第15章 专题微课 概率与统计的综合问题-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦概率与统计的综合问题，系统梳理概率与统计图表结合、概率与函数结合、决策性问题等核心题型，通过建构知识体系和渗透数形结合、方程思想等数学思想，搭建从基础分析到综合应用的学习支架。 该资料特色在于融通学科素养，如例1利用频率分布直方图求概率培养数据分析能力，例2概率与函数结合问题提升数学建模和逻辑推理素养。课中例题解析助教师高效授课，课后针对训练帮助学生巩固解题方法，查漏补缺。

专题微课　概率与统计的综合问题 [建构知识体系] [融通学科素养] 1.浸润的核心素养 在概率与统计中作为高中数学课程中的一个重要内容板块承载着考查学生数据分析、数学建模、逻辑推理和数学运算素养以及阅读理解能力. 2.渗透的数学思想 (1)在统计图表的应用及概率问题中利用树状图求样本点的总数和事件A包含的样本点数考查数形结合思想. (2)在互斥事件的概率加法公式、对立事件的概率公式、相互独立事件的概率、统计图表中样本数字特征的求解中，运用方程思想解题的关键就是抓住等量关系，列出方程(组)或函数式求解. (3)在解决概率的相关问题时，常常会用到转化与化归的思想方法. 题型(一)　概率与统计相结合 [例1]　海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如图所示.两种养殖方法的箱产量相互独立. (1)求频率分布直方图中a的值； (2)用频率估计概率，从运用新、旧网箱养殖方法的水产品中各随机抽取一个网箱，估计两个网箱的箱产量都不低于55 kg的概率； (3)假定新、旧网箱养殖方法的网箱数不变，为了提高总产量，根据样本中两种养殖法的平均箱产量，该养殖场下一年应采用哪种养殖法更合适?(直接写出结果) 解：(1)由(0.004+0.008+0.010+0.020+0.044+0.046+a)×5=1，所以a=0.068. (2)设事件A，B分别表示：从运用旧、新网箱养殖方法的水产品中随机抽取一个网箱，其箱产量不低于55 kg，用频率估计概率， 则P(A)=(0.020+0.012+0.012)×5=0.22，P(B)=(0.046+0.010+0.008)×5=0.32. 因为A，B相互独立， 所以P(AB)=P(A)P(B)=0.22×0.32=0.070 4， 所以估计两个网箱的箱产量都不低于55 kg的概率为0.070 4. (3)新养殖法(旧养殖法的平均值估计为0.012×5×27.5+0.014×5×32.5+0.024×5×37.5+0.034×5×42.5+0.040×5×47.5+0.032×5×52.5+0.020×5×57.5+0.012×5×62.5+0.012×5×67.5=47.1， 新养殖法的平均值估计为0.004×5×37.5+0.020×5×42.5+0.044×5×47.5+0.068×5×52.5+0.046×5×57.5+0.010×5×62.5+0.008×5×67.5=52.35， 又52.35>47.1，所以该养殖场下一年应采用新养殖法更合适) |思|维|建|模| 破解概率与统计图表综合问题的3步骤 [针对训练] 1.下面是某市某年2月1日至14日的空气质量指数趋势图及空气质量指数与空气质量等级对应表(右栏).某人随机选择2月1日至2月13日中的某一天到该市出差，第二天返回(往返共两天). 空气质量指数 空气质量等级 小于或等于100 优良 大于100且小于或等于150 轻度污染 大于150且小于或等于200 中度污染 大于200且小于或等于300 重度污染 大于300 严重污染 (1)观察空气质量指数趋势图，你认为从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(只写出结论，不要求证明) (2)求此人到达当日空气质量优良的概率； (3)求此人出差期间(两天)空气质量至少有一天为中度或重度污染的概率. 解：(1)通过观察空气质量指数趋势图可知， 从2月5日开始连续三天的空气质量指数波动最大，所以从2月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大. (2)通过观察空气质量指数趋势图可知，前13天有6天空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率为. (3)通过观察空气质量指数趋势图可知，此人出差期间(两天)空气质量至少有一天为中度或重度污染的情况有8次，所以此人出差期间(两天)空气质量至少有一天为中度或重度污染的概率为. 题型(二)　概率与函数相结合 [例2]　(2023·新课标Ⅱ卷)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c).假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率. (1)当漏诊率p(c)=0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)； (2)设函数f(c)=p(c)+q(c).当c∈[95，105]时，求f(c)的解析式，并求f(c)在区间[95，105]的最小值. 解：(1)由题图知(100-95)×0.002=1%>0.5%，所以95<c<100. 设X为患病者的该指标， 则p(c)=P(X≤c)=(c-95)×0.002=0.5%， 解得c=97.5. 设Y为未患病者的该指标， 则q(c)=P(Y>c)=(100-97.5)×0.01+5×0.002=0.035=3.5%. (2)当95≤c≤100时， p(c)=(c-95)×0.002=0.002c-0.19， q(c)=(100-c)×0.01+5×0.002=-0.01c+1.01， 所以f(c)=p(c)+q(c)=-0.008c+0.82； 当100<c≤105时， p(c)=5×0.002+(c-100)×0.012=0.012c-1.19， q(c)=(105-c)×0.002=-0.002c+0.21， 所以f(c)=p(c)+q(c)=0.01c-0.98. 综上所述，f(c)= 由一次函数的单调性知，函数f(c)在[95，100]上单调递减，在(100，105]上单调递增， 作出f(c)在区间[95，105]上的大致图象(略)，可得f(c)在区间[95，105]的最小值f(c)min=f(100)=-0.008×100+0.82=0.02. |思|维|建|模| 　　本题主要考查概率与数字特征，涉及平均数、中位数，分层抽样，古典概型的概率计算等知识.解决此类问题的关键是正确理解图表中各个量的意义，牢记相关定义和公式，在利用频率分布直方图求平均值时，不要与求中位数、众数混淆. [针对训练] 2.一位外地游客到永州市旅游，其游览阳明山、九嶷山、舜皇山这3个著名景点的概率分别为0.5，0.5，0.6，且该游客是否浏览哪个景点互不影响.设C表示该游客对上述3个景点游览的景点数与没有游览的景点数的差. (1)记“|C|=1”为事件A，求P(A)的值； (2)记“函数f(x)=x+，在区间[1，+∞)上单调递增”为事件B，求P(B)的值.(函数的单调性只需判断，不要求证明) 解：(1)由条件可知C的取值为-3，-1，1，3，当C=1时，表示的事件为该游客游览了两个景点，有一个景点没有游览，其概率为P(C=1)=0.5×0.5×0.4+0.5×0.6×0.5×2=0.4，当C=-1时，表示的事件为该浏客游览了一个景点，有两个景点没有游览，其概率为P(C=-1)=0.5×0.5×0.4+0.5×0.5×0.4+0.5×0.5×0.6=0.35， 故P(A)=P(C=1)+P(C=-1)=0.4+0.35=0.75. (2)当C=-1时，f(x)=x-在[1，+∞)上单调递增，当C=-3时，f(x)=x-在[1，+∞)上单调递增，当C=1时，f(x)=x+在[1，+∞)上单调递增，当C=3时，f(x)=x+在[1，+∞)上不是单调递增，P(C=3)=0.5×0.5×0.6=0.15，故P(B)=1-P(C=3)=1-0.15=0.85. 题型(三)　概率统计中的决策性问题 [例3]　一个口袋内装有形状、大小相同，编号为1，2，3的3个白球和编号为a的1个黑球. (1)从中一次性摸出两个球，求摸出的两个球都是白球的概率； (2)从中连续取两次，每次取一个球后放回，甲、乙约定：若取出的两个球中至少有1个黑球，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平?请说明理由. 解：(1)从袋中一次性摸出两个球，所包含的样本点有(1，2)，(1，3)，(1，a)，(2，3)，(2，a)，(3，a)，共6个样本点； 摸出的两个球都是白球，所包含的样本点有(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3个样本点； 则从中一次性摸出两个球，摸出的2个球都是白球的概率为P==. (2)从袋中连续取两次，每次取一球后放回，则所包含的样本点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，a)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，a)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，a)，(a，1)，(a，2)，(a，3)，(a，a)，共16个样本点， 则取出的两个球中至少有1个黑球，所包含的样本点有(1，a)，(2，a)，(3，a)，(a，1)，(a，2)，(a，3)，(a，a)，共7个样本点. 因此取出的两个球中至少有1个黑球的概率为P=，即甲胜的概率为，则乙胜的概率为>，所以此游戏不公平. [针对训练] 3.某学校组织人工智能知识竞赛，在初赛中有两轮答题，第一轮从A类的4个问题中随机抽取3题作答，每答对1题得20分，答错得0分；第二轮从B类分值分别为10，20，30的3个问题中随机抽取2题作答，每答对1题该题得满分，答错得0分.若两轮总积分不低于90分则晋级复赛.甲、乙同时参赛，在A类的4个问题中，甲每个问题答对的概率为，乙只能答对3个问题；在B类3个分值分别为10，20，30的问题中，甲答对的概率分别为1，，乙答对的概率分别为.甲、乙回答任一问题正确与否互不影响. (1)分别求甲、乙在第一轮得最高分的概率； (2)谁晋级复赛的概率更大?请说明理由. 解：(1)在A类的4个问题中，甲每个问题答对的概率为， 所以甲在第一轮得最高分(即60分)的概率为=.在A类的4个问题中，乙只能答对3个问题，设这4个问题分别为a，b，c，d，乙只会回答其中的a，b，c， 从中随机选三个问题所得的4个样本点为a，b，c；a，b，d；a，c，d；b，c，d， 得60分的一个样本点为a，b，c， 所以乙在第一轮得最高分(即60分)的概率为. (2)甲在第一轮的得分可能为0，20，40，60，乙在第一轮的得分可能为40，60. 把甲在第一轮选择的3个问题分别记为e，f，g，答对分别记为E，F，G， 所以甲在第一轮得40分的概率为 P(EF)+P(EG)+P(FG)=P(E)P(F)P()+P(E)P()P(G)+P()P(F)P(G)=3××=， 甲在第一轮得60分的概率为，甲在第二轮得分分类如下：选10分和20分的题所得分数为10分和30分；选10分和30分的题所得分数为10分和40分；选20分和30分的题所得分数为0分、20分、30分和50分，所以甲两轮的总积分不低于90分的概率为P甲=×××+××=. 由(1)得，乙在第一轮得40分的概率为1-=，乙在第一轮得60分的概率为， 乙在第二轮得分分类如下：选10分和20分的题所得分数为0分、10分、20分和30分； 选10分和30分的题所得分数为0分、10分、30分和40分；选20分和30分的题所得分数为0分、20分、30分和50分，所以乙两轮的总积分不低于90分的概率为P乙=×××+××=. 因为P甲<P乙，所以乙晋级复赛的概率更大. 学科网（北京）股份有限公司 $