广东阳江市第三中学2025-2026学年高二下学期数学周末小练习（七）

2025-2026学年度阳江市第三中学高二数学周末小练习(七)解析版 2026 年 5月 11日 一、单选题 1．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．39 D．78 【答案】C 【详解】因为是等差数列，所以，而，所以，解得.所以. 2．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则所以. 3．函数在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，切线斜率为，切线方程为，即为． 4．某演讲比赛结束后，2名男同学、3名女同学和2位老师站成一排拍照留念，则2位老师相邻，且3名女同学不相邻的站法有（    ） A．264种 B．288种 C．312种 D．336种 【答案】B 【详解】将2名老师作为一个元素和2名男同学共3个元素全排列，共有种方法， 再让3名女同学插空，有种方法，所以满足条件的站法有种. 5．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，所以. 6．若，则（    ） A．127 B．128 C．129 D．256 【答案】B 【详解】当时，， 当时，，相减得，即. 7．某公司生产的甲、乙、丙三种规格的产品分别有300件，200件，100件，其中甲、乙、丙三种产品的合格率分别为，，，则从所有产品中任取一件，是合格品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设任取一件甲产品为事件，任取一件乙产品为事件，任取一件丙产品为事件，设任取一件是合格品为事件，则，，，，，，故. 8．高三年级 1， 2， 3， 4， 5 五个班负责甲、乙、丙、丁四个区域的卫生，每个班负责一个区域， 每个区域至少有一个班级负责， 其中 1 班和 2 班都不去区域甲， 则不同的任务分配方法种数为（    ） A．108 B．120 C．126 D．144 【答案】C 【详解】分为两类，第一类：只有一个班去区域甲，在3，4，5三个班级中任选一个去区域甲，剩下的四个班级去其余的三个区域，且每个区域至少有一个班，则方法种数为：； 第二类：有两个班去区域甲，在3，4，5 三个班级中任选两个去区域甲，剩下的三个班级去其余的三个区域，方法种数为：；故共有种方法. 二、多选题 9．函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．是的极值点 B．是 的极大值点 C． 的单调递减区间是 D． 【答案】BC 【详解】观察导函数的图象，当或时，，当且仅当时取等号，当时，，因此函数在上单调递增，在上单调递减，所以是的极大值点，但在两侧符号不变，所以不是的极值点，所以A错误，B正确；的单调减区间是，所以 C正确；函数在上单调递增，所以，所以D错误. 10．已知等差数列的首项，且，下列说法正确的有（    ） A．数列的公差 B．数列的通项公式为 C．数列的前项和 D．数列是公比为2的等比数列 【答案】AD 【详解】对于A，设等差数列的公差为，因为，且， 所以，解得：，故A正确；对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，令，，所以数列是公比为2的等比数列，故D正确. 11．已知且、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A选项，由组合数的性质可得，A对； 对于B选项，由组合数的性质可得，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，当时，， 当时，，D错. 三、填空题 12．的展开式中的系数为________． 【答案】 【详解】的展开式中的项为：， 所以的展开式中的系数为. 13．在10件产品中，有8件合格品，2件不合格品，从这10件产品中任意抽出3件，恰好有1件是不合格品的抽法有__________种.（请用数字作答） 【答案】56 【详解】从2件不合格品中选1件：，从8件合格品中选2件：， 根据分步乘法计数原理，总抽法数为： ． 14．若函数在区间单调递增，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【详解】由题意可知：在区间内恒成立， 可得在区间内恒成立， 因为在区间内单调递增，则， 可得，所以实数的取值范围为. 四、解答题 15．已知数列是等比数列，，，数列满足：． (1)求，的通项公式； (2)数列求数列的前项和． 【详解】（1）设等比数列的公比为，则， 于是 ； 则，故的通项公式为，的通项公式为. （2）由题可知 数列的前项和为 . 16．从包含甲、乙2人的8人中选4人参加米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答） (1)甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒； (2)甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒； (3)甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒； (4)甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒． 【详解】（1）先排甲、乙在第2、3棒，有种排法；再从剩下6人中选2人跑第1、4棒，有种排法，所以共有种排法. （2）先从甲、乙中选1人，有种选法；再安排他跑第1或第4棒，有种排法； 最后从剩下6人中选3人排剩下的3棒，有种排法，所以共有种排法. （3）先把甲、乙看成一个整体，相邻的位置有三种，整体内部有种排法； 再从剩下6人中选2人排剩下的2棒，有种排法，所以共有种排法. （4）先从除甲、乙外的6人中选2人进行排列，有种排法，此时形成3个空位； 再将甲、乙两人插入空位中，有种排法，所以共有种排法. 17．袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．求： (1)第一次和第二次都摸到红球的概率； (2)在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率； (3)第二次摸到红球的概率． 【详解】（1）设事件：第一次摸到红球；事件：第二次摸到红球，所以. 故第一次和第二次都摸到红球的概率为. （2）第一次摸到红球的概率为，所以. 故在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为. （3），则，所以， 所以.故第二次摸到红球的概率为. 18．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若曲线经过点，且在处的切线为．证明：除切点外，曲线在直线的下方． 【详解】（1）因为的定义域为， 的导函数. ①当时，，则在上单调递增. ②当时，令，得； 令，得； 所以，在上单调递增，在上单调递减. （2）因为曲线经过点 所以，解得． 所以． 因为，所以的方程为. 要证除切点外，曲线在直线的下方， 即证：， 只需证：. 设，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 所以当时，， 所以原命题得证. 19．已知椭圆的右顶点为，圆的半径等于椭圆的长半轴长，圆，直线与圆和圆都相切． (1)求圆的方程，并判断圆与圆的位置关系； (2)求直线的方程； (3)若斜率存在的直线与交于，两点，求的面积． 【详解】（1）由题意可得，椭圆的长半轴长为2，故圆的方程为． 由，得，故圆与圆外切． （2）由（1）可知，圆与圆外切于原点，因此两圆共有3条公切线．因为直线到两圆心的距离分别等于各自半径，故是两圆的一条内公切线． 因为，，两圆半径为2，1，由相似比及对称性可知，外公切线必过定点，设两圆的外公切线方程为． 由直线与圆相切，得，解得，因此两条外公切线方程为，． 综上直线的方程为，，． （3）由（2）可知，斜率存在的两条直线关于轴对称，而椭圆也关于轴对称，因此它们与椭圆相交所得的的面积相等． 将代入，整理得，判别式，设，，则． 由过定点，得的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度阳江市第三中学高二数学周末小练习(七) 2026年 5月 11日 班级: 姓名： 学号： 一、单选题 1．已知等差数列的前项和为，若，则（     ） A． B． C．39 D．78 2．若，则（     ） A． B． C． D． 3．函数在处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 4．某演讲比赛结束后，2名男同学、3名女同学和2位老师站成一排拍照留念，则2位老师相邻，且3名女同学不相邻的站法有（     ） A．264种 B．288种 C．312种 D．336种 5．已知，，则（ ） A． B． C． D． 6．若，则（     ） A．127 B．128 C．129 D．256 7．某公司生产的甲、乙、丙三种规格的产品分别有300件，200件，100件，其中甲、乙、丙三种产品的合格率分别为，，，则从所有产品中任取一件，是合格品的概率为（     ） A． B． C． D． 8．高三年级 1， 2， 3， 4， 5 五个班负责甲、乙、丙、丁四个区域的卫生，每个班负责一个区域， 每个区域至少有一个班级负责， 其中 1 班和 2 班都不去区域甲， 则不同的任务分配方法种数为（     ） A．108 B．120 C．126 D．144 二、多选题 9．函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A．是的极值点 B．是 的极大值点 C． 的单调递减区间是 D． 10．已知等差数列的首项，且，下列说法正确的有（     ） A．数列的公差 B．数列的通项公式为 C．数列的前项和 D．数列是公比为2的等比数列 11．已知且、，则（     ） A． B． C． D． 三、填空题 12．的展开式中的系数为________． 13．在10件产品中，有8件合格品，2件不合格品，从这10件产品中任意抽出3件，恰好有1件是不合格品的抽法有__________种.（请用数字作答） 14．若函数在区间单调递增，则实数a的取值范围为______. 四、解答题 15．已知数列是等比数列，，，数列满足：． (1)求，的通项公式； (2)数列求数列的前项和． 16．从包含甲、乙2人的8人中选4人参加米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答） (1)甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒； (2)甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒； (3)甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒； (4)甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒． 17．袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．求： (1)第一次和第二次都摸到红球的概率； (2)在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率； (3)第二次摸到红球的概率． 18．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若曲线经过点，且在处的切线为．证明：除切点外，曲线在直线的下方． 19．已知椭圆的右顶点为，圆的半径等于椭圆的长半轴长，圆，直线与圆和圆都相切． (1)求圆的方程，并判断圆与圆的位置关系； (2)求直线的方程； (3)若斜率存在的直线与交于，两点，求的面积． 1 试卷第1页，共3页 第 2 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $