精品解析：青海省西宁市城西区青海湟川中学2022-2023学年高三上学期一模理科数学试题

2023届湟川中学普通高学校招生统一考试模拟 数学（理科） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则的元素个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知实数a，b满足（其中为虚数单位），则复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 3. 设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为0.5和0.6，且各次射击相互独立，若甲、乙个射击2次，则甲、乙恰好各射中一次的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中的常数项是（ ） A. B. C. D. 20 6. 已知圆的弦AB的中点为，直线AB交y轴于点M，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 7. 如图，长方体中，，，，点，分别为，的中点，则三棱锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列为等差数列，为等比数列的前n项和，且，，，，则（ ） A. B. C. D. 9. 将函数，的图象上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，则（ ） A. 图象的一条对称轴为 B. 图象的一个对称中心为 C. 的最小正周期 D. 在区间上为增函数 10. 在各棱长均相等的直三棱柱中，点M在上，点N在AC上且，则异面直线与NB所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 11. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于点A，B，与圆相切，则的值等于（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数在上存在导函数，对于任意的实数x都有，当时，，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知，，则______． 14. 方程在区间上的解为______． 15. 若双曲线C的一条渐近线经过点，且焦点到该渐近线的距离为2，则该双曲线的方程为______． 16. 已知数列满足，且，表示数列的前n项和，则使不等式成立的正整数n的最小值是______． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试 题考生都必须作答；第22～23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小及a的值； （2）求面积的最大值，并求此时的周长． 18. 某电子产品生产商经理从众多平板电脑中随机抽取6台，检测它们充满电后的工作时长（单位：分钟），相关数据如下表所示． 平板电脑序号 1 2 3 4 5 6 工作时长/分 220 180 210 220 200 230 （1）从被抽中的6台平板电脑中随机抽出2台，设抽出的2台平板电脑充满电后工作时长小于210分钟的台数为，求随机变量的分布列及数学期望； （2）下表是一台平板电脑的使用次数与当次充满电后工作时长的相关数据．求该平板电脑工作时长与使用次数之间的回归直线方程，并估计该平板电脑使用第200次时充满电后的工作时长． 使用次数/次 20 40 60 80 100 120 140 工作时长/分 210 206 202 196 191 188 186 附：，，． 19. 在三棱柱中，平面，，点E为AB的中点且． （1）证明：平面MEC； （2）P为线段AM上一点，若二面角的大小为，求AP的长． 20. 已知，为椭圆C上两点，为椭圆C的左焦点． （1）求椭圆C的方程； （2）设直线与椭圆C有且仅有一个公共点，与直线交于点M，与直线交于点N，证明：． 21. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）对任意，求证：. （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题号后的方框涂黑． 选修4-4：坐标系与参数方程 22. 在平面直角坐标系中，曲线（为参数），曲线的方程为．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线，的极坐标方程； （2）在极坐标系中，射线与曲线，分别交于A，B两点（异于极点O），定点，求的面积． 选修4-5：不等式选讲 23. 设函数，不等式的解集为M，a，且，． （1）证明：； （2）若对任意恒有，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023届湟川中学普通高学校招生统一考试模拟 数学（理科） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则的元素个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】计算，再计算交集得到答案. 【详解】，，故集合的元素有3个， 故选：D 2. 已知实数a，b满足（其中为虚数单位），则复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则得到，，再计算共轭复数得到答案. 【详解】实数，满足（其中i为虚数单位）， 故，，， 复数的共轭复数， 故选：B 3. 设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为0.5和0.6，且各次射击相互独立，若甲、乙个射击2次，则甲、乙恰好各射中一次的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用相互独立事件的乘法公式计算概率即可. 【详解】设A表示甲命中目标，B表示乙命中目标，则A与B相互独立，甲、乙各射击2次，甲、乙恰好各射中一次的概率. 故选：B． 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据奇偶性和特殊值判断即可. 【详解】易知函数为偶函数，所以其图象关于y轴对称，排除A，B项；又当时，，排除C选项. 故选：D． 5. 的展开式中的常数项是（ ） A. B. C. D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】求出的通项公式，令和，求解对应常数项即可. 【详解】展开式的通项为，令，得，令，得，故展开式的常数项是. 故选：B． 6. 已知圆的弦AB的中点为，直线AB交y轴于点M，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，由垂径定理得到，求出AB所在直线的方程，联立圆的方程，得到两根之积，进而得到，求出，的值. 【详解】由题设可得，圆心，则． 根据圆的性质可知，， ∴AB所在直线的方程为，即． 联立方程，可得：， 设，，则，故， 中，令，得， ∴. 故选：A． 7. 如图，长方体中，，，，点，分别为，的中点，则三棱锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，则三棱锥的外接球即为三棱柱的外接球，利用勾股定理求出外接球的半径，再根据球的表面积公式计算可得. 【详解】解：在长方体中，连接，， 三棱锥的外接球即为三棱柱的外接球， 在中，取中点，连接，则为边的垂直平分线， 所以的外心在上，设为点，连接． 同理可得的外心，连接，则三棱柱外接球的球心为的中点，设为点． 由图可得，，又，，解得， 所以，所以. 故选：B． 8. 已知数列为等差数列，为等比数列的前n项和，且，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列公式计算，计算，再求和得到答案. 【详解】设等差数列的公差为d，由得，解得， 则，所以，， 设等比数列的公比为q，则， 则， 故选：D． 9. 将函数，的图象上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，则（ ） A. 图象的一条对称轴为 B. 图象的一个对称中心为 C. 的最小正周期 D. 在区间上为增函数 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象变换得到，然后求对称轴、对称中心、最小正周期和单调区间即可. 【详解】将函数的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到，再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，即，所以函数的最小正周期为，故C项错误； 由，，得的图象的对称轴为，，当时，得，故A项错误； 由，，得，，即图象的对称中心为，，当时，得，故B项错误； 由，，得，，当时，得，即为的增区间，故D正确. 故选：D． 10. 在各棱长均相等的直三棱柱中，点M在上，点N在AC上且，则异面直线与NB所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，然后利用空间向量的方法求异面直线所成角即可. 【详解】设棱长为3，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ∴，．设异面直线与BN所成角为， 则，∴，∴异面直线与BN所成角的正切值为. 故选：B． 11. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于点A，B，与圆相切，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直线l方程为，根据相切得到，联立方程，解得，，得到答案. 【详解】直线l的斜率存在，设为k，直线l过点，得直线l的方程为， 即． 由直线l与圆相切，得， 解得．不妨取，设，，易知， 联立，消去y，整理得， 则，，则， 故选：D 12. 已知函数在上存在导函数，对于任意的实数x都有，当时，，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意构造函数，结合条件可得函数的单调性，再由奇偶性即可判断的大小关系，从而得到结果. 【详解】令，∵当时，，则，所以当时，函数单调递减． 因为对于任意的实数x都有，所以，即为偶函数， 所以当时，函数单调递增． 又，，， 又，所以，即， 故选:C． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，的坐标得到的坐标，然后根据坐标求模长即可. 【详解】由题意得，，所以． 故答案为：． 14. 方程在区间上的解为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意分与两种情况分别讨论计算，即可得到结果. 【详解】当时，，，当时，满足题意； 当时，由两边同除以，得，得，解得或（舍去），又，所以． 故答案为:或． 15. 若双曲线C的一条渐近线经过点，且焦点到该渐近线的距离为2，则该双曲线的方程为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意分焦点在轴与焦点在轴分别讨论，结合双曲线的渐近线方程，代入计算即可得到结果. 【详解】双曲线焦点在x轴上时，设双曲线方程为（，），∴该双曲线的渐近线方程为，又∵一条渐近线经过点，∴，得．由焦点到该渐近线的距离为2，可得，得，则双曲线的方程为； 当双曲线焦点在y轴上时，设双曲线方程为（，），∴该双曲线的渐近线方程为，又∵一条渐近线经过点，∴，得，由焦点到该渐近线的距离为2，可得，得，则双曲线的方程为． 故答案为:或． 16. 已知数列满足，且，表示数列的前n项和，则使不等式成立的正整数n的最小值是______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据得到数列为等差数列，利用等差数列的求和公式得到，然后利用裂项相消的方法得到，令，解不等式即可. 【详解】因为数列满足且，所以数列是首项为2，公差为2的等差数列， 所以，所以，所以 ．令，解得． 故答案为：10． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试 题考生都必须作答；第22～23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小及a的值； （2）求面积的最大值，并求此时的周长． 【答案】（1）， （2）面积的最大值为，此时的周长为 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化的应用进行化简，代入计算，即可得到结果. （2）根据余弦定理，基本不等式，结合三角形的面积公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 ∵， ∴由正弦定理得，∴， 又∵，∴．∵，∴， ∵（舍去），∴，∵，∴． 【小问2详解】 由（1）知，，．由余弦定理得， ∴，∴，∴， 当且仅当时取等号，此时的周长为． 18. 某电子产品生产商经理从众多平板电脑中随机抽取6台，检测它们充满电后的工作时长（单位：分钟），相关数据如下表所示． 平板电脑序号 1 2 3 4 5 6 工作时长/分 220 180 210 220 200 230 （1）从被抽中的6台平板电脑中随机抽出2台，设抽出的2台平板电脑充满电后工作时长小于210分钟的台数为，求随机变量的分布列及数学期望； （2）下表是一台平板电脑的使用次数与当次充满电后工作时长的相关数据．求该平板电脑工作时长与使用次数之间的回归直线方程，并估计该平板电脑使用第200次时充满电后的工作时长． 使用次数/次 20 40 60 80 100 120 140 工作时长/分 210 206 202 196 191 188 186 附：，，． 【答案】（1）分布列见解析，数学期望为 （2），估计该平板电脑使用第200次时充满电后的工作时长为171.5分钟 【解析】 【分析】（1）X可能取值为0，1，2，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案. （2）计算回归方程为，代入数据计算即可. 【小问1详解】 （1）由题意可知，X可能取值为0，1，2，则 ，，． 则随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 数学期望为． 【小问2详解】 ， ，，故， 所以线性回归方程为， 当时，， 所以估计该平板电脑使用第200次时充满电后的工作时长为171.5分钟． 19. 在三棱柱中，平面，，点E为AB的中点且． （1）证明：平面MEC； （2）P为线段AM上一点，若二面角的大小为，求AP的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设CM与BN交于点F，连接EF，证明，得到答案. （2）建立空间直角坐标系，设（），计算各点坐标，得到平面PEC和平面ADE的法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案. 【小问1详解】 设CM与BN交于点F，连接EF，由已知可得四边形BCNM是平行四边形， F是BN的中点，E是AB的中点，故， 又平面MEC，平面MEC，故平面MEC． 【小问2详解】 设，平面ABCD，故平面ABCD， 如图，建立空间直角坐标系， 则，，，设（）， ，． 设平面PEC的一个法向量为，则，， 令，则， 平面ADE的一个法向量为，， 解得（负值舍去），故AP的长为． 20. 已知，为椭圆C上两点，为椭圆C的左焦点． （1）求椭圆C的方程； （2）设直线与椭圆C有且仅有一个公共点，与直线交于点M，与直线交于点N，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设椭圆方程为，代入两点，计算得到答案. （2）考虑和两种情况，计算交点坐标，根据直线与椭圆只有一个交点得到，计算得到证明. 【小问1详解】 设椭圆方程为（，）， ，为椭圆C上两点，得， 解得，，故所求椭圆C的标准方程为． 【小问2详解】 当时，直线，直线l与直线，联立， 可得，或，，， 所以，所以． 当时，直线l与直线，联立，可得，， 所以，，所以． 联立，得， 直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，， 化简得，所以，所以． 综上所述：． 21. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）对任意，求证：. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求导，分和，分别令，求解. （2）将不等式，转化为，令， 用导数法证明即可. 【详解】（1）由题意得，的定义域为，， 当时，恒成立，∴在上单调递增. 当时，令，解得；令，解得， ∴在上单调递增，在上单调递减. （2）要证，即证. 令，则. 令，则， 易得在上单调递增，且，， ∴存在唯一的实数，使得， ∴在上单调递减，在上单调递增. ∵，， ∴当时，；当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴. 综上，，即. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式，常构造函数φ(x)，将不等式转化为φ(x)＞0(或＜0)的形式，然后研究φ(x)的单调性、最值，判定φ(x)与0的关系，从而证明不等式． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题号后的方框涂黑． 选修4-4：坐标系与参数方程 22. 在平面直角坐标系中，曲线（为参数），曲线的方程为．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线，的极坐标方程； （2）在极坐标系中，射线与曲线，分别交于A，B两点（异于极点O），定点，求的面积． 【答案】（1）曲线的极坐标方程为；曲线的极坐标方程为 （2） 【解析】 【分析】（1）确定曲线的普通方程，再根据极坐标公式计算得到答案. （2）计算，点到射线的距离为，再计算面积得到答案. 【小问1详解】 曲线的普通方程为，极坐标方程为． 曲线的直角坐标方程为，曲线的极坐标方程为． 【小问2详解】 将代入曲线，的极坐标方程得，， ． 点到射线的距离为， 故的面积为． 选修4-5：不等式选讲 23. 设函数，不等式的解集为M，a，且，． （1）证明：； （2）若对任意恒有，求实数m的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分类讨论得到的解析式，然后解不等式得到，利用作差法得到，即可说明； （2）利用绝对值不等式得到，根据基本不等式得到，即可得到，然后解不等式即可. 【小问1详解】 证明：， 当时，不成立， 当时，令，解得， 当时，成立，所以不等式的解集为， 故，即，，所以 ， 即，所以. 【小问2详解】 ， 而，当且仅当时等号成立． 由题意得，，解得，所以m的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $