连续项的差，利用抵消法简化计算； 解题的关键是找到规律，然后利用规律进行推理计算．也考查了分式的加减运算． 【详解】（1）解：∵等式左边被减数的分母为，则减数的分母为：，等式右边分母为， ∴等式为：， 故答案为：；； （2）根据给出的等式，发现规律：左边被减数的分母与右边第一个乘数相同，第二个乘数是第一个乘数加，减数的分母是被减数的分母加，减数与被减数的分子都是， ∴第个等式为：， 故答案为：； （3）证明：左边 ， ∴左边右边， ∴原等式成立； （4）解： ． 49．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）数学探究是数学学习的重要方法之一，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养． 例如：给定一列式子，并规定：（为整数且）． 则： 照此规律，解答下列问题： (1)______； (2)______； (3)若，求的值； (4)当时，则的最大值为______． 【答案】(1) (2) (3)2 (4)4 【分析】本题考查新定义，分式的运算，解一元一次方程，解题的关键是得到的结果以，5个为一组进行循环； （1）根据新定义，进行求解即可； （2）根据前面的几个等式，推出规律，进行求解即可； （3）根据规律，列出方程进行求解即可； （4）根据规律求出，再根据的取值范围求出最大值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； （2）∵， ，， ∴， ∴， ∴的结果以，5个为一组进行循环， ∵， ∴； （3）由（2）可知： ∴， 解得：； ∴； （4）∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，，最小， 此时最大为； 故答案为：4． 50．（24-25八年级下·甘肃张掖·期末）我们知道，任意一个正整数k都可以进行这样的分解：（m，n是正整数，且），在k的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是k的最佳分解，并规定：．例如：18可以分解成，或，因为，所以是18的最佳分解，所以． 【探索规律】 （1）__________；__________； （2）若x是正整数，猜想__________． 【应用规律】 （3）若，其中x是正整数，求x的值； （4）若，其中x是正整数，尝试直接写出所有x的值__________． 【答案】（1）；1；（2）；（3）4042；（4）7或8或13 【分析】（1）理解题意，根据“最佳分解”的定义进行计算即可； （2）由，结合“最佳分解”的定义即可得出答案； （3）结合（2）可得出关于x的分式方程，解出x，再验算即可； （4）根据题意可设，且t为正整数，可得，再由t，x均为正整数，，然后分类建立方程组求解即可． 【详解】解：（1）20可以分解成，或，因为， 所以是20的最佳分解， 所以； 36可以分解成，，，或，因为， 所以是的最佳分解， 所以； 故答案为：；1； （2）∵，且， ∴； 故答案为：； （3）∵ ∴， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意； ∴x的值为4042； （4）∵， ∴可设，且t为正整数， ∴， ∴， ∵t，x均为正整数，， ∴或或或或 ∴（舍去）或或（舍去）或或， ∴所有x的值为7或8或13． 故答案为：7或8或13 【点睛】本题考查用新定义解决数学问题，根据最佳分解，表示出，建立方程是求解本题的关键． ( 地 城 考点 11 分式有关的新定义型问题 ) 51．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）定义一种运算：当时，．当时，．若，则的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，解分式方程，注意要分情况讨论．分和两种情况，分别根据定义的新运算列出分式方程，解分式方程求出的值，经检验后可得答案． 【详解】解：当时，则， 解得：（舍去）； 当时，则， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意； 综上，的值为， 故选：B． 52．（24-25八年级下·陕西西安·期末）定义新运算：，若，则的值是________． 【答案】2 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是正确理解新定义运算，掌握运算法则． 根据新定义的运算得出，然后将原式化简，最后代入即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 53．（24-25八年级下·四川巴中·期末）定义运算，如；，若，则的值为________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，列分式方程解决实际问题，解题的关键是正确理解题意，列出方程． 根据题意列出方程，然后进行求解即可． 【详解】解：根据题意得， ∵ ∴ 整理得 解得 经检验，原方程的根， 故答案为：4． 54．（24-25八年级下·河南郑州·期末）定义新运算：对于两个代数式，，规定，例如． (1)化简：． (2)的结果能否为零？若能，请计算此时的值；若不能：请写出理由． 【答案】(1) (2)不能为0，理由见解析 【分析】本题侧重考查了分式的混合运算，掌握定义的新运算的意义是解题的关键． （1）根据已知新定义进行转化，然后结合分式的混合运算法则求解即可； （2）根据已知新定义进行转化，然后结合分式的混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式． ； （2）解：不能为0，理由如下： 原式． 结果不会等于0． 55．（24-25八年级下·江西鹰潭·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 【答案】(1)①③④是“和谐分式” (2) (3)的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数 【分析】本题主要考查分式的新定义； （1）根据和谐分式的定义逐一判断即可； （2）根据和谐分式的定义计算求解即可； （3）根据题意得到当为整数时，的值也要为整数，得到当或时，分式的值为整数，计算求解即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④， ①③④是“和谐分式”． 故答案为：①③④． （2）解： ， ． 故答案为：． （3）解：的值为整数， 当为整数时，的值也要为整数， 当或时，分式的值为整数， 或或或， 即当的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数． ( 地 城 考点 12 分式方程的应用 ) 56．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买、两种绿植，已知种绿植单价是种绿植单价的倍，用元购买的种绿植比用元购买的种绿植少株，设种绿植单价是元，则可列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设种绿植单价是元，则种绿植单价是元，根据用元购买的种绿植比用元购买的种绿植少株，列出方程即可． 【详解】解：设种绿植单价是元，则种绿植单价是元，根据题意得： ， 故选：C． 57．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）随着人们对网上购物的热衷程度日益增长，快递业务也随之快速增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周件提高到每周件，平均每人每周比原来多投递件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件件，则可列方程为________． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，关键是根据快递员人数不变建立等量关系，根据快递员人数不变，原来总投递量除以每人投递量等于现在总投递量除以每人投递量，列出分式方程． 【详解】解：设原来平均每人每周投递快件件，则现在平均每人每周投递快件件， ∵原来总投递量为3600件，现在总投递量为4800件，由于快递员人数不变， ∴． 故答案为：． 58．（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）某文具店准备购进甲、乙两种文具袋，已知甲文具袋每个的进价比乙每个进价多元，经了解，用元购进的甲文具袋与用元购进的乙文具袋的数量相等． (1)分别求甲、乙两种文具袋每个的进价是多少元？ (2)若该文具店用元全部购进甲、乙两种文具袋，设购进甲个，乙个．求关于的关系式． 【答案】(1)甲文具袋每个为元，乙文具袋每个进价为元 (2) 【分析】（）设乙文具袋每个进价为元，则甲文具袋每个为元，根据题意列出方程即可求解； （）根据题意列出方程，进而解二元一次方程即可． 【详解】（1）解：设乙文具袋每个进价为元，则甲文具袋每个进价为元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：乙文具袋每个进价为元，则甲文具袋每个进价为元； （2）解：根据题意得，， ∴． 59．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）清明过后就是春茶的采摘季节．已知熟练采茶工人每天采茶的质量是新手采茶工人每天采茶质量的倍，每个熟练采茶工人采摘斤鲜叶比每个新手采茶工人采摘斤鲜叶少用天． (1)求每个熟练采茶工人和每个新手采茶工人一天分别能采摘多少斤鲜叶； (2)若某茶厂计划一天采摘鲜叶至少斤，并安排熟练采茶工人和新手采茶工人共名，求最少安排熟练采茶工人多少名？ 【答案】(1)每个熟练采茶工人一天能采摘斤鲜叶，每个新手采茶工人一天能采摘斤鲜叶 (2)名 【分析】（）设每个新手采茶工人一天能采摘鲜叶斤，则每个熟练采茶工人一天能采摘鲜叶斤，根据题意列出方程即可求解； （）设安排熟练采茶工人名，则安排新手采茶工人名，根据题意列出不等式即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设每个新手采茶工人一天能采摘鲜叶斤，则每个熟练采茶工人一天能采摘鲜叶斤， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：每个熟练采茶工人一天能采摘斤鲜叶，每个新手采茶工人一天能采摘斤鲜叶； （2）解：设安排熟练采茶工人名，则安排新手采茶工人名， 由题意得，， 解得， 答：最少安排名熟练采茶工人． 60．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）某生态农场计划引进黑松露和羊肚菌两种珍稀食用菌进行培育．已知每公斤黑松露的培育成本比每公斤羊肚菌的培育成本高300元，且用6000元培育的黑松露质量与用3600元培育的羊肚菌质量相同． (1)求黑松露、羊肚菌每公斤的培育成本分别为多少元？ (2)该农场决定在总成本不超过54900元的前提下培育这两种菌类，若培育羊肚菌的质量比黑松露的2倍少10公斤，求最多能培育黑松露多少公斤？ 【答案】(1)羊肚菌每公斤的培育成本为450元，黑松露每公斤的培育成本为750元 (2)最多能培育黑松露36公斤 【分析】本题考查分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，读懂题意是解题关键； （1）设羊肚菌每公斤的培育成本为元，则黑松露每公斤的培育成本为元，根据题意列出方程，解方程即可； （2）设能培育黑松露公斤，则培育羊肚菌的质量为公斤，根据题意列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设羊肚菌每公斤的培育成本为元，则黑松露每公斤的培育成本为元， 根据题意得，，解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴． 答：羊肚菌每公斤的培育成本为450元，黑松露每公斤的培育成本为750元． （2）设能培育黑松露公斤，则培育羊肚菌的质量为公斤． 由题意得，，解得， 又∵，∴， ∴的最大值为36 答：最多能培育黑松露36公斤． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 分式与分式方程 12大高频考点概览 考点01分式有无意义的条件 考点02分式值为零的条件 考点03分式的求值 考点04约分 考点05最简分式 考点06分式的混合运算 考点07分式的化简求值 考点08解分式方程 考点09根据分式方程解的情况求值 考点10分式有关的规律探究题 考点11分式有关的新定义型问题 考点12分式方程的应用 1．（24-25八年级下·江苏南京·期末）当时，下列式子没有意义的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·期末）在函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 4．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）若分式无意义，则______． 5．（24-25八年级下·四川南充·期末）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 ( 地 城 考点02 分式值为零的条件 ) 6．（24-25八年级下·山东济南·期末）若分式的值为0，则x的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 7．（24-25八年级下·陕西西安·期末）已知分式的值为0，那么的值为（　　） A．或 B．0 C． D． 8．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）若分式的值为，那么的值是______． 9．（24-25八年级下·甘肃酒泉·期末）若分式的值为0，则___________． 10．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）已知当时，分式没有意义；而当时，该分式值为，则代数式_____． ( 地 城 考点0 3 分式的求值 ) 11．（24-25八年级下·山东淄博·期末）若，则的值是（ ） A．1 B．5 C．4 D．3 12．（24-25八年级下·山东烟台·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级下·四川成都·期末）若，则的值为______． 14．（24-25八年级下·广东揭阳·期末）已知，那么的值是_____． 15．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）已知 ，，计算：的值． ( 地 城 考点0 4 约分 ) 16．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）化简的结果是（    ）． A． B． C． D． 17．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）化简分式的结果是（   ） A．2 B． C． D． 18．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）化简：（   ） A．3x B． C． D． 19．（24-25八年级下·山西临汾·期末）化简：______． 20．（24-25八年级下·辽宁锦州·期末）分式化简的结果为______． ( 地 城 考点0 5 最简分式 ) 21．（24-25八年级下·广东深圳·期末）下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 22．（24-25八年级下·山西长治·期末）下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 23．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）下列各分式中，是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 24．（24-25八年级下·宁夏银川·期末）化简分式：________． 25．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）请你写出一个最简分式，使其同时满足以下两个条件：①分式的值不可能为；②当时分式有意义．这个分式可以是______． ( 地 城 考点0 6 分式的混合运算 ) 26．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）化简分式：的值为（    ） A． B． C． D． 27．（24-25八年级下·山西临汾·期末）化简：． 28．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）化简：． 29．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）分式化简：． 30．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）计算：． ( 地 城 考点0 7 分式的化简求值 ) 31．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）先化简，再求值：，其中． 32．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）先化简，再求值：，其中． 33．（24-25八年级下·山东济南·期末）先化简，再求值：，其中． 34．（24-25八年级下·四川成都·期末）先化简，再求值：，请从，，中，选一个合适的数作为的值，代入求值． 35．（24-25八年级下·重庆·期末）先化简，再求值：，其中 ( 地 城 考点0 8 解分式方程 ) 36．（24-25八年级下·云南保山·期末）将关于x的分式方程去分母后所得整式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 37．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）解分式方程：． 38．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）解分式方程：． 39．（23-24八年级下·陕西西安·期末）解方程：． 40．（24-25八年级下·山东济南·期末）解方程： (1) (2) ( 地 城 考点 09 根据分式方程解的情况求值 ) 41．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（     ） A． B．2 C．1 D． 42．（24-25八年级下·陕西西安·期末）若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 43．（24-25八年级下·广东河源·期末）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是_______． 44．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为________． 45．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）若分式方程有增根，求m的值． ( 地 城 考点 10 分式有关的规律探究题 ) 46．（24-25八年级下·江西九江·期末）下列数是按一定顺序和规律排列的：第一个数是，第二个数是，第三个数是… (1)直接写出第n个数：_____和第个数：_____（n为正整数）； (2)计算第n个数与第个数的和； (3)计算：． 47．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；…… 请根据以上规律，解答下列问题． (1)直接写出第5个等式：______． (2)写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示，为正整数），并证明你的猜想． 48．（24-25八年级下·宁夏中卫·期末）下面是按一定规律排列的一列等式： ①；②；③；④ (1)根据上面等式的规律补全等式：； (2)用含（为正整数）的式子表示上述第个等式：______； (3)请证明（2）中等式的正确性； (4)根据上述等式的规律，直接写出下面算式的计算结果： ． 49．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）数学探究是数学学习的重要方法之一，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养． 例如：给定一列式子，并规定：（为整数且）． 则： 照此规律，解答下列问题： (1)______； (2)______； (3)若，求的值； (4)当时，则的最大值为______． 50．（24-25八年级下·甘肃张掖·期末）我们知道，任意一个正整数k都可以进行这样的分解：（m，n是正整数，且），在k的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是k的最佳分解，并规定：．例如：18可以分解成，或，因为，所以是18的最佳分解，所以． 【探索规律】 （1）__________；__________； （2）若x是正整数，猜想__________． 【应用规律】 （3）若，其中x是正整数，求x的值； （4）若，其中x是正整数，尝试直接写出所有x的值__________． ( 地 城 考点 11 分式有关的新定义型问题 ) 51．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）定义一种运算：当时，．当时，．若，则的值是（    ） A． B． C．或 D．或 52．（24-25八年级下·陕西西安·期末）定义新运算：，若，则的值是________． 53．（24-25八年级下·四川巴中·期末）定义运算，如；，若，则的值为________． 54．（24-25八年级下·河南郑州·期末）定义新运算：对于两个代数式，，规定，例如． (1)化简：． (2)的结果能否为零？若能，请计算此时的值；若不能：请写出理由． 55．（24-25八年级下·江西鹰潭·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ ( 地 城 考点 12 分式方程的应用 ) 56．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买、两种绿植，已知种绿植单价是种绿植单价的倍，用元购买的种绿植比用元购买的种绿植少株，设种绿植单价是元，则可列方程是（    ） A． B． C． D． 57．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）随着人们对网上购物的热衷程度日益增长，快递业务也随之快速增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周件提高到每周件，平均每人每周比原来多投递件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件件，则可列方程为________． 58．（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）某文具店准备购进甲、乙两种文具袋，已知甲文具袋每个的进价比乙每个进价多元，经了解，用元购进的甲文具袋与用元购进的乙文具袋的数量相等． (1)分别求甲、乙两种文具袋每个的进价是多少元？ (2)若该文具店用元全部购进甲、乙两种文具袋，设购进甲个，乙个．求关于的关系式． 59．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）清明过后就是春茶的采摘季节．已知熟练采茶工人每天采茶的质量是新手采茶工人每天采茶质量的倍，每个熟练采茶工人采摘斤鲜叶比每个新手采茶工人采摘斤鲜叶少用天． (1)求每个熟练采茶工人和每个新手采茶工人一天分别能采摘多少斤鲜叶； (2)若某茶厂计划一天采摘鲜叶至少斤，并安排熟练采茶工人和新手采茶工人共名，求最少安排熟练采茶工人多少名？ 60．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）某生态农场计划引进黑松露和羊肚菌两种珍稀食用菌进行培育．已知每公斤黑松露的培育成本比每公斤羊肚菌的培育成本高300元，且用6000元培育的黑松露质量与用3600元培育的羊肚菌质量相同． (1)求黑松露、羊肚菌每公斤的培育成本分别为多少元？ (2)该农场决定在总成本不超过54900元的前提下培育这两种菌类，若培育羊肚菌的质量比黑松露的2倍少10公斤，求最多能培育黑松露多少公斤？ 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 05 分式与分式方程 题号 1 2 5 6 7 11 12 16 17 18 答案 A A B A D B B A B B 题号 21 22 23 26 36 41 42 51 56 答案 A D A C B A D B C 1．A 【分析】本题主要考查分式无意义的条件，二次根式有意义的条件，当分式的分母为零或二次根式的被开方数为负数时，式子无意义，将代入各选项，逐一检验即可． 【详解】解：选项A：代入，分母为，分母为零，分式无意义，符合题意； 选项B：代入，分母为，分子为，分式值为0，有意义，不符合题意； 选项C：代入，被开方数为，根式有意义，不符合题意； 选项D：代入，分子，分母为，分式有意义，不符合题意； 综上，只有选项A在时无意义， 故选：A． 2．A 【分析】此题主要考查函数自变量的取值范围．根据二次根式有意义以及分母不为0的条件即可求解． 【详解】解：依题意得， ∴， 故选：A． 3． 【分析】本题考查了分式有意义，根据分母不为0进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵分式在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 4． 【分析】此题主要考查了分式无意义的条件，关键是掌握分式无意义的条件是分母等于零． 根据分式无意义的条件可得，解方程即可． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 5．B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件列式且，求出结果即可． 【详解】解：在实数范围内有意义， 且， 解得：且， 故选：B． 6．A 【分析】本题考查了分式的值为零，根据分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0，计算即可得解，熟练掌握分式的值为零的条件是解此题的关键． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，且， 解得：， 故选：A． 7．D 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，分式有意义的条件，熟练掌握分式的值为零的条件是解题的关键．分式的值为零即分子为0且分母不为0，由此计算即可． 【详解】解：若分式的值为0， 则且， 解得：， 故选：D． 8． 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案，熟知分式的值为时要满足的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为， ∴， 解得， 故答案为：． 9．0 【分析】考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 根据分式的值为零的条件可以求出x的值． 【详解】解：由分式的值为零的条件得，， 解得，得， ∴． 故答案为：0． 10． 【分析】本题考查分式无意义的条件，分式的值为零的条件，解题的关键是掌握：①分式无意义的条件：分式的分母等于零；②分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零．据此列式分别求出，的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵当时，分式， 此时分式没有意义， ∴， 解得：， ∵当时，分式， 此时分式的值为， ∴且， 解得：，， ∴，， ∴． 故答案为：． 11．B 【分析】本题考查的是分式的求值，由比例关系设参数k，将x、y、z用k表示，代入分式化简即可. 【详解】解：设，则，，， 代入分式： 分子：， 分母：， ∴； 故选：B 12．B 【分析】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的化简方法是解题关键．先根据已知等式可得，再代入化简即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：B． 13．/0.5 【分析】本题主要考查了分式的拆分变形，熟练掌握分式的运算性质是解题的关键．利用已知比例关系，将所求表达式拆分为已知比例与常数的差，然后代入计算． 【详解】解：∵ ， ∴． 故答案为：． 14． 【分析】本题利用分式的基本性质，分子分母都除以，巧妙运用已知条件是解本题的关键，也是解本题的突破口． 根据分式的基本性质，分式的分子分母都除以，分式的值不变，再把换成1计算即可． 【详解】解：分式的分子分母都除以，得 ， ∵， ∴原式． 故答案为：． 15．14 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，分式的求值， 首先利用分母有理化求出，，然后得到，，然后将分式通分代数求解即可． 【详解】∵， ∴， ∴ ． 16．A 【分析】本题考查了分式的约分，解题关键是掌握分式的约分． 直接根据分式的约分法则进行约分． 【详解】解：， 故选：A． 17．B 【分析】本题考查分式的约分，掌握分式约分方法是解决问题的关键．通过对分式的分子和分母分别提取公因式进行约分，即可得到化简结果； 【详解】解：， 故选：B． 18．B 【分析】本题考查分式的化简，通过约分将分式化为最简形式，据此进行作答即可． 【详解】解：， 故选：B． 19．x 【分析】本题考查了约分．先将分子因式分解，再约分即可求解． 【详解】解：， 故答案为：x． 20． 【分析】本题考查了约分，解题的关键是约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． 将分子与分母的公因式约去即可． 【详解】解：， 故答案为：． 21．A 【分析】本题主要考查了最简分式的判断，根据最简分式的定义，分子和分母没有公因式的分式即为最简分式．逐一分析各选项，判断是否存在可约分的公因式． 【详解】解：选项A：，分子为1，分母为一次多项式，两者无公因式，无法约分，是最简分式． 选项B：，分子4与分母的公因数为4，约分后为，不是最简分式． 选项C：，分母可分解为，与分子有公因式，约分后为，不是最简分式． 选项D：，分子可提取公因式，分解为，与分母有公因式，约分后为，不是最简分式． 故选∶A 22．D 【分析】本题考查了最简分式的概念及判断方法，解题的关键是掌握最简分式的定义（分子与分母没有公因式的分式），并能对分式的分子和分母进行因式分解以寻找公因式． 明确最简分式的定义：分子与分母没有公因式．对每个选项的分子和分母进行因式分解．检查分子分母是否存在公因式，若没有则为最简分式． 【详解】解：的分子分母有公因数 2，可化简为，因此不是最简分式，A错误． 的分母可因式分解为，分子分母有公因式，可化简为，因此不是最简分式，B错误． 的分母可提取公因式a，化为，分子分母有公因式a，可化简为，因此不是最简分式，C错误． 的分母无法因式分解，分子分母没有公因式，因此是最简分式，D正确． 故选：D． 23．A 【分析】本题考查最简分式的识别，熟知最简分式是指分子和分母没有公因式的分式．需逐一判断各选项分子与分母是否存在公因式． 【详解】解：选项A：分子为，无法因式分解；分母为，两者无公因式，故为最简分式，符合题意； 选项B：分子可分解为，与分母有公因式，约分后为，不是最简分式，不符合题意； 选项C：分子可提取公因式得，与分母有公因式，约分后为，不是最简分式，不符合题意； 选项D：分子与分母有公因式，约分后为，不是最简分式，不符合题意； 故选：A． 24． 【分析】本题考查的是分式的化简，熟练应用分式的基本性质是解答此题的关键． 按照分式的基本性质对分式进行化简即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 25．（答案不唯一） 【分析】本题考查了最简分式，分式的值不为及分式有意义的条件，根据题意写出符合条件的最简分式即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：同时满足以下两个条件：①分式的值不可能为；②当时分式有意义．这个最简分式可以是， 故答案为：． 26．C 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：C． 27． 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果即可． 【详解】解： ． 28． 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是运用运算法则来计算． 根据分式混合运算的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 29． 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先进行括号内异分母的分式减法计算，再将除法化为乘法计算． 【详解】解： ． 30． 【分析】本题考查了分式的混合运算，先把括号内通分，再把除法转化为乘法，约分化简，然后再算加减即可． 【详解】解：原式 ． 31．，． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则、因式分解技巧是解题关键．先把小括号内的式子进行通分，再把两个分式的分子和分母进行分解因式，接着把除法变成乘法后约分化简，最后代入值计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 32．， 【分析】本题考查分式的化简求值，正确化简是解答的关键．先根据分式的加减乘除运算法则，结合因式分解化简原式，然后代值求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 33． 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键．先对括号内通分作和，再将除法化为乘法约分化简，再代入计算求值即可． 【详解】解： 当时， 原式． 34．，当时，原式 【分析】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的性质化简，代入计算是关键． 根据分式的性质，分式的混合运算法则计算，再根据分式的分母不为0，找出合适的值代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴原式， 35．， 【分析】本题考查完全平方公式，因式分解，分式化简，分式混合运算，分母有理化，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．先通分、因式分解、约分，化简原式，代入的值，计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴原式 36．B 【分析】此题主要考查了解分式方程，将分式方程两边同时乘以即可得解． 【详解】解： 分式方程两边同时乘以得，． 故选：B． 37． 【分析】本题考查的是解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤（去分母化为整式方程、解整式方程、检验）是解题的关键，通过将分式方程转化为整式方程求出解，再检验确定方程的最终解． 【详解】解： 检验：当时，， 原方程的解为． 38． 【分析】本题考查解分式方程．掌握解分式方程的步骤是解题关键．将分式方程化为整式方程求解，再检验即可． 【详解】解：方程两边同乘，得， 解得：， 检验：当时，， 即原分式方程的解是：． 39． 【分析】本题考查了解分式方程，先将方程中的分母化为相同形式，再通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后检验所得解是否为原方程的解即可． 【详解】解：， ， 解得：， 经检验，是分式方程的解， ∴原方程的解是． 40．(1)无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程． （1）方程两边同时乘，化为整式方程，求出结果检验即可； （2）方程两边同时乘，化为整式方程，求出结果检验即可． 【详解】（1）解：方程两边同时乘，得， 解得， 检验：将代入得， 是原方程的增根， 原方程无解； （2）解：方程两边同时乘，得， 解得， 检验：将代入得， 所以，是原方程的根． 41．A 【分析】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根的定义是解题的关键．对分式方程去分母得，解得，根据分式方程有增根可得，即可求出m的值． 【详解】解： 去分母，得 解得：， ∵关于x的分式方程有增根， ∴， ∴， 解得：． 故选：A． 42．D 【分析】本题主要考查解分式方程、分式方程的解等知识点，掌握解分式方程步骤是解题的关键． 解分式方程用m表示x，再根据关于x的分式方程的解是正数以及分式方程的增根列不等式求出m的取值范围即可． 【详解】解：， 方程两边同乘以得，解得：， ∵关于的分式方程的解是正数， ∴且，解得：且． ∴m的取值范围为且． 故选：D． 43．且 【详解】本题考查解一元一次不等式，分式方程的解，熟练掌握解不等式及分式方程的方法是解题的关键． 将分式方程后根据其解是非负数得到关于m的不等式，解不等式即可． 【解答】解：原方程去分母得， 整理得：， ∵它的解为非负数， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 44． 【分析】本题考查了分式方程的增根，理解增根的定义是解题的关键． 先将分式方程化为整式方程求解，再根据分式方程有增根得出，即可求出的值． 【详解】解：， 方程可化为， 方程两边同乘，得， 解得， 关于的分式方程有增根， ， ， ， 故答案为：． 45．或6 【分析】此题主要考查了分式方程的增根．首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到或，代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解：方程两边都乘，得， 原方程有增根， 或， 当时，， 当时，． 或6． 46．(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，分式加减运算，有理数四则混合运算，根据给出的数据得出一般规律，是解题的关键． （1）观察规律得出第n个数为：，第个数为即可； （2）根据分式加减运算法则计算即可； （3）根据进行变形，再化简即可得到答案． 【详解】（1）解：∵第一个数是， 第二个数是， 第三个数是…， ∴第n个数为：，第个数为； （2）解： ； （3）解： ． 47．(1) (2)，见解析 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，找到等式的特点，得出一般规律是解题的关键． （1）根据题目中所给的三个等式，结合规律即可写出答案． （2）找到等式的规律，写出第n个等式，通过化简证明等式成立． 【详解】（1）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… ∴第5个等式：； （2）解：． 证明：左边右边， 该猜想成立． 48．(1)； (2) (3)证明见解析 (4) 【分析】本题考查规律性：数字的变化类， （1）通过给出的等式，发现：左边被减数的分母与右边第一个乘数相同，第二个乘数是第一个乘数加，减数的分母是被减数的分母加，减数与被减数的分子都是； （2）通过前几项的规律，用含的代数式表示第个等式； （3）将等式左边的式子通分并化简，再与等式右边的式子进行比较即可； （4）结合（2）的结论，将分式的和转化为连续项的差，利用抵消法简化计算； 解题的关键是找到规律，然后利用规律进行推理计算．也考查了分式的加减运算． 【详解】（1）解：∵等式左边被减数的分母为，则减数的分母为：，等式右边分母为， ∴等式为：， 故答案为：；； （2）根据给出的等式，发现规律：左边被减数的分母与右边第一个乘数相同，第二个乘数是第一个乘数加，减数的分母是被减数的分母加，减数与被减数的分子都是， ∴第个等式为：， 故答案为：； （3）证明：左边 ， ∴左边右边， ∴原等式成立； （4）解： ． 49．(1) (2) (3)2 (4)4 【分析】本题考查新定义，分式的运算，解一元一次方程，解题的关键是得到的结果以，5个为一组进行循环； （1）根据新定义，进行求解即可； （2）根据前面的几个等式，推出规律，进行求解即可； （3）根据规律，列出方程进行求解即可； （4）根据规律求出，再根据的取值范围求出最大值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； （2）∵， ，， ∴， ∴， ∴的结果以，5个为一组进行循环， ∵， ∴； （3）由（2）可知： ∴， 解得：； ∴； （4）∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，，最小， 此时最大为； 故答案为：4． 50．（1）；1；（2）；（3）4042；（4）7或8或13 【分析】（1）理解题意，根据“最佳分解”的定义进行计算即可； （2）由，结合“最佳分解”的定义即可得出答案； （3）结合（2）可得出关于x的分式方程，解出x，再验算即可； （4）根据题意可设，且t为正整数，可得，再由t，x均为正整数，，然后分类建立方程组求解即可． 【详解】解：（1）20可以分解成，或，因为， 所以是20的最佳分解， 所以； 36可以分解成，，，或，因为， 所以是的最佳分解， 所以； 故答案为：；1； （2）∵，且， ∴； 故答案为：； （3）∵ ∴， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意； ∴x的值为4042； （4）∵， ∴可设，且t为正整数， ∴， ∴， ∵t，x均为正整数，， ∴或或或或 ∴（舍去）或或（舍去）或或， ∴所有x的值为7或8或13． 故答案为：7或8或13 【点睛】本题考查用新定义解决数学问题，根据最佳分解，表示出，建立方程是求解本题的关键． 51．B 【分析】本题考查了新定义，解分式方程，注意要分情况讨论．分和两种情况，分别根据定义的新运算列出分式方程，解分式方程求出的值，经检验后可得答案． 【详解】解：当时，则， 解得：（舍去）； 当时，则， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意； 综上，的值为， 故选：B． 52．2 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是正确理解新定义运算，掌握运算法则． 根据新定义的运算得出，然后将原式化简，最后代入即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 53．4 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，列分式方程解决实际问题，解题的关键是正确理解题意，列出方程． 根据题意列出方程，然后进行求解即可． 【详解】解：根据题意得， ∵ ∴ 整理得 解得 经检验，原方程的根， 故答案为：4． 54．(1) (2)不能为0，理由见解析 【分析】本题侧重考查了分式的混合运算，掌握定义的新运算的意义是解题的关键． （1）根据已知新定义进行转化，然后结合分式的混合运算法则求解即可； （2）根据已知新定义进行转化，然后结合分式的混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式． ； （2）解：不能为0，理由如下： 原式． 结果不会等于0． 55．(1)①③④是“和谐分式” (2) (3)的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数 【分析】本题主要考查分式的新定义； （1）根据和谐分式的定义逐一判断即可； （2）根据和谐分式的定义计算求解即可； （3）根据题意得到当为整数时，的值也要为整数，得到当或时，分式的值为整数，计算求解即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④， ①③④是“和谐分式”． 故答案为：①③④． （2）解： ， ． 故答案为：． （3）解：的值为整数， 当为整数时，的值也要为整数， 当或时，分式的值为整数， 或或或， 即当的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数． 56．C 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设种绿植单价是元，则种绿植单价是元，根据用元购买的种绿植比用元购买的种绿植少株，列出方程即可． 【详解】解：设种绿植单价是元，则种绿植单价是元，根据题意得： ， 故选：C． 57． 【分析】本题考查分式方程的实际应用，关键是根据快递员人数不变建立等量关系，根据快递员人数不变，原来总投递量除以每人投递量等于现在总投递量除以每人投递量，列出分式方程． 【详解】解：设原来平均每人每周投递快件件，则现在平均每人每周投递快件件， ∵原来总投递量为3600件，现在总投递量为4800件，由于快递员人数不变， ∴． 故答案为：． 58．(1)甲文具袋每个为元，乙文具袋每个进价为元 (2) 【分析】（）设乙文具袋每个进价为元，则甲文具袋每个为元，根据题意列出方程即可求解； （）根据题意列出方程，进而解二元一次方程即可． 【详解】（1）解：设乙文具袋每个进价为元，则甲文具袋每个进价为元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：乙文具袋每个进价为元，则甲文具袋每个进价为元； （2）解：根据题意得，， ∴． 59．(1)每个熟练采茶工人一天能采摘斤鲜叶，每个新手采茶工人一天能采摘斤鲜叶 (2)名 【分析】（）设每个新手采茶工人一天能采摘鲜叶斤，则每个熟练采茶工人一天能采摘鲜叶斤，根据题意列出方程即可求解； （）设安排熟练采茶工人名，则安排新手采茶工人名，根据题意列出不等式即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设每个新手采茶工人一天能采摘鲜叶斤，则每个熟练采茶工人一天能采摘鲜叶斤， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：每个熟练采茶工人一天能采摘斤鲜叶，每个新手采茶工人一天能采摘斤鲜叶； （2）解：设安排熟练采茶工人名，则安排新手采茶工人名， 由题意得，， 解得， 答：最少安排名熟练采茶工人． 60．(1)羊肚菌每公斤的培育成本为450元，黑松露每公斤的培育成本为750元 (2)最多能培育黑松露36公斤 【分析】本题考查分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，读懂题意是解题关键； （1）设羊肚菌每公斤的培育成本为元，则黑松露每公斤的培育成本为元，根据题意列出方程，解方程即可； （2）设能培育黑松露公斤，则培育羊肚菌的质量为公斤，根据题意列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设羊肚菌每公斤的培育成本为元，则黑松露每公斤的培育成本为元， 根据题意得，，解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴． 答：羊肚菌每公斤的培育成本为450元，黑松露每公斤的培育成本为750元． （2）设能培育黑松露公斤，则培育羊肚菌的质量为公斤． 由题意得，，解得， 又∵，∴， ∴的最大值为36 答：最多能培育黑松露36公斤． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $