精品解析：青铜鸣2022-2023学年高二上学期联考数学试题

2024届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣高二联考数学（人教版） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线上有点，则l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2 2. 已知等差数列，前n项和为，，则（ ）． A. 200 B. 300 C. 500 D. 1000 3. 在四面体中，，则点B到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线l过点，且分别交两直线于x轴上方的两点，O点为坐标原点，则面积的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. D. 20 5. 已知初中学过的反比例函数的图象是非标准状况下的双曲线，根据图象的形状及学过的双曲线的相关知识，推断曲线的一个焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 已知各项均为正数的等比数列的公比为，数列共6项，和为63，前3项和与后3项和的积为392，则（ ）． A. B. 2 C. D. 2或 7. 在平行六面体中，，且交平面于点M，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知抛物线上有不同于原点的三点A，B，C，直线过焦点F，，，直线交x轴于点，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知点在内，则下列表述正确的是（ ） A. B. 直线与圆相交 C. 过点的弦长最小值为 D. 与相内切 10. 在三棱锥中， 四点分别为棱的中点，则以下表述正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 11. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 的n的最大值为10 12. 以下为自然数从小到大依次排成的数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 …… 第行有个数，则（ ）． A. 该数阵第行第一个数为 B. 该数阵第行所有数的和为 C. 该数阵第行最后一个数为 D. 若数阵前行总和为，，则的最大值为7 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 若数列满足，且数列单调递减，则的取值范围是______． 14. 已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交两渐近线于x轴上方的不同两点C，D，且，则___________． 15. 台球赛的一种得分战术手段叫做“斯诺克”：在白色本球与目标球之间，设置障碍，使得本球不能直接击打目标球.如图，某场比赛中，某选手被对手做成了一个“斯诺克”，本球需经过边，两次反弹后击打目标球N，点M到的距离分别为，点N到的距离分别为，将M，N看成质点，本球在M点处，若击打成功，则___________． 16. 已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，椭圆上有点M，，，则椭圆的离心率为___________． 四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知，两圆交于 两点，两圆的一条公切线段． （1）求的值； （2）求点到直线距离的最大值． 18. 在长方体中，，M为中点，． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2） 分别为直线上的点，求的最小值． 19. 已知抛物线，O点为坐标原点，过点的直线交抛物线于A，B两点，． （1）求抛物线的方程； （2）以点M为圆心的圆与抛物线有四个交点分别为P，Q，S，T，当等腰梯形的一条对角线的斜率为2时，求圆M的半径． 20. 在三棱台中，平面，，． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 21. 已知椭圆上有点，左、右焦点分别为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若点Q为椭圆的上顶点，椭圆上有异于Q的两点 满足，求证：直线恒过定点． 22. 已知数列满足，，． （1）证明：数列是等比数列； （2）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣高二联考数学（人教版） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线上有点，则l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】求得直线的斜率，即可求得答案. 【详解】因为，故l的倾斜角, 故选:D． 2. 已知等差数列，前n项和为，，则（ ）． A. 200 B. 300 C. 500 D. 1000 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列求和公式及可得，则由整体法可求. 【详解】设数列的首项为，公差为d， 则， 化简得，． 故选：C． 3. 在四面体中，，则点B到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以O为原点，以方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面的距离的向量求法计算可得答案. 【详解】根据题意，以O为原点，方向分别作为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图， 则， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，点B到平面的距离． 故选：A． 4. 已知直线l过点，且分别交两直线于x轴上方的两点，O点为坐标原点，则面积的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】判断直线斜率存在并设直线l的方程为，求出两点的横坐标，表示出三角形的面积，并化简，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意知直线l的斜率一定存在，斜率设为k，则直线l的方程为， 分别与联立可得两点的横坐标：， 故，两点都在x轴的上方， 故， 故， 当且仅当，即时等号成立， 故面积的最小值为8， 故选：A． 5. 已知初中学过的反比例函数的图象是非标准状况下的双曲线，根据图象的形状及学过的双曲线的相关知识，推断曲线的一个焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知求出曲线的即得解. 【详解】解：曲线的实轴是，实轴与渐近线的夹角为， 故与的一个交点坐标是， 与曲线对称中心的距离， 则，故曲线的焦点坐标为． 故选：B． 6. 已知各项均为正数的等比数列的公比为，数列共6项，和为63，前3项和与后3项和的积为392，则（ ）． A. B. 2 C. D. 2或 【答案】B 【解析】 【分析】设数列前3项和为A，后3项和为B，由题可得A，B，后可得答案. 【详解】设数列前3项和为A，后3项和为B， 则，解得，或， 又各项均为正数，且，则，得，， 即，， 两式相除得，则． 故选：B． 7. 在平行六面体中，，且交平面于点M，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接交于点H，连接与交于点O，由几何关系证明且点M与点O重合，则由求模即可. 【详解】根据题意，连接交于点H，连接与交于点O，如图， 在平行六面体中，，则， 根据平面的基本性质易知点M与点O重合，故 ． ∴ 故选：D． 8. 如图，已知抛物线上有不同于原点的三点A，B，C，直线过焦点F，，，直线交x轴于点，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用点差法结合可得，进而表达出，，进而根据可得，进而可得直线方程，再代入求解即可. 【详解】根据题意设，则，即， 则，化简得， ， 故，解得， 则直线方程为，令得． 故选：C． 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知点在内，则下列表述正确的是（ ） A. B. 直线与圆相交 C. 过点的弦长最小值为 D. 与相内切 【答案】AC 【解析】 【分析】根据点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系、最短弦长、圆与圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A：点M在内，故，A正确； 对于B：点O到直线的距离为，故直线与圆相离，B错误； 对于C：弦与垂直时，过的弦长最小为，C正确； 对于D：的圆心为，半径为， ．故D错误． 故选：AC 10. 在三棱锥中， 四点分别为棱的中点，则以下表述正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据向量的数量积的运算律可判断A;判断四边形为平行四边形，可得，判断B;判断判断四边形为菱形可判断C;根据向量的定义可判断D. 【详解】对于A：即即， 两式相减得，即，故A正确； 对于B：连接，如图， 四点分别为棱的中点， 则，且， 则四边形为平行四边形，故，故B正确； 对于C：由可知，平行四边形为菱形，故，故C正确； 对于D：，两向量所在直线为平行四边形 对角线所在直线，两向量不共线，故，故D错误． 故选： ． 11. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 的n的最大值为10 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出数列的前面几项，可推出，利用递推式可推得，以此类推，可判断A;举反例当时，，判断B; 由可知，结合递推式判断C;根据数列的规律，可知数列各项化为既约分数可得，分子依次为裴波那契数列的各项，由此可得，可判断D. 【详解】由求出数列的前n项： ， 对于A，由以上分析可知， ，则， 同理可推得，A正确； 对于B，当时，，B错误； 对于C，由可知， 故，C正确； 对于D，数列各项化为既约分数可得，分子依次为裴波那契数列的各项， ，分母从第二项依次取， 故， 列出裴波那契数列的项：， 可知要满足，则n最大取10，D正确． 故选： ． 12. 以下为自然数从小到大依次排成的数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 …… 第行有个数，则（ ）． A. 该数阵第行第一个数为 B. 该数阵第行所有数的和为 C. 该数阵第行最后一个数为 D. 若数阵前行总和为，，则的最大值为7 【答案】AC 【解析】 【分析】根据等差数列，等比数列的前项和公式，逐个分析计算即可. 【详解】该数阵每行第一个数分别为，，…，归纳可得数阵第行第一个数为，故A正确； 第行第一个数为，最后一个数为， 所以第行数之和为，故B错误； 由A知，第行的第一个数为，故第行的最后一个数为，故C正确； 前行共有个数， 所以前行总和为， ，则，验证： 当时，， 当时，，故D错误． 故选：AC． 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 若数列满足，且数列单调递减，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，构造，两式相减变形分析讨论，然后根据数列为减数列，列出不等式解出即可. 【详解】由得， ， 两式相减得， 当时，， 当时，， 均不合题意， 所以， 故数列是以为首项，以为公比的等比数列， 数列单调递减等价于或， 解得． 故答案为：. 14. 已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交两渐近线于x轴上方的不同两点C，D，且，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】过焦点的直线方程可设为，再分别联立渐近线方程可得，，进而根据求解即可. 【详解】根据题意，过焦点的直线方程可设为，与联立得，，与联立得，，如图， 又，由渐近线倾斜角互补，故，可得，即，解得． 故答案为： 15. 台球赛的一种得分战术手段叫做“斯诺克”：在白色本球与目标球之间，设置障碍，使得本球不能直接击打目标球.如图，某场比赛中，某选手被对手做成了一个“斯诺克”，本球需经过边，两次反弹后击打目标球N，点M到的距离分别为，点N到的距离分别为，将M，N看成质点，本球在M点处，若击打成功，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】以C为原点，边分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，写出的坐标，求出关于轴的对称点的坐标，关于轴的对称点的坐标，则直线方向为本球射出方向，利用斜率公式和诱导公式可求出结果. 【详解】以C为原点，边分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图， 则， N关于x轴的对称点为关于y轴的对称点为， 直线方向为本球射出方向， 故,. 故答案为：. 16. 已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，椭圆上有点M，，，则椭圆的离心率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点N，利用面积相等求出，然后设，利用两角和的正切公式求出，将其与直线的斜率联系进而得到，设，再利用两点求直线的斜率得到，结合在椭圆上，即可得到，进而求出结果. 【详解】过点作于点N，如图， 设，得， 设，， ，则， 即， 又， 解得，即， 设，则，即， 而， 则，所以． 故答案为：. 四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知，两圆交于 两点，两圆的一条公切线段． （1）求的值； （2）求点到直线距离的最大值． 【答案】（1）. （2）． 【解析】 【分析】（1）作于点H， 连接,可得四边形为矩形，求得相关线段的长，推出，，说明直线过O点，即可求得． （2）表示出点到直线距离，由（1）可得，结合基本不等式可得， 即可求得答案. 【小问1详解】 如图，两圆交于 两点， 设为两圆的一条公切线，作于点H， 连接, 则 ,则四边形为矩形， 则， 则，根据勾股定理得， 又，，故,则， 同理， 故直线过O点，故． 【小问2详解】 点到直线距离设为d，则， 点满足，即， 因为，故，即， 当且仅当时，取得等号， 则，则， 则，当且仅当时，d取最大值． 18. 在长方体中，，M为中点，． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2） 分别为直线上的点，求的最小值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，求得相关点坐标以及相关向量坐标，利用可求得m的值，根据向量的夹角公式即可求得异面直线与所成角的余弦值； （2）作辅助线，证明平面，从而将的最小值转化为点B到平面的距离，利用空间距离的向量求法可得答案. 【小问1详解】 设，以D为原点，以的方向分别作为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图， 则， ， 由可得，解得， ，， 故， 异面直线与所成角的范围， 则异面直线与所成角的余弦值为． 【小问2详解】 取中点为，连接，则 而, 则四边形为平行四边形，则平面平面， 则平面， 设点B到平面的距离为d，则，故d值即为的最小值． , 设平面的法向量为，则 ，即 ， 取，则，故， 则的最小值为． 19. 已知抛物线，O点为坐标原点，过点的直线交抛物线于A，B两点，． （1）求抛物线的方程； （2）以点M为圆心的圆与抛物线有四个交点分别为P，Q，S，T，当等腰梯形的一条对角线的斜率为2时，求圆M的半径． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设设点，点，直线的方程为，联立结合韦达定理可得，由得，代入坐标化简得，即可求解； （2）如图，设则，则由等腰梯形对角线斜率为2，结合抛物线方程、斜率公式化简得，即有（*）， 联立与消y得方程，即可结合韦达定理代入（*）解得可能的r，最后判断方程是否有两个不等正根即可. 【小问1详解】 设点，点，直线的方程为， 由题意得，则， 即，化简得， 将代入抛物线方程可得，， ∴，则，解得， 故抛物线方程为； 【小问2详解】 如图，设则， 由等腰梯形的一条对角线的斜率为2得， 则，即，即（*）， 将代入圆M的方程：，得， 此方程有两个不等正根等价于解得， 将代入（*）式得，解得，符合， 故圆M的半径为． 20. 在三棱台中，平面，，． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用线线垂直，证明线面垂直. （2）建系，分别求出平面和平面的法向量，进而利用向量法，计算出二面角的余弦值即可. 【小问1详解】 证明：在梯形中，， 因为，所以， 设点到平面距离为h，，解得， 故平面，而平面，则， 又， 易得，又，则，又， 平面，则平面． 【小问2详解】 由（1）知，两两互相垂直，以为原点，方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图， 则， 设平面的法向量为， 则即 取得，， 设平面的法向量为， 则即 取，则， ， 故二面角的余弦值为． 21. 已知椭圆上有点，左、右焦点分别为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若点Q为椭圆的上顶点，椭圆上有异于Q的两点 满足，求证：直线恒过定点． 【答案】（1）. （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意可求得的值，即得答案. （2）当直线斜率存在时，设出直线方程并和椭圆方程联立，得到根与系数的关系式，结合化简可得参数的关系式，从而化简直线方程，可得定点坐标，当直线斜率不存在时，可同理推得直线过该定点. 【小问1详解】 根据椭圆定义得，，即 ， ，故椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 证明：设，当直线斜率存在时，设直线方程：， 则由题意得，将，代入整理得： （*）， 将代入椭圆方程整理得， 需满足 ，则， 代入（*）式得：， 整理得， 当时，过B点，不合题意； 故，直线的方程为， 故此时过定点； 当直线斜率不存在时，设方程为，代入可得 ， 不妨设， 由可得 ，解得， 此时方程为，也过定点， 综合上述，过定点. 【点睛】方法点睛：关于直线和圆锥曲线的位置关系涉及直线过定点的问题，一般方法是设出直线方程，并和圆锥曲线方程联立，应用根与系数的关系式结合条件表示出参数之间的关系，从而将直线看作直线系方程，分离参数即可求得定点，同时要注意直线斜率不存在的情况. 22. 已知数列满足，，． （1）证明：数列是等比数列； （2）证明：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用代入法即可证明． （2）利用放缩法即可证明． 【小问1详解】 证明：（1）根据题意，， 由，得， 故数列是以为首项，3为公比的等比数列． 【小问2详解】 由（1）知，， 则， 则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $