8.2.2第1课时　离散型随机变量的均值课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦离散型随机变量的均值，涵盖定义、性质及两点分布均值等核心知识点。通过足球比赛积分等实例导入，衔接分布列知识，为后续学习提供清晰的知识支架。 其亮点在于结合蛋糕店利润决策等生活案例，用数学眼光分析现实问题，通过规范解题步骤培养数学思维，以分布列和均值计算强化数学语言表达。题型分层且有跟踪训练，助力学生理解应用，教师可高效开展教学。

第8章　概率 8.2.2　离散型随机变量及其分布列 第1课时　离散型随机变量的均值 【课标要求】 1.通过具体实例,理解离散型随机变量的均值. 2.能计算简单离散型随机变量的均值. 要点深化·核心知识提炼 知识点　离散型随机变量的均值 1.离散型随机变量均值的定义 一般地,随机变量X的概率分布列如表所示: X x1 x2 … xn 概率P p1 p2 … pn 其中pi≥0,i=1,2,…,n,p1+p2+…+pn=1,将x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn称为随机变量X的均值或数学期望,记为E(X)或μ. 2.均值的性质 若离散型随机变量X的均值为E(X),Y=aX+b,其中a,b为常数,则Y也是一个离散型随机变量,且E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.特别地,当a=0时,E(Y)=E(b)=b;当a=1时,E(Y)=E(X+b)=E(X)+b;当b=0时,E(Y)=E(aX)=aE(X). 3.两点分布的均值 一般地,如果随机变量X服从两点分布,那么E(X)=p(p为成功概率). 名师点睛 1.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,刻画的是X取值的“中心位置”,反映或刻画了随机变量取值的平均水平. 2.期望是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均.E(X)是一个实数,由X的分布列唯一确定,即作为随机变量,X是可变的,可取不同值,而E(X)是不变的,它描述X取值的平均状态.均值与随机变量有相同的单位. 3.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).如果X1,X2相互独立,则E(X1·X2)=E(X1)·E(X2). 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)E(X)是一个常数,由X的分布列唯一确定.(　　) (2)有相同均值的两个随机变量的分布列必须相同.(　　) (3)两个不同的随机变量的分布列也可能有相同的均值.(　　) √ × √ 题型分析·能力素养提升 【题型一】求离散型随机变量的均值 例 1 (1)[链接教材均值定义]设随机变量X的分布列如表所示,且E(X)=1.6,则b-a等于(　　) X 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A.0.2 B.0.1 C.-0.2 D.-0.4 A 解析 由分布列的性质可得,0.1+a+b+0.1=1,即a+b=0.8①, ∵E(X)=1.6,∴0×0.1+1×a+2×b+3×0.1=1.6,即a+2b=1.3②, 联立①②解得a=0.3,b=0.5,故b-a=0.5-0.3=0.2. 故选A. (2)[链接教材例1]足球比赛积分规则为:球队胜一场积3分,平一场积1分,负一场积0分.某足球队将迎来主场与A队和客场与B队的两场比赛.根据前期比赛成绩,该足球队主场与A队比赛:胜的概率为,平的概率为,负的概率为;客场与B队比赛:胜的概率为,平的概率为,负的概率为,且两场比赛结果相互独立. ①求该足球队主场与A队比赛获得积分超过客场与B队比赛获得积分的概率; ②用X表示该足球队与A队和B队比赛获得积分之和,求X的分布列与期望. 解 ①设事件A1=“该足球队主场与A队比赛获得积分为3分”,事件A2=“该足球队主场与A队比赛获得积分为1分”,事件A3=“该足球队主场与A队比赛获得积分为0分”, 事件B1=“该足球队客场与B队比赛获得积分为3分”,事件B2=“该足球队客场与B队比赛获得积分为1分”,事件B3=“该足球队客场与B队比赛获得积分为0分”,事件C=“该足球队主场与A队比赛获得积分超过客场与B队比赛获得积分”,P(A1B2)=,P(A1B3)=,P(A2B3)=,则P(C)=P(A1B2)+P(A1B3)+P(A2B3)=,故该足球队主场与A队比赛获得积分超过客场与B队比赛获得积分的概率为. ②由题意可知X的所有可能取值为0,1,2,3,4,6, P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,P(X=6)=, 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 6 P 故E(X)=0×+1×+2×+3×+4×+6×. 规律方法　求离散型随机变量的均值的步骤 (1)确定离散型随机变量X的取值. (2)写出分布列,并检查分布列正确与否. (3)根据公式求出均值. 跟踪训练1(1)某班级要从4名男生、2名女生中随机选取3人参加学校组织的学习小组活动,设选取的女生人数为X,则E(X)=(　　) A. B. C. D.1 D 解析 由题可知,X的可能取值为0,1,2,且P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,所以E(X)=0×+1×+2×=1.故选D. (2)甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为与p,投中得1分,投不中得0分.已知乙投球两次均未命中的概率为. ①甲、乙两人在罚球线各投球两次,求这四次投球中至少有一次命中的概率; ②甲、乙两人在罚球线各投球一次,求两人得分之和的均值. 解 ①记“这四次投球中至少有一次命中”为事件C, 则“这四次投球均未命中”是事件C的对立事件, 则P(C)=1-. ②依题意,(1-p)2=,则p=, 记“甲投一次命中”为事件A,“乙投一次命中”为事件B,则 P(A)=,P(B)=,P()=,P()=, 甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为0,1,2, P(ξ=0)=P()=,P(ξ=1)=P(A)+P(B)=, P(ξ=2)=P(AB)=, ∴两人得分之和的均值为E(ξ)=0×+1×+2×. 【题型二】离散型随机变量的均值的性质 例 2 (1)已知随机变量X,Y满足Y=2X+3,Y的期望E(Y)=,X的分布列为 X -1 0 1 P a b 则a,b的值分别为(　　) A.a=,b= B.a=,b= C.a=,b= D.a=,b= C 解析 因为E(Y)=2E(X)+3=,所以E(X)=-,则有解得a=,b=. 故选C. (2)已知随机变量X服从参数为0.3的两点分布,若Y=2X+1,则E(Y)=(　　) A.0.3 B.0.7 C.1.6 D.2.4 C 解析 随机变量X服从参数为0.3的两点分布,则E(X)=0.3,E(Y)=E(2X+1)=2E(X)+1=1.6.故选C. 规律方法　若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ=aX+b,a,b为实数.一般思路是先求出E(X),再利用公式E(ξ)=E(aX+b)=aE(X)+b求出E(ξ). 跟踪训练2(1)设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,4,P(X=k)=ak+b,若X的均值E(X)=3,则a-b等于(　　) A. B.0 C.- D. A 解析 依题意可得X的分布列为 X 1 2 3 4 P a+b 2a+b 3a+b 4a+b 依题意得 解得a=,b=0,故a-b=.故选A. (2)已知随机变量ξ(ξ>0)满足E(2-3ξ)+E2(ξ)=6,则E(ξ)=(　　) A.-1或4 B.2 C.3 D.4 D 解析 因为E(2-3ξ)+E2(ξ)=6,所以E2(ξ)-3E(ξ)-4=0,解得E(ξ)=4或E(ξ)=-1(舍去),故选D. 【题型三】均值的简单应用 例 3 [链接教材例2]某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个,每个生日蛋糕成本为60元,售价为100元.如果卖不完,剩下的蛋糕作垃圾处理,现收集并整理了该店100天生日蛋糕的日需求量(单位:个)如表: 需求量 10 11 12 13 14 15 频数 8 20 24 27 14 7 将这100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率. (1)若蛋糕店某一天制作生日蛋糕13个,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列和数学期望. (2)若蛋糕店计划一天制作13个或14个生日蛋糕,以每日销售利润的数学期望为决策依据,你认为应制作13个还是14个?请说明理由. 解 (1)设当天的需求量为n(n∈N*),则当n≥13时,利润X=40×13=520,当n≤12时,利润X=40n-60(13-n)=100n-780.所以X的取值为520,420,320,220,P(X=520)==0.48,P(X=420)==0.24, P(X=320)==0.2,P(X=220)==0.08, 所以X的分布列为 X 520 420 320 220 P 0.48 0.24 0.2 0.08 期望E(X)=520×0.48+420×0.24+320×0.2+220×0.08=432. (2)若制作14个生日蛋糕,设当天的利润(单位:元)为Y,当天的需求量为m,m∈N*, 则当m≥14时,Y=560;当m<14时,Y=100m-840.则Y可取560,460,360,260,160,P(Y=560)==0.21,P(Y=460)==0.27, P(Y=360)==0.24,P(Y=260)==0.2,P(Y=160)==0.08,期望E(Y)=560×0.21+460×0.27+360×0.24+260×0.2+160×0.08=393. 因为E(X)>E(Y),故应制作13个蛋糕. 规律方法　随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,当均值不同时,两个随机变量取值的水平可见分歧,可对问题作出判断. 跟踪训练3随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元,设1件产品的利润(单位:万元)为X. (1)求X的分布列; (2)求1件产品的平均利润(即X的均值); (3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率提高为70%.若此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少? 解 (1)X的所有可能取值有6,2,1,-2, P(X=6)==0.63,P(X=2)==0.25, P(X=1)==0.1,P(X=-2)==0.02. 故X的分布列为 X 6 2 1 -2 P 0.63 0.25 0.1 0.02 (2)E(X)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02=4.34(万元). (3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为E(X)=6×0.7+2×(1-0.7-0.01-x)+1×x+(-2)×0.01=4.76-x(0≤x≤0.29), 依题意知,E(X)≥4.73,即4.76-x≥4.73, 解得x≤0.03,所以三等品率最多为3%. $