专题08 期末解答压轴题（期末真题汇编）数学新教材北师大版七年级下册

**基本信息** 七年级下学期期末解答压轴题汇编，聚焦8大高频考点，精选四川、浙江、河南等地期末真题，融合代数变形与几何模型，突出核心素养与解题方法的综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|约35题|整式运算最值（配方法）、平行线动点/拐点、三角板摆放、倍长中线、一线三等角、共顶点等腰三角形等|跨地区真题汇编（含四川达州、浙江宁波等地期末压轴题），注重模型思想（如倍长中线构造全等）与动态探究（如平行线中动点位置分类讨论），结合几何直观与代数推理（如河南郑州题用图形验证完全平方公式）|

08 期末解答压轴题 8大高频考点概览 考点01整式运算中的最值问题 考点02整式运算与几何图形 考点03平行线中的动点问题 考点04平行线中的拐点问题 考点05三角板摆放问题 考点06倍长中线模型 考点07一线三等角模型 考点08共顶点的等腰三角形问题 ( 地 城 考点01 整式运算中的最值问题 ) 1．（24-25七年级下·四川达州·期末）阅读下面的材料并解答后面的问题： 【阅读】 小亮：你能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？小华：能．求解过程如下： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题： (1)将变形为的形式________，则的最小值为________； (2)求多项式有最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查配方法的应用，通过配方法将多项式变形，再根据完全平方式的非负性求解最值． （1）把变为，再写成完全平方式的形式即可； （2）先提系数，再配方，然后利用非负数的性质，结合不等式的性质求解即可； 【详解】（1）将进行配方变形： 因为， 所以当，即时，的值最小，最小值是2． 故答案为：，2． （2）解：对进行配方： 因为， 所以， 当，即时，的值最大，最大值是11． 所以多项式的最大值为11． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，能解决一些与非负数有关的问题．如：求代数式的最大值或最小值等．求代数式的最小值，同学们经过探究、合作、交流，最后得到如下解法： 解：． 因为是非负数，所以当时，的值最小，最小值为1，所以的最小值是1． (1)求代数式的最小值． (2)求代数式的最小值． (3)求代数式的最小值． 【答案】(1) (2)7 (3)6 【分析】本题考查配方法的应用，熟悉完全平方公式的结构特征和平方式的非负性是解答的关键． （1）仿照题干例题求解过程解答即可； （2）将原式配方得，根据的非负性求解即可； （3）将代数式经过两次配方可得，再根据的非负性即可求得答案． 【详解】（1）解：， 因为是非负数， 所以当时，取最小值； （2）解：， 因为是非负数， 所以当，即时，取最小值7； （3）解： ， 观察出当或时，，此时取最小值6． 3．（24-25七年级下·山东济南·期末）阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以帮助我们求代数式的最大值或最小值．例如：求的最小值． 解：，，， 所以当时，即当时，有最小值，最小值为1． 【直接应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：___________； （2）的最小值等于___________； （3）当___________时，多项式有最___________值，是___________； 【知识迁移】 （4）代数式的最小值为___________． 【答案】（1）9；（2）1；（3）3，大，12；（4）6． 【分析】本题考查了多项式、完全平方式和多项式的最值． （1）利用已知条件中的配方法求出答案即可； （2）把所给多项式配方，写成一个完全平方式，根据偶次方的非负性，求出其最值即可； （3）把所给多项式配方，写成一个完全平方式，根据偶次方的非负性，求出其最值即可； （4）利用分组分解法分解因式，再写成完全平方式，求出其最值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是完全平方式， 故答案为：9； （2）解： ， ， ∴当时，即时，有最小值1， 故答案为：1； （3）解： ， ， ， 当时，即时，多项式有最大值，最大值是12， 故答案为：3，大，12； （4）解： ， ， 代数式有最小值，最小值为6， 故答案为：6． 4．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）配方法是一种重要的解决问题的数学方法，经常用来解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如，求代数式的最小值．，可知，当时，有最小值，最小值是-4．请同学们利用配方法解决下列问题： (1)请比较多项式与的大小，并说明理由； (2)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，最小值为4 (3)2 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用． （1）计算得，可知，即可比较大小； （2）由变形得，再根据，，可得答案； （3）先得到，然后代入到中得到据此求解即可． 【详解】（1）解：．理由如下： ； （2） ， ∵，， ∴ ∴当，时，多项式有最小值4； （3）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 5．（24-25七年级下·四川巴中·期末）把代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在代数式求值、解方程、求最值等都有广泛的应用，如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值． 所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)将变形为的形式_____________，则的最小值为_____________； (2)已知，求的值． 【答案】(1)，1； (2)． 【分析】本题考查了完全平方式的应用． （1）仿照题干所给示例作答即可； （2）可化为，根据题意可知当时，取最小值0，当时，取最小值0，代入计算即可． 【详解】（1）解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值1． 所以当时，有最小值1． 故答案为：，1； （2）解： ， ∴，， ∵当时，取最小值0，当时，取最小值0， ∴，， ∴． ( 地 城 考点02 整式运算与几何图形 ) 6．（24-25七年级下·河南郑州·期末）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学著作，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化． (1)观察图①，它所对应的公式为______．（填写对应公式的序号） ①； ②； ③． (2)如图②，长、宽分别为的长方形，它的周长为，面积为，求的值． (3)将正方形与正方形按图③所示的方式摆放，当正方形与正方形的面积之和为，时，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)① (2) (3)16 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何意义与代数运算，熟练掌握完全平方公式的变形及“以形助数”的思想是解题的关键． （1）观察图①的面积关系，匹配对应的代数公式； （2）先根据长方形的周长和面积求出与的值，再代入计算； （3）设正方形边长，利用面积和与边长差，结合完全平方公式求出阴影部分面积． 【详解】（1）解：∵图①中，大正方形面积=小正方形面积+4个矩形面积， ∴对应公式①， 故答案为：①； （2）解：∵长方形周长为16， ∴， ∴， ∵长方形面积为6， ∴， ∴； （3）解：设正方形与正方形的边长分别为， ∵两个正方形的面积之和为，， ∴． ∴． ∴ ∴， ∴（负值舍去） ∴阴影部分的面积为 ． 7．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图1，正方形A、B、C的边长分别为m、n、p，且． (1)用两个A种正方形组合成图2的图形，外边框可以围成一个大正方形，求这个大正方形的面积（用含的代数式表示） (2)将一个A种和一个种正方形组合成图3的图形，外边框可以围成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，从而可以得到一个乘法公式为_____． (3)如图4，将正方形A、B、C拼接在一起，沿着外边框可以围成一个大正方形，类比（2）的思路进行思考，直接写出所得到的等式_____________． (4)用正方形A、B、C画出恰当的图形，说明． 【答案】(1) (2)； (3)； (4)见解析 【分析】本题考查完全平方公式与图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题的关键， （1）由题意得大正方形的边长为，根据面积公式即可表示； （2）方法一：求出这个大正方形的边长，利用正方形的面积公式求解即可得；方法二：根据这个大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和即可得， 由此可得出乘法公式； （3）利用两种方法求出大正方形的面积，由此即可得出等式； （4）利用正方形甲、乙、丙构造图形，根据图形中的面积关系即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得大正方形的边长为， ∴面积为， （2）解：方法一：这个大正方形的边长为， ∴这个大正方形的面积为； 方法二：因为这个大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和， ∴这个大正方形的面积为； ∴乘法公式为， 故答案为：、、； （3）解：方法一：这个大正方形的边长为， ∴这个大正方形的面积为； 方法二：因为这个大正方形的面积等于3个小正方形的面积与6个小长方形的面积之和， ∴这个大正方形的面积为； ∴所得到的等式为， 故答案为：； （4）解：构造图形如下： 其中，图形是边长为的正方形， ∴图形的面积为，阴影部分的面积为， ∴． 8．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图1是一个长为、宽为的长方形．沿图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）观察图2，直接写出代数式之间的关系：______； 利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题： （2）已知，，则的值为______； （3）两个正方形如图3摆放．边长分别为x，y，若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）用两种方法表示图2的面积即可解答； （2）根据即可求出； （3）根据，求出，再根据求出，由，然后代入数据计算即可． 【详解】（1）图2整体上是边长为的正方形，因此面积为，图2中阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，四个空白长方形的面积和为 所以有． 故答案为：． （2）∵， ∴， ∴． 故答案为：． （3）∵， ∴， ∴， ∴（已舍弃负值）， ∴ ． 9．（24-25七年级下·全国·期末） 阅读下列材料，并解答问题： 已知，，求的值． 老师是这样讲解的： 解：因为，所以． 因为，，所以． (1)已知，，求的值； (2)如图，在中，，分别以，为边向其外部作正方形和正方形．若，正方形和正方形的面积和为18，求的面积． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题主要考查的是完全平方公式的应用，对公式进行适当变形是解题的关键． （1）对公式变形，再代入求解即可； （2）由题可得，利用，展开再代入求解即可． 【详解】（1）因为，所以， 因为，，所以， 所以． （2）由题意得， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以． 10．（24-25七年级下·广东深圳·期末）“用一根长度为16米的绳子如何围一个面积最大的长方形？”通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．小云、小鲲、小锦三位同学从三个不同的方向对这个问题进行了研究． 小云 我尝试围出不同长宽比例的长方形，以下是我选取的长、宽数据表： 长（单位：m） 1 2 3 4 4.5 5 6 宽（单位：m） 7 6 5 4 a 3 2 面积（单位：m2） 7 12 15 16 b 15 12 我发现当长、宽都等于4米时，围成的长方形区域的面积最大，所以用长度为16米的绳子围一个长方形区域，当围成一个正方形区域时可使面积最大． 小鲲 我用的是逆用完全平方公式的方法进行验证，做法如下： 设绳子围成的长方形区域的长为y米，则宽为米，根据题意，该长方形区域的面积为平方米． ∵∴当时，代数式有最大值16． （说明：其中▲、■、★表示一个数） 当时，，即当长、宽都等于4米时，围成的长方形区域的面积最大，最大面积为16平方米． 小锦 我用的是数形结合的方法进行验证． 已知长方形的周长是16，设长方形的一边长是x，则相邻一边长是． 当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形B的一边长是x，相邻一边长是______．如图3，将长方形B割补到长方形A的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含x的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差．所以当小正方形面积越小时，原面积越大． 当时，类似上述过程及图示进行割补．当小正方形面积越小时，原面积越大． 当时，该长方形即为正方形． 综上分析，周长是16的长方形的最大面积是16； 请根据以上的研究完成下面的问题： (1)小云同学的数据表中 ______、 ______； (2)小鲲同学的解题过程中，▲、■、★表示的数分别为______、______、______； (3)补全小锦同学的做法． ______、______；请画出当时的三个图示说明． 【答案】(1)3.5，15.75 (2)16，4，16 (3)，；图见解析 【分析】本题考查阅读理解，主要涉及配方法的运用，读懂题中材料，仿照材料中方法求解是解决问题的关键． （1）根据长方形的周长公式即可求得边长a，结合面积公式即可求得b； （2）根据材料中小鲲同学的解答过程，按照配方法直接作答即可得到答案； （3）根据周长公式求得阴影部分与A相邻的长，进一步求得阴影部分是一个边长为的正方形，结合小锦同学的解答过程仿照方法即可求解． 【详解】（1）解：∵长方形的周长为16，长为4.5， ∴宽为， ∵长为4.5，宽为3.5， ∴面积， 故答案为3.5，15.75； （2）解： ， ▲表示的数为；■表示的数为；★表示的数为； （3）解：设相邻的边长为y，则，解得， 由于阴影部分与A相邻的长为， 则阴影部分是一个边长为的正方形； ②当时， 图2中，长方形B的一边长为，相邻一边长为， 图3中，阴影部分是一个边长为的正方形， 图1中，长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差， 所以当小正方形面积越小时，原面积越大． ( 地 城 考点0 3 平行线中的动点问题 ) 11．（24-25七年级下·河南周口·期末）（1）如图①，已知，点为平面内一点，．小颖说：“过点作，很容易就能找到和的数量关系．”则和的数量关系是___________． （2）如图②，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，且，点在射线上运动，当点运动到点与点之间时，试判断与，之间的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下，当点在射线上的其他地方运动时（点与，，三点不重合）请直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）当点在、两点之间时：；当点在的延长线上时，． 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质可得，再根据可得，进一步得到 ； （2）过点作，交于，根据平行线的性质可得，可得； （3）分两种情况：当点在、两点之间时；当点在的延长线上时；进行讨论可求与的数量关系． 【详解】解：（1）如图，过点作，则，    ， ， ， ， ， ； （2），理由如下： 如图，过点作，交于，则，    ， ， ， ， ； （3）过点作，交于， ①当点在、两点之间时，如图所示，    ∵ ∴， ，， ， ； ②当点在的延长线上时，如图所示，    同理可得， ，， ， ． 综上所述，当点在、两点之间时：；当点在的延长线上时，． 12．（24-25七年级下·甘肃陇南·期末）如图，已知，线段分别与、相交于点、，在直线上有一点，连接． (1)如图①，点在线段上，当，时，求的度数； (2)如图②，当点在线段上运动时（不包括、两点），，与之间有怎样的数量关系？试证明你的结论； (3)如图③，当点在线段的延长线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果不成立，探究，与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 【答案】(1)； (2)，证明见解析； (3)不成立，新关系为：，证明见解析． 【分析】本题考查平行线的判定及性质，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过P作，则，根据平行线的性质求出的度数即可解答； （2）过P作，则，根据平行线的性质即可得到； （3）根据平行线的性质与判定定理讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过P作， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴； （2）解：，证明如下： 过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）解：当点在射线的延长线上运动时，（2）中的结论不成立，新关系为：， 证明如下： 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 13．（23-24七年级下·湖北宜昌·期末）如图，已知，直线交于点M，交于点N．点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，． (1)如图1，若，，，则________，________； (2)如图2，的角平分线与的角平分线相交于点F． ①求与之间的数量关系，并说明理由； ②若，，将直线绕点N以每秒的速度顺时针旋转，直线旋转后的对应直线：同时射线绕点P以每秒的速度逆时针旋转，射线旋转后的对应射线，当直线首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t秒后直线恰好平行于，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1)， (2)①；②或． 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的概念等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据平行线的性质和判定求解即可； （2）①延长交于点G，设、交于点H，设，则，根据可表示出，进而根据三角形内角和推论表示出，进而表示出，然后结合和内角和得出关系式，进一步得出结果； ②根据题意分两种情况讨论，然后分别表示出各角，然后利用平行线的性质列方程求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴； 如图，过点E作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）①如图，延长交于点G，设、交于点H， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴，即， ∴； ②∵ ∴ ∵平分 ∴ 如图，当时， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵直线绕点N以每秒的速度顺时针旋转，射线绕点P以每秒的速度逆时针旋转， ∴， ∴， ， ∴； 如图，当时， ∴，， ∴同理可得， ∴ ∴． 综上所述，或． 14．（24-25七年级下·全国·期末）【问题情境】（1）如图1，，，求度数． 小明的思路：过P作，通过平行线性质来求． 按小明的思路，易求得的度数为 度． 【问题迁移】（2）如图2，，点P在射线上运动．记，． 当点P在 B、D两点之间运动时，问：与，之间有何数量关系？请说明理由； ②若点P在线段或射线上运动，（不与O、B、D三点重合），请直接写出与，之间的数量关系． 【拓展创新】（3）图3为北斗七星的位置图，将其抽象成图4，并将北斗七星分别标为A、B、C、D、E、F、G，顺次连接各点，天文小组发现线段恰好经过点G，且，，，请你根据这些信息求出的度数． 【答案】（1）110；（2） ①，理由见解析；② 或（3） 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解题时注意分类思想的运用． （1）过P作，通过平行线性质求即可； （2）①过P作交于E，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； ②分两种情况：P在延长线上；P在延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出，，即可得出答案． （3）过点C作，根据平行线的性质，得出，进而得到，即可求出的度数． 【详解】解：（1）过点P作，如图1， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：110； （2）①， 理由：如图2，过P作交于E， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图3所示，当P在延长线上时，设与交于点， ∵ ∴ 又 ∴； 如图4所示，当P在延长线上时，同理可得． （3）如图5．过点C作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 15．（24-25七年级下·广西南宁·期末）【实践与探究】 在校园科技节上，宁宁同学用一副三角板，做模拟机器人机械手臂的实验．用三角板模拟可任意伸展方向的机械臂，，，；用另一块三角板模拟固定关节底座，，．他用直线和直线模拟机器人机械手臂安装的基准线，其中，将三角板平稳放置，使边在直线上，就像机械臂的基座固定在平台上，再调整三角板的位置，使三角板的顶点C落在直线上．在模拟机械臂的运动过程中，他遇到了一系列有趣的问题： (1)当两块三角板按图1的位置摆放时，点C，E，A，D在同一直线上，则三角板的边与所成的 °； (2)为了更深入探究机械臂多角度运动，他将三角板绕点C逆时针转动一定角度，设三角板的边与三角板的边相交于点O． ①如图2，当转动三角板到的位置时，求的度数； ②如图3，在转动过程中，他还发现的值为定值，请求出这个定值； (3)如图4，将直线向上平移一定距离，以点C，A，E，D四点共线为初始位置，继续将三角板绕点C逆时针转动，直到边与模拟基准线首次重合时，三角板停止运动．在这个转动过程中，设的度数为，那么当取何值时，三角板的边与三角板的边平行？请直接写出符合条件的的值． 【答案】(1)15 (2)①  ② (3)30，75，120 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）根据三角板和平行线的性质得出的度数； （2）①根据平行线的性质和邻补角计算即可；②过点作，根据平行线的性质得出； （3）分①当时，②当时，③当时，三种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：在和中，， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①在中，， ， ， ； ②． 理由如下：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为定值，定值是； （3）解：①当时，点在同一条直线上， ， ； ②当时， ∵，即， 又 ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； ③当时，如图， ， ， ； 综上，在旋转的过程中，当或 75 或 120 时，三角板的边与三角板的一条边平行． ( 地 城 考点0 4 平行线中的拐点问题 ) 16．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期末）已知直线， 直线分别交于点M、N．P是之间的一点，且位于直线左侧，连接． 【基础探究】 （1）①如图1，若， 则∠的度数为 度； ②在图1中探究和的数量关系，并说明理由． 【迁移应用】 直接运用(1)中的结论，解决下列问题： （2）如图2，若平分，平分，交的延长线于点Q，，则的度数为 度． 【答案】（1）；②，理由见解析；（2） 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义： （1）①如图所示，过点P作，则，根据平行线的性质可得，则；②同（1）①求解即可； （2）由（1）可得，设，则，由角平分线的定义可得，，再由平行线的性质可得，则． 【详解】解：（1）①如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②，理由如下： 如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）可得， 设，则， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 17．（24-25七年级下·河北·期末）【发现】如图1，平分，平分． 当时，与的位置关系是　　　； 当时，与的位置关系是　　　； 当时，请判断与的位置关系，并说明理由； 【探究】如图2，，是上一点，保持不变，移动顶点，使平分，与存在怎样的数量关系？并说明理由． 【拓展】如图3，，为线段上一定点，为直线上一动点，且点不与点重合．直接写出与的数量关系． 【答案】发现：平行；平行；平行，理由见解析； 探究：，理由见解析； 拓展：或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质求角之间的关系， 对于【发现】，根据角平分线定义得,再结合，然后根据“同旁内角互补两直线平行”得； 对于【探究】，作,由平行线的性质得，再根据角平分线的定义得，即可得出答案； 对于【拓展】，分两种情况：当点Q在射线上运动时，作，根据平行线的性质得,再根据,可得答案；当点Q在射线的反向延长线上运动时（点C除外），再作,根据平行线的性质得，接下来得180°，进而得出答案. 【详解】当时，. ∵平分，平分， ∴, ∴， ∴； 当时，. ∵平分，平分， ∴, ∴， ∴； 故答案为：平行；平行； 当时，. 理由如下： ∵平分，平分， ∴, ∴， ∴； 【探究】， 理由如下： 过E向右作, ∵, ∴, ∴. 【拓展】,或 如图1，当点Q在射线上运动时，. 理由：过点P作, ∵, ∴, ∴, ∴, ∴； 当点Q在射线的反向延长线上运动时（点C除外），. 理由：过点P作, ∵, ∴, ∴. ∵ 180°， 即 综上可知，,或 18．（24-25七年级下·湖南·期末）阅读材料，完成问题． 三角形的内角和 小学的时候，我们就知道三角形的内角和是，学习了平行线之后，可以用如下方法推导证明出“三角形内角和等于．” 方法一：如图①，已知：，求证：．证明：如图②，过点作直线， ， ，． ， ． 方法二：……． 【发现】（1）方法一是用平行线的性质将三角形内角和问题转化为一个平角，这体现了数学中的______思想； 【探究】（2）请类比方法一，用平行线的性质，换一种方法推导出三角形内角和． 【延伸】（3）如图③，，是，之间一点，平分，点在上，连接，，且．请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）转化；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）从证明过程中可以体现转化的思想； （2）延长至，过点作，利用平行线的性质结合平角的定义证明即可； （3）过点作，过点作，根据平行线的性质结合角的和差计算证明即可． 【详解】解：（1）方法一是用平行线的性质将三角形内角和问题转化为一个平角，这体现了数学中的转化思想， 故答案为：转化； （2）延长至，过点作， ∵， ∴， ∵， ∴； （3），理由如下： 过点作，过点作， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 19．（24-25七年级下·全国·期末）【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线、的反向延长线交于主光轴MN上一点P． 小明得出：、和三个角之间存在的数量关系是． 【分析问题】我们学习过平行线的性质，利用平行线的性质可以把分成两部分进行研究． 【解决问题】请你帮小明解决这个问题，并说明理由． 【举一反三】 （1）如图①，若，，则__________度； （2）如图②，已知，点、分别是、上的点，点位于上方，，．用含α和β的代数式表示下列各角． ①求的大小； ②如图③，在图②的基础上，若和分别平分和，则的大小． 【答案】〖解决问题〗见解析 〖举一反三〗（1） 　（2）①；② 【分析】此题主要考查了平行线的性质，理解题意，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 〖解决问题〗依题意得，进而根据平行线的性质得，，将两式相加即可得出结论； 〖举一反三〗（1）先根据平角的定义求出，，然后根据即可得出的度数； （2）①过点作，则，由平行线的性质得，，由此得，再将，，代入上式即可得出的度数； ②先由角平分线的定义得，，然后由①的结论得，据此可得出的度数． 【详解】解：〖解决问题〗、和三个角之间存在的数量关系是：，理由如下： 依题意得：， ，， ， 即； 〖举一反三〗（1），， ，， ， ； 故答案为：40． （2）①过点作，如图②所示： ， ， ，， ， ，，， ， ， 故答案为：． ②和分别平分和，，， ，， 由①的结论可知：． 故答案为：． 20．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知：，一块直角三角板中，，将三角板如图所示放置，使顶点C落在边上，经过点D作直线交边于点M，且点M在点D的左侧． (1)如图1，若，则___________°； (2)若的平分线交边于点F， ①如图2，当，且时，试说明：； ②如图3，当保持不变时，试求出与之间的数量关系． 【答案】(1)46 (2)①见解析，② 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的有关计算，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）过点作，根据，可得，根据平行线的性质可得； （2）①根据平行线的性质和角平分线定义即可说明；②当保持不变时，总有，在直角三角形中，，可得，根据和角平分线的定义，即可求出与α之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图，过点E作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， 故答案为：46； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在直角三角形中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵当保持不变时，总有， 在直角三角形中，， ∴， ∵， ∴，且， ∵平分， ∴， ∴． ( 地 城 考点0 5 三角板摆放问题 ) 21．（24-25七年级下·山东日照·期末）综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践课上，同学们以“一副直角三角板和两条平行线”为背景开展数学活动．已知直线，在直角三角板与中，，，． 【操作发现】 （1）如图1，直角三角板的顶点B在和之间，在绕点B转动三角板的过程中，两直角边分别与，交于点M，N，且夹角分别是和，经过反复操作，发现和之间存在固定的数量关系，这个数量关系是______． 【深入探究】 （2）如图2所示，将图1中的三角板的直角顶点B放在上，与交于点P，与的夹角为，与的夹角为，试探究和的数量关系并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，固定三角板，使边与直线重合，将三角板固定点C（点C在的延长线上），且在两条平行线，之间任意摆放，设的度数为，试探究：在摆放的过程中，当x为何值时，三角板的边与三角板的一条边平行？直接写出所有符合条件的x的值． 【答案】（1）；（2）；（3）x的值为30，75，120 【分析】本题考查了根据平行线判定与性质求角度，三角板中角度计算问题，根据平行线的性质求角的度数，平行公理，解题关键是利用平行线的性质证明相关角相等． （1）过点作，则，则，再由等量代换求解； （2）过点作，则，那么，再由，等量代换即可求解； （3）分“”、“”、“”三种情况，根据平行线的性质分别求出即可． 【详解】解：（1）数量关系为：， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴数量关系为：； （2）数量关系为：， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴数量关系为：； （3）①当时， ∵，即， ∵， ∴， 又∵点C在的延长线上 ∴点C，B，E，D在同一条直线上， ∴， ∴； ②当时， ∵ ∴， 又∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴； ③当时， ∴， ∴， ∴； 综上，在摆放的过程中，当或或时，三角板的边与三角板的一条边平行． 22．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合在一起放置，其中，，，． (1)求证； (2)试判断与之间的数量关系，并证明； (3)将三角板固定不动，改变三角板的位置，但始终保持两个三角板的顶点重合．当三角板的边与平行或和重叠时，三角板可以有几种不同的放置位置？请在备用图中画出其中一种，并求出此时的度数． 【答案】(1)详见解析 (2)，证明见解析 (3)三角板可以有4种不同的放置位置，图见解析，分别为、、、 【分析】本题考查了平行线的性质、三角板中角度的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据即可得解； （2）根据，并结合计算即可得解； （3）分四种情况，利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：三角板可以有4种不同的放置位置， 如图，当时，过点作， 则，， ∴， ∴； 如图，当时，过点作， 则，， ∴， ∴； 如图，当和重合时，过点作， 则，， ∴， ∴； 如图，当和重合时，过点作， 则，， ∴， ∴． 23．（24-25七年级下·广东潮州·期末）在七年级的“平行线的性质与判定”的学习中，我们常借助于三角板来研究其相关知识，现有一副三角板如图1所示，其中，，，请同学们结合已有的知识及活动经验，解决下列问题： 【初步感知】 (1)如图2，将上述三角板的直角顶点重合在一起，当时，______． 【自主探究】 (2)如图3，当平分时，请写出图中两条平行的直线，并说明理由． 【探究拓展】 (3)将一副三角板如图4所示摆放，直线，若三角板不动，而三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，求当旋转到时，t的值是多少？ 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)40或． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用，角的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）根据平行线的性质得到，再结合直角三角板中，求得结果； （2）根据图形，结合角平分线，易得，推出，得到结论； （3）分类讨论当在上方时，和在下方时两种情况下，的度数变化，得到不同的t值． 【详解】（1）解：如图（2），，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 平分，， ， ， 即，， ， ， ， ； （3）解：①如图所示，当在上方时，延长交于T， ， ， ， ， ； ②如图所示，当在下方时，延长交于T， ， ， ， ， ， 综上所述，当旋转到时，t的值是40或． 24．（24-25七年级下·河南漯河·期末）数学社团的同学以“两条平行线，和一块含角的直角三角板（，）”为主题开展数学活动，已知点E，F中只有一个点落在直线和之间． (1)观察猜想：如图1，把三角板的角的顶点E，G分别放在，上，若，则的度数为________； (2)类比探究：如图2，把三角板的锐角顶点G放在上，且保持不动，绕点G顺时针转动三角板，若点E落在和之间，且AB与EF所夹锐角，则的度数为________； (3)解决问题：把三角板的锐角顶点G放在上，在绕点G顺时针旋转三角板的过程中，若（），请求出的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，添加辅助线，利用平行线的判定与性质解题是关键． （1）根据平行线的性质直接求解即可； （2）过点E作，根据平行线的性质求得，再证明，求得，即可求得答案； （3）分点E在上方和下方两种情况讨论，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ． 故答案为：． （2）解：过点E作， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． （3）解：设，则， 当点E在上方时， ， ， 解得， 当点E在下方时， ， ， 解得， 综上所述，的度数为或． 25．（24-25七年级下·黑龙江七台河·期末）【发现问题】数学学习需要多动手勤动脑，“勤奋小组”在数学学习过程中充分利用三角板这一学习工具，发现这一副三角板中有“大学问”．将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，，，），当且点E在直线的上方时，将三角形固定不动，改变三角形的位置，但始终保持两个三角板的顶点C重合． 【提出问题】在这个变化过程中，是否存在其中一个三角形的一条边与另一个三角形的一条边平行呢？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】或或或或 【分析】本题主要考查了平行线的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键，分类讨论画出图形求解即可． 【详解】解：存在． ①当时，如图1， ， ； ②当时，如图2， ， ， ； ③当时，如图3，过点作， ，， ， ，， ， ； ④当时，如图4， ， ， ； ⑤当时，如图5， ， ， ； 综上分析可知，的度数可能是或或或或． ( 地 城 考点0 6 倍长中线模型 ) 26．（24-25七年级下·河北保定·期末）方法探索 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． (1)嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题．延长到点E，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围，请你根据嘉嘉的思路写出完整解答过程问题解决 (2)由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： 如图2，在中，点D、E在上，且，过E作与相交于点F，且．求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点E，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围， （2）延长到点M，使，连接．证明，得出，得出，由可得，从而可得，故可得平分． 【详解】（1）解：是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中， ， 即， 中线的取值范围是：； （2）证明：延长到点M，使，连接． 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即平分． 27．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图，中线的取值范围是多少？第一组经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空． 【探究方法】 ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化到中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是___________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题拓展】 （2）如图2，与互补，连接、，E是的中点，试说明：． ①根据上题总结的方法，我们考虑倍长中线构造全等三角形 解：如图，延长至，使，连接． 因为是的中点 所以 在和中 所以 ②根据①中的条件，可以得到，下面只需说明，就能得到，请同学们根据提示补全证明过程． （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．那么的面积是___________（请直接写出答案） 【答案】（1），（2）见解析，（3）18 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据提示证即可求解； （2）延长至点，使得，连接，证得，，进而可得，再证即可； （3）由（2）可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解． 【详解】解：（1）∵是的中线． ∴， ∵，， ∴， ∴， 可得， 即：， ∴， 故答案为：； （2）延长至点，使得，连接，如图2： ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）如图3，由（2）可得：，，， ． ． ，， ． ， ， ， ． 28．（24-25七年级下·广东深圳·期末）在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法． 【特例分析】例如：在中，，，点是边上的中点，怎样求的取值范围呢？我们可以延长到点，使，然后连接（如图①），这样，在和中，由于，，，接下来，在中通过的长可求出的取值范围． （1）在图①中，中线的取值范围是______． 【拓展探究】 （2）应用上述方法，解决下面问题： 如图②，在中，点是边上的中点，点是边上的一点，作交边于点，连接，若，，请直接写出的取值范围． 【推广应用】 （3）如图③，在四边形中，，，点是中点，点在上，且满足，，连接、，请判断与的位置关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）；（3）；理由见解析 【分析】（1）延长到点，使，连接，由证得，得出，在中，，得出，即可得出结果； （2）延长到点，使，连接、，由证得，得出，由等腰三角形的性质得出，在中，，得出，即可得出结果； （3）延长与的延长线交于点，易证，得出，由证得，得出，，即可证得，由，得出． 【详解】（1）延长到点，使，连接，如图所示： 点是边上的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ，即， ， 故答案为：； （2）延长到点，使，连接、，如图所示： 点是边上的中点， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在中，， ，即， ； （3）；理由如下： 延长与的延长线交于点，如图所示： 点是中点， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，即：， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了三角形三边关系、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握三角形的三边关系，证明三角形全等是解题的关键． 29．（24-25七年级下·江西赣州·期末）综合与实践 【问题情境】课外数学社团开展活动时，指导老师提出了如下问题：如图1，在中，若，为边上的中点，试求中线长的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下解决方法：如图，延长到点，使，连接．请根据小明同学的方法思考： （）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是_______． ．    ．      ．       ． （）求中线长的取值范围． 【解决问题】 （）老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图，和都是等腰直角三角形，，是的中线，若，求的长． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）根据全等三角形的判定即可求解； （）由全等三角形的性质可得，再根据三角形的三边关系解答即可求解； （）延长至，使，连接，可证，可得，，再证明，得到，即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：（）为边上的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴的理由是， 故选：； （）∵， ∴， ∵， ∴， 即； （）延长至，使，连接， ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的长为． ( 地 城 考点0 7 一线三等角模型 ) 30．（24-25七年级下·四川成都·期末）【问题初探】 （1）如图，在中，，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．猜想，，有何数量关系，并给予说明； 【变式探究】 （2）如图，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图所示，以的边为一边向外作和，其中，是边上的高．延长交于点H，设的面积为，的面积为，猜想大小关系，并说明理由． ． 【答案】（1）；说明见详解（2），证明见详解（3），理由见详解 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三等角全等模型，是解题的关键： （1）利用证明，再利用全等三角形的性质以及线段的和差关系即可求解； （2）利用证明，即可得出结论； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，证明，，推出，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：（1）直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； ∴，， ∵， ∴． （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： 是的外角， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， ∴； （3）大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ． 31．（24-25七年级下·上海崇明·期末）（1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，且有于点于点，猜想与之间满足的数量关系，并说明理由． （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为___________． （3）如图3，，，，连接，，且于点与直线交于点．若，求的面积． 【答案】（1），理由见解析；（2）6；（3）133 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）证明，即可得解； （2）证明，得出，，即可得解； （3）过点作于，过点作交的延长线于，根据全等三角形的性质得到，，，，证明，得到，进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：（1），理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴；    （2）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，；    ∵，， ∴． 故答案为：6； （3）解：如图，过点作于，过点作交的延长线于， 由（2）思路可证，， ，，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 32．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）（1）观察理解：如图①，中，，，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，，，垂足分别为D，E，试说明：． （2）理解应用：如图②，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积______； （3）类比探究：如图③，中，，，过点A作于点A，，连接，求的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）50；（3） 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）先证明，，进而可依据“”判定； （2）同（1）证明，，得出，，，，再根据三角形的面积公式分别求出，，，，再求出，进而可求出直角梯形的面积为80，由此即可得出图中实线所围成的图形的面积S； （3）过点作于点H，先证明，进而依据“”判定得，再根据三角形的面积公式即可得出的面积． 【详解】（1）证明：，，垂足分别为D，E， ， ， 在中，，， ， ， 在和中， ， ； （2）同（1）证明：，， ，，，， ，，，， ， ，，， ， 四边形是直角梯形， ， 图中实线所围成的图形的面积 ， 故答案为：50； （3）过点作于点H，如图所示： ， 中，，， ， ， 于点A，， ， ， 在和中， ， ， ， 的面积为： 33．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）【材料阅读】小红在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放运副三角板：如图：在中，，；在中，，所以，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，设垂足为，过点作，垂足为． (1)①图1中，，，求的长，请补充小红的过程． ∵， ． ． ， ． （补充小红的过程） (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，，猜想之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，求的面积． 【答案】(1)，见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合已有的解题过程，补充相关内容，证明，即可作答． （2）先整理得，再证明，再运用线段的和差关系计算列式整理，即可作答． （3）过点作，交的延长线于点，运用代入数值到进行计算，再计算，整理得，然后证明，则，故，即可作答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：之间的数量关系是：，理由如下： ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：过点作，交的延长线于点，如图3所示： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 34．（24-25七年级下·山西晋中·期末）综合与实践 数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，． (1)如图1，若，点D、A、E在直线m上，，则与的数量关系为______，与的数量关系为______． (2)如图2，若，点D、A、E在直线m上，，试判断线段和的数量关系，并说明理由． (3)如图3，若，，，E是中点，点P在线段上以的速度由点B到点C运动，同时点Q在线段上由点C到点A运动，它们运动的时间为，当点Q的运动速度为多少时，能使与以C、P、Q三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)，理由如下： (3)或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键。 （1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得； （2）同（1）可证明，得，可得答案； （3）过点A作于F，可证明，得到；再分和两种情况，利用全等三角形的性质讨论求解即可。 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， （2）解：，理由如下： 同理可得， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点A作于F， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵E是中点， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点Q的运动速度为或。 ( 地 城 考点 08 共顶点的等腰三角形问题 ) 35．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）综合与实践 数学活动课上，老师带领同学们以三角形为背景，探究线段之间的关系， 【问题情境】 已知，在中，，是射线上一动点，点在的右侧，线段，且． 【实践探究】 （1）如图1，这是“团结小组”探究画出的图形，并得到的数量关系，请给予证明． （2）如图2，这是“雄鹰小组”探究画出的图形，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由． 【拓展应用】 （3）“钻研小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，请直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析；（3）或 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，结合图形正确找出全等三角形并证明是解题的关键． （1）根据，可知，再利用证明，再由全等三角形的性质即可证明； （2）根据，可知，再利用证明，再由全等三角形的性质即可证明； （3）分两种情况讨论：情况一：当在线段上时，情况二：当在点右边时，利用证明，再由全等三角形的性质和线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：（1）中的结论成立，理由如下： ∵，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：分两种情况讨论： 情况一：当在线段上时，如图， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； 情况二：当在点右边时，如图， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． ∴综上所述，或． 36．（24-25七年级下·山东济南·期末） 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）由判定，推出； （2）过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，判定，推出，，由三角形内角和定理推出，推出． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 37．（24-25七年级下·山东济南·期末）（1）【问题初探】 某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 已知，，，请在图1和图2中选择一个模型证明． （2）【内化迁移】 在中，，，点D为射线上一动点（点D不与点B重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，． ①如图3，当点D在线段上时，过点E作于F，求的长度； ②如图4，连接，交直线于点M，点D在运动过程中，若，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）①；②或18 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，证明三角形全等、分类讨论是解题的关键． （1）由，得，利用即可证明； （2）①证明，则； ②过点E作交的延长线于点F，由①得，有；由面积关系得，设；分两种情况：当点M在线段上时；当点M在线段反向延长线上时；证明，则，从而利用建立关于x的方程，即可求解． 【详解】（1）证明：选择图1： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； 选择图2：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， （2）①∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； ②过点E作交的延长线于点F，如图； 由①得， ∴； ∴， ∴， ∴； 设； 当点M在线段上时，如图， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 当点M在线段反向延长线上时，如图， 同理得：， ∴； ∴，， ； ∵，， ∴， 解得：， ∴， 当点D在线段上的情况不存在． 综上，或18． 38．（24-25七年级下·山西运城·期末）综合与探究 在和中，，，． 【模型呈现】 （1）如图1，A，O，D三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，设，相交于点P，，相交于点Q，若，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，M，N分别为，的中点，连接，，，试说明且． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质和三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据证明即可得； （2）设与的交点为Q，由可得，又由于，结合三角形内角和定理可得，从而可得； （3）根据证明，则可得，，进而可得，则可得． 【详解】解：（1），理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）设与的交点为Q． ∵， ∴， 在和中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， （3）证明：∵， ∴，， ∵M，N分别为，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∵， 即， ∴， 即 ∴． 39．（24-25七年级下·山东威海·期末）【操作判断】将两个等腰直角三角形纸板（和）如图Ⅰ放置，直角顶点A重合，点D在边上，连接． （1）对于如下结论，正确的是 ；（填写序号） A．；B．；C．． 【变化探究】对“操作判断”作如下探究： （2）如图Ⅱ，若点D在边的延长线上，写出间的数量关系，并写明理由； （3）如图Ⅲ，若点D在边的延长线上，直接写结论： ①间的数量关系是 ； ② °． 【答案】（1）A、B、C；（2），理由见解析；（3）①，②135 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）先证明，得到，，进而可证明B、C，根据三角形内角和即可证明A； （2）同（1）证明即可求出间的关系； （3）①同（1）证明即可求出间的关系； ②根据得到即可作答． 【详解】（1）解：∵和是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，故B、C正确； ∵，， ∴， ∴，故A正确； 故答案为：A、B、C； （2）解：∵和是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：①：∵和是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； ②∵， ∴ 故答案为：． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08期末解答压轴题 1.(1)x-52+2,2 (2)11 【分析】本题考查配方法的应用，通过配方法将多项式变形，再根据完全平方式的非负性求解最值. (1)把27变为25+2，再写成完全平方式的形式即可： (2)先提系数-2，再配方，然后利用非负数的性质，结合不等式的性质求解即可； 【详解】(1)将x2-10x+27进行配方变形： x2-10x+27=x2-10x+25+2=(x-52+2 因为(x-5≥0， 所以当(x-5)=0,即x=5时，(x-5)+2的值最小，最小值是2. 故答案为：(x-5)2+2,2. (2)解：对-2x2+4x+9进行配方： -2x2+4x+9 =-2x2-2x+9 =-2x2-2x+1-1+9 =-2[(x-12-]+9 =-2(x-12+2+9 =-2x-1)2+11 因为(x-12≥0， 所以-2(x-1)2≤0， 当-2(x-1=0,即x=1时，-2(x-1+11的值最大，最大值是11. 所以多项式-2x2+4x+9的最大值为11. 2.(①)-4 (2)7 (3)6 1/62 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】本题考查配方法的应用，熟悉完全平方公式的结构特征和平方式的非负性是解答的关键. (1)仿照题干例题求解过程解答即可； 2》将式配方得++5+7，根(-》 的非负性求解即可； (3)将代数式经过两次配方可得(&-是++6，再银据(：-是+的非负性即可求得答案。 【详解10D解：产-+)-(-4(-引生 因为(-是非负数。 所以当()-0时，-5-4以最小值 2)解：++5=+-2+2+5-+7， 因为(&是非负数。 所以当(&-=0，年=时，“+京+5取最小值7： 44 (3)解：k2+2k+ +3 +2k =k2+ 4+3 -4*4+2 +引7 （+2-}16 2八+6 2/62 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 观察出当k=1或-2时， 〔-2-0此时42+ 、2 和+3取最小值6. 3.(1)9；(2)1;(3)3,大，12；(4)6. 【分析】本题考查了多项式、完全平方式和多项式的最值. (1)利用己知条件中的配方法求出答案即可： (2)把所给多项式配方，写成一个完全平方式，根据偶次方的非负性，求出其最值即可； (3)把所给多项式配方，写成一个完全平方式，根据偶次方的非负性，求出其最值即可； (4)利用分组分解法分解因式，再写成完全平方式，求出其最值即可. 【详解】(1)解：：x2+6x+32=(x+3)2, .x2+6x+9是完全平方式， 故答案为：9； (2)解：2m2-4m+3 =2m2-2m+1-1+3 =2(m2-2m+1+1 =2(m-12+1, (m-1)2≥0， .当(m-1)2=0时，即m=1时，2m2-4m+3有最小值1， 故答案为：1； (3)解：-x2+6x+3 =-(x2-6x+9-9+3 =-(x2-6x+9+12 =-(x-3)2+12, (x-32≥0， .-(x-32≤0， :当-(x-3)2=0时，即x=3时，多项式-x2+6x+3有最大值，最大值是12， 故答案为：3，大，12 3162 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (4)解：4a2+b2+4ab-8a-4b+10 =(4a2+4ab+b2)-8a-4b+10 =(2a+b)2-4(2a+b)+4+6 =(2a+b-2)2+6, :(2a+b-2)2≥0， ·代数式4a2+b2+4ab-8a-4b+10有最小值，最小值为6， 故答案为：6. 4.(1)2x2+2x-3>x2+3x-4,理由见解析 (2)a=2,b=-5,最小值为4 (3)2 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用. 第2r+2-3+3--月导可知22x-524女4>0，同t散天小： (2)由a2+b2-4a+10b+33变形得(a-2)2+(b+5)2+4,再根据(a-2)≥0，(b+5)2≥0，可得答案； (3)先得到a=8+b,然后代入到ab+c2-4c+20=0中得到(b+4)+(c-2)=0据此求解即可. 【详解】(1)解：2x2+2x-3>x2+3x-4,理由如下： 2x2+2x-3-x2+3x-4 =2x2+2x-3-x2-3x+4 .2x2+2x-3>x2+3x-4; (2)a2+b2-4a+10b+33 =a2-4a+4+b2+10b+25+4 =(a-2+(b+5)2+4, :(a-2≥0，(b+5)2≥0， (a-2+(b+5)+4≥4 .当a=2,b=-5时，多项式a2+b2-4a+10b+33有最小值4： 4/62 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)解：a-b=8, ∴a=8+b :ab+c2-4c+20=0, b8+b)+(c-22+16=0, .b2+8b+16+(c-22=0, (b+4)2+(c-22=0, :(b+42≥0，(c-22≥0， (b+42=0,(c-22=0, .b=-4,c=2, .a=4, ∴.a+b+c=2. 5.(1)x-22+1,1; (2)2. 【分析】本题考查了完全平方式的应用. (1)仿照题干所给示例作答即可； (2)a2+b2-6a-8b+25=0可化为(a-3)2+(b-4)2=0,根据题意可知当a=3时，a-3取最小值0，当 b=4时，b-4取最小值0，代入2a-b计算即可. 【详解】(1)解：x2-4x+5=x2-4x+22-22+5=(x-2+1,因为不论x取何值，(x-2)2总是非负数， 即(x-2)2≥0，所以当x=2时，(x-2)2取最小值0，（x-2)+1有最小值1. 所以当x=2时，x2-4x+5有最小值1. 故答案为：（x-2)2+1,1; (2)解：a2+b2-6a-8b+25 =a2-6a+32-32+b2-8b+42-42+25 =(a-3)2+(b-4)2-32-42+25 =(a-3)2+(b-42=0, 5162 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (a-3=0,(b-4)2=0, :当a=3时，a-3取最小值0，当b=4时，b-4取最小值0， ∴.a=3,b=4, .2a-b=6-4=2. 6.(1)① (2)15 (3)16 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何意义与代数运算，熟练掌握完全平方公式的变形及“以形助数” 的思想是解题的关键。 (1)观察图①的面积关系，匹配对应的代数公式： (2)先根据长方形的周长和面积求出a+b与ab的值，再代入计算(a+1(b+1): (3)设正方形边长，利用面积和与边长差，结合完全平方公式求出阴影部分面积。 【详解】(1)解：：图①中，大正方形面积(x+y)2=小正方形面积(x-y)2+4个矩形面积4y, ·对应公式①(x+y)2=(x-y)2+4xy, 故答案为：①； (2)解：：长方形周长为16， .2a+b=16, ∴.a+b=8, :长方形面积为6， .ab=6, .(a+1b+1=ab+a+b+1=6+8+1=15; (3)解：设正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为a,b, :两个正方形的面积之和为40，BE=4, a2+b2=40,a-b=4. (a-b)2=a2+b2-2ab=16. .ab=12 (a+b)2=a2+b2+2ab=40+2×12=64, 6/62 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 .a+b=8(负值舍去) ·阴影部分的面积为a2-1a a-创-a+6 1 2 2 =2a-ba+b创 1 ×8×4 2 =16, 7.(1)4m2 (2)(m+n)2=m2+n2+2mn; (3)(m+n+p)2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np; (4)见解析 【分析】本题考查完全平方公式与图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题的关键， (1)由题意得大正方形的边长为2m,根据面积公式即可表示： (2)方法一：求出这个大正方形的边长，利用正方形的面积公式求解即可得；方法二：根据这个大正方形 的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和即可得，由此可得出乘法公式； (3)利用两种方法求出大正方形的面积，由此即可得出等式： (4)利用正方形甲、乙、丙构造图形，根据图形中的面积关系即可得到答案. 【详解】(1)解：由题意得大正方形的边长为2m, .面积为(2m)2=4m2, (2)解：方法一：这个大正方形的边长为m+n, .这个大正方形的面积为(m+n)2; 方法二：因为这个大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和， :.这个大正方形的面积为m2+n2+2n; .乘法公式为(m+n)2=m2+n2+2mn, 故答案为：(m+n)2、;m2+n2+2mn、(m+n)2=m2+n2+2mn; (3)解：方法一：这个大正方形的边长为m+n+p, 7/62 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :这个大正方形的面积为(m+n+p)2; 方法二：因为这个大正方形的面积等于3个小正方形的面积与6个小长方形的面积之和， .这个大正方形的面积为m2+n2+p2+2mn+2mp+2np: 所得到的等式为(m+n+p)2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np, 故答案为：(m+n+p)2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np; (4)解：构造图形如下： 卫←>m 丙 其中，图形A是边长为n-m-p的正方形， 图形A的面积为(n-m-p)，阴影部分的面积为n2-m2-p2, (n-m-p)2<n2-m2-p2. 8.(1)(m+n=(m-n)2+4mn;(2)±6；(3)10.5 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键. (1)用两种方法表示图2的面积即可解答： (2)根据(a-b)=(a+b)-4ab即可求出a-b: (3)根据x2+y2=29,x-y=3,(x-y)2=x2-2xy+y2,求出y=10,再根据(x+y)=(x-y)2+4xy求出 +y=1,由Sa粉=S+Samx+川x-列，然后代入数据计算即可。 【详解】(1)图2整体上是边长为m+n的正方形，因此面积为(m+n)，图2中阴影部分是边长为m-n的 正方形，因此面积为(m-n,四个空白长方形的面积和为4mn, 所以有(m+n2=(m-n2+4mn. 故答案为：(m+n)2=(m-n+4mn. (2)a+b=8,ab=7, 8/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (a-b)=(a+b)2-4ab=64-28=36, .a-b=±6 故答案为：±6. (3):x2+y2=29,BE=3=x-y,(x-y)2=x2-2xy+y2, xy=10, (x+y)2=(x-y)2+4xy=9+40=49, x+y=7(已舍弃负值)， S阴影都分=S.CDF十S。BEF =xx-川+2x-列 21 2x+x-川 1 =二×7×3 2 21 2 9.(1)12 o号 【分析】本题主要考查的是完全平方公式的应用，对公式进行适当变形是解题的关键. (1)对公式(a-b)2=a2+b2-2ab变形，再代入求解即可； (2)由题可得AC2+BC2=18,利用(AC+BC)2=62,展开再代入求解即可. 【详解】(1)因为(a-b)2=a2+b2-2ab,所以2ab=a2+b2-(a-b)2, 因为a-b=1,a2+b2=25,所以2ab=25-1=24, 所以ab=12. (2)由题意得AC2+BC2=18, 因为(AC+BC)2=62, 所以AC2+2AC·BC+BC2=36, 所以2AC.BC=36-AC2+BC2）=36-18=18, 所以AC·BC=9, 9/62 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 所以S4c=)ACBC=? 10.(1)3.5,15.75 (2)16,4,16 (3)①4-x,4-x;②图见解析 【分析】本题考查阅读理解，主要涉及配方法的运用，读懂题中材料，仿照材料中方法求解是解决问题的 关键. (1)根据长方形的周长公式即可求得边长α，结合面积公式即可求得b: (2)根据材料中小鲲同学的解答过程，按照配方法直接作答即可得到答案； (3)根据周长公式求得阴影部分与A相邻的长，进一步求得阴影部分是一个边长为4-x的正方形，结合小 锦同学的解答过程仿照方法即可求解. 【详解】(1)解：：长方形的周长为16，长为4.5， :宽为a=16-2x45=3.5, 2 :长为4.5，宽为3.5， .面积b=3.5×4.5=15.75, 故答案为3.5,15.75； (2)解：：8y-y2 =-(y2-8y) =-y2-8y+16-16 =-[y2-8y+16)-16 =[y-4-16 =-(y-42+16, :▲表示的数为16；■表示的数为4；★表示的数为16； (3)解：设相邻的边长为y,则2(4+y)+2x=16,解得y=4-x, 由于阴影部分与A相邻的长为4-x, 则阴影部分是一个边长为4-x的正方形： ②当4<x<8时， 10/62 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 8-x 8-x 8-x B 图1 图2 图3 图2中，长方形B的一边长为8-x,相邻一边长为x-4, 图3中，阴影部分是一个边长为x-4)的正方形， 图1中，长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差， 所以当小正方形面积越小时，原面积越大. 11.(1)∠ABM+∠MCD=90°；(2)∠ABM+∠DCM=∠BMC,理由见解析；(3)当点M在E、A两 点之间时：ZBMC=∠DCM-∠ABM;当点M在AD的延长线上时，ZBMC=∠ABM-∠DCM. 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键. (1)过点M作MP∥AB,根据平行线的性质可得∠PMC=∠MCD,再根据BM⊥CM可得 ∠BMP+∠PMC=90°，进一步得到∠ABM+∠MCD=90°； (2)过点M作MP∥AB,交BC于F,根据平行线的性质可得∠DCM=∠FMC,可得 ∠ABM+∠DCM=LBMF+LCMF=∠BMC; (3)分两种情况：当点M在E、A两点之间时；当点M在AD的延长线上时；进行讨论可求∠BMC与 ∠ABM,∠DCM的数量关系. 【详解】解：(I)如图，过点M作MP∥AB,则∠BMP=∠ABM, A M PAB∥CD, E MP∥CD, :∠PMC=∠MCD, :BM⊥CM, :∠BMP+∠PMC=90°， :∠ABM+∠MCD=90°： (2)∠ABM+∠DCM=∠BMC,理由如下： 如图，过点M作MF∥AB,交BC于F,则∠ABM=∠BMF, 11/62 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :AB∥CD, E A MF∥CD, :∠DCM=∠FMC, ·∠ABM+∠DCM=∠BMF+∠CMF=∠BMC, ·∠ABM+∠DCM=∠BMC; (3)过点M作MF∥AB,交BC于F, ①当点M在E、A两点之间时，如图所示， M A :AB∥CD .MF∥AB∥CD, :∠DCM=∠FMC,∠BMF=∠ABM, :∠BMC=∠FMC-∠BMF, ·∠BMC=∠DCM-LABM; ②当点M在AD的延长线上时，如图所示， B E A D 同理可得MF∥AB∥CD, :∠DCM=∠FMC,∠BMF=∠ABM, :∠BMC=∠BMF-∠FMC, :∠BMC=∠ABM-∠DCM. 综上所述，当点M在E、A两点之间时：∠BMC=∠DCM-∠ABM;当点M在AD的延长线上时， LBMC=∠ABM-∠DCM. 12/62 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 12.(1)70°； (2)LA+∠C=LAPC,证明见解析； (3)不成立，新关系为：∠A-LC=∠APC,证明见解析. 【分析】本题考查平行线的判定及性质，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键 (1)过P作P0∥AB,则AB∥P0∥CD,根据平行线的性质求出∠APO,∠CPO的度数即可解答； (2)过P作PO∥AB,则AB∥PO∥CD,根据平行线的性质即可得到∠A+∠C=∠APC; (3)根据平行线的性质与判定定理讨论求解即可. 【详解】(1)解：如图所示，过P作P0∥AB, B D F D 图① :AB∥CD, .AB∥PO∥CD, :∠A=20°，∠C=50° .∠AP0=∠A=20°，∠CP0=∠C=50°， .∠APC=∠AP0+∠CP0=70°； (2)解：∠A+∠C=∠APC,证明如下： 过P作PO∥AB, B F D 图② :AB∥CD, .AB∥PO∥CD, .∠AP0=∠A,∠C=∠CP0, :.∠APC=∠AP0+∠CP0=LA+LC; (3)解：当点P在射线EF的延长线上运动时，(2)中的结论不成立，新关系为：∠A-∠C=∠APC, 13/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 证明如下： 过点P作PO∥AB, A E B 图③ :AB∥CD, .PO∥AB∥CD, ∠C=∠CP0,∠A=∠AP0, :∠AP0=∠APC+∠CP0, .LA=∠APC+LC, ∠A-∠C=∠APC. 13.(1)110,80 (2)02∠PF0-∠PEQ=180;②1=23或1=59 3 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的概念等知识，解题的关键是掌握以上知识点。 (1)根据平行线的性质和判定求解即可； (2)①延长PE交CD于点G,设PE、F交于点H,设∠MPE=2a,则∠FPE=∠BPE=a,根据 AB∥CD可表示出LPGQ,进而根据三角形内角和推论表示出∠EQC,进而表示出∠EQH,然后结合 △EQH和△PFH内角和得出关系式，进一步得出结果； ②根据题意分两种情况讨论，然后分别表示出各角，然后利用平行线的性质列方程求解即可. 【详解】(1)：AB∥CD,∠MNC=70°， .∠AMN=180°-∠MNC=110°； 如图，过点E作EF∥AB 14/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M A B Q D (图1) .LPEF=∠MPE=30° :AB∥CD .EFCD .∠FEQ=∠EQN=50° .∠PEQ=∠PEF+∠FEQ=80°； (2)①如图，延长PE交CD于点G,设PE、FO交于点H, M B G \D 改∠BPE=2a,则∠FPE)ZBPE=Q :AB∥CD, .∠PGQ=∠BPE=2a, :∠GEQ=180°-∠PEQ, :.∠EQC=∠QEG+∠PGQ=180°-∠PEQ+2a, H0s-0c-90+a0, 在△EQH和△PFH中， :∠PEQ+∠HQE+∠EHQ=18O°，∠FPH+∠FHP+∠PFH=I80°，∠PHF=∠EHQ, PE0+∠H0E=∠FPH+ZPF所，即∠PE0+90°+&-)∠PE0=Q+∠PE .2∠PFQ-∠PEQ=180°： ②：∠APE=150° .LBPE=180°-∠APE=30° :PF平分∠BPE 15/62 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 1 :∠BPF=∠FPE=∠BPE=1S° 如图，当NM'∥PF'时， F M P B D (备用图) :AB∥CD .∠ABN=∠BND :NM'∥PF LF'PB=∠ABN .∠F'PB=∠BND :直线MN绕点N以每秒5°的速度顺时针旋转，射线PF绕点P以每秒10°的速度逆时针旋转， .∠MNM'=5t,∠FPF'=101 ∴.∠MWD=∠MND-∠MNM'=100°-5t,∠F'PB=∠FPF-∠BPF=10t-15° 100°-51=101-15°， 23 ∴.t= 3: 如图，当NM'∥PF'时， M A N D (备用图) .∠APF'=10t-15°-180°=10t-195°，∠MND=∠MND-∠MNM'=100°-5t, 16/62 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 同理可得，∠APF'=∠MND .101-195°=100°-5t 19 3· 综上所述，1=2或1=59 31 3 14.(1)110;(2)①LAPC=La+∠B,理由见解析；②LCPA=∠a-∠B或∠CPA=∠β-∠a(3) 100% 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解题时注意分类思想的 运用。 (1)过P作PE∥AB,通过平行线性质求∠APC即可； (2)①过P作PE∥AB交AC于E,推出AB∥PE∥DC,根据平行线的性质得出∠Q=LAPE, ∠B=∠CPE,即可得出答案： ②分两种情况：P在BD延长线上；P在DB延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠APE, ∠B=∠CPE,即可得出答案. (3)过点C作CH∥AF,根据平行线的性质，得出∠BCD=∠CGF+∠D,进而得到∠B=∠CGF+∠D+5°， 即可求出∠B-∠CGF的度数. 【详解】解：(1)过点P作PE∥AB,如图1， A -B ---------E C 图1 :AB∥CD, PE∥AB∥CD, .∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°， .∠PAB=130°，∠PCD=120°， .∠APE=50°，∠CPE=60°， ∴.∠APC=∠APE+∠CPE=110°. 故答案为：110： (2)①∠APC=a+阝， 理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E, 17/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B B -M P D 图2 :AB∥CD, AB∥PE∥CD, .a=∠APE,B=∠CPE, .∠APC=∠APE+∠CPE=a+B: ②如图3所示，当P在BD延长线上时，设AP与CD交于点Q, M D 图3 :AB∥CD .∠CQA=∠BAQ=a, 又∠CQA=∠QCP+∠CPA, :.∠CPA=∠CQA-∠QCP=-B; 如图4所示，当P在DB延长线上时，同理可得∠CPA=B-a. M O P B D 图4 (3)如图5.过点C作CH∥AF, B G -H 图5 18/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .ZCGF ZGCH :AF∥DE, .CH∥DE, ∠D=∠DCH, .∠BCD=∠GCH+∠DCH, .∠BCD=∠CGF+∠D, :∠B=∠BCD+5°， ∠B=∠CGF+∠D+5°， ∠D=95°， .∠B-∠CGF=∠D+5°=100°. 15.(1)15 (2)①120°②45° (3)30,75,120 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键。 (1)根据三角板和平行线的性质得出∠BCP的度数； (2)①根据平行线的性质和邻补角计算即可；②过点0作OG∥PQ,根据平行线的性质得出 ∠C0F-∠ACP=45°； (3)分①当AB∥EF时，②当AB∥DF时，③当AB∥DE时，三种情况进行讨论即可. 【详解】(1)解：在ABC和△DEF中，∠EDF=45°，∠ACB=30°， PQ∥MN, :∠DCP=∠EDF=45°， ∠BCP=LDCP-∠ACB=I5°， 故答案为：15°； (2)解：①在ABC中，∠BAC=60°， AB∥EF, ∠C0E=∠BAC=60°， ∠C0F=180°-LC0E=120°； ②∠C0F-∠ACP=45°， 理由如下：过点0作OG∥PQ, 19/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C B -----G M D PQ∥MN, .OG∥PQ∥MN, ∠ACP=∠COG,∠GOF=∠EFD, :.∠COF-∠ACP=(∠COG+∠GOF)-∠ACP=(∠ACP+∠EFD)-∠ACP=∠EFD=45°， :∠C0F-∠ACP为定值，定值是45°： (3)解：①当AB∥EF时，点C,B,E,D在同一条直线上， -0 ∠ACD=∠ACB=30°， M D F a=30; ②当AB∥DF时， M D :AB∥DF,即AB∥MN, 又：PQ∥MN, AB∥PQ∥MN, ∠DCQ=180°-∠CDF=180°-45°=135°，∠ACQ=LBAC=60°， .LACD=∠DC0-LAC0=135°-60°=75°， .a=75: ③当AB∥DE时，如图， 20/62 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 Q A .∠BCD=∠ABC=90°， M D ∠ACD=∠BCD+∠ACB=90°+30°=120°， .a=120; 综上，在旋转的过程中，当a=30或75或120时，三角板ABC的边AB与三角板DEF的一条边平行. 16.(1)63;②∠MPN=∠AMP+∠CNP,理由见解析；(2)80° 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义： (1)①如图所示，过点P作PH∥AB,则ABI PH CD,根据平行线的性质可得 ∠HPM=∠AMP=18°，∠HPN=∠CNP=45°，则∠MPN=∠HPM+∠HPN=63°；②同(1)①求解即可； (2)由(1)可得∠Q=∠AMQ+∠CNQ=50°，设∠CNQ=x,则∠AMQ=50°-x,由角平分线的定义可 得∠CNP=2∠CNQ=2x,∠AMN=2∠AMQ=100°-2x,再由平行线的性质可得 ∠PNM+2x+100°-2x=180°，则∠PNM=80°. 【详解】解：(1)①如图所示，过点P作PH∥AB, M B D :AB∥CD, .ABPH CD, ∠HPM=∠AMP=18°，∠HPN=∠CNP=45°， ∴.∠MPN=∠HPM+∠HPN=63°， 故答案为：63： ②∠MPN=∠AMP+∠CNP,理由如下： 如图所示，过点P作PH∥AB, A M B D 21/62 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AB∥CD, .AB PH CD, .∠HPM=∠AMP,∠HPN=∠CNP, :.∠MPN=∠HPM+∠HPN=∠AMP+∠CNP; (2)由(1)可得∠Q=∠AMQ+∠CNQ=50°， 设∠CNQ=x,则∠AMQ=50°-x, :MP平分∠AMN,NQ平分LCNP, :.∠CNP=2∠CNQ=2x,∠AMN=2∠AMQ=100°-2x, AB∥CD, .∠AMN+∠CNM=180°， ∠PNM+2x+100°-2x=180°， .∠PNM=80°. 17.发现：平行；平行；平行，理由见解析； 探究：∠BAE+5∠MCD=90°，理由见解析； 拓展：∠BAC=∠QPC+∠PQC或∠BAC+∠QPC+∠PQC=180° 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质求角之间的关系， 对于【发现】，根据角平分线定义得∠BAC=2∠EAC,∠ACD=2LACE,再结合 ∠BAC+∠ACD=2∠EAC+2∠ACE=180°，然后根据“同旁内角互补两直线平行”得AB∥CD; 对于【探究】，作EF∥AB,由平行线的性质得∠BAE=∠AEF,∠FEC=∠DCE,再根据角平分线的定义得 ∠BC0-McD,即可得出答案： 对于【拓展】，分两种情况：当点Q在射线CD上运动时，作PE∥AB,根据平行线的性质得 ∠BAC=∠EPC,∠PQC=∠EPQ,再根据∠BAC=∠EPC=∠EPQ+∠QPC=∠POC+∠QPC,可得答案；当点Q 在射线CD的反向延长线上运动时（点C除外），再作PE∥AB,根据平行线的性质得 ∠BAC=∠AEP,∠PQC=∠QPE,接下来得∠BAC+∠PQC+∠QPC=180°，进而得出答案， 【详解】当LEAC=∠ACE=45°时，AB∥CD :CE平分LACD,AE平分∠BAC, .∠BAC=2∠EAC=90°，∠ACD=2∠ACE=90° .∠BAC+LACD=2LEAC+2LACE=180°， .AB∥CD; 22/62 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 当∠EAC=50°，∠ACE=40°时，AB∥CD :CE平分∠ACD,AE平分∠BAC, .∠BAC=2∠EAC=100°，∠ACD=2∠ACE=80°， .∠BAC+∠ACD=2LEAC+2∠ACE=180°， AB∥CD; 故答案为：平行：平行： 当LEAC+LACE=90°时，AB∥CD 理由如下： :CE平分∠ACD,AE平分∠BAC, ·.∠BAC=2∠EAC,∠ACD=2∠ACE .∠BAC+LACD=2∠EAC+2∠ACE=180°， .AB∥CD: 【探究】∠BAE+∠MCD=90°， 2 理由如下： B M E D 过E向右作EF∥AB, :AB∥CD, EF∥AB∥CD, .∠BAE=∠AEF,∠FEC=∠DCE :∠AEC=90°， ∴∠AEF+∠FEC=∠BAE+∠ECD=90°. :CE平分∠MCD, .∠ECD=I∠MCD 2 :∠BAE+1∠MCD=90: 2 【拓展】∠BAC=∠QPC+∠PQC,或∠QPC+∠PQC+∠BAC=180°. 23/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如图1，当点Q在射线CD上运动时，∠BAC=∠QPC+∠PQC A 图1 理由：过点P作PE∥AB, :AB∥CD, .PE∥AB∥CD, :.∠BAC=∠EPC,∠PQC=∠EPQ, :.∠BAC=∠EPC=∠EPQ+∠QPC=∠PQC+∠QPC .∠BAC=∠QPC+∠PQC; 当点Q在射线CD的反向延长线上运动时（点C除外），∠BAC+∠QPC+∠PQC=180° B A P --E D 图2 理由：过点P作PE∥AB :AB∥CD, .PE∥AB∥CD, .∠BAC=∠AEP,∠PQC=∠QPE :∠APE+∠QPE+∠QPC=180°， .∠BAC+∠PQC+∠QPC=180°， 即∠QPC+∠PQC+∠BAC=180° 综上可知，∠BAC=∠QPC+∠PQC,或∠QPC+∠PQC+∠BAC=180 18.(1)转化；(2)见解析；(3)∠EHG=∠G,理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键， 24/62 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (1)从证明过程中可以体现转化的思想； (2)延长BC至M,过点C作CN II AB,利用平行线的性质结合平角的定义证明即可； (3)过点G作GT∥AB,过点H作HR∥AB,根据平行线的性质结合角的和差计算证明即可. 【详解】解：(1)方法一是用平行线的性质将三角形内角和问题转化为一个平角，这体现了数学中的转化 思想， 故答案为：转化； (2)延长BC至M,过点C作CNI‖AB, M :CN∥AB, .LA=ACN,∠B=∠NCM, :∠ACB+∠ACN+∠NCM=180°， ∴.∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°； (3)∠EHG=∠G,理由如下： 过点G作GT∥AB,过点H作HR∥AB, M B T---- 4>G --R 69 图③ :FG平分∠EFD, .∠5=∠6， AB∥CD, ∠AEN=∠EFD=∠5+∠6=2L6, HR∥AB, 25/62 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 .∠EHR=LAEH=LAEF+∠2=2L6+L2,HR∥CD, .∠GHR=∠6， .∠EHG=∠EHR-∠GHR=2L6+∠2-∠6=∠6+∠2， :GT∥AB, ∠1=∠3，GI∥CD, .∠4=∠6， .∠EGH=∠3+∠4=1+∠6， ∠1=∠2， .∠EHG=∠EGH. 19.【解决问题〗见解析 〖举一反三〗(1)40° (2)①B-a;②28-a 【分析】此题主要考查了平行线的性质，理解题意，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键， 〖解决问题〗依题意得AB∥MN∥CD,进而根据平行线的性质得∠BPN=∠ABP,∠DPN=∠CDP,将两 式相加即可得出结论； 〖举一反三〗(1)先根据平角的定义求出∠ABP=30°，∠CDP=10°，然后根据∠BPD=∠ABP+∠CDP即 可得出∠EFP的度数； (2)①过点P作PM∥AB,则PM∥AB∥CD,由平行线的性质得∠MPF+∠PFD=180°， ∠MPE+∠PEB=180°，由此得∠MPF+∠PFD=∠MPE+∠PEB,再将∠PEB=a,∠PFD=B, ∠MPE=∠MPF+∠EPF代入上式即可得出∠EPF的度数； ②先由角平分线的定义得∠QEB0,∠QFDB,然后由0的结论得∠0=∠0FD-∠QEB,据此可得 出∠Q的度数. 【详解】解：〖解决问题〗∠BPD、∠ABP和LCDP三个角之间存在的数量关系是： ∠BPD=∠ABP+∠CDP,理由如下： 依题意得：AB∥MN∥CD, .∠BPN=∠ABP,∠DPN=∠CDP, ∠BPN+∠DPN=∠ABP+∠CDP, 即∠BPD=∠ABP+∠CDP; 〖举一反三〗(1)：∠ABE=150°，∠CDF=170°， 26/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠ABP=180°-∠ABE=180°-150°=30°，∠CDP=180°-∠CDF=180°-170°=10°， ∠BPD=∠ABP+∠CDP=30°+10°=40°， ∠EPF=40°； 故答案为：40. (2)①过点P作PM∥AB,如图②所示： P ---M A EA B AB∥CD, F D 图② PM∥AB∥CD, :∠MPF+∠PFD=180°，∠MPE+∠PEB=180°， .∠MPF+∠PFD=∠MPE+∠PEB, :∠PEB=aW,LPFD=B,∠MPE=∠MPF+∠EPF, .∠MPF+B=∠MPF+∠EPF+a, :ZEPF B-a 故答案为：B-a. ②：EQ和FQ分别平分∠PEB和∠PFD,∠PEB=a,LPFD=B, ∠OB-5PEB=a,∠0rn-PFD-B. 由O的结论可知：∠Q=∠QFD-∠QEB=B-a). 故答案为： 20-. 20.(1)46 (2)①见解析，②L0FD=150°- 2a 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的有关计算，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的 关键. (1)过点E作EF∥MN,根据MN∥OB,可得EF∥OB,根据平行线的性质可得LAOB=46°； (2)①根据平行线的性质和角平分线定义即可说明CE∥OA;②当CE∥OA保持不变时，总有∠ECB=α， 在直角三角形DCE中，∠DCE=60°，可得∠DCB=60°+a,根据MN∥OB和角平分线的定义，即可求出 LOFD与a之间的数量关系. 27/62 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)解：如图，过点E作EF∥MN, A M F--- E 0 B 图1 .∠DEF=∠NDE=44°， :∠CED=90°， ∠FEC=46°， :MN∥OB, .EF∥OB, .∠BCE=LFEC=46°， :AO∥CE, .LA0B=∠ECB=46°， 则a=46°， 故答案为：46： (2)解：①MN∥OB, .a=180°-∠0MN=60°， :DF∥OA, ∴.∠DFC=∠A0B=a=60°， :MN∥OB, .∠MDF=LDFC, :DF平分∠MDC, .∠CDF=∠MDF=60°， 在直角三角形DCE中，∠DCE=60°， ∴.∠CDF=∠DCE, CE∥DF, DF∥OA, .CE∥OA; ②：当CE∥OA保持不变时，总有∠ECB=a, 在直角三角形DCE中，∠DCE=60°， 28/62 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 .∠DCB=60°+a, :MN∥OB, .∠MDC=∠DCB=60°+a,且∠DFC=∠MDF, :DF平分∠MDC, :∠DFC=∠MDF=30+2a, 1 .∠0FD=180°-∠DFC=180°- 3. 30°+7a1=150°- 21.(1)∠1+∠2=90°；(2)∠4-∠3=30°；(3)x的值为30,75,120 【分析】本题考查了根据平行线判定与性质求角度，三角板中角度计算问题，根据平行线的性质求角的度 数，平行公理，解题关键是利用平行线的性质证明相关角相等 (1)过点B作BT∥1，则l∥1，∥BT,则∠1=∠3，∠2=∠4，再由∠ABC=∠3+∠4=90°等量代换求解： (2)过点C作PQ∥1，则l∥I∥PQ,那么∠PCB=∠3，∠PCA=∠4，再由LACB=30°=∠PCA-∠PCB, 等量代换即可求解； (3)分“AB∥EF”、“AB∥DF”、“AB∥DE”三种情况，根据平行线的性质分别求出x即可. 【详解】解：（1)数量关系为：∠1+∠2=90°， 过点B作BT∥l, M B VA 图1 :1∥12， .∥∥BT, .∠1=∠3，∠2=∠4， .∠1+∠2=∠3+∠4=∠ABC=90°， .数量关系为：∠1+∠2=90°； (2)数量关系为：∠4-∠3=30°， 29/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 3 人4 A 图2 过点C作PQ∥l, :1∥12， .1∥12∥P0, ∠PCB=∠3，∠PCA=∠4， :∠ACB=30°=∠PCA-∠PCB, ∠4-∠3=30°， .数量关系为：∠4-∠3=30°： (3)①当AB∥EF时， C E :LABC=∠DEF=90°，即BC⊥AB,DE⊥EF, AB∥EF, CB∥DE, 又：点C在DE的延长线上 点C,B,E,D在同一条直线上， .∠ACD=∠ACB=30°， .x=30; ②当AB∥DF时， P 01 M D N 30/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AB∥DF .AB∥MN, 又.PQ∥MN, AB∥PQ∥MN, ∠DC9=180°-∠CDF=180°-45°=135°， ∠ACQ=∠BAC=60°， LACD=LDCQ-LAC0=135°-60°=75°， ； ③当AB∥DE时， P C F B M D .∠BCD=∠ABC=90°， .∠ACD=∠BCD+∠ACB=90°+30°=120°， .x=120; 综上，在摆放的过程中，当x=30或75或120时，三角板ABC的边AB与三角板DEF的一条边平行. 22.(1)详见解析 (2)∠BCE+∠ACD=180°，证明见解析 (3)三角板DCE可以有4种不同的放置位置，图见解析，∠BCE分别为105°、165°、15°、75 【分析】本题考查了平行线的性质、三角板中角度的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结 合与分类讨论的思想是解此题的关键。 (1)根据∠ACB-∠ACD=∠DCE-LACD即可得解； (2)根据∠ACE+∠ACD+LACD+∠DCB=I80°，并结合LBCE=∠ACE+LACD+∠DCB计算即可得解； (3)分四种情况，利用平行线的性质求解即可. 【详解】(1)证明：：∠ACB=LDCE=90°， .LACB-LACD=LDCE-LACD,即LACE=∠BCD; (2)解：∠BCE+∠ACD=180°，理由如下： ∠ACB=∠DCE=90°， .∠ACE+∠ACD+∠ACD+∠DCB=180°， 31/62 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :∠BCE=∠ACE+LACD+∠DCB, .∠BCE+∠ACD=180°； (3)解：三角板DCE可以有4种不同的放置位置， 如图，当AB∥DE时，过点C作CF∥AB, D B E 则DE∥CF,∠BCF=∠B=45°， .∠ECF=∠E=60°， .∠BCE=∠BCF+∠ECF=45°+60°=105°； 如图，当AB∥DE时，过点C作CF∥AB, B D 则DE∥CF,∠BCF=∠B=45°， .∠ECF=180°-∠E=120°， .LBCE=∠BCF+LECF=45°+120°=165°： 如图，当AB和DE重合时，过点C作CF∥AB, 32/62 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 F 则DE∥CF,∠BCF=∠B=45°， ∴.∠ECF=∠CED=60°， .∠BCE=∠ECF-∠BCF=60°-45°=15°； 如图，当AB和DE重合时，过点C作CF∥AB, B 则DE∥CF,∠BCF=∠B=45°， .∠ECF=180°-∠CED=120°， ∴.∠BCE=∠ECF-∠BCF=120°-45°=75°. 23.(1)30; (2)BC∥EF,理由见解析； (3)40或100. 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用，角的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； (1)根据平行线的性质得到∠BCE=120°，再结合直角三角板中∠FCE=90°，求得结果； (2)根据图形，结合角平分线，易得∠BCF=∠ACE=45°，推出∠F=∠BCF,得到结论； (3)分类讨论当DF在MN上方时，和DF在MN下方时两种情况下，∠FDM的度数变化，得到不同的t 值. 【详解】(1)解：如图(2)，CE∥AB,∠B=60°， 33/62 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 B .∠BCE+∠B=180°， C(D) E 图(2) .∠BCE=120°， ∠FCE=90°， ∠BCF=∠BCE-∠FCE=30°， 故答案为：30； (2)解：BC∥EF,理由如下： :CA平分LECF,∠ECF=90°， ∠ACE=∠ACF=∠ECF=45, ·.·∠ACB=∠EDF=90°， 即∠ACF+∠BCF=90°，∠ACF+∠ACE=90°， ∠BCF=∠ACE=45°， ∠F=∠E=45°， .∠F=LBCF, BC∥EF; (3)解：①如图所示，当DF在MN上方时，延长BC交MN于T, A G :GH∥MN, M E ∠BTM=180°-∠ABT=180°-60°=120°， :DF∥BC, .∠FDM=∠BTM=120°， 4=120=40: 3 ②如图所示，当DF在MN下方时，延长BC交MN于T, 34/62 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 GH∥MN, ∴∠BTM=180°-∠ABT=180°-60°=120°， :DF∥BC, .∠FDN=∠BTM=120°， :1=180+120°300 =100, 3 3 综上所述，当旋转到DF∥BC时，t的值是40或100. 24.(1)145° (2)105° (3)22.5°或33.75° 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，添加辅助线，利用平行线的判定与性质解题是关键。 (1)根据平行线的性质直接求解即可； (2)过点E作EQ∥AB,根据平行线的性质求得∠FEQ=15°，再证明EQ∥CD,求得∠CGE=150°，即 可求得答案： (3)分点E在CD上方和下方两种情况讨论，分别列方程求解即可. 【详解】(1)解：：∠FGC=100°，∠FGE=45°， .∠CGE=100°+45°=145°， :AB CD ∠BEG=∠CGE=145°. 故答案为：145°. (2)解：过点E作EQ∥AB, ∴.∠FEQ=∠BME=15°， :∠FEG=45°， .∠QEG=45°-15°=30°， :AB CD ∴.EQ‖CD, ∴.∠CGE=180°-∠QEG=180°-30°=150°， 35/62 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ∠FGC=∠CGE-∠FGE=150°-45°=105°. 故答案为：105°. A M B --->E D (3)解：设∠DGE=x,则LFGC=5LDGE=5x, 当点E在CD上方时， :∠FGC+∠FGE+∠DGE=180°， 5x+45°+x=180°， 解得x=22.5°， 当点E在CD下方时， :∠FGC+∠FGE-∠DGE=180°， 5x+450-x=180°， 解得x=33.75°， A、 F 综上所述，∠DGE的度数为22.5°或33.75°. 25.30°或45°或120°或135°或165° 【分析】本题主要考查了平行线的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键，分类讨论画出图形求解 即可. 【详解】解：存在。 ①当BE∥AC时，如图1， D B:BE∥AC, 图1 ∠ACE=∠E=45°； 36/62 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ②当BC∥DA时，如图2， D .∠BCD=∠D=30, C 图2 ∠ECD=LECB-∠DCB=60°， ∠ACE=∠ACD-∠ECD=30°； ③当BE∥AD时，如图3，过点C作CF∥AD, F E:BE∥AD,CF∥AD, B 图3 .BE∥AD∥CF, :∠ECF=∠E=45°，∠DCF=∠D=30°， ∠DCE=30°+45°=75°， ∠ACE=90°+75°=165°； ④当AD∥CE时，如图4， D :AD∥CE, 图4 B ∠DCE=∠D=30°， ∠ACE=∠ACD+∠DCE=120°； ⑤当BE∥CD时，如图5， 37/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D :BE∥CD, 图5 ∠DCE=LE=45°， :∠ACE=∠ACD+LDCE=135°； 综上分析可知，∠ACE的度数可能是30°或45°或120°或135°或165°. 26.(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系 等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题 (I)延长AD到点E,使DE=AD,连接BE.可以判定ADC≌EDB,得出AC=BE,这样就能把线段 AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围， (2)延长AD到点M,使MD=AD,连接EM.证明△ADC≌△MDE,得出∠DAC=∠M,AC=ME,得 出∠EFM=∠M,由EF∥AB可得∠EFM=∠BAD,从而可得∠BAD=∠CAD,故可得AD平分∠BAC. 【详解】(1)解：D是BC的中点， :BD=CD 在△ADC和△EDB中， AD=DE ∠ADC=∠EDB, BD=CD AADC≌△EDB(SAS, .BE=AC=5, 在△ABE中， 38/62 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 AB-BE<AE<AB+BE, 即9-5<2AD<9+5, ·中线AD的取值范围是：2<AD<7; (2)证明：延长AD到点M,使MD=AD,连接EM. D M 在△ADC与△MDE中， AD=MD ∠ADC=∠MDE, DC=DE .△ADC≌△MDE, .∠DAC=∠M,AC=ME, EF=AC, :EF ME, ∠EFM=∠M, EF∥AB, .∠EFM=∠BAD, .∠DAC=∠BAD, 即AD平分∠BAC. 27.(1)1<AD<5,(2)见解析，(3)18 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键. (1)根据提示证ADC≌EDB即可求解； (2)延长OE至点H,使得HE=OE,连接CH,证△AEO≌△CEH得CH=AO=BO,∠HCE=∠OAE, 进而可得AO∥CH,再证△HCO≌aBOD即可； (3)由(2)可得：BD=H0=20E=12,SBOD=Sco,SHcE=SAoE,进一步得SHo=SAoc=SBop; 根据题意可证OF⊥BD,据此即可求解. 【详解】解：(1)：AD是ABC的中线， 39/62 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .BD CD, :DE=AD,∠ADC=∠EDB, ADC≌EDB, .BE=AC=4, 可得AB-BE<AE<AB+BE, 即：2<2AD<10, .1<AD<5, 故答案为：I<AD<5; (2)延长OE至点H,使得HE=OE,连接CH,如图2： D H.3 图2 B :E是AC的中点， .AE=CE, 在△AEO和△CEH中， AE=CE ∠AEO=∠CEH, OE=EH .△AEO兰△CEH(SAS), CH=AO=BO,∠HCE=∠OAE, .AO∥CH, :∠HC0+∠A0C=180°， :∠B0D+∠AOC=180°， ∠HC0=∠BOD, 在△HCO和aBOD中， HC=BO ∠HCO=∠BOD, CO=OD 40/62 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △HCO≌△BOD(SAS), ..OH =BD 0E=号80： (3)如图3，由(2)可得：BD=H0=20E=12,SAop=S△co,S.HCE=S.AoE, S.HCE+S.CEO S.4OE +S.CEO. S.HCO S.AOC S.BOD. H.5-- ∠A0B=90°，∠A0B+∠C0D=180°， 图3 B :∠C0D=∠C0E+∠D0F=90°. .△HCO≌△B0D ∠D=∠C0E, .∠D+∠D0F=90°， .OF⊥BD, .S.40C=S.DOD= 12g=1R 28.(1)1<AD<7;(2)2<EF<6;(3)CE⊥ED;理由见解析 【分析】(1)延长AD到点E,使AD=DE,连接BE,由SAS证得△ADC兰△EDB,得出AC=EB=6, 在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE,得出2<AE<14,即可得出结果； (2)延长ED到点N,使ED=DN,连接CN、FN，,由SAS证得△NDC=△EDB,得出BE=CN=4, 由等腰三角形的性质得出EF=FN,在aCFN中，CN-CF<FN<CN+CF,得出2<FN<6,即可得出结 果； (3)延长CE与DA的延长线交于点G,易证DG∥BC,得出∠GAE=∠CBE,由ASA证得 △GAE兰△CBE,得出GE=CE,AG=BC,即可证得CD=GD,由GE=CE,得出CE⊥ED. 【详解】(1I)延长AD到点E,使AD=DE,连接BE,如图①所示： :点D是BC边上的中点， :BD CD, 41/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在△ADC和△EDB中， AD=DE ∠ADC=∠EDB, BD=CD ∴.△ADC=△EDB(SAS), .AC EB=6, 在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE, 8-6<AE<8+6,即2<AE<14, 1<AD<7, 故答案为：1<AD<7: (2)延长ED到点N,使ED=DN,连接CN、FN,如图②所示： C:点D是BC边上的中点， D 图② :BD CD 在△NDC和△EDB中， CD=BD ∠CDN=∠BDE, DN=ED ∴.△NDC=△EDB(SAS), :BE=CN=4, DF⊥DE,ED=DN, :EF FN 在△CFN中，CN-CF<FN<CN+CF, 4-2<FN<4+2,即2<FN<6, 2<EF<6: (3)CE⊥ED;理由如下： 延长CE与DA的延长线交于点G,如图③所示： 42/62 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 E :点E是AB中点， 图③ .BE =AE, :∠BCD=149°，∠ADC=31°， .∠BCD+∠ADC=180°， .DG∥BC, .∠GAE=LCBE, 在△GAE和△CBE中， ∠GAE=∠CBE AE=BE ∠AEG=∠BEC .△GAE≥△CBE(ASA), :GE=CE,AG=BC, BC=CF,DF=AD, CF+DF=BC+AD=AG+AD,即：CD=GD, GE=CE ·CE⊥ED. 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了三角形三边关系、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、 全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握三角形的三边关系，证明三角形全等是解题的关键， 29.(1)A;(2)1<AD<5;(3)10 【分析】(1)根据全等三角形的判定即可求解； (2)由全等三角形的性质可得EB=AC=4,再根据三角形的三边关系解答即可求解： (3)延长BF至G,使GF=BF,连接CG,可证aCFG≌aEFB(SAS),可得CG=EB,∠1=∠2，再证明 △ABD≌△BCG(SAS),得到AD=BG=2BF=10,即可求解： 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解 题的关键， 【详解】解：(1)D为BC边上的中点， 43/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .BD CD, 在△ADC和△EDB中， CD=BD ∠ADC=∠EDB, AD=ED .△ADC≌△EDB(SAS), ADC≌EDB的理由是SAS, 故选：A; (2):ADC≌EDB, ∴.EB=AC=4, AB-EB AE<AB+EB, .6-4<2AD<6+4, 即1<AD<5; (3)延长BF至G,使GF=BF,连接CG, G 48 图3 :BF是BEC的中线， .CF=EF, :∠CFG=∠EFB,GF=BF, .△CFG≌△EFB(SAS, ∴.CG=EB,∠1=∠2， :∠ABC=∠DBE=90°， .∠4+∠CBE=180°， :∠2+∠3+∠CBE=180°， .∠4=∠2+∠3， .∠1=∠2， 44/62 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ∠4=∠1+∠3， 即∠4=∠GCB, :ABC和BDE都是等腰直角三角形， .AB=CB,BD=BE, .BD=CG, .△ABD≌△BCG(SAS), .AD=BG=2BF=10, 即AD的长为10 30.(1)BD=DE-CE;说明见详解(2)DE=BD+CE,证明见详解(3)S,=S,,理由见详解 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三等角全等模型，是解题的关键： (1)利用AAS证明△ABD≌△CAE,再利用全等三角形的性质以及线段的和差关系即可求解； (2)利用AAS证明△EAC≌△DBA,即可得出结论； (3)过点D作DM⊥AH交AH的延长线于点M,过点E作EN⊥AH于点N,证明△ABG≌△DAM(AAS), △AGC≌△ENA,推出DM=EN,再根据三角形的面积公式即可得出结论. 【详解】解：(1)：BD1直线1，CE⊥直线1， :∠BDA=∠AEC=90°， .∠DAB+∠DBA=90°， :∠BAC=90°， ∠DAB+∠EAC=90°， ·LDBA=LEAC, 在△ABD和△CAE中， ∠BDA=∠AEC=90° ∠DBA=∠EAC, AB=AC △ABD≌△CAE(AAS); .BD=AE,AD=CE, AE=DE-AD DE-CE, .BD=DE -CE (2)解：DE,BD,CE的数量关系是：DE=BD+CE,证明如下： 45/62 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :∠EAB是△ABD的外角， .∠EAB=∠ADB+∠DBA, ∠EAC+∠BAC=∠ADB+∠DBA, :∠ADB=∠BAC, ∠EAC=∠DBA, 在△EAC和△DBA中， ∠EAC=∠DBA ∠CEA=∠ADB, AB=AC △EAC≌△DBA(AAS), .CE=AD,AE BD, .DE AE+AD BD+CE; (3)S,S2大小关系是：S1=S,,理由如下： 过点D作DM⊥AH交AH的延长线于点M,过点E作EN⊥AH于点N,如图所示： M B GC :AG⊥BC, LAGB=∠M=90°， ∠ABG+∠BAG=90°， :∠BAD=90°， LBAG+∠DAM=90°， ∠ABG=∠DAM, 在△ABG和△DAM中， ∠AGB=∠M=90° ∠ABG=∠DAM, AB=AD .△ABG≌△DAM(AAS), 46/62 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 .DM=AG, 同理可证明：△AGC≌△ENA(AAS), :EN=AG, .DM EN HDM.S,-AHEN, .S1=S2. 31.(1)AD+BE=DE,理由见解析；(2)6；(3)133 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解 此题的关键。 (1)证明△CAD≌△BCE(AAS),即可得解： (2)证明△CAD≌△BCE(AAS),得出CD=BE,AD=CE,即可得解； (3)过点D作DP⊥AG于P,过点E作EQ⊥AG交AG的延长线于Q,根据全等三角形的性质得到 DP=AF=19,EQ=AF=19,AP=BF,AQ=CF,证明△DPG≌△EQG,得到PG=GQ,进而求出AG, 根据三角形的面积公式计算即可， 【详解】解：(I)AD+BE=DE,理由如下： :AD⊥DE,BE⊥DE, .∠ADC=∠CEB=90°， .∠ACD+∠CAD=90°， :∠ACB=90°， ∠ACD+∠BCE=90°， .∠CAD=∠BCE, 在△CAD和△BCE中， [∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE, AC=BC .△CAD≌ABCE(AAS), .CD=BE,AD =CE. CD+CE=DE, 47/62 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 .BE AD=DE (2):AD⊥DE,BE⊥DE, .∠ADC=∠CEB=90°， .∠ACD+LCAD=90°， .∠ACB=90°， .∠ACD+∠BCE=90°， ∠CAD=∠BCE, 在△CAD和△BCE中， [∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE, AC=BC .△CAD≌△BCE(AAS), .CD=BE,AD =CE .AD=11,BE=5, .DE CE CD AD -BE=6. 故答案为：6； (3)解：如图，过点D作DP⊥AG于P,过点E作EQ⊥AG交AG的延长线于Q, D B A G E 由(2)思路可证△AFB≌△DPA,△AFC≌△EOA, :DP=AF=19,EO=AF=19,AP=BF,AO=CF, 在△DPG和△EQG中， ∠DPG=∠EQG=90° ∠DGP=∠EGQ DP=EO :△DPG≌△EQG(AAS, ∴.PG=GQ, 48/62 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :BC=28, ..CF+BF=AO+AP=28, :AP+AP +PG+PG=28, ∴.AG=AP+PG=14, 1 S.40G=2×19x14=13. 32.(1)证明见解析：(2)50；(3)8 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决 问题的关键， (1)先证明：∠AEC=∠CDB=90°，∠EAC=∠DCB,进而可依据“AAS”判定△AEC≌△CDB; (2)同(1)证明△EFA≌AGB(AAS),△BGC≌CHD(AAS),得出AF=BG=3,EF=AG=6, CG=DH=4,BG=CH=3,再根据三角形的面积公式分别求出SEF4=9,S。4GB=9,S.BGc=6,ScHD=6, 再求出HF=16,进而可求出直角梯形EFHD的面积为8O,由此即可得出图中实线所围成的图形的面积S (3)过点B作B'H⊥AC于点H,先证明∠B'AH=∠B,进而依据“AAS”判定△AB'H≌△BAC得 B'H=AC=4,再根据三角形的面积公式即可得出ABC的面积 【详解】(1)证明：：BD⊥1，AE⊥1，垂足分别为D,E, ∠AEC=∠CDB=90°， :∠ECA+∠EAC=90°， 在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC, .∠ECA+∠DCB=90°， ∴.∠EAC=∠DCB, 在△AEC和△CDB中， ∠AEC=∠CDB=90 ∠EAC=∠DCB, AC=BC ∴△AEC≌ACDB(AAS); (2)同(1)证明：aEFA≌△4GB(AAS),△BGC≌CHD(AAS), :AF=BG=3,EF=AG=6,CG=DH=4,BG=CH=3, -SFAf=9,Sa4GBG=9.kGaG=6,SamCH-DH=6, 2 49/62 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 .S.EF4+S.4GB+SBGc+S.cHD=9+9+6+6=30, :HF=AF+AG+CG+CH=3+6+4+3=16,EF⊥AB,BC⊥CD, EF∥DH, :四边形EFHD是直角梯形， ④S边D=(EF+DH-HF=)x(6+4)×16=80 ·图中实线所围成的图形的面积 S=S四边形EFHD-(S.EFA+S。4GB+S.BGc+S.cHD)=80-30=50, 故答案为：50： (3)过点B作B'H⊥AC于点H,如图所示： C∠B'HA=90°， B Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4, ∠B'HA=∠ACB=90°， .∠B+LCAB=90°， AB'⊥AB于点A,AB'=AB, ..∠B'AH+∠CAB=90°， ∠B'AH=∠B, 在△AB'H和△BAC中， ∠B'HA=∠ACB=90 ∠B'AH=∠B AB'=AB △AB'H≌△BAC(AAS), .B'H=AC=4, a4B'C的面积为：4C-BH-×4x4=8 1 33.(1)9,见解析 (2)AE+PE=CP,理由见解析 50/62 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (3)21 【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键. (1)结合己有的解题过程，补充相关内容，证明△BAM≌aCBN(AAS),即可作答 (2)先整理得∠ABE=∠BCP,，再证明△ABE≌△BCP(AAS),再运用线段的和差关系计算列式整理，即可 作答。 )过点C作CH1BE,交BE的延长线于点H,运用代入数值到S:二)AE~BE进行计算，再计算 Sc=BC2-25,整理得∠4BE=∠BCH,然后证明a4BE≌BCH(AAS,则BE=CH=1,枚 2 6 ECH=0.5,即可作餐 【详解】(1)解：：∠ABC=90°， .∠ABM+∠CBN=90°， :AM⊥DF,CN⊥DF, ∴.∠AMB=90°，∠CNB=90°， ∠ABM+∠BAM=90°， ∴.∠BAM=∠CBN, 在△BAM和△CBN中， I∠AMB=∠CNB=90° ∠BAM=∠CBN, AB=CB △BAM≌ACBN(AAS, :BM =CN =7,AM BN =2, MN=BM+BN=7+2=9; (2)解：AE,PE,CP之间的数量关系是：AE+PE=CP,理由如下： :∠ABC=90°， ·∠ABE+∠EBC=90°， :CP⊥ED,∠E=90°， ∠E=∠CPB=90 .∠BCP+∠EBC=90°， ∠ABE=LBCP, 51/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在△ABE和△BCP中， ∠E=∠CPB ∠ABE=∠BCP, AB=CB △ABE≌△3CP(AAS), :BE CP,AE =BP, :BE BP+PE AE +PE, AE PE CP (3)解：过点C作CH⊥BE,交BE的延长线于点H,如图3所示： D H:AE=7,BE=1,∠DEF=90°， E B C 图3 .5.we 1 2×7x1=35, :∠ABC=90°，AB=BC,BC2=50, -Sc-4Bac-ac=25, 2 .∠ABE+∠CBH=90°， :∠DEF=90°，CH⊥BE, ∠AEB=∠H=90°， .∠CBH+∠BCH=90°， .∠ABE=∠BCH, 在△ABE和BCH中， ∠AEB=∠H=90° ∠ABE=∠BCH, AB=CB △ABE≌△BCH(AAS), .BE CH=1, 52/62 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 SE=)BE-CH=}x1x1=0,5, 1 2 2 S4E=S4Bc-S4BE-SBcE=25-3.5-0.5=21. 34.(1)BD=AE,CE=AD (②)DE=BD+CE,理由如下： 9 (3)3cm/s或一cm/s 2 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定定 理是解题的关键。 (1)利用平角的定义和三角形内角和定理得∠CAE=∠ABD,再利用AAS证明△ABD≌△CAE,得 BD=AE,CE=AD; (2)同(1)可证明△ABD≌△CAE,得BD=AE,CE=AD,可得答案； (3)过点A作AF⊥BC于F,可证明RtAAFB≌Rt△AFC(HL),得到∠B=∠C;再分△BPE≌aCPQ和 △BPE≌△CQP两种情况，利用全等三角形的性质讨论求解即可。 【详解】(1)解：：∠BDA=LAEC=∠BAC,∠BAD+∠CAE+∠BAC=180°=∠BAD+∠BDA+∠ABD, ∠CAE=∠ABD, 又：BA=AC, .△ABD≌△CAE(AAS), :BD=AE,CE AD, (2)解：DE=BD+CE,理由如下： 同理可得△ABD≌△CAE, .BD=AE,CE AD .DE=AD+AE =BD+CE (3)解：如图所示，过点A作AF⊥BC于F, B-PE .∠AFB=LAFC=90°， 53/62 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 又：AB=AC,AF=AF, :.Rt△AFB≌RtAAFC(HL), .∠B=LC; :E是AB中点， BE=4B=6cm 当△BPE≌aCPO时，则CQ=BE=6cm,BP=CP=BC=4em, S, 3 69 3 当△BPE≌△CQP时，则BE=CP=6cm,BP=CQ, .BP=BC-CP=2cm, 1=2, 3 2 :"。=2=3cm/s 踪上所述，点g的运动速度为3cm/s或)cm/3 35.(1)证明见解析；(2)成立，理由见解析；(3)BC=DC+CE或CE=BC+DC 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，结合图形正确找出全等三角形并证明是解题的关键， (1)根据∠DAE=LBAC=Q=60°，可知∠BAD=∠CAE,再利用SAS证明△ABD≌△ACE,再由全等三 角形的性质即可证明； (2)根据∠BAC=∠DAE=90°，可知∠BAD=∠CAE,再利用SAS证明△ABD≌△ACE,再由全等三角形 的性质即可证明； (3)分两种情况讨论：情况一：当D在线段BC上时，情况二：当D在C点右边时，利用SAS证明 △ABD≌△ACE,再由全等三角形的性质和线段的和差即可求解. 【详解】(1)证明：：∠DAE=∠BAC=a=60°， ∴.∠DAE-∠DAC=LBAC-∠DAC, ∴∠BAD=∠CAE, 在△ABD与△ACE中， 54/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB=AC ∠BAD=∠CAE, AD=AE △ABD≌△ACE(SAS, .BD CE; (2)解：(1)中的结论成立，理由如下： :∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC, .LBAC-∠DAC=∠DAE-LDAC, 即∠BAD=∠CAE, 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE, AD=AE :.△ABD≌△ACE(SAS, .BD=CE; (3)解：分两种情况讨论： 情况一：当D在线段BC上时，如图， D C :∠DAE=∠BAC=Q, ∴.∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC, .∠BAD=LCAE, 在△ABD与△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE, AD=AE △ABD≌△ACE(SAS, :BD=CE, 55/62 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 .BC=DC+BD=DC+CE 情况二：当D在C点右边时，如图， E CD ∠DAE=∠BAC=a, .∠BAC+LDAC=∠DAE+∠DAC, ∴.∠BAD=∠CAE, 在△ABD与△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE, AD=AE .△ABD≌△ACE(SAS, .BD=CE, .CE=BD=BC+DC .综上所述，BC=DC+CE或CE=BC+DC. 36.(1)见解析；(2)AD=CE,AD⊥CE,理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形. (1)由SAS判定△ADB≌△CEB,推出AD=CE; (2)过点C作CH垂直于DA的延长线于点H,交BD于点O,判定aABD≌aCBE(SAS),推出AD=CE, ∠ADB=∠CEB,由三角形内角和定理推出∠DHO=∠EBD=90°，推出AD⊥CE. 【详解】(1)证明：在△ADB和aCEB中， BD=BE ∠ABD=∠CBE, AB=CB △ADB≌△CEB(SAS), :AD CE (2)解：AD=CE,AD⊥CE,理由如下： 如图，过点C作CH垂直于DA的延长线于点H,交BD于点O, 56/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E ∠ABC=∠DBE=90°， .ZABD +ZDBC ZCBE ZDBC ∴.∠ABD=∠CBE, 在△ABD和△CBE中， AB=BC ∠ABD=∠CBE, BD=BE .△ABD≌aCBE(SAS), .AD=CE,LADB=∠CEB, :∠DOH=∠EOB, .∠DH0=LEBD=90°， AD⊥CE. 立D见解析：2)@EP=3;②BD=或18 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，证明三角形全等、分类讨论是解题 的关键。 (1)由∠ECD+∠ACB=90°，∠ECD+∠CED=90°，得∠ACB=∠CED,利用AAS即可证明 △ABC≌△CDE; (2)①证明△EAF≌△ACD,则EF=AC=3; ②过点E作EF⊥AC交CA的延长线于点F,由①得△EAF≌△ADC,有EF=AC=3,AF=CD;由面积关 系得BD=3AM,设AF=CD=x;分两种情况：当点M在线段AC上时；当点M在线段AC反向延长线上 时；证明△EFM≌△BCM，则CM=FM,从而利用BD=3AM建立关于x的方程，即可求解， 【详解】(1)证明：选择图1： :∠ACE=90°， ∠ECD+∠ACB=90°， 57/62 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠CDE=90°， .∠ECD+∠CED=90°， .∠ACB=∠CED, 在ABC与△CDE中， I∠ABC=∠CDE ∠ACB=∠CED, AC=CE .ABC≌CDE(AAS); 选择图2：∠ACE=∠CDE=90°， .∠ECD+∠ACB=90°，∠ECD+∠CED=90°， .ZACB ZCED 在ABC与△CDE中， [∠ABC=∠CDE ∠ACB=∠CED, AC=CE :.ABC≌CDE(AAS), (2)①：∠ACD=∠DAE=90°， .∠CAD+LADC=90°，LEAF+∠CAD=90°， ∴.∠ADC=∠EAF, 在△EAF与△ACD中， [∠ADC=∠EAF ∠ACD=∠EFA, AD=AE .△EAF≌△ACD, .EF=AC=3; ②过点E作EF⊥AC交CA的延长线于点F,如图； 由①得△EAF≌△ADC, .EF=AC=3,AF =CD ·.SAABD=3S△AME, .BD:AC-3xAM EF. 2 58/62 丽学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 .BD =3AM 设AF=CD=x; 当点M在线段AC上时，如图， EF=AC,AC=BC, .EF BC; :∠EFM=∠ACB=90°，∠FME=∠CMB, .△EFM≌△BCM(AAS), ∴.CM=FM; .CF=AC+AF=3+x, :.CM=FM=1CF=3+x,AM=AC-CM=3-x 2 2 , BD=BC+CD=3+x,BD=3AM, 3+x=3× 3-x 2 3 解得：x= 5 .BD=3+ 318 559 F E M B CD 当点M在线段AC反向延长线上时，如图， 同理得：△EFM≌△BCM(AAS), .CM FM; .CF=AC+AF=3+x CM=FM=1CF=3+x 2, AM=CM-AC=-3 ； .BD=BC+CD=3+x,BD=3AM, 3+x=3x-3 , 解得：x=15, .BD=3+15=18, 59/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M B C O 当点D在线段BC上的情况不存在. 综上，BD=18或18. 5 38.(1)AC=BD,理由见解析；(2)130°；(3)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质和三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性 质是解题的关键， (I)根据SAS证明△AOC≌△B0D即可得AC=BD; (2)设AP与BO的交点为Q,由△AOC≌aB0D可得∠OAC=∠OBD,又由于LAQ0=LBQP,结合三角形 内角和定理可得∠BPQ=∠AOQ=50°，从而可得∠APD=130°； (3)根据SAS证明△AOM≌△BON,则可得OM=ON,∠A0M=∠B0N,进而可得∠M0N=∠A0B=90°， 则可得0M⊥ON. 【详解】解：(1)AC=BD,理由如下： :∠A0B=∠COD, .∠A0B+∠B0C=∠COD+∠B0C, 即∠AOC=∠B0D, 在△AOC和△B0D中， OA=OB ∠AOC=∠BOD, OC=OD △A0C≌△B0D(SAS), .AC BD. (2)设AP与B0的交点为Q. .:△A0C≌aB0D, ∠0AC=∠OBD, 在△AOQ和BPQ中，∠OAQ=∠OBD,LAQ0=LBQP, 60/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠AOQ=LBPQ, :∠A00=50°， LBP0=50°， .∠APD=180°-∠BPQ=130°， (3)证明：：△A0C≌△B0D, ∠OAC=∠OBD,AC=BD, M,N分别为AC,BD的中点， 4w-号4C,av=方8D .AM =BN 在aAOM和△BON中， OA=OB ∠OAC=∠OBD, AM=BN :.△AOM≌△BON(SAS), .OM=ON,∠A0M=∠B0N, :∠A0B=90°， 即LAOM+∠M0B=90°， .∠B0N+∠M0B=90°， 即∠M0N=90° .OM⊥ON. 39.(1)A、B、C;(2)CE=BC+CD,理由见解析；(3)①BC=CD-CE,②135 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质. (1)先证明△BAD≌△CAE(SAS,得到BD=CE,∠ABD=∠ACE=45°，进而可证明B、C,根据三角形 内角和即可证明A; (2)同(I)证明△BAD≌aCAE(SAS)即可求出BC,CE,CD间的关系； (3)①同(1)证明△BAD≌△CAE(SAS)即可求出BC,CE,CD间的关系； ②根据△BAD≌△CAE得到∠ACE=∠ABD即可作答， 【详解】(I)解：：ABC和ADE是等腰直角三角形， .∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE, 61/62 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠BAD=∠CAE, △BAD≌△CAE(SAS), .BD=CE,∠ABD=∠ACE=45°， :BC=BD+CD=CE+CD,∠ECB=∠ACB+∠ACE=90°， .EC⊥BC,故B、C正确； :LCAE+LAED+∠DEC+∠ECA=LCAE+45°+LDEC+∠ECA=180°， ∠CDE+∠DCA+∠ECA+∠DEC=∠CDE+45°+∠ECA+∠DEC=180°， ∠CAE=∠CDE, :∠BAD=LCDE=∠CAE,故A正确； 故答案为：A、B、C; (2)解：：ABC和ADE是等腰直角三角形， ∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE, .∠BAD=LCAE, .△BAD≌aCAE(SAS), ∴.BD=CE, .CE BD BC+CD (3)解：①：：ABC和ADE是等腰直角三角形， .∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE, .∠BAD=∠CAE, :.△BAD≌△CAE(SAS), .BD CE, .BC CD -BD CD-CE 故答案为：BC=CD-CE; ②：△BAD≌△CAE, .∠ACE=∠ABD=180°-45°=135° 故答案为：135. 62/62 08 期末解答压轴题 8大高频考点概览 考点01整式运算中的最值问题 考点02整式运算与几何图形 考点03平行线中的动点问题 考点04平行线中的拐点问题 考点05三角板摆放问题 考点06倍长中线模型 考点07一线三等角模型 考点08共顶点的等腰三角形问题 ( 地 城 考点01 整式运算中的最值问题 ) 1．（24-25七年级下·四川达州·期末）阅读下面的材料并解答后面的问题： 【阅读】 小亮：你能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？小华：能．求解过程如下： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题： (1)将变形为的形式________，则的最小值为________； (2)求多项式有最大值． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，能解决一些与非负数有关的问题．如：求代数式的最大值或最小值等．求代数式的最小值，同学们经过探究、合作、交流，最后得到如下解法： 解：． 因为是非负数，所以当时，的值最小，最小值为1，所以的最小值是1． (1)求代数式的最小值． (2)求代数式的最小值． (3)求代数式的最小值． 3．（24-25七年级下·山东济南·期末）阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以帮助我们求代数式的最大值或最小值．例如：求的最小值． 解：，，， 所以当时，即当时，有最小值，最小值为1． 【直接应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：___________； （2）的最小值等于___________； （3）当___________时，多项式有最___________值，是___________； 【知识迁移】 （4）代数式的最小值为___________． 4．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）配方法是一种重要的解决问题的数学方法，经常用来解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如，求代数式的最小值．，可知，当时，有最小值，最小值是-4．请同学们利用配方法解决下列问题： (1)请比较多项式与的大小，并说明理由； (2)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值； (3)已知，求的值． 5．（24-25七年级下·四川巴中·期末）把代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在代数式求值、解方程、求最值等都有广泛的应用，如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值． 所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)将变形为的形式_____________，则的最小值为_____________； (2)已知，求的值． ( 地 城 考点02 整式运算与几何图形 ) 6．（24-25七年级下·河南郑州·期末）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学著作，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化． (1)观察图①，它所对应的公式为______．（填写对应公式的序号） ①； ②； ③． (2)如图②，长、宽分别为的长方形，它的周长为，面积为，求的值． (3)将正方形与正方形按图③所示的方式摆放，当正方形与正方形的面积之和为，时，求图中阴影部分的面积． 7．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图1，正方形A、B、C的边长分别为m、n、p，且． (1)用两个A种正方形组合成图2的图形，外边框可以围成一个大正方形，求这个大正方形的面积（用含的代数式表示） (2)将一个A种和一个种正方形组合成图3的图形，外边框可以围成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，从而可以得到一个乘法公式为_____． (3)如图4，将正方形A、B、C拼接在一起，沿着外边框可以围成一个大正方形，类比（2）的思路进行思考，直接写出所得到的等式_____________． (4)用正方形A、B、C画出恰当的图形，说明． 8．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图1是一个长为、宽为的长方形．沿图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）观察图2，直接写出代数式之间的关系：______； 利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题： （2）已知，，则的值为______； （3）两个正方形如图3摆放．边长分别为x，y，若，求图中阴影部分的面积． 9．（24-25七年级下·全国·期末） 阅读下列材料，并解答问题： 已知，，求的值． 老师是这样讲解的： 解：因为，所以． 因为，，所以． (1)已知，，求的值； (2)如图，在中，，分别以，为边向其外部作正方形和正方形．若，正方形和正方形的面积和为18，求的面积． 10．（24-25七年级下·广东深圳·期末）“用一根长度为16米的绳子如何围一个面积最大的长方形？”通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．小云、小鲲、小锦三位同学从三个不同的方向对这个问题进行了研究． 小云 我尝试围出不同长宽比例的长方形，以下是我选取的长、宽数据表： 长（单位：m） 1 2 3 4 4.5 5 6 宽（单位：m） 7 6 5 4 a 3 2 面积（单位：m2） 7 12 15 16 b 15 12 我发现当长、宽都等于4米时，围成的长方形区域的面积最大，所以用长度为16米的绳子围一个长方形区域，当围成一个正方形区域时可使面积最大． 小鲲 我用的是逆用完全平方公式的方法进行验证，做法如下： 设绳子围成的长方形区域的长为y米，则宽为米，根据题意，该长方形区域的面积为平方米． ∵∴当时，代数式有最大值16． （说明：其中▲、■、★表示一个数） 当时，，即当长、宽都等于4米时，围成的长方形区域的面积最大，最大面积为16平方米． 小锦 我用的是数形结合的方法进行验证． 已知长方形的周长是16，设长方形的一边长是x，则相邻一边长是． 当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形B的一边长是x，相邻一边长是______．如图3，将长方形B割补到长方形A的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含x的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差．所以当小正方形面积越小时，原面积越大． 当时，类似上述过程及图示进行割补．当小正方形面积越小时，原面积越大． 当时，该长方形即为正方形． 综上分析，周长是16的长方形的最大面积是16； 请根据以上的研究完成下面的问题： (1)小云同学的数据表中 ______、 ______； (2)小鲲同学的解题过程中，▲、■、★表示的数分别为______、______、______； (3)补全小锦同学的做法． ______、______；请画出当时的三个图示说明． ( 地 城 考点0 3 平行线中的动点问题 ) 11．（24-25七年级下·河南周口·期末）（1）如图①，已知，点为平面内一点，．小颖说：“过点作，很容易就能找到和的数量关系．”则和的数量关系是___________． （2）如图②，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，且，点在射线上运动，当点运动到点与点之间时，试判断与，之间的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下，当点在射线上的其他地方运动时（点与，，三点不重合）请直接写出与之间的数量关系． 12．（24-25七年级下·甘肃陇南·期末）如图，已知，线段分别与、相交于点、，在直线上有一点，连接． (1)如图①，点在线段上，当，时，求的度数； (2)如图②，当点在线段上运动时（不包括、两点），，与之间有怎样的数量关系？试证明你的结论； (3)如图③，当点在线段的延长线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果不成立，探究，与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 13．（23-24七年级下·湖北宜昌·期末）如图，已知，直线交于点M，交于点N．点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，． (1)如图1，若，，，则________，________； (2)如图2，的角平分线与的角平分线相交于点F． ①求与之间的数量关系，并说明理由； ②若，，将直线绕点N以每秒的速度顺时针旋转，直线旋转后的对应直线：同时射线绕点P以每秒的速度逆时针旋转，射线旋转后的对应射线，当直线首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t秒后直线恰好平行于，请直接写出所有满足条件的t的值． 14．（24-25七年级下·全国·期末）【问题情境】（1）如图1，，，求度数． 小明的思路：过P作，通过平行线性质来求． 按小明的思路，易求得的度数为 度． 【问题迁移】（2）如图2，，点P在射线上运动．记，． 当点P在 B、D两点之间运动时，问：与，之间有何数量关系？请说明理由； ②若点P在线段或射线上运动，（不与O、B、D三点重合），请直接写出与，之间的数量关系． 【拓展创新】（3）图3为北斗七星的位置图，将其抽象成图4，并将北斗七星分别标为A、B、C、D、E、F、G，顺次连接各点，天文小组发现线段恰好经过点G，且，，，请你根据这些信息求出的度数． 15．（24-25七年级下·广西南宁·期末）【实践与探究】 在校园科技节上，宁宁同学用一副三角板，做模拟机器人机械手臂的实验．用三角板模拟可任意伸展方向的机械臂，，，；用另一块三角板模拟固定关节底座，，．他用直线和直线模拟机器人机械手臂安装的基准线，其中，将三角板平稳放置，使边在直线上，就像机械臂的基座固定在平台上，再调整三角板的位置，使三角板的顶点C落在直线上．在模拟机械臂的运动过程中，他遇到了一系列有趣的问题： (1)当两块三角板按图1的位置摆放时，点C，E，A，D在同一直线上，则三角板的边与所成的 °； (2)为了更深入探究机械臂多角度运动，他将三角板绕点C逆时针转动一定角度，设三角板的边与三角板的边相交于点O． ①如图2，当转动三角板到的位置时，求的度数； ②如图3，在转动过程中，他还发现的值为定值，请求出这个定值； (3)如图4，将直线向上平移一定距离，以点C，A，E，D四点共线为初始位置，继续将三角板绕点C逆时针转动，直到边与模拟基准线首次重合时，三角板停止运动．在这个转动过程中，设的度数为，那么当取何值时，三角板的边与三角板的边平行？请直接写出符合条件的的值． ( 地 城 考点0 4 平行线中的拐点问题 ) 16．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期末）已知直线， 直线分别交于点M、N．P是之间的一点，且位于直线左侧，连接． 【基础探究】 （1）①如图1，若， 则∠的度数为 度； ②在图1中探究和的数量关系，并说明理由． 【迁移应用】 直接运用(1)中的结论，解决下列问题： （2）如图2，若平分，平分，交的延长线于点Q，，则的度数为 度． 17．（24-25七年级下·河北·期末）【发现】如图1，平分，平分． 当时，与的位置关系是　　　； 当时，与的位置关系是　　　； 当时，请判断与的位置关系，并说明理由； 【探究】如图2，，是上一点，保持不变，移动顶点，使平分，与存在怎样的数量关系？并说明理由． 【拓展】如图3，，为线段上一定点，为直线上一动点，且点不与点重合．直接写出与的数量关系． 18．（24-25七年级下·湖南·期末）阅读材料，完成问题． 三角形的内角和 小学的时候，我们就知道三角形的内角和是，学习了平行线之后，可以用如下方法推导证明出“三角形内角和等于．” 方法一：如图①，已知：，求证：．证明：如图②，过点作直线， ， ，． ， ． 方法二：……． 【发现】（1）方法一是用平行线的性质将三角形内角和问题转化为一个平角，这体现了数学中的______思想； 【探究】（2）请类比方法一，用平行线的性质，换一种方法推导出三角形内角和． 【延伸】（3）如图③，，是，之间一点，平分，点在上，连接，，且．请写出与的数量关系，并说明理由． 19．（24-25七年级下·全国·期末）【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线、的反向延长线交于主光轴MN上一点P． 小明得出：、和三个角之间存在的数量关系是． 【分析问题】我们学习过平行线的性质，利用平行线的性质可以把分成两部分进行研究． 【解决问题】请你帮小明解决这个问题，并说明理由． 【举一反三】 （1）如图①，若，，则__________度； （2）如图②，已知，点、分别是、上的点，点位于上方，，．用含α和β的代数式表示下列各角． ①求的大小； ②如图③，在图②的基础上，若和分别平分和，则的大小． 20．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知：，一块直角三角板中，，将三角板如图所示放置，使顶点C落在边上，经过点D作直线交边于点M，且点M在点D的左侧． (1)如图1，若，则___________°； (2)若的平分线交边于点F， ①如图2，当，且时，试说明：； ②如图3，当保持不变时，试求出与之间的数量关系． ( 地 城 考点0 5 三角板摆放问题 ) 21．（24-25七年级下·山东日照·期末）综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践课上，同学们以“一副直角三角板和两条平行线”为背景开展数学活动．已知直线，在直角三角板与中，，，． 【操作发现】 （1）如图1，直角三角板的顶点B在和之间，在绕点B转动三角板的过程中，两直角边分别与，交于点M，N，且夹角分别是和，经过反复操作，发现和之间存在固定的数量关系，这个数量关系是______． 【深入探究】 （2）如图2所示，将图1中的三角板的直角顶点B放在上，与交于点P，与的夹角为，与的夹角为，试探究和的数量关系并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，固定三角板，使边与直线重合，将三角板固定点C（点C在的延长线上），且在两条平行线，之间任意摆放，设的度数为，试探究：在摆放的过程中，当x为何值时，三角板的边与三角板的一条边平行？直接写出所有符合条件的x的值． 22．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合在一起放置，其中，，，． (1)求证； (2)试判断与之间的数量关系，并证明； (3)将三角板固定不动，改变三角板的位置，但始终保持两个三角板的顶点重合．当三角板的边与平行或和重叠时，三角板可以有几种不同的放置位置？请在备用图中画出其中一种，并求出此时的度数． 23．（24-25七年级下·广东潮州·期末）在七年级的“平行线的性质与判定”的学习中，我们常借助于三角板来研究其相关知识，现有一副三角板如图1所示，其中，，，请同学们结合已有的知识及活动经验，解决下列问题： 【初步感知】 (1)如图2，将上述三角板的直角顶点重合在一起，当时，______． 【自主探究】 (2)如图3，当平分时，请写出图中两条平行的直线，并说明理由． 【探究拓展】 (3)将一副三角板如图4所示摆放，直线，若三角板不动，而三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，求当旋转到时，t的值是多少？ 24．（24-25七年级下·河南漯河·期末）数学社团的同学以“两条平行线，和一块含角的直角三角板（，）”为主题开展数学活动，已知点E，F中只有一个点落在直线和之间． (1)观察猜想：如图1，把三角板的角的顶点E，G分别放在，上，若，则的度数为________； (2)类比探究：如图2，把三角板的锐角顶点G放在上，且保持不动，绕点G顺时针转动三角板，若点E落在和之间，且AB与EF所夹锐角，则的度数为________； (3)解决问题：把三角板的锐角顶点G放在上，在绕点G顺时针旋转三角板的过程中，若（），请求出的度数． 25．（24-25七年级下·黑龙江七台河·期末）【发现问题】数学学习需要多动手勤动脑，“勤奋小组”在数学学习过程中充分利用三角板这一学习工具，发现这一副三角板中有“大学问”．将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，，，），当且点E在直线的上方时，将三角形固定不动，改变三角形的位置，但始终保持两个三角板的顶点C重合． 【提出问题】在这个变化过程中，是否存在其中一个三角形的一条边与另一个三角形的一条边平行呢？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由． ( 地 城 考点0 6 倍长中线模型 ) 26．（24-25七年级下·河北保定·期末）方法探索 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． (1)嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题．延长到点E，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围，请你根据嘉嘉的思路写出完整解答过程问题解决 (2)由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： 如图2，在中，点D、E在上，且，过E作与相交于点F，且．求证：平分． 27．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图，中线的取值范围是多少？第一组经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空． 【探究方法】 ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化到中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是___________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题拓展】 （2）如图2，与互补，连接、，E是的中点，试说明：． ①根据上题总结的方法，我们考虑倍长中线构造全等三角形 解：如图，延长至，使，连接． 因为是的中点 所以 在和中 所以 ②根据①中的条件，可以得到，下面只需说明，就能得到，请同学们根据提示补全证明过程． （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．那么的面积是___________（请直接写出答案） 28．（24-25七年级下·广东深圳·期末）在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法． 【特例分析】例如：在中，，，点是边上的中点，怎样求的取值范围呢？我们可以延长到点，使，然后连接（如图①），这样，在和中，由于，，，接下来，在中通过的长可求出的取值范围． （1）在图①中，中线的取值范围是______． 【拓展探究】 （2）应用上述方法，解决下面问题： 如图②，在中，点是边上的中点，点是边上的一点，作交边于点，连接，若，，请直接写出的取值范围． 【推广应用】 （3）如图③，在四边形中，，，点是中点，点在上，且满足，，连接、，请判断与的位置关系，并证明你的结论． 29．（24-25七年级下·江西赣州·期末）综合与实践 【问题情境】课外数学社团开展活动时，指导老师提出了如下问题：如图1，在中，若，为边上的中点，试求中线长的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下解决方法：如图，延长到点，使，连接．请根据小明同学的方法思考： （）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是_______． ．    ．      ．       ． （）求中线长的取值范围． 【解决问题】 （）老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图，和都是等腰直角三角形，，是的中线，若，求的长． ( 地 城 考点0 7 一线三等角模型 ) 30．（24-25七年级下·四川成都·期末）【问题初探】 （1）如图，在中，，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．猜想，，有何数量关系，并给予说明； 【变式探究】 （2）如图，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图所示，以的边为一边向外作和，其中，是边上的高．延长交于点H，设的面积为，的面积为，猜想大小关系，并说明理由． ． 31．（24-25七年级下·上海崇明·期末）（1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，且有于点于点，猜想与之间满足的数量关系，并说明理由． （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为___________． （3）如图3，，，，连接，，且于点与直线交于点．若，求的面积． 32．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）（1）观察理解：如图①，中，，，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，，，垂足分别为D，E，试说明：． （2）理解应用：如图②，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积______； （3）类比探究：如图③，中，，，过点A作于点A，，连接，求的面积． 33．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）【材料阅读】小红在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放运副三角板：如图：在中，，；在中，，所以，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，设垂足为，过点作，垂足为． (1)①图1中，，，求的长，请补充小红的过程． ∵， ． ． ， ． （补充小红的过程） (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，，猜想之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，求的面积． 34．（24-25七年级下·山西晋中·期末）综合与实践 数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，． (1)如图1，若，点D、A、E在直线m上，，则与的数量关系为______，与的数量关系为______． (2)如图2，若，点D、A、E在直线m上，，试判断线段和的数量关系，并说明理由． (3)如图3，若，，，E是中点，点P在线段上以的速度由点B到点C运动，同时点Q在线段上由点C到点A运动，它们运动的时间为，当点Q的运动速度为多少时，能使与以C、P、Q三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果） ( 地 城 考点 08 共顶点的等腰三角形问题 ) 35．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）综合与实践 数学活动课上，老师带领同学们以三角形为背景，探究线段之间的关系， 【问题情境】 已知，在中，，是射线上一动点，点在的右侧，线段，且． 【实践探究】 （1）如图1，这是“团结小组”探究画出的图形，并得到的数量关系，请给予证明． （2）如图2，这是“雄鹰小组”探究画出的图形，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由． 【拓展应用】 （3）“钻研小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，请直接写出线段，，之间的数量关系． 36．（24-25七年级下·山东济南·期末） 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 37．（24-25七年级下·山东济南·期末）（1）【问题初探】 某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 已知，，，请在图1和图2中选择一个模型证明． （2）【内化迁移】 在中，，，点D为射线上一动点（点D不与点B重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，． ①如图3，当点D在线段上时，过点E作于F，求的长度； ②如图4，连接，交直线于点M，点D在运动过程中，若，请直接写出的长． 38．（24-25七年级下·山西运城·期末）综合与探究 在和中，，，． 【模型呈现】 （1）如图1，A，O，D三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，设，相交于点P，，相交于点Q，若，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，M，N分别为，的中点，连接，，，试说明且． 39．（24-25七年级下·山东威海·期末）【操作判断】将两个等腰直角三角形纸板（和）如图Ⅰ放置，直角顶点A重合，点D在边上，连接． （1）对于如下结论，正确的是 ；（填写序号） A．；B．；C．． 【变化探究】对“操作判断”作如下探究： （2）如图Ⅱ，若点D在边的延长线上，写出间的数量关系，并写明理由； （3）如图Ⅲ，若点D在边的延长线上，直接写结论： ①间的数量关系是 ； ② °． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $