8.2.2离散型随机变量的方差与标准差课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦离散型随机变量的方差与标准差，课堂导入从已学的分布列和期望出发，通过投篮游戏等实例引出方差描述取值波动程度的意义，构建“分布列-期望-方差”的知识支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点是以实际问题（如投篮次数、股票收益）为载体，通过定义辨析、公式推导、性质应用及综合实践，培养学生用数学眼光观察波动现象，用数学思维推理计算，用数学语言表达分析结果。题型设计联系生活，如跟踪训练中的风险比较，提升学生应用意识，教师可借助规律总结高效教学，助力学生掌握知识并发展核心素养。

第8章　概率 8.2.2　离散型随机变量及其分布列 第2课时　离散型随机变量的方差与标准差 【课标要求】 1.通过具体实例,理解离散型随机变量的方差及标准差的概念. 2.能计算简单离散型随机变量的方差及标准差,并能解决一些实际问题. 要点深化·核心知识提炼 知识点　离散型随机变量的方差与标准差 1.离散型随机变量的方差、标准差 (1)若离散型随机变量X的概率分布如表所示. X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 其中,pi≥0,i=1,2,…,n,p1+p2+…+pn=1,则(xi-μ)2(μ=E(X))描述了xi(i=1,2,…,n)相对于均值μ的偏离程度,故(x1-μ)2p1+(x2-μ)2p2+…+(xn-μ)2pn(其中pi≥0,i=1,2,…,n,p1+p2+…+pn=1)刻画了随机变量X与其均值μ的平均偏离程度,我们将其称为离散型随机变量X的方差,记为D(X)或σ2,即D(X)=σ2=(x1-μ)2p1+(x2-μ)2p2+…+(xn-μ)2pn. (2)方差也可用公式D(X)=pi-μ2计算. (3)随机变量X的方差也称为X的概率分布的方差,X的方差D(X)的算术平方根称为X的标准差,即σ=. 2.几个常见的结论 设X的分布列为P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n,则 (1)D(aX+b)=a2D(X),D(X+b)=D(X),D(aX)=a2D(X). (2)D(X)=E(X2)-E2(X). (3)若X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p). 名师点睛 1.随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的. 2.随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X的取值的稳定性和波动、集中与离散程度. 3.D(X)越小,随机变量X的取值越稳定,波动越小. 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)随机变量的方差和标准差越小,随机变量的取值越集中,方差或标准差越大,随机变量的取值越分散.(　　) (2)标准差没有单位,而方差的单位是随机变量单位的平方.(　　) (3)D(c)=0(其中c为常数).(　　) √ × √ 题型分析·能力素养提升 【题型一】求离散型随机变量的方差(标准差) 例 1 [链接教材例3]甲、乙两人进行定点投篮游戏,投篮者若投中,则继续投篮,否则由对方投篮,第一次由甲投篮.已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为. (1)求第三次由乙投篮的概率; (2)在前3次投篮中,乙投篮的次数为ξ,求ξ的分布列; (3)求ξ的期望及标准差. 解 (1)因为第三次由乙投篮包括第一次甲命中第二次甲未命中和第一次甲未命中第二次乙命中, 所以P=. (2)由题意,知ξ可取0,1,2. P(ξ=0)=;P(ξ=1)=;P(ξ=2)=. 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P (3)由(2)有E(ξ)=0×+1×+2×, D(ξ)=(0-)2×+(1-)2×+(2-)2×, 所以. 规律方法　求离散型随机变量的方差的类型及解决方法 (1)已知分布列(非两点分布):直接利用定义求解,先求均值,再求方差. (2)已知分布列是两点分布:直接套用公式D(X)=p(1-p)求解. (3)未知分布列型:求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列,然后转化成(1)中的情况. 跟踪训练1(1)随机变量X的分布列是 X -1 1 2 P a b 若E(2X+1)=2,则D(X)=(　　) A.1 B.4 C. D. D 解析 依题意a+b+=1,a+b=①, E(X)=-a+b+,由E(2X+1)=2,得E(X)=, 整理得a-b=②, 由①②解得a=,b=,所以D(X)=(-1-)2×.故选D. (2)已知随机变量X的分布列如表所示: X 0 1 2 P a b 则当D(X)取最大值时,a的值为(　　) A. B. C. D. D 解析 由概率的性质知,a+b+=1,即a=1-,则0≤b≤,且E(X)=0×a+1×b+2×=2b,D(X)=(0-2b)2×a+(1-2b)2×b+(2-2b)2× =-4b2+3b,所以当b=时,D(X)取得最大值,此时a=.故选D. 【题型二】方差性质的应用 例 2 [链接教材习题8.2(2),T7]若随机变量X的分布列如表,且E(X)=2,则D(2X-3)的值为(　　) X 0 2 a P p A.9.2 B.5 C.4 D.1 C 解析 由题意可得+p+=1,解得p=, 因为E(X)=2,所以0×+2×+a×=2,解得a=3. 所以D(X)=(0-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×=1. 所以D(2X-3)=4D(X)=4.故选C. 规律方法　与离散型随机变量性质有关的问题的解题思路 (1)若给出的随机变量Y与X的关系为Y=aX+b,a,b为常数,一般思路是先求出E(X),再利用公式E(aX+b)=aE(X)+b求E(Y);也可以利用X的分布列得到Y的分布列,关键是由X的取值计算Y的取值,对应的概率相等,再由定义法求得E(Y). (2)求随机变量Y=aX+b的方差,一种方法是先求Y的分布列,再求其均值,最后求方差;另一种方法是应用公式D(aX+b)=a2D(X)求解. 跟踪训练2(1)设a>0,若随机变量ξ的分布列如下: ξ -1 0 2 P a 2a 3a 则下列方差中最大的是(　　) A.D(ξ) B.D(|ξ|) C.D(2ξ-1) D.D(2|ξ|+1) C 解析 由题意知a+2a+3a=1,a=,E(ξ)=-1×+0×+2×, E(|ξ|)=1×+0×+2×,D(ξ)=×(-1-)2+×(0-)2+×(2-)2=, D(|ξ|)=×(1-)2+×(0-)2+×(2-)2=.D(ξ)>1>D(|ξ|),D(2ξ-1)=4×,D(2|ξ|+1)=4×,其中D(2ξ-1)最大.故选C. (2)设0<a<1,随机变量X的分布列是 X 0 a 1 P 则当a在(0,1)内增大时(　　) A.D(X)增大 B.D(X)减小 C.D(X)先增大后减小 D.D(X)先减小后增大 D 解析 (方法一)由分布列得E(X)=,则D(X)=(a-)2+,则当a在(0,1)内增大时,D(X)先减小后增大. (方法二)D(X)=E(X2)-E2(X)=0+[(a-)2+],则当a在(0,1)内增大时,D(X)先减小后增大.故选D. 【题型三】均值与方差的综合应用 例 3 [链接教材例4]投资甲、乙两种股票,每股收益(单位:元)分别如下表: 甲种股票收益分布列 收益 -1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 乙种股票收益分布列 收益 0 1 2 概率 0.2 0.5 0.3 则下列说法正确的是(　　) A.投资甲种股票期望收益大 B.投资乙种股票期望收益大 C.投资甲种股票的风险更高 D.投资乙种股票的风险更高 C 解析 甲收益的期望E(X)=-1×0.1+0×0.3+2×0.6=1.1,方差D(X)=(-1-1.1)2 ×0.1+(0-1.1)2×0.3+(2-1.1)2×0.6=1.29. 乙收益的期望E(Y)=0×0.2+1×0.5+2×0.3=1.1,方差D(Y)=(0-1.1)2 ×0.2+(1-1.1)2×0.5+(2-1.1)2×0.3=0.49.所以E(X)=E(Y),D(X)>D(Y),则投资股票甲、乙的期望收益相等,投资股票甲比投资股票乙的风险高. 规律方法　1.均值体现了随机变量取值的平均大小,在两种产品相比较时,只比较均值往往是不恰当的,还需比较它们取值的离散程度,即通过比较方差,才能准确地得出更恰当的判断. 2.离散型随机变量的分布列、均值、方差之间存在着紧密的联系,利用题目中所给出的条件,合理地列出方程或方程组求解,同时也应注意合理选择公式,简化问题的解答过程. 跟踪训练3甲、乙两种品牌手表,它们的日走时误差分别为X和Y(单位:s),其分布列为 甲品牌的日走时误差分布列 X -1 0 1 P 0.1 0.8 0.1 乙品牌的日走时误差分布列 Y -2 -1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 (1)求E(X)和E(Y); (2)求D(X)和D(Y),并比较两种品牌手表的性能. 解 (1)E(X)=-1×0.1+0×0.8+1×0.1=0, E(Y)=-2×0.1+(-1)×0.2+0×0.4+1×0.2+2×0.1=0. (2)D(X)=(-1)2×0.1+02×0.8+12×0.1=0.2, D(Y)=(-2)2×0.1+(-1)2×0.2+02×0.4+12×0.2+22×0.1=1.2,因为E(X)=E(Y),D(X)<D(Y),所以仅考虑误差,甲种品牌手表的性能要更好. $