第15章　概率章末知识点总结提升课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

该高中数学课件系统梳理了概率的核心知识，包括随机试验、事件分类与运算、古典概型、互斥与独立事件的概率计算及概率与统计的综合应用，通过网络构建知识导图将各知识点串联，形成从概念到应用的逻辑脉络。 其亮点在于采用“要点归纳-典例解析-跟踪训练”的分层复习模式，如通过“四步”法解古典概型问题，结合分层抽样、频率直方图等实例培养学生数学眼光和逻辑推理能力，不同层次的训练让学生精准巩固知识，也为教师提供针对性复习支持。

第15章　概率 章末知识点总结提升 苏教版 必修第二册 网络构建·知识导图 要点归纳·典例提升 要点一　事件的判断 1.在一次试验中,两个互斥事件有可能都不发生,也可能有一个发生,但不可能同时发生. 2.两个对立事件必有一个发生,但不可能同时发生.即两事件对立,必定互斥,但两事件互斥,未必对立.对立事件是互斥事件中的一个特例. 3.互斥的概念适用于两个或多个事件,但对立的概念只适用于两个事件. 4.两事件互斥是指两事件不可能同时发生,两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响,两个事件相互独立不一定互斥. 【典例1】 下列命题:①将一枚硬币抛两次,设事件M为“两次出现正面”,事件N为“只有一次出现反面”,则事件M与N互为对立事件;②若事件A与B互为对立事件,则事件A与B为互斥事件;③若事件A与B为互斥事件,则事件A与B互为对立事件;④若事件A与B互为对立事件,则事件A∪B为必然事件,其中,真命题是(　　) A.①②④ B.②④ C.③④ D.①② B 解析 对于命题①,一枚硬币抛两次,共出现(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)四种结果,则事件M与N是互斥事件,但不是对立事件,故命题①为假命题;对于命题②,对立事件首先是互斥事件,故命题②为真命题;对于命题③,互斥事件不一定是对立事件,如命题①中两个事件,故命题③为假命题;对于命题④,事件A,B为对立事件,则一次试验中,A,B一定有一个要发生,故命题④为真命题.故选B. 题后反思　进行事件的判断和运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可列出全部的试验结果进行分析.也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件. 跟踪训练1　袋内有3个白球和2个黑球,从中有放回地摸球,用A表示“第一次摸到白球”,如果“第二次摸到白球”记为B,否则记为C,那么事件A与B,A与C间的关系是(　　) A.A与B,A与C均相互独立 B.A与B相互独立,A与C互斥 C.A与B,A与C均互斥 D.A与B互斥,A与C相互独立 A 解析 因为是有放回地摸球,所以第一次摸球与第二次摸球之间没有影响.故选A. 要点二　古典概型 1.古典概型的判断 一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特点:有限性和等可能性.并不是所有的试验都是古典概型. 下列三类试验都不是古典概型:(1)样本点个数有限,但非等可能.(2)样本点个数无限,但等可能.(3)样本点个数无限,也不等可能. 2.古典概型的概率公式 在古典概型中,如果样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}(其中,n为样本点的个数),那么每一个基本事件{ωk}(k=1,2,…,n)发生的概率都是.如果事件A由其中m个等可能基本事件组合而成,即A中包含m个样本点,那么事件A发生的概率P(A)=. 【典例2】 有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛,由500名大众评委现场投票决定歌手名次,根据年龄将大众评委分为五组,各组的人数如下: 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 (1)为了调查大众评委对7位歌手的支持情况,现用分层抽样方法从各组中抽取若干名大众评委,其中从B组中抽取了6人.请将其余各组抽取的人数填入下表. 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数   6       (2)在(1)中,若A,B两组被抽到的大众评委中各有2人支持1号歌手,现从这两组被抽到的大众评委中分别任选1人,求这2人都支持1号歌手的概率. 解 (1)由题设知,分层抽样的抽取比例为6%,所以各组抽取的人数如下表: 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数 3 6 9 9 3 (2)记从A组抽到的3个评委为a1,a2,a3,其中a1,a2支持1号歌手;从B组抽到的6个评委为b1,b2,b3,b4,b5,b6,其中b1,b2支持1号歌手.从{a1,a2,a3}和{b1,b2,b3,b4,b5,b6}中各抽取1人的所有结果为 由以上树状图知所有结果共18种,其中2人都支持1号歌手的有a1b1,a1b2,a2b1,a2b2共4种,故所求概率为P= 题后反思　求解古典概型概率的“四步”法 跟踪训练2　将一颗骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,求: (1)两数中至少有一个奇数的概率; (2)以第一次向上的点数为x,第二次向上的点数为y,求x2+y2≥15的概率. 解 (1)记“两数中至少有一个奇数”为事件B,则事件B与“两数均为偶数”为对立事件,记为 ∵先后抛掷2次,向上的点数(x,y)共有n=6×6=36种等可能结果,事件包含的基本事件数m=3×3=9. ∴P()=,则P(B)=1-P()=, 因此,两数中至少有一个奇数的概率为 (2)记“x2+y2<15”为事件C,则表示“x2+y2≥15”. 又事件C包含基本事件:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),共8种, ∴P(C)=,从而P()=1-P(C)=1- ∴x2+y2≥15的概率为 要点三　互斥事件的概率 1.互斥事件的概率:如果事件A,B互斥,那么事件A+B发生的概率,等于事件A,B分别发生的概率的和,即P(A+B)=P(A)+P(B). 2.互斥事件概率的推广 如果事件A1,A2,…,An中任何两个事件都是互斥事件,那么称事件A1,A2,…,An两两互斥.如果事件A1,A2,…,An两两互斥,那么P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). 【典例3】 某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示. 一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件以上 顾客数/人 x 30 25 y 10 结算时间/(分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值; (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率) 解 (1)由已知得所以x=15,y=20.故顾客一次购物的结算时间的平均值为=1.9. (2)记事件A为“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”,事件A1,A2,A3分别表示“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”,“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”,“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率,得P(A1)=,P(A2)=,P(A3)= 因为A=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3是互斥事件, 所以P(A)=P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为 题后反思　求复杂事件的概率常用的两种方法 (1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和. (2)先求其对立事件的概率,然后应用公式P(A)=1-P()求解. 跟踪训练3　袋中有6个大小相同颜色不全相同的小球,分别为黑球、黄球、绿球,从中任意取一球,得到黑球或黄球的概率是,得到黄球或绿球的概率是,试求: (1)从中任取一球,得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少? (2)从中任取两个球,得到的两个球颜色不相同的概率是多少? 解 (1)从中任取一球,分别记得到黑球、黄球、绿球为事件A,B,C, 由于A,B,C为互斥事件, 根据已知得解得 所以从中任取一球,得到黑球、黄球、绿球的概率分别是 (2)由(1)知黑球、黄球、绿球个数分别为2,1,3,得到的两个球同色的可能有:两个黑球只有1种情况,两个绿球共3种情况,而从6个球中取出2个球的情况共有15种,所以两个球同色的概率为,则得到的两个球颜色不相同的概率是1- 要点四　独立事件的概率 1.如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An). 2.相互独立事件与互斥事件的概率计算比较 概率 A,B互斥 A,B相互独立 P(A+B) P(A)+P(B) 1-P()P() P(AB) 0 P(A)P(B) P() 1-(P(A)+P(B)) P()P() P(A+B) P(A)+P(B) P(A)P()+P()P(B) 说明AB,表示的是AB的和,实际意义是A发生且B不发生,或者A不发生且B发生,换句话说就是A与B中恰有一个发生. 【典例4】 某景点设有共享电动车租车点,共享电动车的收费标准是每小时2元(不足1小时的部分按1小时计算).甲、乙两人各租一辆电动车,若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为;一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为;两人租车时间都不会超过三小时. (1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率; (2)求甲、乙两人所付的租车费用之和大于或等于8的概率. 解 (1)甲、乙两人所付费用相同即同为2,4,6元, 都付2元的概率P1=,都付4元的概率P2=,都付6元的概率P3=, ∴甲、乙两人所付费用相同的概率P=P1+P2+P3= (2)设两人费用之和为8,10,12的事件分别为A,B,C, 则P(A)=,P(B)=,P(C)=, 设两人费用之和大于或等于8的事件为W,则W=A+B+C, ∴两人费用之和大于或等于8的概率P(W)=P(A)+P(B)+P(C) = 题后反思　利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路 (1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥的简单事件的和. (2)将彼此互斥的简单事件中的简单事件,转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件. (3)代入概率的公式求解. 跟踪训练4　甲、乙两人独立解同一道数学题目,甲解出这道题目的概率是,乙解出这道题目的概率是,则恰有1人解出这道题目的概率 是　　　　,这道题被解出的概率是　　　　.  解析 设“甲解出这道题目”为事件A,“乙解出这道题目”为事件B,则P(A)=,P(B)=,P()=,P()=, 则“恰有1人解出这道题目”为事件AB, ∴P(AB)=P(A)P()+P()P(B)= “这道题被解出”为事件C,∴P(C)=1-P()=1-P()P()=1- 要点五　概率与统计的综合 将不同类型的概率问题与统计交汇在一起,体现了高考数学在知识网络的交汇点设计命题的特点.考查内容主要包括以下几个方面:①以古典概型问题为背景的概率统计问题;②以互斥事件、独立事件为背景的概率统计问题;③概率与频率直方图等结合的简单运用. 【典例5】 某种植园在芒果临近成熟时,随机从一些芒果树上摘下100个芒果,其质量分别在[100,150),[150,200),[200,250),[250,300),[300,350),[350,400)(单位:克)中,经统计的频率直方图如图所示. (1)估计这组数据的平均数. (2)现按分层抽样从质量为[200,250),[250,300)的芒果中随机抽取5个,再从这5个中随机抽取2个,求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率. (3)某经销商来收购芒果,以各组数据的中间数代表这组数据的平均值,用样本估计总体,该种植园中还未摘下的芒果大约还有10 000个,经销商提出以下两种收购方案: 方案①:所有芒果以9元/千克收购; 方案②:对质量低于250克的芒果以2元/个收购,对质量高于或等于250克的芒果以3元/个收购.请通过计算确定该种植园选择哪种方案获利更多. 解 (1)由频率直方图知,这组数据的平均数 =0.07×125+0.15×175+0.20×225+0.30×275+0.25×325+0.03×375 =255. (2)利用分层抽样从这两个范围内抽取5个芒果,则质量在[200,250)内的芒果有2个,记为a1,a2,质量在[250,300)内的芒果有3个,记为b1,b2,b3; 从抽取的5个芒果中抽取2个共有10种不同情况:(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3). 记事件A为“这2个芒果都来自同一个质量区间”,则A有4个样本点:(a1,a2),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),所以P(A)=,故这2个芒果都来自同一个质量区间的概率为 (3)方案①:y1=10 000×9=10 000×9=22 950(元). 方案②:低于250克的芒果收入为(0.07+0.15+0.2)×10 000×2=8 400(元). 不低于250克的芒果收入为(0.25+0.3+0.03)×10 000×3=17 400(元). 故方案②的收入y2=8 400+17 400=25 800(元). 因为22 950<25 800,所以选择方案②获利多. 题后反思　高考常将频率直方图与概率问题交汇在一起进行考查,因此在解答此类题时,准确地把题中所涉及的事件进行分解,明确所求问题所属的事件类型是关键. 跟踪训练5　某医院在一次体检中抽取了100名患者的心跳数据(均为整数),分成[59.5,69.5),[69.5,79.5),[79.5,89.5),[89.5,99.5),[99.5,109.5]五组,得到如图所示的频率分布直方图. (1)估算这批患者心跳次数的平均数; (2)为进一步了解患者的心跳次数的情况,从高于89.5次的患者中分层抽样6人,再从6人中任取2人,求抽中的2人心跳次数都高于99.5的概率. 解 (1)设心跳次数为x, 则=64.5×0.1+74.5×0.25+84.5×0.35+94.5×0.2+104.5×0.1=84, 所以这批患者心跳次数的平均数为84. (2)由从高于89.5次的患者中分层抽样6人得 [89.5,99.5)抽4人,记为A,B,C,D, [99.5,109.5]抽2人,记为E,F, 记“抽中的2人心跳数高于99.5”为事件M, 从6人中任取2人有AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,共15种,2人心跳数高于99.5有EF,1种,则P(M)=,即抽中的2人心跳数高于99.5的概率为 $