6.1.1 第2课时 空间向量的线性运算与共线向量定理-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（苏教版）

空间向量的线性运算与共线向量定理 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 课时目标 进一步学习空间向量的线性运算，掌握空间向量的线性表示及向量共线的充要条件，会证明空间三点共线. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　空间向量的线性表示 题型(二)　向量共线与三点共线问题 题型(三)　空间共线向量定理的 推论及应用 4 课时检测 题型(一)　空间向量的线性表示 01 [例1]　如图，在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中，设=a，=b，=c，N，P分别是BC，C1D1的中点，试用a，b，c 表示以下各向量： (1)； 解：∵P是C1D1的中点，∴=++=a++=a+c+=a+c+b. (2). 解：∵N是BC的中点，∴=++=-a+b+=-a+b+ =-a+b+c. [变式拓展] 1.本例增加条件“M是AA1的中点”，试用a，b，c表示+. 解：∵M是AA1的中点， ∴=+=+=-a+=a+b+c. 又=+=+=+=c+a，∴+=+=a+b+c. 2.若把本例中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上，且=”，其他条件不变，如何用a，b，c表示? 解：=+=++=a+c+b. |思|维|建|模|　空间向量线性运算的解题技巧 数形结合 利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量 明确目标 在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质 针对训练 1.若空间中四点A，B，C，D满足4+=4，则=(　　) A. B.3 C. D. √ 解析：∵4+=4，∴=4(-)=4，∴+=4，即=3，则=. √ 2.[多选]已知三棱锥O⁃ABC，E，F分别是OA，BC的中点，P为线段EF上一点，且PF=2EP，设=a，=b，=c，则下列等式成立的是(　　) A.=b+c 　B.=-a+b+c C.=-a+b+c 　D.=a+b+c √ √ 解析：如图，因为F为BC的中点， 所以=+=b+c，故A正确； ===-=-× =-a+b+c，故B正确； =-2=-2=a-b-c，故C错误； =+=+=a+b+c，故D正确. 题型(二)　向量共线与 三点共线问题 02 √ [例2]　(1)设向量e1，e2，e3不共面，已知=-3e1-e2+2e3，=e1+ λe2-6e3，=4e1+2e2+8e3，若A，C，D三点共线，则λ=(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析：由题意得=+=-2e1+(λ-1)e2-4e3.因为A，C，D三点共线，所以存在唯一的y，使得=y，即4e1+2e2+8e3=y[-2e1+(λ-1)e2-4e3]， 所以解得 (2)如图，在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中，点E在A1D1上， 且=2，点F在体对角线A1C上，且=. 求证：E，F，B三点共线. 解析：证明：如图，连接EF，FB，∵=-= -=(++)-=(+ +)-=+-=- =+-(++)=+-， ∴=，∴∥，又EF∩FB=F，∴E，F，B三点共线. [变式拓展] 本例变为：如图，正方体ABCD⁃A1B1C1D1中，F为A1C 上一点，且=，BD与AC交于点M.求证：C1， F，M三点共线. 证明：连接MF，MC1(图略).设=a，=b，AA1=c， 则=+=+=(+)+(+)=++(+ +)=++=a+b+c，=+=+= (+)+ =a+b+c，∴=3.又直线MC1与直线MF有公共点M，∴C1，F，M三点共线. |思|维|建|模|　向量共线的判定及应用 (1)利用向量共线证明线线平行，解题时应注意向量共线与两直线平行的区别. (2)判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a=λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达. (3)判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法： ①存在实数λ，使=λ，②对于空间任一点O，=+t(t∈R)，③对于空间任一点O，=x+y(x+y=1). 针对训练 3.如图，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是 边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点， 且==.求证：四边形EFGH是梯形. 证明：∵E，H分别是AB，AD的中点，∴==， 则=-=-=(-)==(-)= =(-)=，∴∥且||=||≠||. 又F不在直线EH上，∴四边形EFGH是梯形. 题型(三)　空间共线向量定理的 推论及应用 03 [例3]　已知A，B，P三点共线，O为空间任意一点(O，A，B三点不共线)，且存在实数α，β，使=α+β，求α+β的值. 解：因为A，B，P三点共线，所以存在m∈R使得=m，即-=m(-)， 所以=(1+m)-m. 又因为=α+β，所以α+β=(1+m)-m=1. |思|维|建|模| 空间共线向量定理的推论：在空间中，若A，B，P三点共线，O为空间任意一点，且O，A，B三点不共线，则=x+y(x+y=1). 针对训练 4.在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中，点E在体对角线D1B上，且D1E=EB， 点F在棱D1C1上，若A，E，F三点共线，则D1F=________FC1.  解析：在正方体中，=+=+，设D1F=λFC1，因为D1E=EB，所以4=+，即=+.因为A，E，F三点共线，所以+=1，解得λ=，即D1F=FC1. 5.在空间四边形ABCD中，=3=-++λ，则 λ=_______.  解析：∵=-++λ，∴+=+λ， 即=+λ.又=3，∴B，C，M三点共线， ∴+λ=1，解得λ=. 课时检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，则-+等于(　　) A. B.3 C.3 D.2 √ 解析：-+=-(-)=-=+=+2=3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 √ 2.已知非零向量a，b，且=a+2b，=-5a+6b，=7a-2b，则一定共线的三点是(　　) A.A，B，D B.A，B，C C.B，C，D D.A，C，D 解析：∵=+=2a+4b=2，∴A，B，D三点共线. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.在空间四边形OABC中，若E，F分别是AB，BC的中点，H是EF上的点，且=，记=x+y+z，则x，y，z 的值分别为(　　) A. B. C. D. √ 解析：连接OE，OF(图略)，因为=，E，F分别是AB，BC的中点，所以=+=+=+(-)=+=×(+)+ ×(+)=++，故x=，y=，z=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①=2+μ；②存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ+m+n=0，那么使①②成立的μ与λ+m+n的值分别为(　　) A.1，-1 B.-1，0 C.0，1 D.0，0 √ 解析：∵A，B，C三点共线，=2+μ，∴2+μ=1，解得μ=-1.由λ+m+n=0，得=--，由A，B，C三点共线知，--=1，则λ+m+n=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥P⁃ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，且EC=2PE，若=x+y+z，则x+y+z=(　　) A.1 B.2 C. D. √ 解析：∵EC=2PE，∴=，∴=-=+ -=+-=+(-)-=+-=+-= +-(-)=-+，∴x=1，y=-，z=，∴x+y+z=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.若空间中任意四点O，A，B，P满足=m+n，其中m+n=1，则(　　) A.P∈直线AB B.P∉直线AB C.点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上 D.以上都不对 √ 解析：因为m+n=1，所以m=1-n，所以=(1-n)+n，则-=n(-)，即=n，所以与共线.又有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈直线AB. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.[多选]如图，在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中，P是CA1的中点，点Q在CA1上，且CQ∶QA1=4∶1，设=a，=b，=c，则下列结论正确的是(　　) A.=(a+b+c) B.=(a+2b+c) C.=a+b+c D.=a+b+c √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：因为P是CA1的中点，所以=(+)=(++)= (a+b+c)，故A正确，B错误； 因为点Q在CA1上，且CQ∶QA1=4∶1， 所以=+=+=+(-)=+=(+ )+=a+b+c，故C错误，D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.(5分)设e1，e2是不共线的向量，已知=2e1+ke2，=e1+3e2，=2e1-e2，若A，B，D三点共线，则实数k为_______.  -8 解析：因为=-=e1-4e2，A，B，D三点共线，所以由向量共线的充要条件，设=λ，即2e1+ke2=λ(e1-4e2)，所以解得λ=2，k=-8. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.(5分)在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则和+的关系是________(填“平行”“相等”或“相反”).  平行 解析：设G是AC的中点，连接EG，FG(图略)，则=+= +=(+)，所以2=+，从而∥(+). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.(5分)在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中，点M是AA1的中点，已知=a， =b，=c，则=___________.(用a，b，c表示)  -a-b+c 解析：∵=++=--+，又M是AA1的中点，∴=，∴=--+=-a-b+c. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.(10分)如图，平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中，M是 AD1的中点，N是BD的中点，判断与是否共线. 解：连接AC，如图，∵N是BD的中点，四边形ABCD 为平行四边形，∴N为AC的中点.又M是AD1的中点， ∴=-=-=(-)=， ∴与共线. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.(10分)如图，设O为▱ABCD所在平面外任意一点， E为OC的中点，若=+x+y，求x，y的值. 解：∵=++=-+--=-+ =-+(+)=-+(+)=-++(-) =+-，又=+x+y，∴x=，y=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.(10分)利用空间向量的知识证明平行六面体的体对角线交于一点，并且在交点处互相平分. 证明：如图所示，在平行六面体ABCD⁃A'B'C'D'中， 设点O是AC'的中点，则==(++). 设P，M，N分别是BD'，CA'，DB'的中点，则= +=+=+(++)=+(-++)=(++ ).同理可得=(++)，=(++).由此可知O，P，M，N四点重合.故平行六面体的体对角线相交于一点，且在交点处互相平分. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $