第11章 解三角形-章末知识点总结提升课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

第11章　解三角形 章末知识点总结提升 苏教版 必修第二册 网络构建·知识导图 要点归纳·典例提升 要点一　应用正弦定理、余弦定理解三角形 1.这类问题一般要先审查题设条件,进行归类,根据题目类型确定应用哪个定理解决.常见题型:①一边和两角(如a,B,C),②两边和夹角(如a,b,C),③三边(a,b,c),④两边和其中一边的对角(如a,b,A). 2.利用正弦定理、余弦定理解三角形,考查学生方程思想和公式的应用,以及数学运算和逻辑推理的数学素养. 【典例1】 在①,②2bsin A=atan B,③(a-c)sin A+csin(A+B)=bsin B这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并加以解答. 已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若　　　　.  (1)求角B; (2)若a+c=4,求△ABC周长的最小值,并求出此时△ABC的面积. 解 (1)选①,由正弦定理得,, ∵sin A≠0, sin B-cos B=1,可得2(sin B-cos B)=1, 即sin,∵0<B<π,∴-<B-, ∴B-,∴B= 选②,∵2bsin A=atan B,∴2bsin A=, 由正弦定理可得,2sin Bsin A=sin A, ∵sin A≠0,sin B≠0,∴cos B=, ∵B∈(0,π),∴B= 选③,∵sin(A+B)=sin(π-C)=sin C, ∴由已知结合正弦定理可得,(a-c)a+c2=b2, ∴a2+c2-b2=ac,∴cos B=, ∵B∈(0,π),∴B= (2)∵b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-3ac=16-3ac, 即3ac=16-b2,∴16-b2=3ac≤3,解得b≥2,当且仅当a=c=2时取等号, ∴bmin=2,此时ac=4,△ABC周长的最小值为a+b+c=4+2=6,则此时△ABC的面积S=acsin B= 题后反思　应用正弦定理、余弦定理需注意的三个方面 (1)正弦定理和余弦定理揭示了三角形边角之间的关系,解题时要根据题目条件恰当地实现边角的统一. (2)统一为“角”后,要注意正确利用三角恒等变换及诱导公式进行变形;统一为“边”后,要注意正确利用配方、因式分解等代数变换方法进行变形. (3)求值时注意方程思想的运用. 跟踪训练1　(2023天津卷)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=,b=2,∠A=120°. (1)求sin B的值; (2)求c的值; (3)求sin(B-C). 解 (1)由已知及正弦定理,得, ∵a=,b=2,∠A=120°, ∴sin B= (2)方法一:由(1)及已知,得cos B=,sin C =sin(180°-120°-B)=sin(60°-B)=cos B-sin B= 由正弦定理,得c==5. 方法二:由余弦定理,得b2+c2-2bccos A=a2,即4+c2-2×2c×(-)=39, 整理,得c2+2c-35=0,解得c=5或c=-7(舍去). (3)∵C为锐角,∴cos C= ∴sin(B-C)=sin Bcos C-cos Bsin C= 要点二　判断三角形的形状 1.根据所给条件确定三角形的形状,主要的方法是边角互化,常见具体方法:①通过正弦定理进行边角转换;②通过余弦定理进行边角转换;③通过三角变换找出角之间的关系;④b2+c2-a2>0⇔A为锐角,b2+c2-a2=0⇔A为直角,b2+c2-a2<0⇔A为钝角. 2.判断三角形的形状,考查学生逻辑推理的数学素养. 【典例2】 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知. (1)求A; (2)设∠BAC的平分线交线段BC于点D,若BD=2DC,证明:△ABC为直角三角形. (1)解 因为,所以b2+c2-a2=bc. 由余弦定理,得cos A=, 又因为0<A<π,所以A= (2)证明 因为AD是∠BAC的平分线,所以sin∠BAD=sin∠CAD. 设△ABC的边BC上的高为h,则由, 得=2,即c=2b. 由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=b2+4b2-2b×2b=3b2, 所以c2=a2+b2,从而C=,故△ABC为直角三角形. 题后反思　利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状的方法 (1)通过边之间的关系判断形状. (2)通过角之间的关系判断形状. 合理利用正弦定理、余弦定理将已知条件中的边、角互化,把条件统一为边的关系或角的关系. 跟踪训练2　(1)设△ABC的三个内角A,B,C满足2B=A+C, 又sin2B=sin Asin C,则这个三角形的形状是(　　) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形 B 解析 因为△ABC的三个内角A+B+C=π,而2B=A+C,所以B= 又sin2B=sin Asin C,由正弦定理得b2=ac,由余弦定理b2=a2+c2-2accos B得ac=a2+c2-ac,整理得(a-c)2=0,即a=c,又B=,所以△ABC是等边三角形.故选B. (2)在△ABC中,已知,且sin2A+sin2B=sin2C.求证:△ABC为等腰直角三角形. 证明 由正弦定理可得,所以, 又,所以,则a2=b2,即a=b. 设=k(k≠0), 则sin A=,sin B=,sin C= 又sin2A+sin2B=sin2C,所以,即a2+b2=c2, 所以△ABC为等腰直角三角形. 要点三　正弦定理、余弦定理在几何中的应用 1.该类问题以多边形为载体,在已知条件中设计了三角形的一些边角关系.正弦定理和余弦定理都是关于三角形边角关系的等式,通过定理的运用能够实现边角互化.在边角互化时,经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等. 2.解三角形与平面几何的综合问题考查学生数学运算与逻辑推理的数学素养. 【典例3】 (1)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,则A=　　　　.  解析∵,∴acos B=bsin A, 由正弦定理可得sin Acos B=sin Bsin A, 又sin A≠0,∴tan B=1.∵B∈(0,π),∴B= 由,可得a2=b2+bc,即cos B=,∴c+b=2acos B. 由正弦定理可得sin C+sin B=2sin Acos B, ∴sin(A+B)+sin B=2sin Acos B,可得sin B=sin(A-B), ∴B=A-B或B+A-B=π(舍去),∴A=2B= (2)(2023全国甲卷理科)在△ABC中,AB=2,∠BAC=60°,BC=,点D为BC上一点,AD平分∠BAC,求AD. 解 如图所示,记AB=c,AC=b,BC=a,由正弦定理可得, 可得sin C=, 因为>2,即a>c,所以C=45°, B=180°-60°-45°=75°, ∠ADB=180°-75°-30°=75°, 所以B=∠ADB,所以AD=AB=2. 题后反思　正弦定理、余弦定理在几何中的应用的解题方法 1.把所提供的平面图形拆分成若干个三角形,然后在各个三角形内利用正弦定理、余弦定理求解. 2.寻找各个三角形之间的联系,交叉使用公共条件,求出结果. 跟踪训练3　已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(c-a)sin A =csin C-bsin B,b=3,求边AC上中线长度的最大值. 解 由(c-a)sin A=csin C-bsin B及正弦定理可得(c-a)a=c2-b2,即a2+c2-b2=ac,则cos B=, 因为B∈(0,π),所以B= 如图所示,设边AC上中线的长度为h,D为AC的中点,延长BD至B',使BD=DB'=h,则四边形ABCB'为平行四边形,AB'=BC=a,∠BAB'=则2h=,又b=3, 所以a2+c2-9=ac, 因为ac,当且仅当a=c=3时等号成立, 所以a2+c2-9,则a2+c2≤18. 所以2h==3 所以边AC上中线长度的最大值为 要点四　正弦定理、余弦定理在实际中的应用 1.余弦定理和正弦定理在实际生活中,有着非常广泛的应用,常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面.解决这类问题,关键是根据题意画出示意图,将问题抽象为三角形的模型,然后利用定理求解.注意隐含条件并将最后结果还原为实际问题进行检验. 2.将生活中的实际问题转化为三角形模型,提升逻辑推理和数学建模素养. 【典例4】 (2025扬州期末)如图,为了测量河对岸A,B两点之间的距离,在河岸这边找到在同一直线上的三点C,D,E.从点D测得∠ADC=67.5°,从点C测得∠ACD=45°,∠BCE=75°,从点E测得∠BEC=60°.若测得DC=100, CE=200(单位:m),则A,B两点之间的距离为(　　) A.200 m B.200 m C.100 m D.300 m D 解析 在△ACD中,∠ADC=67.5°,∠ACD=45°, 则∠DAC=180°-67.5°-45°=67.5°,所以AC=DC=100在△BCE中,∠BCE=75°,∠BEC=60°,CE=200,则∠EBC=180°-75°-60° =45°,因为,所以BC==200在△ABC中,AC=100,BC=200,∠ACB=180°-∠ACD-∠BCE=60°,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB=90 000,所以AB=300.故选D. 题后反思　1.解三角形实际应用问题的步骤 2.解实际问题时需注意的两个方面 (1)要注意仰角、俯角、方位角、方向角等概念,并能准确地找出(或作出)这些角. (2)要注意将平面几何中的性质、定理与正弦定理、余弦定理结合起来. 跟踪训练4　数学兴趣小组为了测量校园外一座“不可到达”的建筑物的高度,采用“两次测角法”,并自制了测量工具:将一个量角器放在复印机上放大4倍复印,在中心处绑上一个铅锤,用于测量楼顶仰角;推动自行车来测距离(轮子滚动一周为1.753米).该小组在操场上选定A点,此时测量视线和铅垂线之间的夹角在量角器上的度数为37°;推动自行车直线后退,轮子滚动了10圈到达B点,此时测量视线和铅垂线之间 的夹角在量角器上的度数为53°.测量者站立 时的“眼高”为1.55米,根据以上数据可计算得 该建筑物的高度约为　　　　米.(精确到0.1)  参考数据:sin 37°≈,sin 53°≈. 31.6 解析 如图(示意图),设C'D=x,A'C'=y,在Rt△A'C'D中, ∠DA'C'=90°-37°=53°,所以tan 53°=, 即,所以y= 在Rt△B'C'D中,∠DB'C'=90°-53°=37°,所以tan 37°=, 即,所以,解得x≈30.05,所以CD=CC'+C'D=1.55+30.05≈31.6(米),故该建筑物的高度约为31.6米.故答案为31.6. 高考链接 1.(2025新高考Ⅱ)在△ABC中,BC=2,AC=1+,AB=,则A=(　　) A.45° B.60° C.120° D.135° A 解析 在△ABC中,由余弦定理得cos A=,又0<A<π,所以A=45°.故选A. 2.(2025天津卷)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知 asin B=bcos A,c-2b=1,a=. (1)求A的值; (2)求c的值; (3)求sin(A+2B)的值. 解 (1)∵asin B=bcos A,∴sin Asin B=sin Bcos A. 又在△ABC中,sin B>0,∴sin A=cos A,∴tan A= ∵A∈(0,π),∴A= (2)由余弦定理知a2=b2+c2-2bccos A, 又A=,a=,∴b2+c2-bc=7.① 又c-2b=1,② 由①②得b=1,c=3. (3)∵cos B=, ∴sin B= ∴sin 2B=2sin Bcos B=2,cos 2B=2cos2B-1=2×()2-1=, ∴sin(A+2B)=sin(+2B)=sincos 2B+cossin 2B= $