8.1.3 贝叶斯公式（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第二册)

8.1.3 贝叶斯公式 主讲： 苏教版2019选择性必修第二册 第8章概率 苏教版2019选择性必修第二册 学习目标 目标 1 重点 2 1.贝叶斯公式的含义、结构和适用条件。 2.运用贝叶斯公式解决实际问题中的概率计算，包括如何分解复杂事件、计算互斥事件的概率和条件概率。 3.熟练运用贝叶斯公式进行概率计算的方法和步骤。 难点 3 1.透彻理解贝叶斯公式的数学原理和适用条件，尤其是如何判断事件之间的互斥性和完备性。 2.针对复杂的实际问题，准确地写出样本空间、事件，并正确运用贝叶斯公式进行概率计算，避免计算错误和逻辑错误。 1.使学生深刻理解贝叶斯公式的含义、结构和适用条件，能够准确阐述其数学原理。 2.学生能够熟练运用贝叶斯公式解决实际问题中的概率计算，掌握如何将复杂事件分解为若干个互斥事件的并，以及如何计算这些互斥事件的概率和条件概率。 3.学生能够快速且准确地针对各类实际问题，写出相应的样本空间、事件，并运用贝叶斯公式进行概率计算。 新课导入 甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3 个红球，先随机取一只袋，再从该袋中随机取一个球，问该球为红球的概率是多少？ 分析：随机取一只袋，设取到的是甲袋为事件A1， 取到的 是乙袋为事件A2， 再从袋中随机取一个球，取出的球是红球为事件B， 则事件B有两类： 取出的是甲袋且从中取出的是红球，取出的是乙袋且从中取出的是红球， 即B＝A1B＋A2B(如图)。 因为A1B与A2B互斥，所以 P(B)＝P(A1B＋A2B)＝P(A1B)＋P(A2B) 由概率的乘法公式可得： P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋ P(A2)P(B|A2) 新课导入 甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3 个红球，先随机取一只袋，再从该袋中随机取一个球，问在取到的球是红球的条件下，这个红球取自甲袋的概率是少？ 新课讲授 贝叶斯公式 一般地，当1>P(A)>0且P(B)>0时，有 这称为贝叶斯公式. 新课讲授 设A1，A2，…，An满足AiAj=⌀(i≠j)，且A1∪A2∪…∪An=Ω.若P(Ai)>0(i=1，2，3，…，n)，则对任一事件B(其中P(B)＞0)，有 新课讲授 1.贝叶斯公式 公式 称为贝叶斯公式（又称逆概率公式）． 2.贝叶斯公式的推广 设 满足 （1） ； （2） ； （3），，2， ， . 则对任一事件其中 ，由条件概率及全概率公式，有 ． 新课讲授 新课讲授 若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知，那么： (1)如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式； (2)如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率. 熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效． 归纳总结 新课讲授 典例分析 一般地，当1>P(A)>0且P(B)>0时，有 其中P(A)是根据历史数据发现的，通常称先验概率， P(A|B)是获取新信息后算出的，通常称为后验概率. 知识讲解 贝叶斯公式 新课讲授 典例分析 新课讲授 典例分析 学后总结 如果随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体怎样未知，那么： （1）若要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式； （2）若第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，则一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率. 熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效. 学以致用 1.长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校大约有 的学生近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些学生的近视率约为 .现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为多少？ 解: 用表示学生每天玩手机超过1小时， 表示学生每天玩手机不超过1小时，B表示学生近视， 由题得，， , ， 则 ， 解得 ， ∴从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，近视的概率为 . 13 学以致用 2.某一地区有0.5%的人患有某疾病，并且这种病的患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，而正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04． 现知道该地区某人的试验反应是阳性，问此人是患者的概率有多大（精确到0.01）？ 14 学以致用 3.现在一些大的建筑工程都实行招投标制，在发包过程中， 对参加招标的施工企业的资质（含施工质量、信誉等）进行调查和评定是非常重要的．设B=“被调查的施工企业资质不好”，A=“被调查的施工企业资质评定为不好”．由过去的资料知P(A|B)=0.97，P( A | B )=0.95．现已知在被调查的施工企业当中有6%确实资质不好，求评定为资质不好的施工企业确实资质不好的概率（精确到0.01）． 15 学以致用 3.现在一些大的建筑工程都实行招投标制，在发包过程中， 对参加招标的施工企业的资质（含施工质量、信誉等）进行调查和评定是非常重要的．设B=“被调查的施工企业资质不好”，A=“被调查的施工企业资质评定为不好”．由过去的资料知P(A|B)=0.97，P( A | B )=0.95．现已知在被调查的施工企业当中有6%确实资质不好，求评定为资质不好的施工企业确实资质不好的概率（精确到0.01）． 16 学以致用 4.设甲、乙、丙三个地区感染了某种流行病,三个地区感染此病的概率分别为 .现从这三个地区任抽取一个人,假设每个人来自三个地区的可能性相同. 此人感染此病的概率为　　　　　;若此人感染此病,则此人来自乙地区的概率为　　　　　.  17 典例分析 5.已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为 ，货车和客车中途停车修理的概率分 别为， ，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为( ) . B A.0.2 B.0.8 C.0.3 D.0.7 [解析] 设事件表示“汽车中途停车修理”，事件 表示“公路上经过的汽车是货车”， 事件表示“公路上经过的汽车是客车”，则，， ， ， 由贝叶斯公式，可知中途停车修理的是货车的概率 ． 典例分析 6.某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为，， ，乘火车迟到 的概率为，乘轮船迟到的概率为 ，乘飞机不会迟到，则这个人迟到的概率是_ __； 如果这个人迟到了，他乘轮船迟到的概率是_ _. [解析] 设事件表示“乘火车”，事件表示“乘轮船”，事件表示“乘飞机”，事件 表示 “迟到”，则,, ， 故，, ， ， 由全概率公式，可得这个人迟到的概率 ， 如果这个人迟到了，由贝叶斯公式可得他乘轮船迟到的概率 . 典例分析 7.在临床上，经常用某种试验来诊断试验者是否患有某种癌症，设事件 “试验结果 为阳性”，事件“试验者患有此癌症”，临床数据显示 ， .已知某地人群中患有此种癌症的占比为 ，现从该人群中随机抽取1 人，其试验结果是阳性，则此人患有此种癌症的概率为____. [解析] 由题意可得，，， ， . 典例分析 8.一道考题有4个选项，正确答案只有一个，要求学生将正确答案选择出来.某考生知道 正确答案的概率为 ，在乱猜时，4个选项都有机会被他选择，若他答对了，则他确实 知道正确答案的概率是( ) ． B A. B. C. D. [解析] 设事件表示“考生答对”，事件 表示“考生知道正确答案”， 由全概率公式得 ． 由贝叶斯公式得 ． 典例分析 9.商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为 ， ， .某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱，问这 一箱含有1只次品的概率是多少？（结果保留小数点后两位） [解析] 设“从一箱中任取4只检查，结果都是好的”，“箱中恰有件次品， ， 1，2”. 已知，， ， 则，， ， 由贝叶斯公式可得 . 典例分析 10.某病毒存在人与人之间传播的现象，即存在传，又传，又传 的传染现象， 那么，， 就依次被称为第一代、第二代、第三代传播者.假设一个身体健康的人被 第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为，， .已知健康的小明参加 了一次多人宴会，参加宴会的人中有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代 传播者，若小明参加宴会仅和1名传播者有所接触，则他被感染的概率为_____；若小 明被感染，则他是被第三代传播者感染的概率为___. 0.83 典例分析 [解析] 设事件“小明与第一代传播者接触”，事件 “小明与第二代传播者接触”， 事件“小明与第三代传播者接触”，事件 “小明被感染”， 则，， ， ，， ， 所以小明被感染的概率 . 若小明被感染,则他是被第三代感染的概率 . 课堂小结 贝叶斯公式： 25 课堂小结 贝叶斯公式（逆概率公式） P(A|M)= P(M) =P(A)P(M | A)＋P(B)P(M | B)． 将样本空间Ω分为A，B 两部分 若将样本空间Ω分为 n 部分 P(A|M)= 26 课堂小结 规律方法　1.全概率公式与贝叶斯公式的区别 (1)如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率,则用全概率公式;(2)如果第二个阶段的某一个结果是已知的,要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率,一般用贝叶斯公式. 2.利用贝叶斯公式求概率的步骤 课堂小结 全概率公式 贝叶斯公式 28 主讲： 苏教版2019选择性必修第二册 感谢聆听 例5某品牌锄草机由甲、乙、丙三个工厂生产，其中甲厂占，乙厂占， 丙厂占，且各厂的次品率分别为，，． 如果某人已经买到一台次品锄草机， 问：该次品锄草机由哪个厂出产的可能性较大？ 解　设事件：锄草机是甲厂生产的，事件：锄草机是乙厂生产的，事件犃3：锄草机是丙厂生产的，事件：买到一台次品锄草机．由题意知 由全概率公式得 由贝叶斯公式知 同理可得 答：该次品锄草机由乙厂出厂的可能性较大。 解析 由题意,所抽取的人感染此病的概率P=×()=. 若A,B,C分别表示来自甲、乙、丙地区,D表示感染此病, ∴此人感染此病且来自乙地区的概率P(B|D)=. 第一步,利用全概率公式计算P(A),即P(A)=P(Bi)P(A|Bi); 第二步,计算P(AB),可利用P(AB)=P(B)P(A|B)求解; 第三步,代入P(B|A)=求解. $$