精品解析：青海西宁市2026届高三年级复习检测(一)数学试卷

2026年普通高等学校招生全国统一考试 西宁市高三年级复习检测（一） 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】若，则，的虚部为，利用这些公式求解. 【详解】，，的虚部为，故选项D正确. 故选：D. 2. 设集合，若，则中各元素之和为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的关系和元素与集合的关系确定的值，进而求得结果. 【详解】由可知，于是只能， 故中各元素之和为． 3. 若且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，当时，由，得，故A错误； 对于B，当时，有，故B错误； 对于C，因为，所以，即，故C正确； 对于D，若，，则，不满足，故D错误. 4. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，且，由投影向量的定义，向量在上的投影向量为：. 故选：A. 5. 在平面直角坐标系中，直线，与函数的图象的交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 0或1或2 【答案】C 【解析】 【详解】根据函数定义可知，当在定义域中时，直线与函数的图象有一个交点， 当不在定义域中时，直线与函数的图象没有交点， 所以直线，与函数的图象的交点个数为0或1. 6. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 【答案】D 【解析】 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】. 7. 已知直线与圆相交于两点，则劣弧的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由弧长公式进行求解． 【详解】圆化为标准方程为：， 圆心，半径， 如图所示： 则点到直线的距离为：， 而，， 得， 则劣弧的长为：， 故选：B 8. 已知函数，当时，把的图象与直线的所有交点的横坐标限依次记为，记它们的和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数与直线的交点，再结合数列求和计算即可. 【详解】解：由，则或， 解得或， 所以，，，，…，， 所以，故B正确. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（　　） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1 B. 已知一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数 C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是21 D. 甲乙丙三种个体按3:1:2的比例分层抽样，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为18 【答案】AD 【解析】 【分析】利用简单随机抽样的意义判断A；求出众数、中位数判断B；求出第70百分位数判断C；利用分层抽样的意义求出样本容量判断D作答. 【详解】对于A，个体被抽到的概率为，A正确； 对于B，数据1，2，3，3，4，5的众数为3，中位数为3，B错误； 对于，数据27，12，14，30，15，17，19，23从小到大排列为：12，14，15，17，19，23，27，30， 由于%，因此给定数据的第70百分位数是23，C错误； 对于D，令样本容量为，依题意，，解得，D正确. 故选：AD 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线l过点，且与双曲线的右支交于A，B两点，其中A点位于第一象限．若，的周长为18，点T为双曲线C上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点T到两条渐近线的距离之积为定值 C. 过点的直线与双曲线C相交于M，N两点，且满足D为线段的中点，则直线为 D. 若，则的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据双曲线的定义可判断A；根据点到直线的距离公式可判断B；根据点差法可判断C；根据双曲线的定义，余弦定理，面积公式可判断D. 【详解】对于A：根据双曲线定义对右支上点，有，， 相加得： ①， 由，得， 代入①得： ，故A正确； 对于B：由，得双曲线渐近线为，即， 设，满足， 到两渐近线距离乘积： 为定值，故B正确； 对于C：设，则，， 两式相减得​， 由是中点得，，得斜率， 直线的方程为即 ， 联立直线与双曲线：，整理得， 判别式，无实根，不存在这样的直线，故C错误； 对于D：设，由双曲线定义， 平方得； ​，， 由余弦定理：， 联立得， 面积​，故D正确. 11. 若数列的前n项和为，且，在数列的前（）项中任取两项都是正数的概率记为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定的递推关系求出通项，再按为奇数、偶数分类求出并逐项求解判断. 【详解】数列中，，当时，，则， 而，解得， 所以数列是首项为1，公比为的等比数列，， 当时，数列的前项中，有个正数，个负数， 任取两项都是正数的概率为， 当时，数列的前项中，有个正数，个负数， 任取两项都是正数的概率为， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，，C正确； 对于D，，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设正项等比数列的公比为，若，，成等差数列，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由条件结合等差数列定义可得，结合等比数列通项公式化简求其解，可得结论. 【详解】因为数列的公比为，且，所以， 因为，，成等差数列， 所以，又， 所以， 所以（舍去）或， 所以. 故答案为：. 13. 已知定义在上的偶函数满足，且时，，若是的一个零点，则a的值为____________． 【答案】## 【解析】 【详解】因为函数为偶函数， 所以， 所以， 所以函数的周期为， 所以， 由题意知，， 即， 解得. 14. 三棱锥的一组对棱长为，其余四条棱长均为1，则该三棱锥体积最大值为______________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意画出图，先证明出平面，根据图由三棱锥的体积公式，构造函数，利用导数求解函数的最值即可. 【详解】由题意画出棱锥的图形，，； 取的中点分别为，则平面，所以平面， ， 所以， 令， 当在单调递增， 当在单调递减， 故当时，体积取得最大值． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在处取得极小值． （1）求在处的切线方程； （2）若，讨论零点的个数． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得，联立等式可得函数，根据导数的几何意义可求得切线方程； （2）根据导数及三次函数性质可得其图象，结合图象可得答案. 【小问1详解】 由题意得．因为在处取得极小值， 则，解得，， 所以，， 故，， 则切线方程为，即； 【小问2详解】 令，所以． 令，解得或．则，，的关系如下表： 2 0 0 单调递增 单调递减 单调递增 作出函数的图象如下： 所以，①当或时，有两个零点； ②当或时，有一个零点； ③当时，有三个零点． 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期，以及在内的单调递增区间； （2）在中，角A，B，C所对的边分别为，若，，，求a的长． 【答案】（1）最小正周期为，在内的单调递增区间为，， （2） 【解析】 【分析】（1）由，利用二倍角公式和辅助角公式化简，再据此计算最小正周期及单调增区间即可； （2）由，得，利用三角形面积公式，得，利用余弦定理，计算即可． 【小问1详解】 由题意得 ，即， 所以最小正周期为，令， 解得，令，可得， 令，可得，又因为，所以， 当时，为， 当，为， 当，为， 综上，在内的单调递增区间为，，． 【小问2详解】 因为，所以， 即，，解得， 又，故，因为，所以， 解得，又， 由余弦定理得 ，故． 17. 如图，，，圆的半径为4，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点，当在圆上运动时，记动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）过点，分别作直线交于，，，四点（，在轴的上方），且． （ⅰ）判断四边形的形状（只提供结论，无需证明）； （ⅱ）求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）平行四边形；（ⅱ）6 【解析】 【分析】（1）连接，由题意可得，即可得到动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，进而求解即可； （2）（ⅰ）结合椭圆的对称性即可判断； （ⅱ）由（ⅰ）易得四边形面积为，设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得表示出，令，，进而结合对勾函数的性质求解即可. 【小问1详解】 连接，由题意知，， 则动点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 即，则， 所以的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）由题意，，且，， 结合椭圆的对称性，易知， 则四边形为平行四边形. （ⅱ）由（ⅰ）知，四边形为平行四边形，为其中心， 则四边形面积为， 由题意，设直线的方程为，， 联立，得， 则， ，， 则 ， 则四边形面积为， 令，，则， 因为函数在上单调递增，则， 则，即四边形面积的最大值为6. 18. 已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，平面ABCD. （1）若平面PAD与平面PBC的交线为，证明：； （2）若平面平面PDC. （i）求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值； （ii）判断四棱锥是否存在内切球，若存在，求出内切球半径；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）因为底面ABCD是平行四边形，故平面PAD，可得平面PAD， 又因为 平面PBC，平面 平面，所以. （2）（i）；（ii）易知， 假设四棱锥 存在内切球，内切球的半径为， 则有，解得， 设内切球球心为，根据图形特征，必有，， 则球心到平面PBC的距离，与内切球与平面PBC相切矛盾. 故四棱锥 不存在内切球. 【解析】 【分析】（1）首先证明平面PAD，利用线面平行的性质即可证明结论； （2）（i）以点A为坐标原点，所在的方向为 轴，所在的方向为轴，所在的方向为轴建立坐标系，分别求出平面PAD与平面PBC的法向量，利用向量夹角公式求解即可； （ii）假设四棱锥 存在内切球，内切球的半径为，根据棱锥内切球半径公式求得，且求出，计算球心到平面PBC的距离与半径比较即可得到结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）在平面PAD内过点作 于点， 因为平面 平面PDC，所以平面PDC，故 ， 又因为，又因为， 所以 平面PAD，有.所以平行四边形ABCD为长方形. 如图所示，以点A为坐标原点，所在的方向为 轴，所在的方向为轴，所在的方向为轴建立坐标系. 则有，.取平面PAD的法向量为， 设平面PBC的法向量为， 则有，代入得，取， 设平面PAD与平面PBC所成角为，则. （ii）略 19. 为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得元基础券的概率为，获得元基础券的概率为）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付金额．已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为．某生产商将商品定价元，成本元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的，进阶券面额的． （1）若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望； （2）设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润 购买概率（支付金额的期望商品成本）优惠券成本的期望） （i）求关于的函数表达式； （ii）证明：在内存在唯一极大值点，并求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少?（结果保留 位小数） 【答案】（1）分布列： （2）（i） （ii）证明：对求导得： 令，整理得，解得根为，（舍去，不在内）， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因此在内存在唯一极大值点，且该点为最大值点， 计算最大期望利润：. 所以时，最大期望利润为 【解析】 【分析】（1）分析消费者实际支付金额的所有可能取值，计算每个取值对应的概率，得到分布列，计算； （2）（i）计算消费者支付金额的期望，再计算优惠券成本的期望，分别计算基础券成本期望和进阶券成本期望，再求和，最后根据期望利润的定义，结合购买概率，代入支付金额期望、商品成本、优惠券成本期望，得到的函数表达式； （ii）对求导，得到导函数，分析导函数在内的单调性，找到导函数极大值点，代入计算最大期望利润. 【小问1详解】 实际支付金额的所有可能取值为， ， ， ， ， ， 的分布列为： . 【小问2详解】 (i)求的函数表达式已知所有消费者都闯过第一关，按题目期望利润公式分步计算： 支付金额期望：， 商品成本， 优惠券成本期望：基础券成本， 进阶券成本， 总成本期望， 购买概率， 代入公式： . (ii)略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高等学校招生全国统一考试 西宁市高三年级复习检测（一） 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，若，则中各元素之和为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 3. 若且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，直线，与函数的图象的交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 0或1或2 6. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 7. 已知直线与圆相交于两点，则劣弧的长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，当时，把的图象与直线的所有交点的横坐标限依次记为，记它们的和为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（　　） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1 B. 已知一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数 C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是21 D. 甲乙丙三种个体按3:1:2的比例分层抽样，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为18 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线l过点，且与双曲线的右支交于A，B两点，其中A点位于第一象限．若，的周长为18，点T为双曲线C上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点T到两条渐近线的距离之积为定值 C. 过点的直线与双曲线C相交于M，N两点，且满足D为线段的中点，则直线为 D. 若，则的面积为 11. 若数列的前n项和为，且，在数列的前（）项中任取两项都是正数的概率记为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设正项等比数列的公比为，若，，成等差数列，则______． 13. 已知定义在上的偶函数满足，且时，，若是的一个零点，则a的值为____________． 14. 三棱锥的一组对棱长为，其余四条棱长均为1，则该三棱锥体积最大值为______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在处取得极小值． （1）求在处的切线方程； （2）若，讨论零点的个数． 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期，以及在内的单调递增区间； （2）在中，角A，B，C所对的边分别为，若，，，求a的长． 17. 如图，，，圆的半径为4，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点，当在圆上运动时，记动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）过点，分别作直线交于，，，四点（，在轴的上方），且． （ⅰ）判断四边形的形状（只提供结论，无需证明）； （ⅱ）求四边形面积的最大值． 18. 已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，平面ABCD. （1）若平面PAD与平面PBC的交线为，证明：； （2）若平面平面PDC. （i）求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值； （ii）判断四棱锥是否存在内切球，若存在，求出内切球半径；若不存在，请说明理由. 19. 为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得元基础券的概率为，获得元基础券的概率为）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付金额．已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为．某生产商将商品定价元，成本元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的，进阶券面额的． （1）若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望； （2）设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润 购买概率（支付金额的期望商品成本）优惠券成本的期望） （i）求关于的函数表达式； （ii）证明：在内存在唯一极大值点，并求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少?（结果保留 位小数） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $