6.1.1　空间向量的线性运算课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦空间向量的概念、线性运算及共线向量定理，通过平面向量到空间向量的推广导入，建立新旧知识联系，以对比辨析为支架帮助学生理解空间向量的表示、特殊向量及运算律。 其亮点在于“名师点睛”提炼关键要点，“题型分析”分概念辨析、线性运算、共线应用三角度，结合例题与跟踪训练，培养数学思维与语言表达。如例3通过向量推导证明三点共线，提升推理能力，学生可巩固知识，教师能借助结构化设计提高教学效率。

第6章　空间向量与立体几何 6.1.1　空间向量的线性运算 【课标要求】 1.了解由平面向量推广到空间向量的过程,了解空间向量的概念. 2.掌握空间向量的线性运算及其法则. 3.理解空间向量共线的充要条件. 要点深化·核心知识提炼 知识点一　空间向量的概念 1.空间向量的定义及表示 定义 在空间,我们把像位移、力、速度、加速度这样既有大小又有方向的量,叫作空间向量 长度或模 空间向量的大小叫作空间向量的长度或模 表示 方法 几何表示 与平面向量一样,空间向量也可用有向线段表示 符号 表示 表示空间向量的有向线段,若以A为起点,B为终点,则记作,其模记作|| 空间向量常用一个小写字母表示.如:向量a,b,其模分别记为|a|,|b| 2.几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量称为零向量,记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量,叫作单位向量 相反向量 与向量a长度相等,方向相反的向量,叫作a的相反向量,记作-a 相同的向量 所有长度相等且方向相同的向量都看作相同的向量,向量a与b是相同的向量,也称a与b相等 名师点睛 (1)平面向量是一种特殊的空间向量. (2)两个向量相等的充要条件为两个向量长度相等,方向相同. (3)向量不能比较大小. (4)数学中讨论的向量与向量的起点无关,只与大小和方向有关,只要不改变大小和方向,空间向量可在空间内任意平移,故我们称之为自由向量. 知识点二　空间向量及其线性运算 1.空间向量的加法、减法与数乘运算的意义(如图): =a+b; =a-b; =λa(λ∈R). 2.空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律: ①a+b=b+a; ②(a+b)+c=a+(b+c); ③λ(a+b)=λa+λb(λ∈R). 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算. 名师点睛 1.向量的减法运算是向量加法运算的逆运算,满足三角形法则. 2.空间向量加法运算的小技巧: ①首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量,即+…+,因此,求空间若干向量之和时,可通过平移使它们转化为首尾相接的向量. ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形,则它们的和为零向量,即+…+=0. 知识点三　共线向量及共线向量定理 1.共线向量(平行向量) 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫作共线向量或平行向量.向量a与b平行,记作a∥b. 规定零向量与任意向量共线. 2.共线向量定理 对空间任意两个向量a,b(a≠0),b与a共线的充要条件是存在实数λ,使b=λa. 名师点睛 对向量共线的充要条件的理解,应从以下几个方面正确把握: (1)在此充要条件中,要特别注意a≠0,若不加a≠0,则该充要性不一定成立.例如,若b≠0,a=0,则a∥b,但λ不存在,该充要性也就不成立了. (2)该充要条件包含两个命题: ①a∥b(a≠0)⇒存在唯一的实数λ,使b=λa; ②存在唯一的实数λ,使b=λa(a≠0)⇒a∥b. 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)不相等的两个空间向量的模必不相等.(　　) (2)在空间中,a+b-(b-3c)=a+3c.(　　) (3)空间四边形OABC中,(　　) (4)方向相同且模相等的两个向量是共线向量.(　　) (5)若p=3x-2y与q=mx+8y是平行向量,则m=6.(　　) × √ √ √ × 题型分析·能力素养提升 【题型一】空间向量的概念 例 1 (1)下列关于空间向量的说法,正确的是(　　) A.单位向量都相等 B.若|a|=|b|,则a,b的长度相等且方向相同或相反 C.若向量满足||>||,则 D.相同的向量其方向必相同 D 解析 A中,单位向量长度相等,方向不确定; B中,|a|=|b|只能说明a,b的长度相等,但方向不确定; C中,向量不能比较大小;易知D正确. (2)(多选题)下列命题为真命题的是(　　) A.若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有 C.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p D.任一向量与它的相反向量均不相等 BC 解析 A为假命题,根据向量相等的定义知,两向量相等,不仅模要相等,还要方向相同,而A中向量a与b的方向不一定相同;B为真命题,的方向相同,模也相等,故;C为真命题,向量的相等满足传递性;D为假命题,零向量的相反向量仍是零向量. 题后反思　空间向量的概念与平面向量的概念相类似,平面向量的其他相关概念,如向量的模、相同的向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念. 跟踪训练1如图,在以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中. (1)试写出所有与相等的向量; (2)试写出的相反向量; (3)若AB=AD=2,AA1=1,求向量的模. 解 (1)与向量相等的向量(除它自身之外)有. (2)向量的相反向量为. (3)||==3. 【题型二】空间向量及其线性运算 例 2 [链接教材例1](1)在空间四边形ABCD中,下列表达式化简结果与相等的是(　　) A B C D B 解析 ,A选项错误.,B选项正确.,C选项错误.,D选项错误. (2)在空间四边形ABCD中,=a,=b,=c,点P为AB的中点,点Q为CD上靠近D的三等分点,则等于(　　) Aa+b+c Ba-b+c C.-a-b+c D.-a+b+c D 解析 在四面体ABCD中,=a,=b,=c,点P为AB的中点,点Q为CD上靠近D的三等分点,则=()-)-=-=-a+b+c. 题后反思　(1)向量加法的三角形法则和向量减法的定义是解决空间向量加法、减法运算的关键,灵活应用相反向量可使向量间首尾相接. (2)利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则进行向量的运算时,务必要注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果. 跟踪训练2(1)在空间四边形ABCD中,连接AC,BD,若△BCD是正三角形,且E为其重心,则=(　　) A B.2 C.0 D.2 C 解析 取BC的中点为F,则.又因为E为△BCD的重心,即DF上靠近F的三等分点,, 则 =0. 故选C. (2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点P在A1C上,且,若=x+y+z,则x+y+z=(　　) A B.1 C D C 解析 如图,) =) =, 所以x=,y=,z=,所以x+y+z=. 【题型三】共线向量定理的应用 角度1共线的判定 例 3 [链接教材例2]如图,已知M,N分别为四面体A-BCD的面BCD与面ACD的重心,G为AM上一点,且GM∶GA=1∶3.求证:B,G,N三点共线. 证明 如图,取CD的中点E,连接AE,BE,因为M,N分别为四面体A-BCD的面BCD与面ACD的重心,所以M在BE上,N在AE上,设=a,=b,=c,因为M为△BCD的重心,所以) =)=) =)=(a+b+c).因为GM∶GA=1∶3,所以,所以=-a+(a+b+c)=-a+b+c.因为N为△ACD的重心,所以)=-a+b+c=,所以.又BN∩BG=B,所以B,G,N三点共线. 规律方法　向量共线的判定及应用 (1)判断或证明两向量a,b(a≠0)共线,就是寻找实数λ,使b=λa成立,为此常结合题目图形,运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达. (2)判断或证明空间中的三点(如P,A,B)共线的方法:是否存在实数λ,使= 跟踪训练3(1)对于空间任意一点O,以下条件可以判定点P,A,B共线的是 　　　　　(填序号).  +t(t∈R,t≠0); ②5; -t(t∈R,t≠0); =- ①③ 解析 对于①,因为+t(t∈R,t≠0),所以=t(t∈R,t≠0),所以=t(t∈R,t≠0),所以共线,所以点P,A,B共线. 对于②,因为5,所以5,所以共线,所以P,O,B共线,点P,A,B不一定共线. 对于③,因为-t(t∈R,t≠0),所以=-t(t∈R,t≠0),所以=-t(t∈R,t≠0),所以共线,所以点P,A,B共线. 对于④,因为=-,所以=-,得=-2,所以=-2,则=-2,所以BP,OA平行或重合,当BP,OA平行时,点P,A,B不共线.故答案为①③. (2)如图,四边形ABCD,ABEF都是平行四边形且不共面,M,N分别是AC,BF的中点,判断是否共线. 解 因为M,N分别是AC,BF的中点,且四边形ABCD,ABEF都是平行四边形,所以. 又=-, 所以=-. 所以+2=2()=2, 即=2,所以共线. 角度2已知向量共线求参数 例 4 [链接教材练习,T5]已知非零向量e1,e2不共线,则使ke1+e2与e1+ke2共线的k的值是　　　　　.  ±1　 解析 若ke1+e2与e1+ke2共线,则ke1+e2=λ(e1+ke2).因为非零向量e1,e2不共线,所以即k2=1,所以k=±1.故答案为±1. 题后反思　本题是先由平面向量共线定理设ke1+e2=λ(e1+ke2),再由平面向量基本定理列方程(组)求解.这种解法是求解已知向量共线求参数的一般方法. 跟踪训练4(1)已知非零向量a=3m-2n-4p,b=(x+1)m+8n+2yp,且m,n,p不共面.若a∥b,则x+y=(　　) A.-13 B.-5 C.8 D.13 B 解析 ∵a∥b且a≠0,∴b=λa,即(x+1)m+8n+2yp=3λm-2λn-4λp.又m,n,p不共面, ∴解得x=-13,y=8,x+y=-5. (2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在对角线D1B上,且|D1E|=|EB|,点F在棱D1C1上,若A,E,F三点共线,|D1F|=m|FC1|,求m的值. 解 因为正方体中,, 设=λ,又|EB|,所以4,即. 因为A,E,F三点共线,所以=1,解得λ=, 即.故m=. $