6.1.2 空间向量的数量积 课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦空间向量的数量积，涵盖定义、运算律、性质及投影向量等核心知识点，课堂导入可联系平面向量数量积，搭建从二维到三维的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以课标为导向，通过正四面体数量积计算、平行六面体模长求解等实例，培养数学思维与空间观念，结合几何直观与逻辑推理，助力学生用数学语言表达空间关系，既提升学生运算能力，也便于教师高效教学。

第6章　空间向量与立体几何 6.1.2　空间向量的数量积 【课标要求】 1.掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律. 2.了解向量a在向量b上的投影向量的含义,了解空间向量数量积的几何意义. 3.了解向量m在平面α上的投影向量的含义,会确定一个向量在一个平面上的投影向量. 要点深化·核心知识提炼 知识点一　空间向量的夹角 定义 a,b是空间两个非零向量,过空间任意一点O,作=a, =b,∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫作向量a与向量b的夹角,记作<a,b> 范围 0≤<a,b>≤π 特殊夹角 (1)如果<a,b>=0,那么a与b同向; (2)如果<a,b>=π,那么a与b反向; (3)如果<a,b>=,那么a与b互相垂直,记作a⊥b 知识点二　空间向量的数量积 1.定义 设a,b是空间两个非零向量,我们把数量|a||b|cos<a,b>叫作向量a,b的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|cos<a,b>.规定:零向量与任一向量的数量积为0. 2.数量积的运算律 交换律 a·b=b·a 分配律 (a+b)·c=a·c+b·c 结合律 (λa)·b=λ(a·b)(λ∈R) 3.数量积的性质 两个向量数量积的性质 ①若a,b是非零向量,则a⊥b⇔a·b=0 ②若a与b同向,则a·b=|a||b|; 若反向,则a·b=-|a||b|. 特别地,a·a=|a|2或|a|= ③若θ为a,b的夹角,则cos θ= ④|a·b|≤|a|·|b| 名师点睛 1.向量a,b的数量积记为a·b,而不能表示为a×b或ab. 2.两个向量的数量积为实数,而不是向量,其符号由夹角θ的余弦值的符号决定. 3.数量积运算不满足消去律与结合律. 知识点三　空间向量的投影向量 1.向量a在向量b上的投影向量 (1)定义:对于空间任意两个非零向量a,b,设向量=a,=b(如图),过点A作AA1⊥OB,垂足为A1,上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影,向量称为向量a在向量b上的投影向量. (2)a·b的几何意义:a·b=b,即向量a,b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积. 2.向量m在平面α上的投影向量 (1)定义:如图,设向量m=,过C,D分别作平面α的垂线,垂足分别为C1,D1,得向量将上述由向量m得到向量的变换称为向量m向平面α投影,向量称为向量m在平面α上的投影向量. (2)空间向量m,n数量积的几何意义:对于平面α内的任一向量n,有m·n=n,即空间向量m,n的数量积就是向量m在平面α上的投影向量与向量n的数量积. 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)向量的夹角等于向量的夹角.(　　) (2)两个共线向量的夹角是0.(　　) (3)若a·b>0,则<a,b>一定是锐角.(　　) × × × 题型分析·能力素养提升 【题型一】求空间向量数量积 例 1 [链接教材练习,T1]如图,已知正四面体OABC的棱长为1,E,F分别是OA,OC的中点.求下列向量的数量积: (1); (2); (3)()·(). 解 (1)正四面体的棱长为1,则||=||=1.△OAB为等边三角形, ∠AOB=60°,于是=||||cos<>=||||cos∠AOB=1×1×cos 60°=. (2)由于E,F分别是OA,OC的中点,所以EF∥AC,且EF=AC,于是 =||||cos<>=|||cos<>=×1×1×cos<>=×1×1×cos 120°=-. (3)()·()=()·() =()·(-2) =-2-2 =1+-2×+1-2×=1. 规律方法　求空间向量数量积的步骤 (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. (2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积. (3)代入a·b=|a||b|cos<a,b>求解. 跟踪训练1(1)已知向量a和b的夹角为120°,且|a|=2,|b|=5,则(2a-b)·a =(　　) A.12 B.8+ C.4 D.13 D 解析 (2a-b)·a=2a2-b·a=2|a|2-|a||b|cos 120°=2×4-2×5×(-)=13.故选D. (2)在正四面体P-ABC中,O是△ABC的中心,AB=2,则()等于(　　) A B C D D 解析 如图,因为P-ABC为正四面体,O是△ABC的中心, 所以=-=2=-2, 所以·()=(-)·(-2)=2=2=2×4-×2×2××2×2××2×2×.故选D. 【题型二】利用数量积求模长 例 2 [链接教材练习,T4](1)已知a,b,c均为单位向量,<a,b>=<b, c>=90°,<a,c>=60°,则|a-b+c|=(　　) A.4 B C.2 D C 解析 因为a,b,c均为单位向量,<a,b>=<b,c>=90°,<a,c>=60°,由空间向量数量积的定义可得a·b=b·c=0,a·c=|a|·|c|cos 60°=,所以|a-b+c|2 =a2+b2+c2-2a·b+2a·c-2b·c=3-0+2×-0=4, 因此,|a-b+c|=2.故选C. (2)在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,AB=4,AD=3,AA'=5,∠BAD=90°, ∠BAA'=∠DAA'=60°,则AC'的长为(　　) A.10 B C D B 解析 如图,=16,=9,=25,=4×3×cos 90°=0,=4×5×cos 60°=10,=3×5×cos 60°=. ∵, ∴+2+2+2 =16+9+25+2×0+2×10+2×=85, ∴||=, 即AC'的长为.故选B. 规律方法　(1)利用空间向量求模长的依据是|a|=,也可推广: |a±b|=,|a+b+c|= (2)利用向量的数量积求两点间的距离,可以转化为求向量的模的问题,其基本思路是先选择以两点为端点的向量,将此向量表示为几个已知向量的和的形式,求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模,利用公式|a|=求解即可. 跟踪训练2(1)已知空间向量a,b,c两两夹角均为60°,其模均为1,则 |a+b-2c|=(　　) A B C.2 D B 解析 |a+b-2c|== = =.故选B. (2)如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,沿着它的对角线AC将△ACD折起,使AB与CD成60°角,求此时B,D间的距离. 解 ∵∠ACD=90°,∴=0, 同理可得=0. ∵AB与CD成60°角, ∴<>=60°或<>=120°. 又,∴||2=||2+||2+||2+2+2+2=3+2×1×1×cos<>,当<>=60°时,|=4,此时B,D间的距离为2;当<>=120°时,|=2,此时B,D间的距离为. 【题型三】利用数量积求夹角 例 3 [链接教材练习,T5]已知空间向量a,b,c满足|a|=2,|b|=3,|c|=且a+b+c=0,则a与b的夹角大小为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° C 解析 由题设c=-(a+b),则c2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=4+2×2×3×cos<a,b>+9=7, 所以cos<a,b>=-. 又<a,b>∈[0,π],可得<a,b>=,即<a,b>=120°.故选C. 规律方法　求两个向量的夹角有两种方法 方法一:先求a·b,再利用公式cos<a,b>=求cos<a,b>,最后确定<a,b>. 方法二: ①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量; ②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题; ③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小. 跟踪训练3已知m,n是两个空间单位向量,它们的夹角为60°,设向量a=2m+n,b=-3m+2n.求: (1)a·b; (2)向量a与b的夹角. 解 (1)因为m,n是两个空间单位向量,它们的夹角为60°,所以m·n=|m||n|cos 60°=,所以a·b=(2m+n)·(-3m+2n) =-6|m|2+m·n+2|n|2=-6++2=-. (2)因为|a|2=(2m+n)2=4|m|2+4m·n+|n|2=4+4×+1=7,|b|2=(-3m+2n)2 =9|m|2-12m·n+4|n|2=9-12×+4=7,所以|a|=,|b|=. 又因为a·b=-, 所以cos<a,b>==-. 因为<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=, 即向量a与b的夹角为. 【题型四】空间向量的投影向量 例 4 [链接教材例4](1)已知空间向量|a|=,|b|=5,且a与b夹角的余弦值为-,则a在b上的投影向量为(　　) A.-b Bb Cb D.-b D 解析 ∵|a|=,|b|=5,a与b夹角的余弦值为-,∴a在b上的投影向量为=-=-b.故选D. (2)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,设AD=AA1=1,AB=2,P是C1D1的中点. ①确定向量在平面BCC1上的投影向量,并求; ②确定向量在直线B1C1上的投影向量,并求 解 ①因为A1B1⊥平面BCC1,PC1⊥平面BCC1, 所以向量在平面BCC1上的投影向量为. 所以×1×cos 45°=1. ②因为A1B1⊥B1C1,PC1⊥B1C1, 所以向量在直线B1C1上的投影向量为, 故=1. 规律方法　1.求空间向量投影向量的方法有:①利用公式,a在b上的投影向量为根据图形,找出a的起点与终点在b或平面α上的投影A,B,则即为所求. 2.利用空间向量数量积的几何意义求两个向量的数量积时,准确探求某一向量在直线(或平面)上的投影向量是解题的关键. 跟踪训练4 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=AB=AA1=,BC=2AE=2,求 解 (方法一)∵A1A⊥平面ABC,AB,AC⊂平面ABC, ∴A1A⊥AB,A1A⊥AC, ∴=0,=0. ∵AC=AB=,BC=2, ∴AB⊥AC,∴=0. 又BC=2AE=2,∴E为BC的中点, ∴). ∵, ∴)·()==1. (方法二)∵A1A⊥平面ABC, ∴在平面ABC上的投影向量为. 又AC=AB=AA1=,BC=2AE=2, ∴=1××cos 45°=1. $