第五章：分式与分式方程 单元练习 2025-2026学年 北师大版数学八年级下册

**基本信息** 本单元卷聚焦八年级“分式与分式方程”，通过10道单选、6道填空、7道解答题，全面覆盖分式性质、方程解法及实际应用，突出运算能力与模型意识培养，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|分式有意义条件、方程去分母、增根问题|结合函数自变量取值（题1），考查概念辨析| |填空题|6题|分式值为零、新定义运算、参数取值范围|设计新运算“☆”（题13），培养创新思维| |解答题|7题|分式化简求值、实际应用（购物/航天模型）、阅读探究|以航天日（题22）、校园读书月（题21）为情境，强化模型意识；阅读探究题（题23）提升推理能力|

2025-2026学年山东省滕州市鲍沟中学八年级第二学期单元练习题 第五章：分式与分式方程 一、单选题 1．在函数中，自变量x的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D． 2．将方程两边同乘后，可变形为（     ） A． B． C． D． 3．下面解分式方程的步骤中，错误的是（   ） A．将方程两边同时乘可转化为整式方程 B．去分母后的一元一次方程为 C．原分式方程的解为 D．原分式方程无解 4．若分式的值为，现将分式中的和都扩大3倍，那么分式的值变为（   ） A． B． C． D． 5．已知，则下列判断正确的是（    ） A．的计算结果为 B．当时， C．当时，的值为正数 D．若是整数，则或 6．若且，则的结果为（     ） A．1 B．3 C．6 D． 7．已知关于x的分式方程无解，则m的值是（    ） A． B．1 C．或2 D．或 8．要使的值为整数，下列选项中，的值不能是（     ） A．2 B．4 C．5 D．7 9．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（   ） A．1 B．1或 C． D．或 10．已知 a 为正数，且或，比较与的大小，可通过作差法判断，则 P 与 Q 的大小关系为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若分式的值为零，则______． 12．若关于的分式方程的解为，则的值是__________． 13．对于实数a，b，定义一种新运算“☆”：☆，则方程☆的解是______． 14．已知关于的分式方程的解为正数，则m的取值范围是______． 15．嘉嘉计算时，由于错将分式前的“”抄成了“”，得到的错误结果为，则正确的计算结果应是__________． 16．若整数a使得关于x的不等式组解集为，使得关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的和为__________． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．解方程： (1)； (2)． 19．先化简，再求值：，其中 20．同学们，在学习路上，我们犯各种各样的错误是在所难免的．其实，这些错误并不是我们学习路上的绊脚石．相反，如果我们能够聚焦错误、分析错误、发散错误以及归类错误，那么我们就能够以错误为梯，补齐短板，进而大幅提升学习效益．小王在复习时发现一道这样的错题： 解方程： 解：① ② ③ ④ ⑤ ⑥ (1)请你帮他找出这道题从第_______步开始出错； (2)请完整地解答此分式方程； (3)通过解分式方程，你获得了哪些活动经验？（至少要写出两条） 21．某校开展校园读书月活动，为了提高学生的阅读热情，准备购进A，B两种型号的钢笔作为奖品．已知用480元购进A型钢笔的数量比用175元购进B型钢笔的数量多25支，且A型钢笔的单价是B型钢笔单价的1.6倍． (1)求两种型号钢笔的单价各是多少元． 根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程： 甲：；乙：． ①甲所列方程中的x表示______，乙所列方程中的y表示______． ②从甲、乙两名同学的方法中，选择一个进行解答； (2)该校准备用不超过1280元的价格购进这两种型号的钢笔共200支，则最多可购进A型钢笔多少支？ 22．2025年4月24日是第十个“中国航天日”，本次航天日的主题“海上生明月，九天揽星河”这一主题寓意人类共享宇宙探索成果，彰显中国航天和平利用外层空间，推动构建人类命运共同体的理念，某航天纪念品网店中，一个“天宫”空间站模型比一个“祝融号”火星探测器模型销售单价多30元，某天该网店卖出“天宫”空间站模型的销售额为2400元，“祝融号”火星探测器模型销售额为1500元，且销售的数量相等． (1)求“天宫”空间站模型和“祝融号”火星探测器模型每个售价分别是多少元？ (2)若某学校要购买该网店的上述两个模型共50个，且“天宫”空间站模型的数量不低于“祝融号”火星探测器模型的一半．求该学校最少花费多少元？ 23．【阅读学习】阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由知，所以，即， 所以． 故的值为． 【类比探究】（1）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目： 已知，求的值． 【拓展延伸】（2）已知，，，求的值． 试卷第4页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C A A D D D C C 1．C 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，分式分母不为0，列不等式组求解即可． 【详解】解：∵函数同时含有二次根式和分式， ∴二次根式满足被开方数非负，分式满足分母不为0， ∴， 解得：且． 2．B 【分析】按照要求给原方程每一项同乘，注意，化简后即可得到结果． 【详解】解： 将方程两边同乘，得 ， 化简得即变形后为． 3．C 【分析】根据解分式方程的步骤逐步分析即可解答． 【详解】解： 原方程为，且 ， A．去分母时，方程两边同时乘即可化为整式方程，因此选项A正确； B．去分母后整理得 ，因此选项B正确； C．解整式方程 ，得；将代入原方程分母，得 ，分母为零，分式无意义，因此是增根，原分式方程无解；即选项C错误，选项D正确． 4．A 【分析】根据题意将扩大后的x，y代入分式，化简后结合原分式的值即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， 将x，y都扩大3倍后，得到新分式： ． 5．A 【分析】先对原式因式分解，将除法转化为乘法约分得到化简结果，再结合分式有意义的条件逐个判断选项即可． 【详解】解： ，故A正确； 选项B：时原算式中两个分母均为0，无意义，故B错误； 选项C：当时，，， ∴ ，为负数，故C错误； 选项D：若为整数，只需为整数，例如时，也为整数，故D错误． 6．D 【分析】先根据同分母分式加减法则计算原式，再利用平方差公式因式分解约分，最后代入已知条件计算结果即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 7．D 【分析】由分式方程解法，先去分母得到，分类讨论求解整式方程，再由分式方程无解的条件列方程求解即可得到答案． 【详解】解：， ，则， 若，即时，整式方程无解，则分式方程无解； 若，即时，整式方程解为， 当，即时，则分式方程分母为0，分式方程无解； 综上所述，的值是或． 8．D 【分析】先对原式通分化简，再根据分式值为整数的条件判断选项，找出不符合要求的值． 【详解】首先对原式变形整理 ∵ ，，分式分母不为0，得 ∴ 原式 通分后计算分子得： ∴ 原式 将选项依次代入验证： A． 时， 是整数，符合要求； B． 时， 是整数，符合要求； C． 时， 是整数，符合要求； D． 时， 不是整数，不符合要求． 因此的值不能是7． 9．C 【分析】根据分式方程增根的定义，先确定增根的取值，再将分式方程化为整式方程，代入增根即可求出的值. 【详解】∵原分式方程有增根， ∴最简公分母，解得增根为， 方程两边同乘去分母，得： ， 整理得： ， 将增根代入上式，得： ， 解得． 10．C 【分析】本题要求用作差法比较两个分式的大小，先计算，通分化简后，根据的取值范围判断差的符号，即可解答． 【详解】∵，，为正数， ∴， ，差的符号由分子 决定 或 -当 时，，， ，，即 ， 当 或 时，， ，即 ， ， 当 时，，， ，，即 ， ， 综上，当 或 时，总有 ． 11． 【分析】分式的值为零需满足分子为零，同时分母不为零，据此计算求解． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，且， 解得， 由得， ∴． 12． 【分析】根据方程的解的定义，将已知解代入原分式方程，得到关于的一元一次方程，求解后检验即可得到的值． 【详解】解：因为是分式方程的解，所以将代入原方程，得， 计算得： ， 整理得：， 经检验，当时，满足原方程分母不为0的条件，符合题意． 13． 【分析】根据新定义将原方程转化为分式方程，再按照分式方程的解法求解并检验． 【详解】解：根据新定义☆，代入，， 方程☆ 可转化为： ， 整理得 ， 解得， 检验：当时， ， 所以是原方程的解． 14．且 【分析】根据分式方程解的情况求参数的取值范围，先解出分式方程的解，再根据解为正数且分式有意义列出不等式求解即可. 【详解】解：， 方程两边同乘得， ， 展开整理得， 解得：， 分式方程的解为正数，且分式有意义时分母不为， 且，即且， 解得且. 15． 【分析】根据错误计算列出关于的等式，求出的化简结果，再将代入正确的分式算式，通分化简即可得到正确结果． 【详解】解：由题意可知，错算的等式为 移项得 ， ∴ ； 16． 【分析】解不等式组，根据不等式组的解集确定的初步取值范围，再解分式方程，根据分式方程的解为正数且分母不为零确定的最终取值范围，排除增根对应的值，找出范围内所有整数计算其和． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， ， 解得， 解分式方程得， 分式方程的解为正数，且分母不为， 且， 解得且， 可得的取值范围为且， 满足条件的整数为， 计算和为：． 17．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先通分化为同分母分式，再进行计算即可； （2）先根据异分母减法运算法则计算括号内的，再根据分式除法运算法则，进行计算即可； （3）先通分化为同分母分式，再进行计算即可； （4）先根据异分母加法运算法则计算括号内的，再根据分式除法运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 18．(1) (2)原分式方程无解 【详解】（1）解：， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 经检验，是原方程的解； （2）解：， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得， 经检验，是原方程的增根， ∴原分式方程无解． 19．； 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 20．(1)② (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据去分母，两边同时乘，即可确定； （2）先去分母，再解一元一次方程，最后检验； （3）从求解的每一步分析，得出需要注意的地方． 【详解】（1）解：这道题从第②步开始出错； （2）， 去分母得：， ， ， ， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的增根，故无解． （3）解分式方程去分母时，每一项都要乘以最简公分母； 解分式方程要检验． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 21．(1)①B型钢笔的单价；用480元购进A型钢笔的数量；②见解析； (2)最多可购进A型钢笔93支． 【分析】（1）①根据题意判断即可； ②任选其一，根据解分式方程的步骤求解即可； （2）设购进A型钢笔支，则购进B型钢笔支，根据题意列不等式求出的取值范围，可知最多可购进A型钢笔的数量． 【详解】（1）解：①B型钢笔的单价；用480元购进A型钢笔的数量 ②选甲同学的方法． ． 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ∴． 答：A型钢笔的单价为8元，B型钢笔的单价为5元． 选乙同学的方法．． 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． （元），（元）． 答：A型钢笔的单价为8元，B型钢笔的单价为5元． （2）解：设购进A型钢笔m支，则购进B型钢笔支． 根据题意，得． 解得． ∵m为正整数， ∴m最大为93． 答：最多可购进A型钢笔93支． 22．(1)“天宫”空间站模型和“祝融号”火星探测器模型每个售价分别是80元和50元 (2)3010元 【分析】（1）设“祝融号”火星探测器模型每个售价是元，则“天宫”空间站模型每个售价为元，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论； （2）设购买“天宫”空间站模型个，则购买“祝融号”火星探测器模型为个，列出函数关系式，即可得出结论． 【详解】（1）解：设“祝融号”火星探测器模型每个售价是元，则“天宫”空间站模型每个售价为元， 由题意得，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 所以， 答：“天宫”空间站模型和“祝融号”火星探测器模型每个售价分别是80元和50元． （2）解：设购买“天宫”空间站模型个，则购买“祝融号”火星探测器模型为个， 根据题意得，解得， 设该学校需花费元， 根据题意得： ， ， 随的增大而增大， 为整数， 的最小值为17， 当时，有最小值 ， 答：该学校最少需花费3010元． 23．（1）（2） 【分析】（1）利用“倒数法”取已知等式的倒数，整理得到；将所求分式取倒数，利用完全平方公式配方和整体代入的方法求得式子的值，最后取倒数即可得出结论； （2）将已知三个等式的左右两边分别相加得到的值，将所求的分式取倒数计算出结果，代入求值后，再取倒数即可得出结论． 【详解】解：（1） 即 （2）∵ ∴ ∴由①+②+③得： ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查分式的化简求值，分式的加减法，倒数的意义，分式的乘除法，完全平方公式的应用，运用了恒等变换和整体代入的思想方法．本题是阅读型题目，理解并熟练运用题干中的解题思想与方法是解题的关键． 答案第4页，共13页 答案第3页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $