河南信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高三下学期考前测试（B）数学试题

**基本信息** 立足高考三模定位，融合文化传承与创新情境，以雷锋精神概率题、心形曲线性质探究等设计，考查数学眼光与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、向量、概率等|结合文化情境（题4）与几何直观（题8）| |多选题|3/18|统计、函数性质、圆锥曲线截面|注重逻辑推理（题9）与空间观念（题11）| |填空题|3/15|导数、圆方程、向量旋转|考查数学语言表达（题14）| |解答题|5/77|解三角形、数列、导数、立体几何翻折、圆锥曲线|突出综合应用（题18翻折问题）与模型观念（题19轨迹探究）|

河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高三下期三模测试（B） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B C B B A B A BC ABC ABC 12．81 13． 14． 15．（1）∠A=；（2）AC边上的高为． 【分析】（1）方法一：先根据平方关系求,再根据正弦定理求，即得； （2）方法一：利用诱导公式以及两角和正弦公式求，即可解得边上的高． 【详解】（1）［方法一］：平方关系＋正弦定理 在中,∵.由正弦定理得      ［方法二］：余弦定理的应用 由余弦定理知．因为，代入上式可得或（舍）．所以，又，所以． （2）［方法一］：两角和的正弦公式＋锐角三角函数的定义 在△ABC中， ∵=． 如图所示，在△ABC中，∵sinC=，∴h==， ∴AC边上的高为． ［方法二］：解直角三角形＋锐角三角函数的定义 如图1，由（1）得，则． 作，垂足为E，则，故边上的高为． ［方法三］:等面积法 由（1）得，易求．如图1，作，易得，即．所以根据等积法有，即， 所以边上的高为． 【整体点评】（1）方法一：已知两边及一边对角，利用正弦定理求出； 方法二：已知两边及一边对角，先利用余弦定理求出第三边，再根据余弦定理求出角； （2）方法一：利用两角和的正弦公式求出第三个角，再根据锐角三角函数的定义求出； 方法二：利用初中平面几何知识，通过锐角三角函数定义解直角三角形求出； 方法三：利用初中平面几何知识，通过等面积法求出． 16．(1)证明见解析 (2)99 【分析】（1）对原等式进行化简，根据等比数列的定义判断证明即可. （2）先根据等比数列的通项公式计算，然后利用等比数列前项和公式计算结果即可. 【详解】（1）由题意，数列满足，可得， 可得，即， 又由，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列． （2）由（1）可得，所以， 设数列的前项和为， 则 ， 若，即，因为函数为单调递增函数， 所以满足的最大整数的值为． 17．(1) (2) 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 18．(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析 （ii） 【分析】（1）要证明线线垂直，可证明垂直于含有的平面即可. （2）（i）建立空间直角坐标系，利用已知条件将点的坐标表示出来，然后将平面的法向量求出来，最后利用向量的数量积是否为0即可证明；（ii）将平面的法向量求出来，基于（i）中求出的平面的法向量，利用两个法向量的数量积公式可将两平面的夹角余弦值求出来，进而可求得其正弦值. 【详解】（1）证明：取的中点，连接. 因为为等腰三角形，点为的中点， 所以，因为四边形为菱形， 所以，所以. 因为四边形为菱形， 所以为等边三角形，所以，进而. 又，所以平面， 又平面，所以. （2）（i）以为原点，以及垂直于平面的直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 因为，二面角的大小为120°，所以. 则，，，，，. 所以. 设平面的法向量为，则 ，所以，令，则. 所以. 所以与平面的法向量垂直，所以平面. （ii），，设平面的法向量为， 则，所以，令，则 ，所以. 所以. 所以平面与平面夹角的正弦值为. 19．(1) (2)（i）证明见解析；（ii）存在， 【分析】（1）设，将题设中的几何性质代数化后可求的方程； （2）（i）设，联立直线方程后可用的坐标表示，再设的直线方程，并联立双曲线方程，消元后结合韦达定理化简可得定值；（ii）根据四点共圆可得对角互补，从而，结合（2）中结果化简前者可求. 【详解】（1）设，由题意可知， 化简整理得：， 故的方程为. （2）（i）由题意可知，设， 则直线，直线， 因为在直线上，所以，代入直线方程，可知， 故点的坐标为，同理可得点的坐标为. 当直线斜率不存在时，显然不符合题意， 故设直线，代入双曲线方程中， 可得， 所以， 又 ， 所以. （ii）由四点共圆可知，， 又，即， 故， 即，所以. 所以，又，由， 则，整理可得， 所以， 故，即，所以点坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高三下期三模测试（B） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是 A．（–∞，1） B．（–∞，–1） C．（1，+∞） D．（–1，+∞） 3．设，均为单位向量，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．雷锋精神是我国宝贵的精神财富．2020年3月份，某班从甲、乙等5名学生中随机选出2人参加校团委组织的“扶贫帮困”志愿活动，则甲被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 5．如图，某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如果正方体的棱长是，那么石凳的体积是（    ） A． B． C． D． 6．将函数图象上的点向左平移（） 个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ） A．，的最小值为 B．，的最小值为 C．，的最小值为 D．，的最小值为 7．已知两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列.这个新数列的各项之和为（    ） A．1470 B．1472 C．1882 D．1642 8．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）.给出下列三个结论： ①曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线上任意一点到原点的距离都不超过； ③曲线所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．下面说法正确的是（   ） A．若数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差为4 B．若是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等 C．已知是随机变量，则 D．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1 10．已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 11．在圆锥中，轴截面是边长为2的等边三角形，是的中点.用一个平面截圆锥，下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点A）、抛物线的一部分、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则（ ） A．圆的面积为 B．椭圆的长轴长为 C．抛物线的焦点到准线的距离为 D．双曲线的离心率为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．设，则_________. 13．圆心在直线上，并且经过圆与圆交点的圆的方程为____________． 14．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，点，把点绕点沿逆时针方向旋转后得到点，则点的坐标为__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）在中，． （1）求； （2）求边上的高． 16．（15分）已知数列的首项，且满足． (1)求证：数列为等比数列． (2)若，求满足条件的最大整数n． 17．（15分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 18．（17分）如图甲，多边形是由一个等腰三角形和一个菱形组成，其中.现将沿翻折，点翻折到点的位置，得到四棱锥如图乙所示. (1)求证:； (2)如图乙，若二面角的大小为点为的重心，点在线段上，且. (i)求证:平面; (ii)求平面与平面夹角的正弦值. 19．（17分）在平面直角坐标系中，点到点的距离是它到直线距离的倍，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)设点为的下顶点，直线过点且垂直于轴（位于原点与上顶点之间），过的直线交于两点，直线分别交于两点. （i）证明：为定值； （ii）是否存在实数使得四点共圆？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $