精品解析：四川遂宁市卓同教育集团2025-2026学年高三下学期强化训练（九）数学试题

卓同教育集团高2023级强化训练九 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 命题：童先鹏 审题 王代成 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义以及补集的定义即可求解. 【详解】由题可知，所以． 故选：C 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，再利用共轭复数、复数的模的概念运算. 【详解】因为，所以， 则，故. 故选：C 3. 已知向量，，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出的坐标，依题意可得，根据向量数量积的坐标运算得到方程，解得即可； 【详解】因为，，，所以， 因为，所以，解得. 故选：C. 4. 在一张半圆形纸片（圆心为内部剪掉一个小半圆形（圆心为，将剩余部分卷成一个圆台的侧面，则该圆台的母线与底面所成角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设大半圆半径为，小半圆半径为，圆台上底面圆的半径为，圆台下底面圆的半径为，由题意求得，，过作垂直，可得底面圆，是母线与底面所成角，进而求解即可. 【详解】设大半圆半径为，小半圆半径为，则， 设圆台上底面圆的半径为，圆台下底面圆的半径为， 将此半圆环卷成圆台侧面时，展开的扇环大弧长，对应圆台底面周长， 所以，则；小弧长对应顶面周长，所以，则， 圆台母线长，过作垂直，则，所以底面圆， 则母线与底面所成角为，底面与顶面半径差为， 在直角三角形中，，所以， 所以，即母线与底面所成角的度数是． 5. 若函数的对称中心与函数的对称中心重合，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别写出的对称中心为，的对称中心为，由题意得到，求解即可. 【详解】令，得， 所以函数的对称中心为， 又函数的对称中心为， 函数的对称中心与函数的对称中心重合， 所以，即， 故选：D 6. 直线的方程为，则圆上到直线距离为1的点的个数为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心和半径，得到到的距离为，从而得到到直线距离为1的点的个数为3. 【详解】，故圆心为，半径为3， 到的距离为， 又，故过点作垂直与圆交于点，在上取点，使得， 过点作⊥，交圆于点， 所以圆上到直线距离为1的点的个数为3，分别为. 故选：D 7. 已知双曲线的左､右焦点分别为与是双曲线的左顶点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出的坐标，再根据得到一个关于的等式，最后根据的关系求出离心率即可. 【详解】依题意，易得以为直径的圆的方程为，设，则，又由双曲线易得双曲线的渐近线为，如图， 联立，解得或， ，又轴， 由得， ，即. 故选：D. 8. 已知函数，、．、且满足，，对任意的恒有，则当、取不同的值时，（ ） A. 与均为定值 B. 与均为定值 C. 与均为定值 D. 与均为定值 【答案】D 【解析】 【分析】 分析得出，利用导数分析函数的单调性，可得知为函数的极大值点，为函数的极小值点，再由、结合因式分解可得出结论. 【详解】当时，，此时，函数在上为增函数， 当、时，，，不合乎题意，所以，. 由可得， 当或时，；当时，. 所以，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. 对任意的恒有，，， 又当、且满足，， 所以，为函数的极大值点，为函数的极小值点，则，， 由可得，可得， 即，因为，则， ，可得，所以，，即， 所以，，同理可得， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点： （1）利用已知条件分析出、为函数的极值点； （2）利用等式，结合因式化简得出结果. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 2025年9月20日，四川省城市足球联赛（简称“川超”）开幕式暨揭幕战观众达21448人．为了解各年龄层对“川超”的关注程度，随机选取了200名年龄在的观众进行调查，并绘制如下的频率分布直方图，则（ ） A. B. 该场观众年龄众数的估计值为40 C. 该场观众年龄50%分位数的估计值为35 D. 该场观众年龄平均数的估计值为35 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，根据频率之和为1得到方程，求出；B选项，众数的估计值为；C选项，先确定50%分位数所在区间，设为，进而得到方程，求出答案；D选项，中间值作代表，求出平均数的估计值. 【详解】A选项，由题意得，解得，A正确； B选项，由频率分布直方图可知，年龄处于区间的观众频率最大， 故该场观众年龄众数的估计值为，B错误； C选项，由于，， 故该场观众年龄50%分位数处于中，设为， 则，解得， 所以该场观众年龄50%分位数的估计值为35，C正确； D选项，该场观众年龄平均数的估计值为 ，D错误. 故选：AC 10. 已知等比数列的公比为q，前n项和为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用等比数列的基本量运算判断A，利用等比数列前n项和公式判断B，利用等比数列的性质判断C，利用等比数列的性质并结合等差数列的求和公式判断D即可. 【详解】对于A，由题意得，则，故A正确； 对于B，由，可得，解得， 由等比数列前项和公式得， 得到，故B正确； 对于C，由等比数列性质得，，成等比数列， 且，，得到， 即，故C错误； 对于D，由等比数列性质得， 则，故D错误. 故选：AB． 11. 事件、是随机试验中的两个事件，、，且，，下列说法正确的是（ ） A. 事件、一定不相互独立 B. 若，则 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】设，，计算可得，进一步利用独立定义可判断A，计算可判定B；进而利用基本不等式可求得的范围，然后可判定CD. 【详解】设，，，， 所以，，所以， 所以：， 解得． 若，则，又， 所以，与矛盾，故， 同理可得，所以 由，得，同理， 所以，即， 即事件、一定不相互独立，A正确， 因为，，所以， 则，故B错误； 由题意得：，根据均值不等式有：， 解得，C正确，D错误． 故选：AC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式的第4项的系数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】写出展开式的通项，根据通项求解. 【详解】展开式的通项为， 则， 故展开式的第4项的系数是. 故答案为： 13. 已知函数，若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】假设切点坐标，利用导数几何意义可写出切线方程，代入原点坐标化简可得，根据切线条数可知，由此可得的取值范围. 【详解】设过坐标原点的切线与相切于点， ，， 在点处的切线方程为：， ，， ，且过坐标原点的切线有两条，，解得：或， 即的取值范围为. 故答案为：. 14. 某不透明箱子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球，2个红球和3个黄球，若采取不放回的方式每次从箱子中随机取出一个球，当三种颜色的球都被摸到时停止摸球，记此时已摸球的次数为随机变量X，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】分三种情况得到满足题意的排列数，再结合古典概型概率计算公式求解即可. 【详解】情况一：前四次摸球中只有白球和红球，第五次摸到黄球，有种； 情况二：前四次摸球中只有白球和黄球，第五次摸到红球，有种； 情况三：前四次摸球中只有红球和黄球，第五次摸到白球，有种； 所以总共满足题意的有， 而， 故所求为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，所对的边长分别为，，，且满足. （1）证明：； （2）如图，点在线段的延长线上，且，，当点运动时，探究是否为定值？ 【答案】（1）证明见解析 （2）为定值. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理与余弦定理的边角变换即可得证； （2）利用诱导公式与余弦定理，结合（1）中结论化得，从而得解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 再由余弦定得得，整理得. 【小问2详解】 因为互补，所以， 结合余弦定理可得， 因为，，则， 整理得，又， 则， 从而，故为定值. 16. 在中，为的中点，如图，沿将翻折至位置，满足. （1）证明：平面平面； （2）线段上是否存在点，使得在平面内的射影恰好落在直线上.若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理，求出几何体各边长，再根据勾股定理证明线线垂直，进而根据面面垂直的判定定理，证明结果即可； （2）根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，由向量共线的坐标表示，以及向量垂直的坐标表示，求出参数值，求出结果. 【小问1详解】 在中，由余弦定理可得， 则，又为的中点，则. 取的中点，显然有. 因为，则在中，， 由余弦定理可得， 可得，所以， 所以，，，平面，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面 【小问2详解】 如图所示，连接，因为，所以， 由（1）可知，两两相互垂直， 则以为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 故. 记在上的射影点为， 设， 可得， 则，即，解得， 因为，且，所以； 所以存在符合题意，且. 17. 某品牌电脑公司为了更好地了解甲、乙、丙三类机型电脑的质量情况，从某商场已售的这三类机型电脑中各随机抽取了120台进行跟踪调查，得到各类机型电脑三年内出现故障的概率如表： 电脑机型 甲 乙 丙 概率 （1）某品牌电脑公司同时购置了甲、乙、丙三类机型电脑各一台，记表示这三台电脑三年以内出现故障的台数，求的分布列及数学期望． （2）已知该品牌电脑公司新研发了一款丁机型电脑，该电脑公司为了对丁机型电脑合理定价，将该机型电脑同一时间段在某销售商场按不同价格销售，所得数据如图所示．若销量（台）与单价（元）服从线性关系，且该机型电脑的出厂价为元/台，求该销售商场销售丁机型电脑获得的利润最大时，每台丁机型电脑的售价． 【答案】（1） 0 1 2 3 ； （2）元． 【解析】 【分析】（1）先确定，的所有可能取值，再根据独立事件的概率公式可求取相应值的概率，从而可得分布列，再根据期望公式可求； （2）求出，从而可求，再根据二次函数的性质可求利润最大时对应的售价. 【小问1详解】 根据题意知，η的所有可能取值为0，1，2，3， 所以， ， ， ， 所以η的分布列为： η 0 1 2 3 P 所以； 【小问2详解】 根据题图可得， ， , 代入回归方程得，所以. 设获得的利润为元，则, 整理得，其中， 故当时，利润有最大值. 18. 已知为坐标原点，双曲线的离心率为为的左顶点，过右焦点的直线与的右支交于两点，当直线垂直于轴时，的面积为9． （1）求的方程． （2）求面积的最小值． （3）试问轴上是否存在定点，使得为定值，若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）6 （3）存在定点 【解析】 【分析】（1）当直线垂直于轴时，求出，通过面积和离心率求出双曲线方程． （2）设出直线方程，与双曲线方程联立，写出面积表达式，从而求得最值． （3）设，整理表达式，由分子分母系数比例关系可求出． 【小问1详解】 设的焦距为，则．当直线垂直于轴时， 将代入的方程，得，解得， 所以，又， 所以的面积为． 由，解得， 所以的方程为． 【小问2详解】 由（1）知，易知直线斜率不为0， 设直线． 由，得， ， 易知，所以． ， 设，则， 因为函数在上单调递减， 所以当时，取得最大值，最大值为1， 则，所以面积的最小值为6． 【小问3详解】 假设存在，不妨设， 则 将和代入， 可得 若为定值，则， 解得，此时， 所以轴上存在定点，使得为定值． 19. 已知函数． （1）当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标； （2）求证：对于任意的，且，都有； （3）当时，求证：有且只有一个零点，且． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数几何意义，切线平行于轴即斜率为零，通过解导数为零的方程并结合函数表达式确定点坐标； （2）将分式不等式转化为函数单调性问题，构造函数并利用导数判断其单调性，从而证明原不等式成立； （3）先通过导数分析函数单调性与极值，结合极限与零点存在定理说明唯一零点；再借助函数单调性，将自变量范围比较转化为函数值大小比较，代入后利用已知参数范围证明不等式. 【小问1详解】 当时，，求导得， 切线与轴平行，即切线斜率为0，故． 由，得，又， 故点的坐标为． 【小问2详解】 要证对任意且，都有， 等价于证， 令，只需证在上单调递增， 求导得， 令，， 又，则，在区间上单调递增， 即在区间上单调递增，又， ，因此在上单调递增，原不等式得证． 【小问3详解】 ，求导得， 令，得，又， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 故在处取得极小值，， 当，， 当时，，从而，结合在上单调递减， 可知当时，恒有，故在上无零点； 当时，，又且在上单调递增， 由零点存在定理及单调性知，在上存在唯一的零点， 综上，当，有且只有一个零点. 由于在上单调递增，且，要证， 只需证， ， 因为，所以，从而，故， 又，所以，从而，得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 卓同教育集团高2023级强化训练九 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 命题：童先鹏 审题 王代成 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 5 3. 已知向量，，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 4. 在一张半圆形纸片（圆心为内部剪掉一个小半圆形（圆心为，将剩余部分卷成一个圆台的侧面，则该圆台的母线与底面所成角的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数的对称中心与函数的对称中心重合，则（ ） A. 1 B. C. D. 6. 直线的方程为，则圆上到直线距离为1的点的个数为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 3 7. 已知双曲线的左､右焦点分别为与是双曲线的左顶点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 已知函数，、．、且满足，，对任意的恒有，则当、取不同的值时，（ ） A. 与均为定值 B. 与均为定值 C. 与均为定值 D. 与均为定值 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 2025年9月20日，四川省城市足球联赛（简称“川超”）开幕式暨揭幕战观众达21448人．为了解各年龄层对“川超”的关注程度，随机选取了200名年龄在的观众进行调查，并绘制如下的频率分布直方图，则（ ） A. B. 该场观众年龄众数的估计值为40 C. 该场观众年龄50%分位数的估计值为35 D. 该场观众年龄平均数的估计值为35 10. 已知等比数列的公比为q，前n项和为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 事件、是随机试验中的两个事件，、，且，，下列说法正确的是（ ） A. 事件、一定不相互独立 B. 若，则 C. D. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式的第4项的系数是___________． 13. 已知函数，若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是__________． 14. 某不透明箱子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球，2个红球和3个黄球，若采取不放回的方式每次从箱子中随机取出一个球，当三种颜色的球都被摸到时停止摸球，记此时已摸球的次数为随机变量X，则_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，所对的边长分别为，，，且满足. （1）证明：； （2）如图，点在线段的延长线上，且，，当点运动时，探究是否为定值？ 16. 在中，为的中点，如图，沿将翻折至位置，满足. （1）证明：平面平面； （2）线段上是否存在点，使得在平面内的射影恰好落在直线上.若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 17. 某品牌电脑公司为了更好地了解甲、乙、丙三类机型电脑的质量情况，从某商场已售的这三类机型电脑中各随机抽取了120台进行跟踪调查，得到各类机型电脑三年内出现故障的概率如表： 电脑机型 甲 乙 丙 概率 （1）某品牌电脑公司同时购置了甲、乙、丙三类机型电脑各一台，记表示这三台电脑三年以内出现故障的台数，求的分布列及数学期望． （2）已知该品牌电脑公司新研发了一款丁机型电脑，该电脑公司为了对丁机型电脑合理定价，将该机型电脑同一时间段在某销售商场按不同价格销售，所得数据如图所示．若销量（台）与单价（元）服从线性关系，且该机型电脑的出厂价为元/台，求该销售商场销售丁机型电脑获得的利润最大时，每台丁机型电脑的售价． 18. 已知为坐标原点，双曲线的离心率为为的左顶点，过右焦点的直线与的右支交于两点，当直线垂直于轴时，的面积为9． （1）求的方程． （2）求面积的最小值． （3）试问轴上是否存在定点，使得为定值，若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数． （1）当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标； （2）求证：对于任意的，且，都有； （3）当时，求证：有且只有一个零点，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $