精品解析：陕西省定、靖、横“新三边”教育联盟2022-2023学年高三上学期第一次联考理科数学试题

2022年秋季定、靖、横“新三边”教育联盟高三联考 理科数学 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A.  B.  C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的单调性解出对数型不等式，然后得出两集合间的关系. 【详解】由， ∴， ∴， ∴， 故选：A. 2. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求得的值，再结合正弦二倍角公式即可得的值. 【详解】解:角的终边经过点， 所以，， 则. 故选：D. 3. 如图是我国古代量粮食的器具“升”，其形状是正四棱台，上、下底面边长分别为和，高为．“升”装满后用手指或筷子沿升口刮平，这叫“平升”．则该“升”的“平升”约可装( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据台体的体积计算公式即可计算． 【详解】由台体的体积公式可知， ，， 故选：C． 4. 某学校文艺汇演准备从甲、乙、丙、丁、戊5人中选4人参加演出．要求甲和乙必须同时参加，且他们的演出顺序必须满足甲在前、乙在后，那么不同的演出顺序种数有（ ） A. 18种 B. 24种 C. 36种 D. 72种 【答案】C 【解析】 【分析】除了甲乙外，再选2人，从而利用倍缩法进行求解. 【详解】先从丙、丁、戊3人中选2人，有种，再把4人排列满足甲在前、乙在后，有，∴总共有种． 故选：C 5. 记为等差数列的前项和．若，，则公差（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】设出公差，根据通项公式和求和公式列出方程组，求出公差. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得： 故选：C 6. 已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直向量的数量积为0及数量积的运算化简即可得解. 【详解】由题意， 又向量与的夹角为且为单位向量， ∴，解得. 故选：D 7. 设，为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性解不等式，求出解集，由，但，求出答案. 【详解】∵在上单调递增， ∴由得：； ∵在上单调递减， ∴由得， 由，但， ∴“”是“”的必要不充分条件． 故选：B 8. 已知如图，椭圆：，斜率为的直线与椭圆交于，两点，与轴，轴分别交于，两点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，得到，再根据点差法解决中点弦问题，求出离心率. 【详解】设，， ∵， ∴，．则，得， 由，两式相减得：， 即， 其中，且，解得：， 故， 故，解得， 故， ∴. 故选：C 9. 《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．意思是：今有蒲第一天长高四尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的两倍．请问第几天，莞的长度是蒲的长度的2倍（ ） A. 4天 B. 5天 C. 6天 D. 7天 【答案】A 【解析】 【分析】由蒲生长构成首项为，公比为的等比数列，其前项和为， 又由莞生长构成首项为，公比为的等比数列，其前项和为， 根据，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，蒲第一天长高四尺，以后蒲每天长高前一天的一半， ∴蒲生长构成首项为，公比为的等比数列， 其前项和为， 又由莞第一天长高一尺，每天长高前一天的两倍， 则莞生长构成首项为，公比为的等比数列， 其前项和为，又∵． 即，解得． 故选:. 10. 已知函数的最小正周期为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在上单调递增 C. 在上的最小值为 D. 若为偶函数，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件逐一求参数,再应用三角函数性质分别判断选项即可. 【详解】由题知，∵，，∴是的一个对称轴； 即，解得：，又，∴，故A错误； ∴ 当时，，∴在上单调递减，故B错误； 当时，，∴当时，取最小值，故C错误； 函数为偶函数，∴，∴，故D正确． 故选:. 11. 近日，各地有序开展新冠疫苗加强针接种工作，某社区疫苗接种点为了更好的服务市民，决定增派甲、乙、丙、丁4名医务工作者参加登记、接种、留观3项工作，每项工作至少1人参加，若表示事件：“甲参加登记这项工作”；事件表示“乙参加登记这项工作”；事件表示“乙参加接种这项工作”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件与相互独立 B. 事件与相互独立 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算出，，验证得到，，故AB错误； 利用条件概率公式求出，得到C错误，D正确. 【详解】先将甲、乙、丙、丁4名医务工作者分为3组，1组2人，2组1人，则有种选择， 再将分好的3组人员与参加登记、接种、留观3项工作全排列，故共有种基本事件， 若甲与另外一人，共同参加登记这项工作，则只需将乙、丙、丁与登记、接种、留观3项工作全排列即可，此时由种选择， 若甲单独参加登记这项工作，则先将剩余的乙、丙、丁分为两组，再和接种、留观2项工作全排列，有种选择， 故事件包含的基本事件数为：，则， 同理， 事件包含的基本事件数为：，则， 事件包含两种情况，一是甲单独参加登记这项工作，乙单独参加接种这项工作，则剩余的两人参加留观工作，此时由种选择， 二是甲乙两人，有1人不是单独参加工作，此时有种选择， 故事件包含的基本事件数为：，则 ∵，故A错误； ∵，故B错误； ∵，故C错误； ∵，故D正确． 故选：D. 12. 已知二次函数（其中）的图象经过点和．记为三个数，，的最大值，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据，代入解析式得到，，结合且得到或．进而得到当时，，当时，，求出最小值. 【详解】由得， 故，， 由且得：或． 当时，， 当时，或， 故当时，， 当时，， 当时，，当时，， ∴. 故选：A 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 若复数，其中为虚数单位，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由复数的运算法则和模长公式计算即可. 【详解】， 故答案为:. 14. 已知直线与曲线相切，则实数的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出函数的导函数，设切点为，即可得到方程组，解得即可； 【详解】∵，∴，设切点为，则，解得． 故答案为: . 15. 已知正方体的棱长为2，点为平面内的动点，设直线与平面所成的角为，若，则点的轨迹所围成的周长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接交平面于，连接，可证平面，所以，由求出，根据四面体为正三棱锥，求出和，可得在平面内的轨迹是以为圆心，半径为的圆，根据圆的周长公式可求出结果. 【详解】如图所示，连接交平面于，连接， 因为平面，所以，又，且与相交， 所以平面，所以， 同理可得，又， 所以平面， ∴是平面所成的角，∴． 由可得，，即． 在四面体中，，平面， 所以，所以为的中心， 又，．∴四面体为正三棱锥， 如图所示：在等边三角形中，， ， ∵，∴，即在平面内的轨迹是以为圆心，半径为的圆，∴周长为. 故答案为： 16. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，离心率为，直线分别与的左、右两支交于点，．若，，则的最小值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】由双曲线的定义知，利用余弦定理得 ，求出，根据及，代入 化简利用基本不等式求最小值即可. 【详解】如图所示： 由双曲线定义可知：， 在中，由余弦定理得： ， 解得， 所以，解得， 又 ， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立． 故答案为：3 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 已知的内角，，所对的边分别为，，，周长为，且． （1）求的值； （2）若，求角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的周长结合正弦定理列方程可求解的值； （2）由（1）可得，又，结合余弦定理求解的值，即可得角的大小． 【小问1详解】 解：∵三角形周长为，∴， ∵，∴由正弦定理可得， ∴，解得． 【小问2详解】 解：由（1）知，又 由余弦定理得 又，∴． 18. 随着人民生活水平的日益提高，汽车普遍进入千家万户，尤其在近几年，新能源汽车涌入市场，越来越受到人们喜爱．某新能源汽车销售企业在2017年至2021年的销售量（单位：万辆）数据如下表： 年份 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年 年份代号 1 2 3 4 5 销售量（万辆） 75 84 93 98 100 （1）请用相关系数判断关于的线性相关程度（参考：若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，计算时精确到小数点后两位）； （2）求出关于的线性回归方程，并预计2022年该新能源汽车企业的销售量为多少万辆？ 参考数据：，， 附：相关系数，回归直线方程的斜率，截距 【答案】（1）与有很强的线性相关性； （2），109.2万辆. 【解析】 【分析】（1）根据公式求出线性相关系数，从而可得出结论； （2）利用最小二乘法求出线性回归方程，再代入的值，即可得出预计值. 【小问1详解】 解：由表中数据可得，，∴， 又，， ∴， 所以与有很强的线性相关性； 【小问2详解】 解：由表中数据可得， 则， ∴， 又2022年对应的代号为6，故， 由此预计2022年该新能源汽车企业的销售量为109.2万辆． 19. 如图，直三棱柱中，，，分别是棱，，的中点，，，，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行判定定理，构造三角形中位线，证明线线平行，即可证得线面平行； （2）根据图形建立空间直角坐标系，按照空间向量的运算求解平面与平面夹角的余弦值，即可得正弦值． 【小问1详解】 证明：连接交于点，连接， 在直三棱柱中，，分别是棱，的中点， 所以与平行且相等，四边形为平行四边形，则是的中点， 又是中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 解：在直三棱柱中，又，则分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设平面的一个法向量， 则，取，得， 则， 所以平面与平面所成角的正弦值为. 20. 已知抛物线：的焦点为，过点且垂直于轴的直线交抛物线于两点，． （1）求抛物线的方程； （2）若，是抛物线上两动点，以为直径的圆经过点，点，，三点都不重合，求的最小值 【答案】（1） （2）11 【解析】 【分析】（1）由过焦点且垂直于轴的直线交抛物线于两点，结合抛物线的定义得，即可解决问题；（2）设直线的方程为，代入抛物线中写出韦达定理，又以为直径的圆经过点，则，转化为向量，利用数量积的坐标表示得出相应的关系式；利用抛物线的定义表示出，转化成函数求的最小值即可. 【小问1详解】 由题知， ∴， ∴，抛物线的方程为． 【小问2详解】 设直线的方程为， 设点，， 由方程组得: ， ∴， 即，且， ∴ ， ， ∵以为直径的圆经过点， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴ ∴或 若， 直线：过点，不合题意，舍去． ， ∴． 则 ， 所以当时， 最小，且最小值为11. 21. 已知函数在处取极大值，． （1）求的值； （2）求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用函数在处取极大值,得到,计算即可. （2）移项构造新函数,求导应用函数单调性求出最小值,即证明即可. 【小问1详解】 因为，， 又函数在处取极大值， 所以，所以． 经检验时，,函数在上是单调递增的, ,函数在上是单调递减的, 故函数在处取极大值，所以． 【小问2详解】 由（1）知，，故要证，即证． 令，则，． 令，, 得到在上单调递增， 因为， 所以，使得，即 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又因为，即， 所以， 所以，即， 即得证． （二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程] 22. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为． （1）求曲线的直角坐标方程和的参数方程； （2）若曲线，的交点为A，，已知，求． 【答案】（1）曲线的直角坐标方程为；的参数方程为（为参数） （2） 【解析】 【分析】（1）利用极坐标与平面直角坐标互化公式求出与的直角坐标方程，再将的直角坐标方程化为参数方程； （2）写出的参数方程，与的普通方程联立，利用的几何意义求出的值. 【小问1详解】 由的极坐标方程为，由， 故其直角坐标方程为：， 曲线极坐标方程为，两边平方得：， 得其直角坐标方程为：， ∴其参数方程为（为参数）． 【小问2详解】 ∵满足，即在上， 且的倾斜角为， ∴标准参数方程为（为参数）； 将标准参数方程代入直角坐标方程得： 即． 设A，对应的参数分别为，，则． [选修4-5：不等式选讲] 23. 已知函数 （1）求不等式的解集； （2）若，，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）含绝对值的不等式分类讨论去绝对值符合再解不等式即可； （2）根据（1）中集合，可得，，再利用作差法证明，即可得证. 【小问1详解】 解：当时，不等式化为，解得 当时，不等式化为，解得 当时，不等式化为，解得； 综上，不等式的解集为． 【小问2详解】 证明：法一：∵，，∴，． ∵， ∴ 法二：∵，，∴，， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年秋季定、靖、横“新三边”教育联盟高三联考 理科数学 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A.  B.  C. D. 2. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图是我国古代量粮食的器具“升”，其形状是正四棱台，上、下底面边长分别为和，高为．“升”装满后用手指或筷子沿升口刮平，这叫“平升”．则该“升”的“平升”约可装( ) A. B. C. D. 4. 某学校文艺汇演准备从甲、乙、丙、丁、戊5人中选4人参加演出．要求甲和乙必须同时参加，且他们的演出顺序必须满足甲在前、乙在后，那么不同的演出顺序种数有（ ） A. 18种 B. 24种 C. 36种 D. 72种 5. 记为等差数列的前项和．若，，则公差（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 6. 已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数（ ） A. B. C. D. 7. 设，为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知如图，椭圆：，斜率为的直线与椭圆交于，两点，与轴，轴分别交于，两点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．意思是：今有蒲第一天长高四尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的两倍．请问第几天，莞的长度是蒲的长度的2倍（ ） A. 4天 B. 5天 C. 6天 D. 7天 10. 已知函数的最小正周期为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在上单调递增 C. 在上的最小值为 D. 若为偶函数，则 11. 近日，各地有序开展新冠疫苗加强针接种工作，某社区疫苗接种点为了更好的服务市民，决定增派甲、乙、丙、丁4名医务工作者参加登记、接种、留观3项工作，每项工作至少1人参加，若表示事件：“甲参加登记这项工作”；事件表示“乙参加登记这项工作”；事件表示“乙参加接种这项工作”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件与相互独立 B. 事件与相互独立 C. D. 12. 已知二次函数（其中）的图象经过点和．记为三个数，，的最大值，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 若复数，其中为虚数单位，则_______． 14. 已知直线与曲线相切，则实数的值为_______． 15. 已知正方体的棱长为2，点为平面内的动点，设直线与平面所成的角为，若，则点的轨迹所围成的周长为_______． 16. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，离心率为，直线分别与的左、右两支交于点，．若，，则的最小值为_______． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 已知的内角，，所对的边分别为，，，周长为，且． （1）求的值； （2）若，求角的大小． 18. 随着人民生活水平的日益提高，汽车普遍进入千家万户，尤其在近几年，新能源汽车涌入市场，越来越受到人们喜爱．某新能源汽车销售企业在2017年至2021年的销售量（单位：万辆）数据如下表： 年份 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年 年份代号 1 2 3 4 5 销售量（万辆） 75 84 93 98 100 （1）请用相关系数判断关于的线性相关程度（参考：若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，计算时精确到小数点后两位）； （2）求出关于的线性回归方程，并预计2022年该新能源汽车企业的销售量为多少万辆？ 参考数据：，， 附：相关系数，回归直线方程的斜率，截距 19. 如图，直三棱柱中，，，分别是棱，，的中点，，，，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值． 20. 已知抛物线：的焦点为，过点且垂直于轴的直线交抛物线于两点，． （1）求抛物线的方程； （2）若，是抛物线上两动点，以为直径的圆经过点，点，，三点都不重合，求的最小值 21. 已知函数在处取极大值，． （1）求的值； （2）求证：． （二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程] 22. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为． （1）求曲线的直角坐标方程和的参数方程； （2）若曲线，的交点为A，，已知，求． [选修4-5：不等式选讲] 23. 已知函数 （1）求不等式的解集； （2）若，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $