广东阳江市第三中学2025-2026学年高二下学期数学周末小练习（十）

**基本信息** 本试卷为高二数学周测，聚焦数列、函数、概率统计等核心知识，融入投壶游戏、猜歌名等文化与生活情境，通过基础巩固与综合应用梯度设计，培养数学眼光观察现实、数学思维解决问题的能力，适配周末知识巩固与素养提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|等差数列前n项和、函数最值、二项式系数|基础层，如第1题考查数列基本量运算，第3题强化二项式定理应用| |多选题|3题|等差数列性质、比赛积分概率分布|能力层，第10题结合篮球对抗赛积分考查随机变量期望，体现推理意识| |填空题|3题|方程求解、多项式展开项数、比赛概率递推|情境层，第14题乒乓球训练概率递推，培养数据观念| |解答题|5题|二项式定理、独立事件概率、等比数列证明、导数单调性|综合层，17题以毛猴制作为背景考查独立事件分布列与期望，落实应用意识|

2025-2026学年度阳江市第三中学高二数学周末小练习(十)解析版 2026 年 5月 29日 一、单选题： 1.设公差不为的等差数列的前项和为，若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A 解：因为，所以，设公差为，则，解得，，，故选A． 2.函数在上的最大值为  (    ) A. B. C. D. 【答案】C 解：定义域为，又，令得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．当时，函数取得最大值，故选C． 3.在二项式的展开式中，第项的系数是(    ) A. B. C. D. 【答案】B 解：通项为．令，得第项的系数是． 4.某次数学竞赛中，某校有，，，，，位同学获奖，在竞赛结束后站成一排合影留念时，假设，两人必须相邻且站在正中间，，两人不能相邻，则不同的站法共有(    ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 解：第步，排，，由题意可将，两人看作一个整体，先站到正中间，共有种站法 第步，排，，因为，两人不能相邻，所以只能排到，的两侧， 若在，的左侧，则有种站法，此时只能在，的右侧，有种站法， 共有种站法，同理在，的右侧，在，的左侧，有种站法， 故C，共有种站法 第步，将剩下的，进行排列，有种站法，所以不同的站法共有种． 5.已知，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C 解：． 6.已知离散型随机变量等可能地取值，，，，，若，则正整数的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B解：由随机变量等可能地取值可知：， 则， 有，由得，故选B． 7.如果数据、、、的平均值为，方差为，则、、、的平均值和方差分别是(    ) A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 解：因为、、、的平均值为，所以、、、的平均值为，因为、、、的方差为，所以、、、的方差为． 8.投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙是唐朝的两位投壶游戏参与者，且甲、乙每次投壶投中的概率分别为，每人每次投壶相互独立．若约定甲投壶次，乙投壶次，投中次数多者胜，则甲最后获胜的概率为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  解：由题意可得，甲、乙每次投壶投中的概率分别为，若约定甲投壶次，乙投壶次，投中次数多者胜，则甲最后获胜的情况有种： 甲投中次，乙投中次，则概率为； 甲投中次，乙投中次，则概率为； 甲投中次，乙投中次，则概率为； 所以甲最后获胜的概率为． 2、 多选题： 9.已知数列为等差数列，其前项和为，且，则下列结论正确的是(    ) A. B. 最小 C. D. 【答案】AD  10.甲、乙两人进行趣味篮球对抗赛，约定比赛规则如下：每局比赛获胜的一方积分，负者积分，无平局，积分首先达到分的一方获得最终胜利，比赛结束若甲每局比赛获胜的概率为，且每局比赛相互独立，表示比赛结束时两人的积分之和，则(    ) A. 服从二项分布 B. C. 比赛结束时，甲、乙的积分之比为的概率为 D. 随机变量的数学期望为 【答案】BCD  解：由题意，的可能取值为，，，，故B正确； ，， 显然不服从二项分布，故A错误；随机变量的期望为，故D正确； 若比赛结束时，甲、乙的积分之比为，则甲一定赢得第局，前三局中乙赢得其中局，故概率为，故C正确． 11.猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名某嘉宾参加猜歌名游戏，每次猜歌名的结果相互独立，其猜对，，三首歌曲歌名的概率及猜对时获得的奖金的情况是：猜对歌曲的概率为，可获得奖金万元猜对歌曲的概率为，可获得奖金万元猜对歌曲的概率为，可获得奖金万元规则如下：按照，，的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首记该嘉宾获得的奖金总额为万元，则(    ) A. B. C. D. 获得奖金的期望值与猜歌顺序无关 【答案】BC 可分别用事件，，表示猜对，，三首歌曲的歌名，则事件，，相互独立． 按照，，的顺序猜，则的取值可能为， ，，， ，则， ， 故E，，由此可知A错误，B正确，C正确． 假设按照，，的顺序猜，设表示此时获得的奖金总额，则的取值可能为， ，，，， 则，与按照，，的顺序猜的期望值不同，故D错误 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.方程的解为          ． 【答案】 【解析】由排列数公式可知  ，且，，即，解得或舍去，． 13.乘积展开后，共有          项．【答案】  14.某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲、乙两位同学进行乒乓球训练，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局继续赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行乙同学第局赢的概率是          甲同学第局赢的概率          ．【答案】  ：第一问：甲同学第局赢的概率为 ，乙同学第局赢的概率为 ， 第二问：， 时， ，所以 ，又 ， 所以数列 是首项为，公比为 的等比数列，即 ， 故 ．故答案为：；． 四、解答题： 15.已知，且． (1)求的值；(2)求的值． 解：(1)因为， 所以， 化简可得，且，解得． (2)因为，  所以，  所以，  故   ． 16.甲、乙两名同学分别与同一台智能机器人进行象棋比赛在一轮比赛中，如果甲单独与机器人比赛，战胜机器人的概率为；如果乙单独与机器人比赛，战胜机器人的概率为． (1)甲单独与机器人进行三轮比赛，求甲恰有两轮获胜的概率； (2)在甲、乙两人中任选一人与机器人进行一轮比赛，求战胜机器人的概率． 【答案】解：(1)设“甲恰有两轮获胜”为事件，则； 选中甲与机器人比赛与选中乙与机器人比赛的概率都为， 记“选中甲与机器人比赛并获得胜利”为事件，“选中乙与机器人比赛并获得胜利”为事件， 两个事件互斥，则在甲、乙两人中任选一人与机器人进行一轮比赛，并战胜机器人的概率为 ，所以战胜机器人的概率为．  17.毛猴是老北京的传统手工艺品，制作材料都取自中药材，工序大致分为三步，第一步用蝉蜕做头和四肢；第二步用辛夷做身子：第三步用木通做道具．已知小萌同学在每个环节制作合格的概率分别为，，，只有当每个环节制作都合格时．这件作品才算制作成功， 求小萌同学制作一件作品成功的概率； 若小萌同学制作了件作品，假设每次制作成功与否相互独立．设其中成功的作品数为求的分布列及期望． 【答案】解：(1)根据题意知，由相互独立事件的概率乘法公式得小萌同学制作一作品成功的概率为：． (2)根据题意知，的可能值为：，，，，显然， 则，，，，所以的分布列为： 所以的数学期望：．  18.设数列的前项和为，且． (1)证明为等比数列； (2)若，求数列的前项和为． 【详解】（1）已知且．当时，，， 当且时，①，又因为②， ②式减①式得，即，又，，∴，满足上述递推关系且，，因此对于任意都有.故数列是以为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）可得，所以， 所以. 19.已知函数（，，）在处的切线方程为. (1)求的值；(2)分析函数的单调性. 【详解】（1）函数的定义域为，，由题意得：，解得：，所以. （2）由（1）得：， ①当时，即，在区间上恒成立，函数在区间上单调递增； ②当时，若，，函数在区间上单调递增； 若，，函数在区间上单调递减. 第 2 页 共 5 页 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度阳江市第三中学高二数学周末小练习(十) 2026年 5月 29日 班级: 姓名： 学号： 一、单选题： 1.设公差不为的等差数列的前项和为，若，则(    ) A. B. C. D. 2.函数在上的最大值为  (    ) A. B. C. D. 3.在二项式的展开式中，第项的系数是(    ) A. B. C. D. 4.某次数学竞赛中，某校有，，，，，位同学获奖，在竞赛结束后站成一排合影留念时，假设，两人必须相邻且站在正中间，，两人不能相邻，则不同的站法共有(    ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 5.已知，，则(    ) A. B. C. D. 6.已知离散型随机变量等可能地取值，，，，，若，则正整数的值为(    ) A. B. C. D. 7.如果数据、、、的平均值为，方差为，则、、、的平均值和方差分别是(    ) A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 8.投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙是唐朝的两位投壶游戏参与者，且甲、乙每次投壶投中的概率分别为，每人每次投壶相互独立．若约定甲投壶次，乙投壶次，投中次数多者胜，则甲最后获胜的概率为(    ) A. B. C. D. 二、多选题： 9.已知数列为等差数列，其前项和为，且，则下列结论正确的是(    ) A. B. 最小 C. D. 10.甲、乙两人进行趣味篮球对抗赛，约定比赛规则如下：每局比赛获胜的一方积分，负者积分，无平局，积分首先达到分的一方获得最终胜利，比赛结束若甲每局比赛获胜的概率为，且每局比赛相互独立，表示比赛结束时两人的积分之和，则(    ) A. 服从二项分布 B. C. 比赛结束时，甲、乙的积分之比为的概率为 D. 随机变量的数学期望为 11.猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名某嘉宾参加猜歌名游戏，每次猜歌名的结果相互独立，其猜对，，三首歌曲歌名的概率及猜对时获得的奖金的情况是：猜对歌曲的概率为，可获得奖金万元猜对歌曲的概率为，可获得奖金万元猜对歌曲的概率为，可获得奖金万元规则如下：按照，，的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首记该嘉宾获得的奖金总额为万元，则(    ) A. B. C. D. 获得奖金的期望值与猜歌顺序无关 三、填空题： 12.方程的解为           ． 13.乘积展开后，共有           项． 14.某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲、乙两位同学进行乒乓球训练，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局继续赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行乙同学第局赢的概率是           ;甲同学第局赢的概率           ． 四、解答题： 15.已知，且． (1)求的值； (2)求的值． 16.甲、乙两名同学分别与同一台智能机器人进行象棋比赛在一轮比赛中，如果甲单独与机器人比赛，战胜机器人的概率为；如果乙单独与机器人比赛，战胜机器人的概率为． (1)甲单独与机器人进行三轮比赛，求甲恰有两轮获胜的概率； (2)在甲、乙两人中任选一人与机器人进行一轮比赛，求战胜机器人的概率． 17.毛猴是老北京的传统手工艺品，制作材料都取自中药材，工序大致分为三步，第一步用蝉蜕做头和四肢；第二步用辛夷做身子：第三步用木通做道具．已知小萌同学在每个环节制作合格的概率分别为，，，只有当每个环节制作都合格时．这件作品才算制作成功， (1)求小萌同学制作一件作品成功的概率； (2)若小萌同学制作了件作品，假设每次制作成功与否相互独立．设其中成功的作品数为求的分布列及期望． 18.设数列的前项和为，且． (1)证明为等比数列； (2)若，求数列的前项和为． 19.已知函数（，，）在处的切线方程为. (1)求的值；(2)分析函数的单调性.  第 1 页 共 4 页 试卷第1页，共3页 第 2 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $