广东阳江市第三中学2025-2026学年高二下学期数学周末小练习（二）

2025-2026学年度阳江市第三中学高二数学周末小练习(二)解析版 2026 年 3月 12日 一、单选题 1．与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 椭圆可化为，可知椭圆的焦点在y轴上，焦点坐标为，故可设所求椭圆方程，则，又，即，所以，所以所求椭圆的标准方程为． 2．动点到点的距离与它到点的距离之差等于6，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 由双曲线的定义可知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的上支， 且，，所以其轨迹方程为， 3．设椭圆：的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若，，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 由直线经过原点，且椭圆关于原点对称可知，四边形是平行四边形，所以，由椭圆定义得：，所以， 又因为，所以，所以，所以椭圆的离心率. 4．已知为等差数列，，则的公差为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】C ，所以，即，解得. 5．已知数列 是严格递增数列，则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C由题意可得， 解得，因为，所以. 6．为各项不相同的等差数列的前n项和，，是与的等比中项，则（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 设等差数列的公差为，则由题可得，即，解得，所以. 7．已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 根据已知及等差数列前n项和，设，，则. 8．已知快递员甲一周（7天）的第一天派件90件，之后每天的派件量比前一天多件，若甲第7天的派件量是其该周前3天的派件总量的，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 由题意，解得． 二、多选题 9．已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则k的值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 由直线方程可知直线经过定点， 而该点恰在抛物线的对称轴上，故时， 两者有且仅有一个公共点； 联立，消去，可得， 由，可得. 此时直线方程为与，恰与抛物线相切，两者有且仅有一个公共点. 故k的值可以是0，. 10．设抛物线的焦点为F，过F的直线与C交于A，B两点，若弦的中点为，则（   ） A．F的坐标为 B．直线的斜率为1 C． D． 【答案】ABD 对于A，抛物线的焦点，A正确； 对于B，设直线的方程为，由，得，设， 由弦的中点为，得，解得，直线的斜率，B正确； 对于C，由选项B知，，，C错误； 对于D，由选项B知，，因此 ，D正确. 11．已知数列的通项公式为，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列是等差数列，且公差 C．对于任意的正整数，均有成立 D．存在唯一的正整数，使数列的前项和取得最小值 【答案】AB 因为，所以为常数， 又，故数列是以为首项，3为公差的等差数列，所以选项B正确； 由等差中项的性质 故C错误； 又，所以，选项A正确； 对于选项D，因为，令，二次函数的对称轴为. 由二次函数对称性知，当或时，取到最小值，所以选项D错误． 三、填空题 12．已知数列满足，，则_____. 【答案】 ，，，，，， ，，. 13．已知数列为等差数列，且，则的最小值为______． 【答案】 设数列的公差为，则， 故，故， 根据二次函数的性质可知：当或4时，取得最小值． 14．已知数列为等比数列，数列为等差数列，的前项和为.若，则__________. 【答案】18 由等比中项可知，∴或（舍去），∴， 由等差中项可知. 四、解答题 15．已知数列的前项和满足， (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和的最大值. 【答案】(1) (2)42 （1）由 ，得 当 时，； 当 时，， 又 时，，符合上式，故数列 的通项公式为 （）. （2），由于 为正整数，且 ，， 故 . 16．已知等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和， 【答案】(1) (2) （1）设等差数列的公差为，由题意可得：，解得，所以数列的通项公式. （2）因为， 则. 17．已知函数． (1)求函数在处的切线方程． (2)若函数有两个不同的零点，求实数b的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为，求导得，则，而， 所以函数在处的切线方程为. （2）由，得，而，则，令， 函数有两个不同的零点，等价于函数的图象与直线有两个交点， 求导得，由，得；由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减，则， 而，当时，，又当时，， 则当且仅当时，函数的图象与直线有两个交点， 所以实数b的取值范围是. 18．曲线在点处的切线为． (1)求直线的方程； (2)若直线与曲线在轴右侧只有一个公共点，求实数的值． 【详解】（1），，的方程为，即； （2）直线与曲线在轴右侧只有一个公共点，即方程只有一正实数解，即只有一正实数解， 令，则， 时，，单调递减；时，，单调递增； 且时，；时，， 故. 19．已知函数. (1)求曲线在处的切线方程. (2)若在恒成立，求的取值范围. (3)当时，证明：对，有. 【详解】（1）当时，，而， ，由点斜式得切线方程：， 即. （2）由题意化简得， ，，又，， 故​. （3）当时，原不等式等价于，即. 令，求导得，因为，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以由，得， 只需证，即. 令，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，且在处取最小值；而在恒成立， 故，所以， 原不等式对所有成立. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度阳江市第三中学高二数学周末小练习(二) 2026年 3 月 12日 班级: 姓名： 学号： 一、单选题 1．与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 2．已知动点到点的距离与它到点的距离之差等于6，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．设椭圆：的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若，，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 4．已知为等差数列，，则的公差为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 5．已知数列 是严格递增数列，则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．记为各项均不相同的等差数列的前n项和，若，是与的等比中项，则（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 7．已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 8．已知快递员甲一周（7天）的第一天派件90件，之后每天的派件量比前一天多件，若甲第7天的派件量是其该周前3天的派件总量的，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 二、多选题 9．已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则k的值可以是（ ） A． B． C． D． 10．设抛物线的焦点为F，过F的直线与C交于A，B两点，若弦的中点为，则（   ） A．F的坐标为 B．直线的斜率为1 C． D． 11．已知数列的通项公式为，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列是等差数列，且公差 C．对于任意的正整数，均有成立 D．存在唯一的正整数，使数列的前项和取得最小值 三、填空题 12．已知数列满足，，则 . 13．已知数列为等差数列，且，则的最小值为 . 14．已知数列为等比数列，数列为等差数列，的前项和为.若，则 . 四、解答题 15．已知数列的前项和满足， (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和的最大值. 16．已知等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 17．已知函数． (1)求函数在处的切线方程． (2)若函数有两个不同的零点，求实数b的取值范围． 18．曲线在点处的切线为． (1)求直线的方程； (2)若直线与曲线在轴右侧只有一个公共点，求实数的值． 19．已知函数. (1)求曲线在处的切线方程. (2)若在恒成立，求的取值范围. (3)当时，证明：对，有. 第 1 页 共 4 页 试卷第1页，共3页 第 2 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $