8.1.1　条件概率课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦条件概率，涵盖概念、乘法公式及性质。通过摸球、选课等实例导入，结合古典概型搭建学习支架，帮助学生从已知概率知识自然过渡到条件概率的理解与计算。 其亮点是采用“概念辨析-性质应用-题型突破-跟踪训练”模式，结合射击、家庭孩子性别等实例，培养学生数学思维（推理与运算）和数学语言（符号表达与公式应用）。题型分类明确，规律方法总结清晰，能有效提升学生解题能力，也为教师提供系统教学支持。

第8章　概率 8.1.1　条件概率 【课标要求】 1.结合古典概型,了解条件概率,能计算简单随机事件的条件概率. 2.结合古典概型,了解条件概率与独立性的关系. 要点深化·核心知识提炼 知识点一　条件概率的概念 一般地,设A,B为两个事件,P(A)>0,我们称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率,记为P(B|A),读作“A发生的条件下B发生的概率”,即P(B|A)=(P(A)>0). 名师点睛 1.一般地,每一个随机试验都是在一定条件下进行的,这里所说的条件概率是当随机试验结果的部分信息已知(即在原随机试验的条件上,再加上“某事件发生”的附加条件),求另一事件在此条件下发生的概率. 2.通常情况下,事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的. 3.当题目涉及“在……前提下”等字眼时,一般为条件概率,如题目中没有上述字眼,但已知事件的发生影响了所求事件的概率,也是条件概率.在条件概率的表示中,“|”之后的部分表示条件. 知识点二　概率的乘法公式、条件概率的性质 1.概率的乘法公式 由条件概率的公式可知P(AB)=P(B|A)P(A).通常将此公式称为概率的乘法公式. 2.条件概率的性质 (1)P(Ω|A)=1,P(⌀|A)=0; (2)如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A); (3)设和B互为对立事件,则P(|A)=1-P(B|A); (4)若A⊆B,则P(B|A)=1. 名师点睛 1.P(B|A)∈[0,1],P(A|A)=1. 2.在研究条件概率的过程中,可能会出现P(B|A)=P(B)的情况.从直观上讲就是事件B是否发生并不会告诉我们关于事件A的任何信息,即事件B与事件A“无关”,这时我们称事件A与事件B相互独立.条件概率是事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率,计算方式为P(A|B)=.而事件A与B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B),这意味着A与B的发生没有任何关系.在相互独立的情况下,B在A这个前提下的条件概率就是B自身的概率,即P(B|A)=P(B),同样地,P(A|B)=P(A). 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) 已知A,B为两个随机事件,试判断 (1)条件概率揭示了P(A),P(AB),P(B|A)三者之间“知二求一”的关系.(　　) (2)P(B|A)=P(A|B).(　　) (3)P(B|B)=0.(　　) (4)若A,B独立,则P(A|B)=P(A).(　　) (5)若P(B|A)=,P(A)=,则P(AB)=.(　　) √ × × √ √ 题型分析·能力素养提升 【题型一】利用定义求条件概率 例 1 一个口袋内装有2个白球和2个黑球,那么 (1)先摸出1个白球不放回,再摸出1个白球的概率是多少? (2)先摸出1个白球后放回,再摸出1个白球的概率是多少? 解 (1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A,“再摸出1个白球”为事件B,则“先后两次摸到白球”为AB,先摸一球不放回,再摸一球共有4×3种结果,所以P(A)=,P(AB)=,所以P(B|A)=. 所以先摸1个白球不放回,再摸1个白球的概率为. (2)设“先摸出一个白球放回”为事件A1,“再摸出一个白球”为事件B1,两次都摸到白球为事件A1B1,P(A1)=,P(A1B1)=,所以P(B1|A1)=. 所以先摸一个白球后放回再摸出1个白球的概率为. 规律方法　利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率P(AB)和P(A). (2)将它们相除得到条件概率P(B|A)=.这个公式适用于一般情形,其中AB表示A,B同时发生. 跟踪训练1(1)某校开展了课后延时服务,要求张老师在每个星期的周一至周五选两天参加课后延时服务,则张老师在周二参加课后延时服务的条件下,周三也参加课后延时服务的概率为(　　) A. B. C. D. B 解析 记事件A表示“张老师在周二参加课后延时服务”,事件B表示“张老师在周三参加课后延时服务”,则P(A)=,P(AB)=, 所以P(B|A)=,故选B. (2)甲、乙两人向同一目标各射击一次,已知甲命中目标的概率为0.5,乙命中目标的概率为0.6,已知目标至少被命中一次,则甲命中目标的概率为(　) A.0.6 B.0.625 C.0.5 D.0.3 B 解析 记事件A为“甲命中目标”,事件B为“目标至少被命中1次”,则 P(B)=1-(1-0.5)×(1-0.6)=0.8,P(AB)=0.5×(1-0.6)+0.5×0.6=0.5, P(A|B)==0.625.故选B. 【题型二】借助古典概型概率公式求条件概率 例 2 [链接教材例1](1)某校有7名同学获省数学竞赛一等奖,其中男生4名,女生3名.现随机选取2名学生作“我爱数学”主题演讲.假设事件A为“选取的两名学生性别相同”,事件B为“选取的两名学生为男生”,则P(B|A)=(　　) A. B. C. D. D 解析 由题意得,事件A包含的样本点数n(A)==9,事件AB包含的样本点数n(AB)==6, 所以P(B|A)=.故选D. (2)假定生男孩和生女孩是等可能的,某家庭有两个小孩,若已经知道这个家庭有女孩,则这两个小孩都是女孩的概率是　　　　　.  　 解析 观察两个小孩的性别,用b表示男孩,g表示女孩,则样本空间Ω={bb,bg,gb,gg},且所有样本点是等可能的.用A表示事件“选择的家庭中有女孩”,B表示事件“选择的家庭中两个小孩都是女孩”,则A={bg,gb,gg},B={gg}.“在选择的家庭有女孩的条件下,两个小孩都是女孩”的概率就是“在事件A发生的条件下,事件B发生”的概率,记为P(B|A).此时A成为样本空间,事件B就是积事件AB.根据古典概型知识可知,P(B|A)=.故答案为. 规律方法　古典概型下的条件概率公式 在古典概型中,条件概率可以表示为P(A|B)= 解释 (1)|A∩B|:同时属于A和B的样本点数. (2)|B|:事件B的样本点数. (3)条件概率的本质是:将样本空间缩小到B的范围内,计算A发生的比例. 求解步骤 (1)明确样本空间:列出所有可能的基本事件,确保等可能性. (2)确定事件B:找出满足条件B的所有样本点. (3)确定事件A∩B:在B的范围内,找出同时满足A的样本点. (4)计算比例: P(A|B)=. 跟踪训练2(1)甲、乙和另外5位同学站成两排拍照,前排3人,后排4人.若每个人都随机站队,且前后排不认为相邻,则在甲、乙站在同一排的条件下,两人不相邻的概率为(　　) A. B. C. D. B 解析 记事件A=“甲与乙站在同一排”,事件B=“甲与乙不相邻”,则n(A)=,n(AB)=+3.由条件概率公式,得P(B|A)=.故选B. (2)小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游,每人只去一个景点,设事件A为“4个人去的景点不完全相同”,事件B为“小赵独自去一个景点”,则 P(B|A)=　　　　　.  解析 小赵独自去一个景点,则有4个景点可选,其余3人只能在小赵剩下的3个景点中选择,可能性为33=27(种),所以小赵独自去一个景点的可能性为4×27=108(种),因为4个人去的景点不完全相同的可能性为44-4=252(种), 所以P(B|A)=.故答案为. 【题型三】乘法公式 例 3 [链接教材例2]一个盒子中有6只白球、4只黑球,从中不放回地每次任取1只,连取2次.求: (1)第一次取得白球的概率; (2)第一、第二次都取得白球的概率; (3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率. 解 设A=“第一次取得白球”,B=“第二次取得白球”,则=“第一次取得黑球”,由题意得: (1)P(A)==0.6. (2)P(AB)=P(A)P(B|A)=. (3)P(B)=P()P(B|)=. 规律方法　概率乘法公式在概率计算中起着重要作用.它主要用于计算两个或多个事件同时发生的概率.具体来说,概率乘法公式可以表示为P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A),这个公式告诉我们,两个事件同时发生的概率等于其中一个事件在另一个事件发生条件下的概率乘以另一个事件本身的概率.  跟踪训练3(1)设P(A|B)=P(B|A)=,P(A)=,则P(B)等于(　　) A. B. C. D. B 解析 ∵P(AB)=P(A)P(B|A)=,由P(A|B)=,得P(B)=×2=. 故选B. (2)已知0<P(A)<1,且P(B|A)=P(B),若P()=0.6,P(B|)=0.3,则P(AB)=　　　　　.  0.12 解析 由P(B|A)=P(B)可得A,B相互独立, P()=0.6,P(A)=1-P()=0.4, 因为P(B|)=0.3,所以P(B)=0.3,所以P(AB)=P(A)P(B)=0.4×0.3=0.12,故答案为0.12. 【题型四】条件概率的性质及应用 例 4 在一个袋子中装有除颜色外其他都相同的10个球,其中有1个红球、2个黄球、3个黑球、4个白球,从中依次不放回地摸2个球,求在摸出的第一个球是红球的条件下,第二个球是黄球或黑球的概率. 解 设“摸出的第一个球为红球”为事件A,“摸出的第二个球为黄球”为事件B,“摸出的第二个球为黑球”为事件C. (方法一)P(A)=,P(AB)=, P(AC)=, 所以P(B|A)=, P(C|A)=. 所以P((B+C)|A)=P(B|A)+P(C|A)=.故所求的概率为. (方法二)已知第一个球是红球,取出后袋中剩余球数为10-1=9(个),其中黄球2个,黑球3个. 第二个球是黄球或黑球的概率可分解为两个互斥事件的概率之和: P(B|A)=,P(C|A)=, 所以P((B+C)|A)=P(B|A)+P(C|A)=. 题后反思　条件概率的性质及应用 (1)利用公式P((B+C)|A)=P(B|A)+P(C|A)可使条件概率的计算较为简单,但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”. (2)为了求复杂事件的概率,往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件,求出简单事件的概率后,相加即可得到复杂事件的概率. 跟踪训练4(多选题)一次“智力测试”活动,在备选的10道题中,甲能答对其中的6题,乙能答对其中的8题,测试时从备选的10道题中随机抽出3题由甲、乙分别作答,至少答对2题者评为“智答能手”.设甲评为“智答能手”为事件A,乙评为“智答能手”为事件B,若P(B|A)=P(B),则下列结论正确的是(　　) A.P(A|B)=P(A) B.P(|A)= C.甲、乙至多有一人评为“智答能手”的概率为 D.甲、乙至少有一人评为“智答能手”的概率为 ABD 解析 由题意,可得P(A)=,P(B)=,由P(B|A)==P(B),所以P(AB)=P(A)P(B),事件A,B相互独立,所以P(A|B)==P(A),故A正确; P(B|A)=P(B)=,由条件概率的性质得P(|A)=1-P(B|A)=1-,故B正确; 因为事件A,B相互独立,所以A与与B,也都相互独立.甲、乙都评为“智答能手”的概率P(AB)=P(A)P(B)=,所以甲、乙至多有一人评为“智答能手”的概率为1-P(AB)=1-,故C错误; 甲、乙都没有被评为“智答能手”的概率P()=P()·P()=(1-)×(1-) =,所以甲、乙至少有一人评为“智答能手”的概率为1-P() =1-,故D正确.故选ABD. $