河南开封市祥符区第四高级中学等校2026届高三考前自测数学试题

高三数学参考答案、提示及评分细则 1.A由AB,得1=2-a或1=a十1，即a=1或a=0.当a=0时，A={0,1},B={0,2,1},A二B,符合题意；当a=1 时，A不满足元素互异性，不符合题意.故选A. 2B=六=-号多一（日-）-(-吉+）=骨1放选 3Dc=加+h=A(-1,2)+a(3,-2)=(-X+34,2x-20)=5,-2,所以{A+3m=5, 入=1 2λ-24=-2， 解得 = 。所以入十= 3.故选D. 4书当1时，不合恩意：当1时5=2,82，所以学=1十=-，所以-2代人8 1-g a(1+q十)=-3，得a=-1.故选B. 瓦B设A(),BC2),币2 。得y2-my-2=0,△=m2+8>0,所以y+=m,y=-2,AB1= √/1十m|y一2=√1+m√(y十y2)2一4y2=√1+m√m+8=3√2，所以m2=1,所以原点O到直线l的距 离为产品见微法取 6.C因为x2+2x+y2=0,所以(x+1)2+y2=1,令x+1=cos0,y=sin0,3.x+4y=3(-1+cos0)+4sin0=4sin0+ 3cos0-3=5sim(0叶g)-3,其中am9=圣，所以3x+4y的最大值为5-3=2放选C 7D由Ssa十如号ms十co今6号，得sa+sm3计nemg爱osa十ow9计2c0sams产票，两试相 加，得2+2os(a-B)=9,即os(a-月)=专，又osa-=2co2-1,-吾<a-B<受，所以os28 0.故选D 310 &A设01，令g)=加一h1+).则g()=ms十=1-2sm音十令m)=snx一x,因为 m'(x)=(sinx-x)'=cosx-1≤0，所以m(x)为减函数，当0<x<1时，m(x)<m(0)=0,即0<sinx<x,所以 m音<（受）广as>1-专g)>1-号-中=装卫，当0<<1时，g(x)>0g)在 21+x) 0,1)上单调递增，g()>g0)=0,即sim>血1+x),将x=号代人，得sin号>n(1+号)=-h吾，所以6>a: 令n(x)=e-x-1,n'(x)=e-1,当0<x<1时，e>e=1,n'(x)>0,所以n(x)在(0,1)上单调递增，n(x)>n(0) =0,即e-1>x,又sinx<x,所以e-1>sinx,将x=号代人得c=E-1>sin号，即c,所以a<bc.故选A. 9.ACf(x）=2中=2+占，函数了(x)的图象可由y-上的图象向右平移一-个单位，然后所得图象再向上 x-1 平移两个单位而得到，所以)的图象关于点(1,2)对称，放A正确：y=二的图象关于直线y=一x对称，将直线)y 一x向右平移一个单位，然后再向上平移两个单位得到直线y=一x+3,所以函数∫(x)的图象关于直线y=一x十3对 称，放B正确：x)=2+,因为，≠0，所以的值域为(-©，2U(2,十∞)，故C正确；函数f(x)= x-1 在（一∞，1）和(1，+∞)上单调递减，但f(0)<f(2),所以∫(x)在定义域上不单调递减，故D错误.故选ABC 10BD西数了)图象的两个相邻对称中心之间的距离为号-无一，所以。=1，放A结误，因为将函数x)的图象 向右平移号个单位长度，所得的函数图象关于原点对称，所以f(x一吾)=cs[(x一晋)十登]=cs(a一答+晋)， 所以-等+音=受十，n∈乙，w一31一受，已知w>0,所以当”=一1时，w的最小值为受，放B正确：因为函数 x)在（任，受）上单调递增，所以必有受-子=晋<召-吾解得0<w≤4，因为骨<r<受，所以警+音<十 【高三数学参考答案第1页（共4页）】 5/2-G +≥2m w≥8k-16 3 琴<贤+苓，由题意知 解得 又0<w≤4，k∈Z,所以k=1,w的取值范围是 受+吾≤r.kEZ. (0K4k-2 [号，号]，故C帽误：由0<<x,得受<十苔<m十学因为f)在(0，)上恰有两个极值点和三个零点，所以 受<wx十子<3x,解得吕<<号，故D正确.放选BD 11.ABD因为A它=2F市-2E元，所以F,E是对角线AC的两个三等分点，令AC=3a,则BC=√(3a)2-2= .由△c△EC利聚票即Y一部得4厚三装检以ACD的外接球的半径水 3a =之AC=号，其表面积为4红R=6,枚A正确：三棱锥以-ACD的底面△ACD的面积为定值，欲使三棱锥B-ACD 的体积最大只需其高最大，所以当仁面角AC-D为直角时，高为B配=DF=√BC-(CE-29,此时Vm 专×分×2×厄×2-2放书正确：因为防-驼+序+市1亦，萨1市。二面角g-AC-D为直二面 角，所以EL市.BD=防=√公++F=√部++励=一，故C错误：肉为V =VAD,设点C到平面AB'D的距离为h,所以h=V,又os∠DAB=AB'ADBD SAABD 2AB·AD +)-() 3X26 2，故 2X2X2 -号，所以∠DAB-号又5DX2Xx-所以A 3 √14 7 3 D正确.故选ABD. 12.60(W反-二）°的展开式的通项为T=C()(-二厂=(-1D2C=0,12,…6,令3- 2r=0, 得r=2,所以（反-2）广的展开式中常数项为(-1）C×2=60, 18.(号，1)U(2,+oo)由f)=号2-ar+(3a-2)十5过的两个极值点都为正数，得f)=t-2a+3a-2=0 A=4[(-a)2-(3a-2)]>0 有两个不同的正根，所以{2a>0, 解得号<a<1,或a>2,即实数a的取值范围是 3a-2>0, (号，1U(2,+∞). 14.(1,3)设△AFF和△BFF的内切圆半径分别是n,n,圆心分别是O,O,已知△AFF2内切圆的面积是 △B那B内切圆的面积的4倍，所以码=4，n=2n,设△AF,F的内切圆切x轴于H,由双曲线的定义知AF一 π |AF2|=2a,由切线长定理知HF|一|HF2|=2a,所以点H的横坐标为a,即点H是双曲线的右顶点.同理可得H 也是△BFF2的内切圆与x轴的切点，连接OO2,OF2,O2F2,则O,O2⊥x轴，不妨设A在第一象限，设直线AB的倾 斜角为0，则∠0PBH=,∠0RH=号，FH=c-a,所以n=0H=(c一a)am2,n=0H -aam号，因为n=2a所以an号-号，am 2tan2 1-tan20 =2E,又名<km=2E,所以e==√1+() 2 <√1+(22)=3，又>1，所以e∈(1,3). 15.解：(1)由题意知E(X)=(-10)×0.1+0×0.3+10×0.4十30×0.2=9，… … 3分 E(Y)=0×0.3+10×0.5+20×0.2=9.. …6分 (2)D(X)=E(X)-(E(X))2=(-10)2×0.1+02×0.3+102X0.4+302X0.2-92=149,…9分 D(Y)=02X0.3+102X0.5+202X0.2-92=49,…12分 所以D(X)>D(Y). 13分 【高三数学参考答案第2页（共4页）】 5/2-G 16解：0由BmB叶mC及正孩定理，得恶AB识昌+忠代 cos B cos C' 1分 所以sin Ceos B sinA=sin Beos Ccos Bsin C,即，sin A=sim(B+C. cos Bcos C sin Ccos B cos Bcos C' 3分 因为△ABC为锐角三角形，所以cosB>0,且sin(B+C)=sinA>0, 所以sinC=cosC,tanC=l, 5分 又C∈(o,受)，所以C=平 …6分 b c ②由正孩定理，得AmBm心 2_=22,所以a=22sinA,b=22sinB,…8分 所以S=anC-号ah=2 in Asin=2snAn(x-子-A）=2 2in AoA+2siA=Esn(2A-F)+1 10分 因为△ABC为锐角三角形，所以0<A<受，0<B=是x一A<受，即于<A<受 …12分 由子<A登，得季<2A圣<经，所以m(2A-晋)的取值范周为（停，1]， 所以S的取值范围为(2,1十√2].… 15分 17.(1)证明：连接DE,DC. 因为平面CDD,C1⊥平面ABCD,平面CDD,C∩平面ABCD=CD,AD⊥DC,ADC平面ABCD, 所以AD⊥平面CDDC,… 2分 又DDC平面CDD,C,所以AD⊥DD1, 又AD⊥DC,所以∠D,DC是二面角D1-AD-C的平面角，即∠DDC=120°.…3分 因为四边形DDCC是菱形，所以∠DDC1=60°，DD=DC1,所以△D,DC是等边三角形， 又E为CD的中点，所以DE⊥CD,又CD∥CD,所以DE⊥CD,… …5分 又AD⊥CD,DE∩AD=D,DE,ADC平面ADE,所以CD⊥平面ADE, 又AEC平面ADE,所以CDLAE.… …7分 (2)解：由(1)知DE⊥平面ABCD,AD⊥DC,所以以D为坐标原点，DA,DC,DE所在直 线分别为x轴，y轴，之轴，建立空间直角坐标系如图所示. 令DA=2,则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,0,W3),C1(0,1W3).…8分 CC=(0,-1,W),D元=(0,2,0)，A2=(-2,0,5),Di=(2,2,0),…9分 令C市=1CC=(0,-t,W3)(0≤1≤1)，则D-D元+C市=(0,2-t,W3). 设m=(x1,y,≈)是平面DFB的一个法向量，则m⊥DB,m⊥DF,因为AE∥平面 DFB,所以AE⊥m, -2m十31=0， 所以m·A花=0，m…D萨=0，m·D成=0，即(2-Dy十51=0， 2.x+2y=0, 令=5，则=是=-号，所以m=(侵，-号，)，1=号 11分 CB-DA=(2,0,0),CC=(0,-1,W3), n·CB1=0,12=0, 设平面FBBC的一个法向量为n=(x2,边，2)，则 即 n.CC=0, 一2十3x2=0, 令2=1，得n=(0,5,1).…13分 设平面DFB与平面FBB1C的夹角为0， 则cos0=cosm,m1=m (2,-号）(05,1 面 m n √停)+(-)+5.++ 20 即平面DFB与平面FBB,C夹角的余弦值为四 20 15分 【高三数学参考答案第3页（共4页）】 5/2-G 1&1解：e-=√-(2)=-号c=V-6),所以2=260， 1分 22 由点(2,2)在C上，得系十存 2 =1②， 2分 联立①②得a=22,b=2,… 3分 所以椭圆C的方程为后+苦-1 …4分 (2)(i)证明：设过点N(1,0)的直线AB的方程为x=y十1，A(,y),B(2,2), (x=my+1, ,得(m2+2)y2+2my-7=0,△>0， 所以y十2= -2m 一7 m十2y=m+2 …8分 因为。 =y2-8)业8)=ym-7)+(my-72=2mwy-7(y+y) (0-8)(2-8) (x1-8)(x2-8) (x1-8)(x2-8) -7 2m‘m+2-7· -2m 1m2+2 =0, (x-8)(x2-8) 所以k+k=O,即∠NMA=∠NMB.… …10分 (i)解：Sa,8=号1 NIy.l+21ENI=1BNIy-=号+w)2-4…12分 /32m+56 4m2+7 …13分 令m+2=1≥2)80=0≥2》. 则g=-41D:2=二+2（心≥2， 15分 显然g(t)<0恒成立，所以g(t)单调递减，g(1)≤g(2), 所以当1=2，即m=0时，S取到最大值32×写=3，此时直线AB的方程为.x=1.…17分 2 18解：由)=inn,(0,受)，得f)=n+子（告）号（告）=子， …2分 所以f)的图象在点（各（答）)处的切线方程为)一得=号（。一吾).即2一36y十6厅-7次=0…4分 (2证明：令g(x)=f(）-2,则g(x)=simx+0-2,x∈(0，受)， …6分 m(x)=g'(x),m'(x)=cos + 1+2sin1-2≥2+2sin1-2>0, cos a cosx 所以m(x)=g(x)在(0，牙)上单调递增，g(x)>g(0)=0.… …8分 所以g(x)=f(x)-2在(0，受)上单调递增，g(x)>g(0)=0,所以f()>2.… 10分 (3)证明：由(2)知f(x)>r,即x∈(0，牙)时，sin atan>x2, 所以sinx+tanx≥2√sin ctan x>2x. 12分 令x=nnN,则x(0,受)， 1 代人上式得a.-mm十mn>a子D>m+w+万2(2)， 2 所以S=a+ai+…叶a>2[k+3十…+w+n+2] 1 =2[(合3)+（合）++(h)]=2(合+2)并2 所以S>n+2 17分 【高三数学参考答案第4页（共4页）】 5/2-G高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：高考范围。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知集合A=(a,1),B=(0,2-a,a十1)，若A二B,则实数a= A.0 B.1 C.0或1 D.2 2若复数=桌则。一 A.Si B-1 c号 D-号 3.设向量a=（一1,2)，b=(3,一2)，c=(5,一2)，若c=a十b,λ，4∈R,则λ十μ= A-3 B.-2 C.2 D.3 4.若等比数列(an)的前n项和为Sn,且S3=一3，S6=21,则a1= A.-2 B.-1 C.2 D.3 5.若抛物线E:y2=x和直线l:x=my十2交于A,B两点，且|AB|=3√2，则原点O到直线L的距离为 A.2 B.√2 C.2√2 D.4 6.若实数xy满足x2+2x十y2=0,则3x十4y的最大值为 A.3 B.5 C.2 D.2√2 7已知血a十如2 cos a+-cos B=6/2 5 A都是锐角，则cos2- A.-30 B.-y10 10 10 c D 8,设a=-h吾，6=sin号，c=0-1,则a6,c的大小关系是 A.a<b<c B.c<6<a C.b<a<c D.c<a<b 【高三数学第1页（共4页）】 5/2-G CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数x)-红则 A.f(x)的图象关于点(1,2)对称 B.f(x)的图象关于直线y=一x十3对称 C.f(x)的值域为(-∞，2)U(2,十) D.f(x)在定义域上单调递减 10.设函数f(x)=cos(r+)(w>0),则下列说法正确的是 A.若函数f(x)图象的两个相邻对称中心之间的距离为π，则ω=2 B若将函数f(x)的图象向右平移否个单位长度，所得函数图象关于原点对称，则ω的最小值为号 C若函数f(x)在（骨·受）上单调递增，则如的取值范围是[2，] D,若函数f(x)在(0，x)上恰有两个极值点和三个零点，则w的取值范围是（侣，号】 11.如图1，矩形ABCD中，AB=2,过B,D向对角线AC作垂线，垂足分别为E,F,且AE=2F它=2EC 将△ABC沿AC翻折，得到三棱锥B-ACD,如图2，则下列说法正确的是 图1 图2 A.三棱锥B'-ACD的外接球的表面积是6π B三棱锥B-ACD体积的最大值为2 C二面角B-AC-D为直二面角时，BD的长为 D.二面角B-AC-D为直二面角时，点C到平面AB'D的距离为2y四 7 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(丘-是)°的展开式中常数项为 13.若函数f(x)=了x-ar2+(3a-2)z十5a2的两个极值点都为正数，则实数a的取值范围是 14已知双曲线C荐-芹=1(a>0,6>0)的左右焦点分别为R,F,过点，的直线与C的右支交于 A,B两点，△AF1F2内切圆的面积是△BFF2内切圆的面积的4倍，则C的离心率的取值范围是 【高三数学第2页（共4页）】 5/2-G CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 某公司考察了A,B两个项目进行投资，记A,B两个项目的利润分别为X(万元)，Y(万元)，经过风 险评估，得到X,Y的分布列如下： X(万元) -10 0 10 30 Y(万元) 0 10 20 内 0.1 0.3 0.4 0.2 P 0.3 0.5 0.2 (1)求A,B两个项目的利润的期望； (2)求A,B两个项目的利润的方差，并比较方差的大小. 16.(本小题满分15分) 在锐角△ABC中，角A,B.C所对的边分别为a,bc,且o0B=tanB+anC (1)求角C的大小； (2)若边c=2,求△ABC的面积S的取值范围. 17.(本小题满分15分) 如图，平行六面体ABCD-A1B,CD1的所有棱长都相等，平面CDDC⊥平面ABCD,AD⊥DC,二 面角D1-AD-C的大小为120°，E为棱C1D的中点. (1)证明：CD⊥AE; D (2)若点F在棱CC1上，AE∥平面DFB,求平面DFB和平面FBB,C1夹角 的余弦值. 【高三数学第3页（共4页）】 5/2-G CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 18.(本小题满分17分) 已知椭圆C:爱+长-1(a>6>0)的左焦点为R,C的离心率为号，且C过点(2W2). (1)求椭圆C的方程： (2)已知M(8,0),N(1,0),过点N的直线与C交于A,B两点(A,B不在x轴上). (I)求证：∠NMA=∠NMB: (I)求△F1AB面积的最大值. 19.(本小题满分17分) 设函数f(x)=sin,z∈(o,受) (1)求f(x)的图象在点（否，f)处的切线方程； (2)证明：f(x)>x2; 1 1 (3)设a,=sinm+十tann十n∈N,数列(a,)的前n项和为S,证明：S,>n干2 【高三数学第4页（共4页）】 5/2-G CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP