8.1.2　全概率公式 8.1.3　贝叶斯公式课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦全概率公式与贝叶斯公式，先结合古典概型梳理全概率公式“由原因推结果”的内涵，再通过条件概率过渡到贝叶斯公式“由结果溯原因”，构建从基础到应用的学习支架。 其亮点在于以“问题情境—公式推导—实例应用”为主线，通过摸球、民意调查等生活化案例，培养学生用数学眼光抽象概率模型，用数学思维进行逻辑推理。题型分层设计并附规律方法总结，学生能高效掌握解题策略，教师可直接用于课堂教学提升效率。

第8章　概率 8.1.2　全概率公式　 8.1.3　贝叶斯公式 【课标要求】 1.结合古典概型,会利用全概率公式计算概率. 2.了解贝叶斯公式. 要点深化·核心知识提炼 知识点一　全概率公式 若事件A1,A2,…,An两两互斥,且它们的和Ai=Ω,P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对于Ω中的任意事件B,有P(B)=P(Ai)·P(B|Ai). 这个公式称为全概率公式. 名师点睛 1.由P(B)=P(Ai)P(B|Ai)不难看出,全概率P(B)被分解成了许多部分之和,它的理论和实用意义在于在较复杂情况下直接计算P(B),但B总伴随着某个Ai出现,适当去构造这一组Ai往往可以简化计算. 2.另一个角度理解全概率公式:(1)某一事件B的发生有各种可能的原因(i=1,2,3,…,n),如果B是由原因Ai所引起的,那么事件B发生的概率是P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai).(2)每一个原因都可能导致B发生,故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和,即全概率公式.(3)由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”,每个原因对结果的发生有一定的“作用”,即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.全概率公式表达了它们之间的关系. 知识点二　贝叶斯公式 若事件A1,A2,…,An两两互斥,且A1∪A2∪…∪An=Ω,P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对于Ω中的任意事件B,P(B)>0,有P(Ai|B)P(B)=P(B|Ai)P(Ai). 因此P(Ai|B)=. 再由全概率公式得P(Ai|B)=. 这个公式称为贝叶斯公式. 名师点睛 贝叶斯公式的实际内涵是,支持某项属性的事件发生得愈多,则该属性成立的可能性就愈大,在运用贝叶斯公式时,一般已知和未知条件如下:(1)A的多种情况中到底哪种情况发生是未知的,但是每种情况发生的概率已知,即P(Ai)已知;(2)事件B是已经发生的确定事实,且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知,即P(B|Ai)已知;(3)P(B)未知,需要使用全概率公式计算得到;(4)求解的目标是用A的某种情况Ai的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P(Ai|B). 在贝叶斯公式中,P(Ai)和P(Ai|B)分别称为先验概率和后验概率. 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)P(Ai)是子事件发生的概率,P(B|Ai)是在子事件发生的条件下,复杂事件B发生的条件概率.(　　) (2)事件Ai中任意两个不会同时发生.(　　) (3)贝叶斯公式可以用来描述两个条件概率之间的关系.(　　) (4)贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因.(　　) √ √ √ √ 题型分析·能力素养提升 【题型一】全概率公式的简单应用 例 1 [链接教材例3](1)现有完全相同的甲、乙两个箱子(如图),其中甲箱装有2个黑球和4个白球,乙箱装有2个黑球和3个白球,这些球除颜色外完全相同.某人先从两个箱子中任取一个箱子,再从中随机摸出一球,则摸出的球是黑球的概率是(　　) A. B. C. D. B 解析 记事件A表示“球取自甲箱”,事件表示“球取自乙箱”,事件B表示“取得黑球”,则P(A)=P()=,P(B|A)=,P(B|)=,由全概率公式得P(A)P(B|A)+P()P(B|)=.故选B. (2)某次社会实践活动中,甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3,其中甲班中女生占,乙班中女生占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率. 解 如果用事件A1表示“居民所遇到的这位同学是甲班的”,事件A2表示“居民所遇到的这位同学是乙班的”,事件B表示“居民所遇到的这位同学是女生”,则Ω=A1∪A2,且A1,A2互斥,B⊆Ω, 由题意可知,P(A1)=,P(A2)=,且P(B|A1)=,P(B|A2)=. 由全概率公式可知P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)=. 规律方法　两个事件的全概率问题求解策略 (1)拆分:将样本空间拆分成互斥的两部分,如A1,A2(或A与). (2)计算:利用乘法公式计算每一部分的概率. (3)求和:所求事件的概率P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2). 跟踪训练1(1)书架上有3本语文书,2本数学书,甲、乙两位同学先后从书架上任取一本书,则乙取到语文书的概率是(　　)　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. B 解析 用B表示“乙取到语文书”,A表示“甲取到语文书”,则P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=.故选B. (2)长时间玩手机可能影响视力,据调查,某校学生大约40%的人近视,而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1 h,这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1 h的学生中任意调查一名学生,则他近视的概率为(　　) A. B. C. D. B 解析 令A1=“玩手机时间超过1 h的学生”,A2=“玩手机时间不超过1 h的学生”,B=“任意调查一人,此人近视”,则Ω=A1∪A2,且A1,A2互斥,P(A1)=0.2,P(A2)=0.8,P(B|A1)=0.5,P(B)=0.4,依题意,P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.2×0.5+0.8×P(B|A2)=0.4, 解得P(B|A2)=,所以所求近视的概率为.故选B. 【题型二】多个事件的全概率问题 例 2 [链接教材例4]中国传统文化中,过春节吃饺子,饺子是我国的传统美食,不仅味道鲜美而且寓意美好.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子,已知甲箱中有3盒肉馅的饺子、2盒三鲜馅的饺子和5盒青菜馅的饺子,乙箱中有3盒肉馅的饺子,3盒三鲜馅的饺子和4盒青菜馅的饺子.问: (1)从甲箱中取出一盒饺子是肉馅的概率是多少? (2)若依次从甲箱中取出两盒饺子,求第一盒是肉馅的条件下,第二盒是三鲜馅的概率; (3)若先从甲箱中随机取出一盒饺子放入乙箱,再从乙箱中随机取出一盒饺子,从乙箱取出的饺子是肉馅的概率. 解 (1)设事件A=“取出饺子是肉馅”,P(A)=, (2)设事件B=“甲箱中取出的第一盒饺子是肉馅”,事件C=“取出第二盒饺子是三鲜馅”, P(C|B)=. (3)设事件D=“从乙箱取出的饺子是肉馅”.设事件A1,A2,A3分别是甲箱中取出肉馅的饺子,三鲜馅的饺子和青菜馅的饺子,P(D)=P(A1)P(D|A1)+P(A2)P(D|A2)+P(A3)P(D|A3)=. 规律方法　“化整为零”求多事件的全概率问题 (1)如图,P(B)=P(Ai)P(B|Ai). (2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i=1,2,…,n),事件B发生的可能性,就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和. 跟踪训练2甲、乙两个袋子中各装有5个大小相同的小球,其中甲袋中有2个红球、2个白球和1个黑球,乙袋中有3个红球、1个白球和1个黑球,先从甲袋中随机取出一球放入乙袋,再从乙袋中随机取出一球.若用事件A1,A2和A3分别表示从甲袋中取出的球是红球、白球和黑球,用事件B表示从乙袋中取出的球是红球,则P(B)=(　　) A. B. C. D. A 解析 易知P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=, 所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=.故选A. 跟踪训练3某工厂有四条流水线生产同一产品,已知这四条流水线的产量分别占总产量的15%,20%,30%和35%,又知这四条流水线的产品不合格率依次为0.05,0.04,0.03和0.02. (1)每条流水线都提供了两件产品放进展厅,一名客户来到展厅后随手拿起了两件产品,求这两件产品来自同一流水线的概率; (2)从该厂的这一产品中任取一件,抽取不合格品的概率是多少? 解 (1)这两件产品来自同一流水线的概率为. (2)设A表示“任取一件产品,抽到不合格品”,Bk表示“任取一件产品,结果是第k条流水线的产品”,k=1,2,3,4,由题知,P(B1)=0.15,P(B2)=0.20,P(B3)=0.30,P(B4)=0.35,且P(A|B1)=0.05, P(A|B2)=0.04,P(A|B3)=0.03,P(A|B4)=0.02,从该厂的这一产品中任取一件,抽取不合格品的概率是P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)+P(B4)P(A|B4)=0.15×0.05+0.2×0.04+0.3×0.03+0.35×0.02=0.031 5. 【题型三】贝叶斯公式的应用* 例 3 [链接教材例5]同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应,由长期的经验知,三个厂的正品率分别为0.95,0.90,0.80,三个厂供应的产品数之比为2∶3∶5,将三个厂的产品混合在一起,现取到一件产品为正品,问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大? 解 设事件A表示“取到的产品为正品”,事件B1,B2,B3分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”. 由题意知P(B1)=0.2,P(B2)=0.3,P(B3)=0.5,P(A|B1)=0.95,P(A|B2)=0.9,P(A|B3)=0.8. 由全概率公式得P(A)=P(Bi)·P(A|Bi)=0.2×0.95+0.3×0.9+0.5×0.8=0.86. 由贝叶斯公式得P(B1|A)=≈0.22, P(B2|A)=≈0.31,P(B3|A)=≈0.47.所以这件产品由丙厂生产的可能性最大. 规律方法　若随机试验可以看成分两个阶段进行,且第一阶段的各试验的具体结果未知,那么(1)若要求的是第二阶段某一个结果发生的概率,则用全概率公式;(2)若第二个阶段的某一个结果是已知的,要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率,则一般用贝叶斯公式,类似于求条件概率.熟记这个特征,在遇到相关的题目时,可以准确地选择方法进行计算,保证解题的正确、高效. 跟踪训练4现在一些大的建筑工程都实行招投标制.在发包过程中,对参加招标的施工企业的资质(含施工质量、信誉等)进行调查和评定是非常重要的.设B=“被调查的施工企业资质不好”,A=“被调查的施工企业资质评定为不好”.由过去的资料知P(A|B)=0.97,P()=0.95.现已知在被调查的施工企业当中有6%确实资质不好,求评定为资质不好的施工企业确实资质不好的概率(精确到0.01).  解 由题意可得P(B)=0.06,P(A|B)=0.97,P()=0.95,所以P(A|)=1-P() =1-0.95=0.05,P()=1-P(B)=1-0.06=0.94,P(B|A)=≈0.55. $