精品解析：河南郑州市第十八中学2025-2026学年上学期期末学业质量诊断测评高二数学试题

2025-2026学年上期期末学业质量诊断测评 高二数学 注意事项： 本试卷分第卷I（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，考试时间为120分钟，满分150分，考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 第I部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线倾斜角为（ ） A. 0 B. C. 不存在 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线的图像可得倾斜角. 【详解】直线的图像与轴垂直， 故其倾斜角为. 故选：B 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准方程，进而得到焦点坐标. 【详解】由可得抛物线标准方程为：，其焦点坐标为. 故选：D. 3. 设是等差数列的前项和，若，则（ ） A. 132 B. 88 C. 44 D. 33 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式以及通项公式列出关于首项和公差的方程，求出与，再利用前项和公式求出. 【详解】根据是等差数列的前项和，由等差数列前项和公式可得.所以，化简可得.  ，即.得.  将代入中，解得. 将代入，可得. 可得： 故选：C. 4. 如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的基底表示结合向量的数量积和模长的计算即可. 【详解】， 所以， 因为三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是， 所以， 所以. 故选：C. 5. 已知数列，则（ ） A. 1 B. 5 C. -4 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由题设求出得到数列具有周期性，再利用周期性即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以数列是周期为6的周期数列， 所以. 故选：B. 6. 已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与在第一象限内的交点为.若，则点到直线的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，用半焦距c表示，再结合双曲线定义求出，进而求得答案. 【详解】依题意，，双曲线的半焦距， 由，得，则，而， 于是，即，解得，而点是线段中点， 所以点到直线的距离为. 故选：C 7. 已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程，从而得到圆心坐标和半径，再根据弦长求出圆心到弦MN的距离，进而确定点的轨迹，最后根据点到直线的距离公式求出的最小值. 【详解】已知圆的方程为，将其配方可得. 可知该圆的圆心坐标为，半径.  因为点为线段MN的中点，根据垂径定理可知. 已知，则. 在中，根据勾股定理. 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.  已知点在直线上，可得圆心到直线的距离为： .  因为点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以的最小值等于圆心到直线的距离减去圆的半径，即 故选：B. 8. 斜率为的直线经过双曲线的左焦点，交双曲线两条渐近线于两点，为双曲线的右焦点且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设为中点，由可得，从而确定点坐标，再用点差法探索双曲线中，的关系，从而确定离心率. 【详解】如图： 取为中点，则由题意：，，则，. 作轴于点，则，， . 所以点坐标为. 再设，. 由， 且，，得： . 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据是等腰三角形，从而得到垂直关系是问题的突破口. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若平面，的法向量分别是，，直线的方向向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. B. C. 与为相交直线 D. 在上的投影向量为 【答案】AD 【解析】 【分析】由空间向量的坐标运算判断线面的平行垂直关系，可判断A、B、C选项；利用投影向量的计算公式计算可判断D选项. 【详解】∵，∴，故A正确； ∵，∴或，故B错误； 设，则，此方程组无解，则与为相交直线或异面直线，故C错误； 在上的投影向量为，故D正确. 故选：AD 10. 记等比数列前项积为，且，若，则的可能取值为（ ） A. B. 5 C. 6 D. 7 【答案】BD 【解析】 【分析】由等比数列的性质求得，然后由得出的可能情形，再计算和． 【详解】∵等比数列，∴， ∴， 又，， ∴分别为或或或， 或. 故选：BD． 11. 如图，在直三棱柱中，，，，是棱上的动点，则（ ） A. 平面平面 B. 存在点，使 C. 存在点，使点到平面的距离为 D. 存在点，使直线与所成角的余弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由面面垂直的判定定理可判断A；当与重合时，，又，故不存在点，可判断B；在平面内过作的垂线，垂足为，则为点到平面的距离，求出可判断C；以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，由异面直线所成角的向量公式求解可判断D. 【详解】在直三棱柱中，因为平面，平面， ∴平面平面，故A正确； 连接，由平面，平面，得， 在中，当与重合时，， 又，故不存在点，使，故B错误； ∵平面平面，在平面内过作的垂线，垂足为， 则为点到平面的距离， 易知，故C正确； 如图，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，设（）， 则，，令 ， 整理得，解得（舍去），， 且，故D正确. 故选：ACD. 第II部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆的焦距为2，则______． 【答案】5或7. 【解析】 【分析】讨论焦点在轴上或在轴上，分别计算即可得到结果. 【详解】当椭圆焦点在轴时，， 由焦距为得，，故，解得. 当椭圆焦点在轴时，， 由焦距为得，，故，解得. 故答案为：5或7. 13. 已知圆，直线若圆上有两个点到直线的距离等于1，则实数b的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】圆上的点到直线由两个点的距离为1，转化为圆心到直线的距离大于1小于3，求解即可. 【详解】根据题意，圆的圆心为，半径为2， 因为直线若圆上有两个点到直线的距离等于1， 则圆心到直线距离为：，， 所以此时b的取值范围是 故答案为： 14. 已知数列的前项和为，若是和的等比中项，设，则数列的前60项和为______________． 【答案】 【解析】 【分析】可求得，同时由，可得，可得数列的前60项和的值. 【详解】解：是和的等比中项，， 当n=1时，，解得：； 当n=2时，，解得：； 当n=3时，，解得：， … 可得，， 由，有， 故=， 可得，，…, 故=+…=. 【点睛】本题主要考查数列的求和及数列的通项公式，得出是解题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15. 已知数列满足． （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前n项和． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用作差法求出的值，进而得到的通项. （2）由（1）的结论求出，再按分段，并结合等差数列的前n项和公式求解. 【小问1详解】 在数列中，， 当时，， 两式相减，得，则，当n＝1时，，即，满足上式， 所以的通项公式是. 【小问2详解】 由（1）知，， 令，得，则，记， 当时，，则； 当时，，则 ， 所以数列的前n项和. 16. 已知过、两点，且圆心M在直线上. （1）求的标准方程； （2）若直线l：与圆交于E，F两点，且（O为坐标原点），求直线l的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求圆的方程； （2）设出点E，F坐标，将直线方程代入圆的方程，进而利用根与系数的关系建立等式，再结合求出参数m，最后得到答案. 【小问1详解】 设的方程为. 因为.过、两点，且圆心M在直线上. 所以 解得：，，， 所以的标准方程为：. 【小问2详解】 设，， 联立立得， 由题意得：，即， 由根与系数关系得：，， 所以 ， 解得， 又因为满足， 故所求直线l的方程为. 17. 已知椭圆 过点 ，其右焦点为 . （1）求椭圆 的方程和离心率； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，关于轴对称的点为，判断三点是否共线，并加以证明. 【答案】（1）， （2）三点共线，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件可得，，计算的值，即可得到椭圆方程和离心率. （2）设直线方程，与椭圆方程联立，表示，，利用即可证明结论. 【小问1详解】 由题意得，，，所以， 所以椭圆的方程为，离心率 . 【小问2详解】 三点共线. 证明如下： 由题意可知直线的斜率存在， 设直线的方程为 ， 由得， 设，，则，，， ∵，， ∴ ， ∴，∴三点共线. 18. 如图，在四棱锥中，，，，，，E，F分别是棱PA，PC的中点. （1）证明：平面 （2）求四棱锥体积. （3）求平面DEF与平面ABCD夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）取AB的中点M，连接DM，可证，进而得，结合已知可证结论； （2）由（1）可证，进而通过≌，可证，进而可得平面ABCD，可求四棱锥的体积； （3）以D为原点，分别以DM、DC、DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求得平面DEF的一个法向量与平面ABCD的一个法向量，利用向量法可求两平面的夹角的余弦值. 【小问1详解】 取AB的中点M，连接DM， 且，，从而四边形MBCD是矩形， 则，又，所以，得， 从而，又，，平面PAD， 所以平面PAD； 【小问2详解】 由（1）可知平面PAD，平面PAD，所以， 又由，，则，得是一个等腰直角三角形， 从而，又，，所以≌， ，所以，，平面ABCD， 平面ABCD，PD长就是四棱锥的高， 中，易得， ， 从而 【小问3详解】 由（1）（2）可以D为原点，分别以DM、DC、DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系， ，，，则，， 可得， 设平面DEF的法向量为， 则，令，则， 所以平面DEF的一个法向量为， 而平面ABCD的法向量可取， 所以， 所以平面DEF与平面ABCD夹角的余弦值为 19. 已知抛物线，其焦点为． （1）两点为抛物线上的动点且满足，直线不垂直于轴，求证：线段的垂直平分线过定点，并求出点的坐标； （2）已知椭圆，圆，过（1）中点作斜率分别为的直线，且满足，直线交椭圆于两点，直线交圆于两点，点为中点，求面积的取值范围． 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）依题设出直线的方程，根据焦半径公式将条件转化为，将直线与抛物线方程联立消元求得，求出线段中垂线方程，易得过定点； （2）设直线与椭圆方程联立消元后运用韦达定理求出弦长，证明，将点到直线的距离即为点到直线的距离，计算出面积的表达式，，换元法即可计算出面积的范围. 【小问1详解】 如图，设， 则有 联立，消元得，则． 线段中点的坐标为．线段中垂线方程为， 即．线段中垂线必过定点． 【小问2详解】 设 联立，消元得． 则恒成立，且有． ． 又，则点到的距离为 由于，则点到即的距离即为点到的距离为． ． 令，则．上式 又，则函数在上递减，则，故． 【点睛】方法点睛：本题主要考查与圆锥曲线有关的几何图形面积的范围问题，属于较难题. 求解与圆锥曲线有关的图形面积范围问题，一般有以下三种方法： （1）直接法：根据面积公式，依次求得弦长（底边长），和弦上的高，即能得到函数表达式，利用函数方法求其范围即可； （2）分割法：根据穿过图形的特殊直线作为底边计算两个图形的面积的和； （3）拼接法：对于不易计算边长或者高的长度时，有时可考虑将其拼成一个规则图形间接法求面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上期期末学业质量诊断测评 高二数学 注意事项： 本试卷分第卷I（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，考试时间为120分钟，满分150分，考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 第I部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 0 B. C. 不存在 D. 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 设是等差数列的前项和，若，则（ ） A. 132 B. 88 C. 44 D. 33 4. 如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是，则（ ） A 2 B. C. D. 5. 已知数列，则（ ） A. 1 B. 5 C. -4 D. 4 6. 已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与在第一象限内的交点为.若，则点到直线的距离为（ ） A B. 1 C. D. 2 7. 已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 斜率为的直线经过双曲线的左焦点，交双曲线两条渐近线于两点，为双曲线的右焦点且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若平面，的法向量分别是，，直线的方向向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. B. C. 与为相交直线 D. 在上的投影向量为 10. 记等比数列前项积为，且，若，则的可能取值为（ ） A. B. 5 C. 6 D. 7 11. 如图，在直三棱柱中，，，，是棱上的动点，则（ ） A. 平面平面 B. 存在点，使 C. 存在点，使点到平面的距离为 D. 存在点，使直线与所成角的余弦值为 第II部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆的焦距为2，则______． 13. 已知圆，直线若圆上有两个点到直线的距离等于1，则实数b的取值范围是_______. 14. 已知数列的前项和为，若是和的等比中项，设，则数列的前60项和为______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15. 已知数列满足． （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前n项和． 16. 已知过、两点，且圆心M在直线上. （1）求的标准方程； （2）若直线l：与圆交于E，F两点，且（O为坐标原点），求直线l的方程. 17. 已知椭圆 过点 ，其右焦点为 . （1）求椭圆 的方程和离心率； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，关于轴对称的点为，判断三点是否共线，并加以证明. 18. 如图，在四棱锥中，，，，，，E，F分别是棱PA，PC的中点. （1）证明：平面 （2）求四棱锥的体积. （3）求平面DEF与平面ABCD夹角余弦值. 19. 已知抛物线，其焦点为． （1）两点为抛物线上的动点且满足，直线不垂直于轴，求证：线段的垂直平分线过定点，并求出点的坐标； （2）已知椭圆，圆，过（1）中点作斜率分别为直线，且满足，直线交椭圆于两点，直线交圆于两点，点为中点，求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $