期末应用专题：长方体与正方体-2025-2026学年数学五年级下册人教版

**基本信息** 聚焦长方体与正方体核心应用，以生活情境为载体，系统整合棱长、表面积、体积三类问题的解题方法，强化空间观念与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |棱长与表面积|5题（如1、2、5、8、17）|棱长总和公式应用、表面积（含无盖/侧面积）计算|从棱长到表面积，体现平面到立体的几何直观| |体积计算与应用|8题（如3、4、6、9、10、12、13、18）|体积公式直接应用、排水法、等积变形|体积公式在不同情境中的模型迁移| |综合变式应用|5题（如7、11、14、15、16）|表面积减少分析、容器翻转体积不变、多物体排水|综合运用表面积与体积知识解决复杂问题|

期末应用专题：长方体与正方体-2025-2026学年数学五年级下册人教版 1．如下图，聪聪为妹妹准备了生日礼物，并用丝带把准备的礼物按照如图的方法捆扎，聪聪至少需要多少厘米的丝带？（接头处不计） 2．一间教室的长是8米，宽是6米，高是3.5米。要粉刷教室的四周和天花板，除去门窗和黑板面积22平方米，粉刷的面积是多少平方米？ 3．把40升水倒入一个长5分米、宽4分米、高3分米（从里面量）的长方体玻璃缸中，水深多少分米？ 4．用一根138厘米长的铁丝焊接成一个正方体框架，还剩6厘米，这个正方体的体积是多少立方厘米？ 5．一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长10分米，宽5分米，高7分米。制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？向鱼缸内注入200升水（水未溢出），水深是多少分米？ 6．李大爷在花园里挖了一个长方体的鱼池，从里面量长是1.5米，宽是0.8米，深是8分米。原来池中水深5分米，放入一座高3.5分米的假山后，水面上升了2分米，假山的体积是多少立方米？ 7．一个高20分米的长方体木材，从顶端恰好截去一个正方体后，它的表面积减少了50平方分米，求原长方体木材的体积是多少？ 8．新汇商场中央空调的通风管道需要翻新，每节管道尺寸如图，要紧贴管道外壁覆盖一层保温材料，求每节通风管道至少需要多少平方米的保温材料？ 9．一块棱长是60厘米的正方体铁块，现在要把它熔铸成一根横截面面积是150平方厘米的长方体铁柱。这根长方体铁柱的长是多少厘米？ 10．一个长方体容器（如图），长是40厘米，宽是25厘米，高是20厘米。装入水后，水深15厘米，然后把这个容器盖紧，转动容器，使最小的面朝下，这时里面的水深是多少厘米？ 11．如图所示，长方体玻璃容器底面积是60，观察图中水面高度变化，求大圆球的体积。 12．游泳中心新建了一个长50米、宽25米的游泳池，安全水位为1.8米。游泳池的注水系统有4根注水管，每根管子1时注水12.5立方米，多长时间能注水至安全水位线？ 13．在一个长24分米，宽8分米的长方体水箱中放入一个长方体的铁块，水面比原来上升了4厘米，已知铁块的长和宽都是40厘米，铁块的高是多少分米？ 14．笑笑家有一个长方体鱼缸（如图），里面的水深16厘米。 (1)这时鱼缸里面的水的体积是多少立方厘米？ (2)由于空间摆放问题，笑笑的爸爸对鱼缸进行改造，原鱼缸的尺寸不变，把鱼缸改成直立的鱼缸（如图）。如果把原来鱼缸里的水倒入改造后的鱼缸里，此时水的高度是多少厘米？ 15．一块长方体木块，从上部截去高是6厘米的长方体后，变成一个正方体，表面积减少了120平方厘米，原来长方体木块的体积是多少立方厘米？ 16．有一个长方体玻璃鱼缸（如下图）。现在向鱼缸内注水，随着水面的上升，水与玻璃接触的面会不断发生变化。当第二次出现相对的面是正方形时，鱼缸内有多少升水？ 17．如图，一个长方体的高如果减少3分米，就变成一个正方体，表面积减少60平方分米，原来长方体的表面积是多少平方分米？ 18．蓝天小学创客小组的同学们做了一个长方体漏刻计时器，这个计时器长5分米，宽2分米，高2.8分米，全部漏完需要7小时。某天中午12时，同学们往漏刻计时器里加满了水，下午5时放学时，漏刻计时器里大约还有多少升水？（计时器壁厚忽略不计） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《期末应用专题：长方体与正方体-2025-2026学年数学五年级下册人教版》参考答案 1．300厘米 【分析】根据图片，已知长方体的长、宽、高分别是40厘米、15厘米、20厘米；丝带包括4个长，4个宽，4个高，计算即可。 【详解】4×40＋4×15＋4×20 ＝160＋60＋80 ＝300（厘米） 答：至少需要300厘米的丝带。 2．124平方米 【分析】粉刷的面积包含天花板和四周墙面，不包含地面、门窗和黑板，先分别计算天花板面积和四周墙面的面积，再相加，最后减去门窗和黑板的面积，得到粉刷的总面积。 【详解】（8×3.5＋6×3.5）×2＋8×6 ＝（28＋21）×2＋8×6 ＝49×2＋8×6 ＝98＋48 ＝146（平方米） 146－22＝124（平方米） 答：粉刷的面积是124平方米。 3．2 分米 【分析】将水的体积单位换算成立方分米；根据长方体玻璃缸的长、宽、高计算出玻璃缸的体积，确认玻璃缸的体积大于水的体积，水倒进去不会溢出；玻璃缸的长乘宽算出玻璃缸的底面积，然后用水的体积除以玻璃缸的底面积，求出水深。 【详解】40升＝40立方分米 玻璃缸的体积：5×4×3＝60（立方分米） 60＞40，水倒入不会溢出 玻璃缸底面积：5×4＝20（平方分米） 40÷20＝2（分米） 答：水深2分米。 4．1331立方厘米 【分析】用138厘米减去剩余的6厘米求得焊接正方体框架实际使用的铁丝长度，正方体的棱长＝正方体棱长总和÷12，把数据代入公式计算求得棱长，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，把数据代入公式计算即可。 【详解】（138－6）÷12 ＝132÷12 ＝11（厘米） 11×11×11 ＝121×11 ＝1331（立方厘米） 答：这个正方体的体积是1331立方厘米。 5．260平方分米；4分米 【分析】求制作鱼缸需要玻璃的面积，就是求长方体的表面积，因为鱼缸无盖，所以只需计算长方体5个面的面积，根据“”求出需要玻璃的面积；先把容积单位转化为体积单位，再把鱼缸内的水看作一个长方体，最后根据“”求出水深。 【详解】10×5＋（10×7＋5×7）×2 ＝10×5＋（70＋35）×2 ＝10×5＋105×2 ＝50＋210 ＝260（平方分米） 200升＝200立方分米 200÷10÷5 ＝20÷5 ＝4（分米） 答：制作这个鱼缸至少需要260平方分米的玻璃，水深是4分米。 6．0.24立方米 【分析】根据题意，一座假山完全浸没水中，水面会上升，则水上升部分的体积就是假山的体积。水上升部分是一个长为1.5米、宽0.8米，高2分米即0.2米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出假山的体积。 【详解】2分米＝0.2米 1.5×0.8×0.2 ＝1.2×0.2 ＝0.24（立方米） 答：假山的体积是0.24立方米。 7．250立方分米 【分析】原长方体木材减少的表面积是从顶端截去的正方体的前后左右四个面的面积，据此求出正方体的底面积，即原长方体的底面积，再用底面积×高求出原长方体的体积。 【详解】50÷4＝12.5（平方分米）   12.5×20＝250（立方分米） 答：原长方体木材的体积是250立方分米。 8．2.8平方米 【分析】先根据1米＝100厘米，先将单位统一为米，求保温材料的面积即长方体的侧面积，根据侧面积＝（长×宽＋长×高）×2即可求出每节通风管道至少需要多少平方米的保温材料。 【详解】40厘米＝0.4米 30厘米＝0.3米 （2×0.4＋2×0.3）×2 ＝（0.8＋0.6）×2 ＝1.4×2 ＝2.8（平方米） 答：每节通风管道至少需要2.8平方米的保温材料。 9．1440 厘米 【分析】根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，算出正方体铁块的体积，也是长方体铁柱的体积；根据长方体体积＝底面积×高，用体积除以底面积即可。 【详解】 （厘米） 答：这根长方体铁柱的长是1440厘米。 10．30厘米 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，算出容器内的水体积；再根据长方体的高＝体积÷底面积解决。最小的面是左右面。 【详解】（40×25×15）÷（25×20） ＝15000÷500 ＝30（厘米） 答：这时里面的水深是30厘米。 11．420 【分析】由第三幅图可知，容器中没有圆球时，水面高度是8cm；根据公式“长方体的体积＝底面积×水面高度”求出容器中水的体积。 由第二幅图可知，容器中有2个小圆球时，水面高度是14cm；根据公式“长方体的体积＝底面积×水面高度”求出此时容器中水和2个小圆球的体积之和。 由第一幅图可知，容器中有1个大圆球和3个小圆球时，水面高度是24cm；根据公式“长方体的体积＝底面积×水面高度”求出此时容器中水和1个大圆球及3个小圆球的体积之和。 根据排水法原理，先求小圆球的体积，再求大圆球的体积。 【详解】水的体积：60×8＝480（） 小圆球的体积：（60×14－480）÷2 ＝（840－480）÷2 ＝360÷2 ＝180（） 大圆球的体积：60×24－480－180×3 ＝1440－480－540 ＝420（） 12．45小时 【分析】根据题意可得：长×宽×安全水位的高＝至安全水位线时注入的水的体积，每根管子1时注水的体积×管子的数量＝1时注入的总水量，至安全水位线时注入的水的体积÷1时注入的总水量＝注水至安全水位需要的时间。 【详解】注入的水的体积：50×25×1.8 ＝1250×1.8 ＝2250（立方米） 1时注入的总水量：12.5×4＝50（立方米） 注水至安全水位需要的时间：2250÷50＝45（小时） 答：45小时的时间能注水至安全水位线。 13．4.8分米 【分析】先根据进率“1分米＝10厘米”统一单位。根据题意，在一个长方体水箱中放入一个长方体的铁块，水面比原来上升了4厘米，那么水上升部分的体积等于铁块的体积，根据长方体的体积公式V＝abh，求出铁块的体积；已知铁块的长和宽都是40厘米，根据长方体的高h＝V÷a÷b，求出铁块的高。 【详解】4厘米＝0.4分米         40厘米＝4分米 24×8×0.4 ＝192×0.4 ＝76.8（立方分米） 76.8÷4÷4 ＝19.2÷4 ＝4.8（分米） 答：铁块的高是4.8分米。 14．(1)6400立方厘米 (2)32厘米 【分析】（1）计算长方体鱼缸里水的体积，长是4分米，宽是1分米，高也就是水深16厘米，图中标注的单位是分米，题干中表示水深的单位是厘米，所以要先统一单位，再用长方体体积公式：V＝abh计算即可。 （2）因为水的体积不变，所以先根据问题（1）求出水的体积，再确定改造后鱼缸的底面积，最后利用长方体高的计算公式h＝V÷S（高＝体积÷底面积）求解即可。 【详解】（1）根据分析： 鱼缸尺寸：长：4分米＝40厘米，宽：1分米＝10厘米，水深16厘米。 V＝40×10×16 ＝400×16 ＝6400（立方厘米） 答：鱼缸里面的水的体积是6400立方厘米。 （2） 2分米＝20厘米 改造后鱼缸的底面积为：S＝10×20＝200（平方厘米） 由于水的体积始终是6400立方厘米，根据h＝V÷S（h是高，V是体积，S是底面积），可得改造后水的高度为： 6400÷200＝32（厘米） 答：此时水的高度是32厘米。 15． 275立方厘米 【分析】原长方体的底面是正方形，即长和宽相等，且等于正方体的棱长。表面积减少的是4个完全相同的侧面，每个侧面的面积＝总共减少的表面积÷4；正方体棱长＝每个侧面的面积÷截去的高；原长方体的高＝正方体棱长＋截去的高；长方体的体积＝长×宽×原长方体的高。 【详解】 （厘米） （立方厘米） 答：原来长方体木块的体积是275立方厘米。 16．18升 【分析】确定鱼缸尺寸：从图可知，鱼缸长30厘米、宽20厘米、总高40厘米。 分析出现正方形面的过程： 第一次出现相对正方形面：当水面高度等于最短边宽（20厘米）时，侧面是20厘米×20厘米的正方形，这是第一次。 第二次出现相对正方形面：水面继续上升，当高度等于长（30厘米）时，正面变为30厘米×30厘米的正方形，符合题目要求。 【详解】计算水的体积并转换单位：水的体积＝长×宽×水面高度 水的体积：30×20×30＝18000（立方厘米） 18000立方厘米＝18立方分米＝18升。 17．210平方分米 【分析】正方体的表面积比长方体的表面积减少了4个长为正方体的棱长，宽为3分米的长方形的面积，据此可以求出正方体的棱长，长方体的长和宽的长度与正方体的棱长相等，长方体的高等于正方体的棱长加3分米，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数据代入计算即可解答。 【详解】60÷4÷3 ＝15÷3 ＝5（分米） 5＋3＝8（分米） （5×5＋5×8＋5×8）×2 ＝（25＋40＋40）×2 ＝105×2 ＝210（平方分米） 答：原来长方体的表面积是210平方分米。 18．8升 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高求出这个漏刻计时器的容积，然后把计算的容积÷7求出漏刻计时器的速度，然后用速度×经过时间求出漏水量，最后用总容积－漏水量即可求出剩余水的容积。 【详解】漏刻计时器的总容积：5×2×2.8＝28（立方分米） 单位换算：28立方分米＝28升 漏刻计时器的速度：28÷7＝4（立方分米/小时） 下午5时＝17时 经过的漏水时长：17－12＝5（小时） 漏水量：5×4＝20（升） 剩余水容积：28－20＝8（升） 答：漏刻计时器里大约还有8升水。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $