8.2.2 离散型随机变量的数字特征（第1课时）（教学课件）数学苏教版选择性必修第二册

8.2.2 离散型随机变量的数字特征（1） ——离散型随机变量的均值 第8章 概 率 苏教版·选择性必修第二册 章节导读 8.1条件概率 8.2 离散型随机变量及其分布列 8.3 正态分布 全概率公式 贝叶斯公式 条件概率 离散型随机变量的 数字特征 随机变量及其分布列 正态分布 二项分布 超几何分布 学 习 目 标 1 2 3 使学生理解离散型随机变量的数字特征（均值、方差、标准差）的概念和意义。 学生能够掌握离散型随机变量的均值、方差和标准差的计算公式，并能根据具体问题求解这些数字特征。 学生能够运用离散型随机变量的数字特征解决实际问题，如比较不同方案的优劣、评估风险等。 一般地,随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1, x2, …, xn, 且P(X=xi)=pi, i=1, 2, …, n ，① 称①为随机变量 X 的概率分布列,简称为 X 的分布列. X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 我们将上表称为随机变量 X 的概率分布表.它和①都叫作随机变量的概率分布. ①也可以用如下表格形式表示: 1.随机变量的概率分布列 知识回顾 (1) pi≥0, i=1, 2, …, n; (2) 2.离散型随机变量的分布列具有如下性质: 随机变量X只取两个可能值0和1．我们把这一类概率分布称为0-１分布 或两点分布，并记为X～0-１分布或X～两点分布．此处“～”表示 “服从”． 3.两点分布 X 0 1 P 1-p p 知识回顾 新知导入 随机变量的概率分布完整地描述了随机变量的取值规律，但在实际问题中往往不容易求出精确的分布规律，而对于很多此类问题，并不需要了解这个规律的全貌，只要知道能揭示其分布特征的某些重要数字就够了． 问题1：离散型随机变量有哪些数字特征呢? 某种福利彩票每张面值2元，购买者可从0，1，2，…，9这10个数字中选择3个数字（可以重复）.当所选3个数字与随机摇出的开奖号码数字及顺序均相同时，可以获得500元奖金． 问题2：如果你长期购买这种彩票，那么你的收益状况如何？ 新知探究 情景分析：要了解长期收益情况，也就是要确定在购买很多次这种彩票的前提下，平均每张彩票的收益金额。 因为从0，1，2，···，9这10个数字中抽取3个数字(可以重复抽取)，共有1000种抽法，所以购买一张彩票的获奖概率为0.001。 根据条件可知，若设随机变量X为购买1张彩票时的中奖金额，则其概率分布如下表所示。 X 0 500 P 0.999 0.001 也就是说，在购买很多张彩票的前提下，平均来说，每1000张彩票中有且只有1张中奖，即中奖总金额为500元. 我们将0.5称为购买一张彩票收益均值或(数学期望). 因此，平均每张彩票的中奖金额500÷1000＝0.5元. 这里的0.5可以由下面的式子 0×0.999＋500×0.001求得. 新知探究 一、离散型随机变量的均值(数学期望) 一般地，随机变量X的概率分布如下表所示， X x1 x2 ··· xn P p1 p2 ··· pn 其中pi ≥0，i＝1，2，···，n， p1＋ p2＋ ··· ＋pn＝1， 我们将 p1 x1＋ p2 x2＋···＋pn xn称为随机变量X的均值或数学期望，记为E(X)或μ，即 ★均值E(X)刻画的是X取值的“中心位置”,这是随机变量X的一个重要特征,它刻画的是随机变量取值的平均水平. 新知探究 实际统计数 规律数 (概率p) 样本平 均情况 变量平 均情况 估计总体 平均情况 推测结果 平均情况 频率p 样本平 均情况 估计总体 平均情况 数学期望 样本平均数 样本平均数 计算公式 数据来源 反映特征 实际意义 问题3：在数学《必修第二册》中，我们学习过样本平均数，与这里的数学期望是相同概念吗？ 典例分析 例1：抛掷一枚骰子，设向上一面的点数为X，求随机变量X的数学期望。 解析：随机变量X的数学期望： 典例分析 变式：将所得点数的2倍加1作为得分数，记为变量Y，即Y＝2X＋1，试求Y的数学期望. Y 3 5 7 9 11 13 P 总结：离散型随机变量的均值(数学期望)的性质 E(aX ＋b) ＝ aE(X)＋b 特别地：E(X＋b) ＝ E(X)＋b， E(aX ) ＝ aE(X). 二、离散型随机变量的均值(数学期望)的性质 特别地：E(X＋b) ＝ E(X)＋b， E(aX ) ＝ aE(X). (1) E(c) ＝c (2) E(aX ＋b) ＝ aE(X)＋b 思考：两点分布的均值(数学期望)是多少呢？ 一般地，如果随机变量 X 服从两点分布，那么 E(X)＝1×p＋0×(1－p)=p 即： 若 X 服从两点分布，则 E(X)= p。 新知探究 典例分析 例1：根据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.设工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案. 方案1：运走设备，此时需花费3800元； 方案2：建一保护围墙，需花费2000元，但围墙无法防止大洪水，当大洪水来临时，设备受损，损失60000元； 方案3：不采取措施，希望不发生洪水，此时大洪水来临损失60000元，小洪水来临损失10000元， 试从方案的花费与期望损失的和最小的角度比较哪一种方案较好。 解析：对于方案1：花费3800元，损失为0元，花费与损失之和为3800元； 对于方案2：花费为2000元，损失费的概率分布如下表所示： 损失费/元 60000 0 概率 0.01 0.99 期望损失为60000×0.01＋0×0.99＝600(元)，所以花费与期望损失之和为2000＋600＝2600(元)； 典例分析 例1：根据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.设工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案. 方案3：不采取措施，希望不发生洪水，此时大洪水来临损失60000元，小洪水来临损失10000元， 试从方案的花费与期望损失的和最小的角度比较哪一种方案较好。 对于方案3：花费为0元，损失费的概率分布如下表所示： 损失费/元 60000 10000 0 概率 0.01 0.25 0.74 期望损失为：60000×0.01＋10000×0.25 ＋0×0.74 ＝3100(元)， 所以花费与期望损失之和为3100(元). 比较三种方案，我们发现第二种方案的花费与期望损失的和最小，故方案2较好。 典例分析 例2：在一个人数很多的地区普查某种疾病，由以往经验知道，该地区居民得此病的概率为0.1%，现有1000人去验血，给出下面两种化验方法， 方法1：对1000人逐一进行化验； 方法2：将1000人分为100组，每组10人，对于每个组，现将10人的血各取出部分，并混合在一起进行一次化验.如果结果呈阴性，那么可断定这10人无此疾病；如果结果呈阳性，那么再逐一化验， 试问：那种方法较好？ 解析：第1种方法化验的次数为1000， 第2种方法：如果某组的混合血液结果呈阴性，就可以断定这10人均无此疾病，那么对这10人只化验1次；如果结果呈阴性，那么必须对这10 人再逐一化验，这时共需进行11次化验，因为对所有人来说，化验结果呈阳性的概率均为0.001，而且这些人的化验结果是相互独立的，所以每个人的化验次数X的概率分布如下表所示， 典例分析 例2：在一个人数很多的地区普查某种疾病，由以往经验知道，该地区居民得此病的概率为0.1%，现有1000人去验血，给出下面两种化验方法， 方法2：将1000人分为100组，每组10人，对于每个组，现将10人的血各取出部分，并混合在一起进行一次化验.如果结果呈阴性，那么可断定这10人无此疾病；如果结果呈阳性，那么再逐一化验， 试问：那种方法较好？ 所以1000人化验次数的均值为 因此，方法2远好于方法1. 因为每个人化验次数X的均值为 解析：第2种方法： X P (1-0.001)10 1-(1-0.001)10 即时训练 练1：盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池.现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数的分布列及均值. 解：可取的值为1，2，3， 则， 所以抽取次数的分布列为： 总结：求离散型随机变量均值的步骤 (1)确定离散型随机变量X的取值； (2)写出X的取值所对应的概率； (3)写出分布列,并检查分布列的正确与否； (4)根据公式求出均值. 即时训练 练2：已知随机变量的分布列为： (1)若，则______. (2)若且，则______. -2 -1 0 1 2 解(1)：由随机变量分布列的性质，得，解得， ∴. 由，得. (2)因为 ∴. 课堂小结 通过本节课的学习你有哪些收获？ 1、离散型随机变量的均值(数学期望) 一般地，随机变量X的概率分布如下表所示， X x1 x2 ··· xn P p1 p2 ··· pn 其中pi ≥0，i＝1，2，···，n， p1＋ p2＋ ··· ＋pn＝1， 我们将 p1 x1＋ p2 x2＋···＋pn xn称为随机变量X的均值 或数学期望，记为E(X)或μ，即 2、离散型随机变量的均值(数学期望)的性质 (1) E(c) ＝c； (2) E(aX ＋b) ＝ aE(X)＋b。 课堂小结 3、两点分布的均值(数学期望) 一般地，如果随机变量 X 服从两点分布，那么 E(X)＝1×p＋0×(1－p)=p 即： 若 X 服从两点分布，则 E(X)= p。 课后检测 １．某公司计划一项投资，风险评估专家给出了其收益犡（单位：百万 元）的概率分布为 求该项投资收益的均值． X 1 1.5 2 4 10 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 书本119~120练习1-3 课后检测 书本119~120练习1-3 2.由相关专家组成的研究小组对某地台风到来时紧急撤离计划进行 了研究，估计13-18ｈ疏散居民的概率分布为 估计的疏散时间的概率分布 疏散时间 （最接近的时间） 13 14 15 16 17 18 概率 0.04 0.25 0.40 0.18 0.10 0.03 求疏散时间的均值． 课后检测 书本119~120练习1-3 3.从甲、乙两名射击运动员中选择一名参加比赛，现统计了这两名运 动员在训练中命中环数犡，犢的概率分布如下表，问：哪名运动员的平均成绩较好？ X 8 9 10 P 0.3 0.1 0.6 Y 8 9 10 P 0.2 0.5 0.3 所以甲运动员的平均成绩更好. 感谢聆听! $