四川遂宁市卓同教育集团2025-2026学年高三下学期强化训练（十二）数学试题

**基本信息** 聚焦数学核心素养，覆盖函数、几何、概率等模块，通过旋转体形成、市场数据、立体几何折叠等情境设计，实现基础巩固与能力提升的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数实部虚部、集合运算、旋转体形成|结合汽车内胎旋转情境考查空间观念| |多选题|3/18|数列递推关系、凸集定义|以杨辉三角为载体考查数学文化传承| |填空题|3/15|函数求值、复数数列求和、圆台与球体积|通过圆台打磨为球再到圆柱，考查空间想象| |解答题|5/77|解三角形、概率分布列、立体几何折叠、椭圆综合、导数证明|结合市场占有率数据考查概率，体现数据意识；立体几何折叠问题考查逻辑推理；导数零点数列论证提升创新应用能力|

卓同教育集团高2023级强化训练（十二) 数学试题 命题：符刚 审题：吴振 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.设复数z=2a-i,若z的实部与虚部相等，则实数a的值为() A B C.1 D.-1 2.已知全集U=R,集合A={xx>,则wA=() A.(←0，-1] B.[-1,0) c.[-1 D.(1,+0) 3.如图，汽车内胎（不考虑物体的内部结构）可以由下面某个图形绕轴旋转而成，这个图形是() 4.函数f()=2s2x+匹，将f(x)的图象向左平移交个单位长度后，再将所得的图象上所有的点横坐 6 6 标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，则y=g(x)的解析式为() A.g(x)=2cosx B.g(x)=2cos(4x) C.g(x)=2sinx D.86)-=2am+到 5.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为x1<x<2},则关于x的不等式bx2-m+c>0的解集为 () A.0 B.R c.<-1或x>3} 第1页/共4页 6.已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x+1)=f(x)-3,则f(-2)=() A.-6 B.6 C.3 D.-3 7.如图，已知正三角形ABC的边长为2，以B为圆心的圆与直线AC相切，若点P是圆B上的动点，则 ACAP的最大值是(). A.23 B.2+V5 C.4 D.2+2W3 8.已知函数y=f(x)的图象与函数y=a(a>0且a≠1)的图象关于直线y=x对称，记 g(x)=f(x)[f()+f2)-1]若y=g(x)在区间 上单调递增，则实数a的取值范围是() A.[2,+0) B.(0,1)U1,2) 0, 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知数列a}满足a=1,a42aaeN),则下列结论正确的有《） 1 1 A.数列 是等差数列 B .数列 是等比数列 C.{a}的通项公式为a= 1 D.数列{a}是递增数列 2n-1 10.设O为坐标原点，若对于区域D中任意两点B,B,都有PI0P=0P1+(1-)0P2,λ∈[0,1]}∈D, 则称D为“凸集”，则下列不等式所表示的区域中，是凸集的是() A,+s1B.+2≤D c.- D.x2≤4y 11.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史 上一项重要研究成果·从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角， 则下列说法正确的是() 第2页/共4页 第0行 1 第1斜列 第1行 1 1 … 第2斜列 第2行 121… 第3斜列 第3行 1331 ·第4斜列 第4行 14641 第5斜列 第5行 1510105 1 ·第6斜列 第6行1615201561… 第7斜列 第7行172135352171…第8斜列 A.第2026行的第1013个数最大 B.第10行所有数字之和为210 C.从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为C。-1 D.第48行的所有数字之和被7除的余数为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. e,x≥2 12.己知函数f(x)= f+2),x<2则/2)= 13.己知数列an=(W2i)2”+n(i为虚数单位)，则a的前n项和Sn为 14.将上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为6的一个圆台打磨成一个球，再将此球打磨成一个圆柱， 则该圆柱体积的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且V3sinA-cosA=1. (1)求A: (2)若b=3,△ABC的面积为33，求△ABC的周长. 16.某市场上工业品零件W的三种品牌公司的产品，相应的市场占有率和优质率的信息如下表： 品牌 甲 乙 丙 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 90% 80% 70% 记A,，A,A表示买到的工业品零件W的品牌分别为甲、乙、丙，B表示从市场上买的一个工业品零件 W是优质品. 第3页/共4页 (1)求事件B发生的概率； (2)用比例分配的分层随机抽样方法，从该市场选取10个工业品零件W,再从这10个零件中任选2个，用 X表示这2个零件中品牌甲的个数，求X的分布列和数学期望， 17.己知菱形ABCD中，∠A=60°，AB=2,E为AD中点，如图一所示，现将△ABE沿着BE折起，使得 点A到达点P,如图二所示. P(A) 图一 图二 (I)当PD=√2时，证明：平面PBC⊥平面PBE: (2)当PD=1时，求平面PBC与平面PCD所成夹角的余弦值. 18已知厦C学若=a>6s0的施精长为3一个生点为FL0,这友FH与标格不直的直线 I与C交于A,B两点. (1)求C的方程 (2)若线段AB的垂直平分线m交x轴于点D,交直线x=2于点E AB ()求rD (i)证明：∠D4B= 2 19.已知函数f(x)=tanx-x. 证明：∈02f)20: (2)将f(x)所有正零点排列为严格递增数列{a,}(n∈N) (i)证明：a+1-a,>兀； (ii)设[x]表示不超过x的最大整数，求】 第4页/共4页■■■■ 卓同教育集团高2023级强化训练（十二) 数学试题·答题卡 姓名： 考生条形码粘贴处 班级： 准考证号： 一、单选题 (共40分) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[AJ[B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[AJ[B][C][D] 二、多选题（共18分） O9[A][B][c][D] 10A][B][C] [D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 13. 14. 四、解答题（共77分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤) 此区域禁止答题 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16. (本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(本小题满分15分) P(A) D D 图一 图二 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）高2023级强化训练（十二） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 B C D D AC ABD BCD 12.2e2 13. 2(-2)”-2+n0n+四 14.64w5π 3 2 9 1.B【详解】由题设有2a=-l,即a=2 1 2.C【详解】解不等式x>1,得x>1或x<-1,即A=（-o,-1)UL,+∞)， 所以CA=「-1,1] 3.C【详解】A选项中的图形旋转得到的是同心球，外面一个大球，里面一个小球； B选项中的图形旋转得到的是空心环状几何体： C选项中的图形旋转得到的是内胎： D选项中的图形旋转得到的是球， 4.A【详解】将f(x)的图象向左平移”个单位长度，得y=2sim 2+}-2mx2m2x, 再将所得的图象上所有的点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得g(x)=2cosx, 5.C【详解】因关于x的不等式x+bx+c>0的解集为{x1<x<2}, a<0 a<0 则1+2=- ,即b=-3a, a c=2a 1×2=9 a 则bx2-+c>0,即-3ax2-ax+2a=-3a(3x2+x-2)>0, 所以3x2+x-2>0,解得x<1或x> 6.B【详解】f(x)是定义域为R的奇函数，可得f(0)=0, f(x+1)=f(x)-3,令x=0,得f(1)=f(0)-3=-3, 令x=1,得f(2)=f(1)-3=-6, 又函数为R上的奇函数，故f(-2)=-f(2)=6. 1 7.D 珠 【详解】 B A(O) 如图，以A为原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 已知正三角形ABC的边长为2，以B为圆心的圆与直线AC相切， 则A(0,0),B(1,V3),C(2,0),圆B的半径为√5， 因为点P是圆B上的动点，设P1+V5cos8,5+5sin0)6eD,2, 则Ac=(2,0),4AP=1+5cos83+5sin0）, 4C.AP=2(1+3cos0)=2+2/3cos0, 因为-1≤cos0≤1， 所以，当c0s日=1时，AC.AP取得最大值为2+2√5 8.D【详解】·函数y=f(x)的图象与函数y=d(a>0且a≠1)的图象关于直线y=x对称， .y=f(x)与y=a互为反函数， :.f(x)=logax...g(x)=f(x)[f(x)+f(2)-1]=(log.)"+(log.2-1)logx, 令f=1og.x,函数可化为h0=f+(log.2-1t,对称轴为直线t=1-1bg.2 2 当a>1时.化g号g,2,J)=以%猫西数，若y=8倒在K创[及上单调福猫 则)在[o号区，3上单调莲格1g已≤®日银得0<a 1 2 ,不合题意，舍去 当0a<15时，1[，2引re)-为减数，若=8倒在区同日上单洞道带 1 则AM0在b帆2g引上单调范减122行解得0a号 1 2 综上得，a的k独范国足® 9.AC 4,得 【详解】由4.h=1+2a, 11+20=1+2,则 1-1=2, Cnti Cu au 2 所以数列 是以上-1为首项，2为公差的等差数列，故A正确，B错误： 测1+(u-)x2=2r-山，即a即数列a}是递减数列，故c正确，D错误 1 10.ABD 【详解】对于A:它表示的是一个菱形区域，任意两点的连线都在区域内，是凸集； 对于B:它表示的是椭圆及其内部，任意两点的连线都在椭圆内，是凸集： 对于C:它表示的是双曲线的两支及其外侧，分别取两支上的一点，连线会穿过中间空白区域，不是凸集； 对于D:它表示的是开口向上的抛物线及其内部，任意两点连线都在区域内，是凸集， 11.BCD 【详解】对于A,由杨辉三角图可知，第n行有n+1个数字， 如果足奇数，则第”宁和第"”二1个致宁浸大，且这两个激宁一样大： 2 如果n是偶数，则第分1个数字最大，故第2026行的第2026+1=1014个数最大，故A错误： 2 对于B,由杨辉三角的每行系数和性质可知， 第0行所有数字之和为1=2°，第1行所有数字之和为1+1=2， 第2行所有数字之和为1+2+1=22，第3行所有数字之和为1+3+3+1=2， 第4行所有数字之和为1+4+6+4+1=2*，以此类推，第10行所有数字之和为210，故B正确： 对于C,由题意可得C+C+C++C3=(C+C)+C+C++C,-l =C+C+C8+…+Cg-1==C4。-1,C正确， 对于D,第48行的所有数字之和为 C+C8+C38++C8=248=86=1+7)6=C670+C67+C272++C8716 =1+7(C67+C67++C75),由于7(C67°+C67+…+C75)能被7整除， 故第48行的所有数字之和被7除的余数为1，D正确 12.2e2 【详解】因为ln2<2, 所以f(h2)=f(2+n2)=e2+m2=2e2 13.2-2)"-2+n0m+0 3 2 【详解】数列{an}中，a,=[(√2i)+n=(-2)+n, 3 显然数列{《-2)}为等比数列，{是等差数列， 所以S= -21-(-2^nn+1_2(-2)”-2M+9 1-(-2) 2 3 2 14.g元 【详解】 B G D 如图，由圆台的轴截面可知，当母线长等于上、下底面圆的半径之和时，圆台有内切球 因为6=2+4，所以该圆台有内切球， 故当打磨成该圆台的内切球时，球的体积最大 记内切球半径为R,可得2R=√62-(4-2)2=4V2,R=2√2 记圆柱的底面半径为，高为，易知圆柱体积最大时其外接球为圆台的内切球， 所以R2=8=2+ 则r2=8-h2,0<h<4W2 此时圆柱体积P=rh=动8-=8勋-设f=8助-，0<h<4反，则f=8-2 时，f()>0,f单调递增；当h∈ 46,42时，f0<0,f)单调递减 所以f份.m=f 46646 3 所以该圆柱体积的最大值为46元 9 15. 【解1》由5血404=1有2如4-哥1.即m4-君)月 623分 0<A<元，匹<A石<，A元 6 66’A 3 6分 (2)由（①D的结论有4=号又：b=3,Sc=35, 由三角形面积公式有8 be-×3cn-9c=35,c=4,9分 在△ABC中，由余弦定理有d2=b2+c2-2bc·cosA 4 =32+42-2×3×4cos5=13,a=V13, .12分 △ABC的周长=a+b+c=7+V13. .13分 16. 【详解】(1)由题得，市场占有率：P(4)=0.5,P（4,)=0.3,P(A)=0.2, 优质率：P(B|A)=0.9,P(B|A)=0.8,P(BA)=0.7, 则由全概率公式得P(B)=0.5×0.9+0.3×0.8+0.2×0.7=0.83. 6分 （2)由题意，10个工业品零件W中品牌甲5个，品牌乙3个，品牌丙2个，8分 X=0,1,2, 9分 P(X=0)= C_2 9 PCX-0-cc3 C9' X=2)=S-2 C9 所以X的分布列为： X 0 1 2 29 5 2 .13分 5 数学期望E(0=0×+1×。+2 9 21 15分 17. 【详解】(I)在菱形ABCD中，由∠A=60°，得△ABD是正三角形，由E为AD中点，得BE⊥AD, 2分 在图二中，BB1DB,BE1PE,由PE2+DE2=2=PD,得PE L DE,2分 又BEPE=E,BE,PEC平面PBE,因此DE⊥平面PBE,由DEI∥BC,得BC⊥平面PBE, 6分 又BCC平面PBC,所以平面PBC⊥平面PBE. 7分 (2)由(1)得BE⊥平面PDE,取ED的中点为O,连接PO,由PD=1,得△PED为正三角形， 则PO⊥DE,作Ox/EB,则Ox⊥平面PDE,直线Ox,OD,OP两两垂直， 以O为原点，直线Ox,OD,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 5 P(A 则Paa号.B5,号0.cs30.n050 9分 历=i分9元-B房5D=时号 1√3 mi.PB=V3x-1 V3 z=0 2 2 设平面PBC的法向量为=(xy,),则 mP43V3。,取1，得m=,0,2 z=0 2 11分 设平面PCD的法向量为n=(a,b,c),则 2℃0 i元=5a+3b点-0c=1,得n=1, -c=0 2 2 .13分 7n11 所以平面PBC与平面PCD所成夹角的余弦值为cosI,) 1m0V5x√55….15分 18. 【详解】(1)由题可知：2b=2,故b=1;焦点F(1,0),得c=1;由a2=b2+c2得a2=2. 所以椭圆C的方程为： 2+y=1 4分 (2)(1)设直线1：y=k(x-1)(k≠0)，A(:,),B(5,y) 与椭圆方程联立消去y得：(2k2+1)x2-4k2x+2(k2-1)=0① 2(k2-1) 则x+x2=2+1=22 6分 4k2）2 A=k--F压+4=+F人 8(k2-1） 2k+1 =2V2.2+1 22+1 8分 6 2k2 k AB中点M k12k2 2k2+1’2k2+1 线段AB的垂直平分线m:y+2K+1一 2k2+1 化简得：y= 1 k +2+1 令y=0,得D -,0 2k2+1’ 则|FD= k2 k2+1 2k2+112k2+1 ..10分 AB 25.2+1 所以 2+1=2W2 FD k2+1 11分 2k2+1 k12k2） 由①)知直线m:片2欢2水 令x=2得E 3 -3k2-2 (2k2+1) 12分 所以AD.AE=(x,-3)(2-)-(y:-)=2x。-(x。+2)+(+)-yE 2Rx-25+2--(x现2K+1利 k2 2k2+12k2+1 .14分 -2-24+2-.9+205- 2k2+1 2k2+1 尘沙2旷 2k2+1 2k2+1 =3-22x(2-22x+k2)2k2+1) 2k2+1 2k2+1 2(22+1)x2-4x+2k- 2k2+1 由①式可知，（2k2+1)x2-4k2,+2(k2-1)=0,所以AD.AE=0 即∠DAB=亚得证 17分 19 【详解】1)正明：=mr=,f)ol=lamx,x∈0分 cos2x 2 tanx≥0，f"(x)=tan2x≥0， 所以（在区回0引上单调递增，）≥0-0 5分 2)D证明：由1)f)在区间0到上单调选增，则x=0到时，>f0)=0,即此时f)无 零点，当及贺，0)=m2x≥0，f儿)=mxx单洞港者，又m意<m仔 3 m6+4) 3 一十 =2+5, 13 3 ）=m=m12+50,x→经到→ (8 88 88 8 则fx)在 11元3π 8’2 上有一个零点a, 同理可得f)在m+子m+上有一个零点a, 1 8 2 d=tand,ai =tand,a>a,an =tan an =tan (a+)<au=tana, 3.1）113 又4，∈m+。兀，1m+片π，A+H∈m+ 2 m+2 8 +mgm且vm在m智m ,11 ，3 ,11 +2上单调递增， .4+兀<4H,即4+1-4，>T; .11分 2tan d 2a (ii)tan2d=1-tan'd 1- cos4d-cos 2a-sin2I-tan2d 8 cosi2d,+sim 2d 1+tan 2d+2+1+2 ∈m+红m 8m+ 2 ,neN', ,3)2, -+2>n+ 3)2 7s元+12+2>2+ 元+2 （8/π2 8 n+ +8+2>m+2a+2. ,32 >9n+。 4 又9m2+27 +2-8m0m+1）=n2-3+2>0, 4 o之 ▣d+ a .17分 ( ) ( ) 卓同教育集团高2023级强化训练（ 十二 ） ( 15．（本小题满分13分） )数学试题·答题卡 ( 考生条形码粘贴处 )姓名：____________________ 班级：____________________ 准考证号：____________________ ( 一、 单选 题 （共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、多选题（共18分） 0 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三 、填空题（每小题5分，共 15 分） 13 ． 14 ． 四 、解答题（共7 7 分，解答写出文字说明 、 证明过程或演算步骤） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 16．（本小题满分15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（本小题满分17分） ) ( （本小题满分15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（本小题满分17分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2023级强化训练（十二） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C C A C B D D AC ABD BCD 12． 13． 14． 1．B【详解】由题设有，即. 2．C【详解】解不等式，得或，即， 所以. 3．C【详解】A选项中的图形旋转得到的是同心球，外面一个大球，里面一个小球； B选项中的图形旋转得到的是空心环状几何体； C选项中的图形旋转得到的是内胎； D选项中的图形旋转得到的是球. 4．A【详解】将的图象向左平移个单位长度，得， 再将所得的图象上所有的点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得. 5．C【详解】因关于的不等式的解集为， 则，即， 则，即， 所以，解得或． 6．B【详解】是定义域为的奇函数，可得， ，令，得， 令，得， 又函数为上的奇函数，故. 7．D 【详解】 如图，以A为原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 已知正三角形的边长为2，以B为圆心的圆与直线相切， 则，圆B的半径为， 因为点P是圆B上的动点，设， 则， 则， 因为， 所以，当时，取得最大值为. 8．D【详解】函数的图象与函数且的图象关于直线对称， 与互为反函数， ， 令，函数可化为，对称轴为直线. 当时，为增函数，若在区间上单调递增， 则在上单调递增，，解得，不合题意，舍去. 当时，为减函数，若在区间上单调递增， 则在上单调递减，，解得. 综上得，的取值范围是. 9．AC 【详解】由，得，则， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，故A正确，B错误； 则，即，即数列是递减数列，故C正确，D错误. 10．ABD 【详解】对于A：它表示的是一个菱形区域，任意两点的连线都在区域内，是凸集； 对于B：它表示的是椭圆及其内部，任意两点的连线都在椭圆内，是凸集； 对于C：它表示的是双曲线的两支及其外侧，分别取两支上的一点，连线会穿过中间空白区域，不是凸集； 对于D：它表示的是开口向上的抛物线及其内部，任意两点连线都在区域内，是凸集. 11．BCD 【详解】对于，由杨辉三角图可知，第行有个数字， 如果是奇数，则第和第个数字最大，且这两个数字一样大； 如果是偶数，则第个数字最大，故第行的第 个数最大，故 A错误； 对于，由杨辉三角的每行系数和性质可知， 第行所有数字之和为，第行所有数字之和为， 第行所有数字之和为，第行所有数字之和为， 第行所有数字之和为，以此类推，第行所有数字之和为，故 B正确； 对于C，由题意可得 ， C正确， 对于，第行的所有数字之和为 ，由于能被整除， 故第行的所有数字之和被除的余数为，D正确. 12． 【详解】因为， 所以 13． 【详解】数列中，， 显然数列为等比数列，是等差数列， 所以. 14． 【详解】 如图，由圆台的轴截面可知，当母线长等于上、下底面圆的半径之和时，圆台有内切球. 因为，所以该圆台有内切球， 故当打磨成该圆台的内切球时，球的体积最大. 记内切球半径为R，可得，. 记圆柱的底面半径为r，高为h，易知圆柱体积最大时其外接球为圆台的内切球， 所以，则，， 此时圆柱体积.设，，则. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以，所以该圆柱体积的最大值为. 15． 【详解】（1）由，有，即……………………………3分 ，，，； ……………………………6分 （2）由（1）的结论有，又，， 由三角形面积公式有，，………………………9分 在中，由余弦定理有 ，， ……………………………12分 的周长. ……………………………13分 16． 【详解】（1）由题得，市场占有率：，，， 优质率：，，， 则由全概率公式得． ……………………………6分 （2）由题意，10个工业品零件W中品牌甲5个，品牌乙3个，品牌丙2个， ………………………8分 ，1，2， ……………………………9分 ， ， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P ……………………………13分 数学期望． ……………………………15分 17． 【详解】（1）在菱形中，由，得是正三角形，由为中点，得， ……………………………2分 在图二中，，由，得， ……………………………2分 又平面，因此平面，由，得平面， ……………………………6分 又平面，所以平面平面. ……………………………7分 （2）由（1）得平面，取的中点为，连接，由，得为正三角形， 则，作，则平面，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ……………………………9分 ， 设平面的法向量为，则，取，得， ……………………………11分 设平面的法向量为，则，取，得， ……………………………13分 所以平面与平面所成夹角的余弦值为.………… ………15分 18． 【详解】（1）由题可知：，故；焦点，得；由得. 所以椭圆的方程为： ……………………………4分 （2）（i）设直线： 与椭圆方程联立消去得： ① 则， ……………………………6分 ……………………………8分 中点 线段的垂直平分线：， 化简得：.   令，得， 则， ……………………………10分 所以 .……………………………11分 （ii）由（i）知直线：，令得…… …………12分 所以 ……………………………14分 由①式可知，，所以 即得证. ……………………………17分 19． 【详解】（1）证明：，，，，，所以在区间上单调递增， .……………………………5分 （2）（i）证明：由（1）在区间上单调递增，则时，，即此时无零点，当，，单调递增，又， ，， 则在上有一个零点， 同理可得在上有一个零点， 又，，，， 又， ，且在上单调递增， ，即； ……………………………11分 （ii）， ， ， ， 又， ， ． ……………………………17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 卓同教育集团高2023级强化训练（十二） 数学试题 命题：符刚 审题：吴振 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设复数，若的实部与虚部相等，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D． 2．已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，汽车内胎（不考虑物体的内部结构）可以由下面某个图形绕轴旋转而成，这个图形是（   ） A． B． C． D． 4．函数，将的图象向左平移个单位长度后，再将所得的图象上所有的点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 6．已知是定义域为的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知正三角形的边长为2，以B为圆心的圆与直线相切，若点P是圆B上的动点，则的最大值是（    ）． A． B． C．4 D． 8．已知函数的图象与函数且的图象关于直线对称，记.若在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知数列满足，则下列结论正确的有（   ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C．的通项公式为 D．数列是递增数列 10．设为坐标原点，若对于区域中任意两点，都有，则称为“凸集”，则下列不等式所表示的区域中，是凸集的是（   ） A． B． C． D． 11．我国南宋数学家杨辉年所著的详解九章算法一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（    ） A．第行的第个数最大 B．第行所有数字之和为 C．从第行起到第行，每一行第个数字之和为 D．第行的所有数字之和被除的余数为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数，则_____． 13．已知数列（为虚数单位），则的前项和为___________． 14．将上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为6的一个圆台打磨成一个球，再将此球打磨成一个圆柱，则该圆柱体积的最大值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．记的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若，的面积为，求的周长. 16．某市场上工业品零件W的三种品牌公司的产品，相应的市场占有率和优质率的信息如下表： 品牌 甲 乙 丙 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 90% 80% 70% 记，，表示买到的工业品零件W的品牌分别为甲、乙、丙，B表示从市场上买的一个工业品零件W是优质品． (1)求事件B发生的概率； (2)用比例分配的分层随机抽样方法，从该市场选取10个工业品零件W，再从这10个零件中任选2个，用X表示这2个零件中品牌甲的个数，求X的分布列和数学期望． 17．已知菱形中，，，为中点，如图一所示，现将沿着折起，使得点到达点，如图二所示． (1)当时，证明：平面平面； (2)当时，求平面与平面所成夹角的余弦值． 18．已知椭圆的短轴长为2，一个焦点为，过点且与坐标轴不垂直的直线与交于两点. (1)求的方程. (2)若线段的垂直平分线交轴于点，交直线于点. （i）求； （ii）证明：. 19．已知函数． (1)证明：； (2)将所有正零点排列为严格递增数列 （i）证明：； （ii）设表示不超过的最大整数，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $