第十七章 因式分解【章末复习】（课件）-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件系统梳理了因式分解的概念、核心方法（提取公因式法、公式法）、解题顺序及易错点，通过知识结构图呈现整式乘法与因式分解的逆向关系，结合公式对比表和易错点汇总，帮助学生构建完整的因式分解知识体系。 其亮点在于采用“基础巩固-考点突破-思想提升”的分层复习模式，如通过拼图验证完全平方公式培养几何直观，设计综合分解题（如-2x²+8x-8）提升运算能力与推理意识。中考考点应用（如密码生成、三角形形状判断）强化模型意识，助力不同水平学生提升，教师可依托资料精准实施复习教学。

人教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月30日 章末小结 第十七章 因式分解 第十七章 因式分解 全章总复习（知识点+习题+答案） 一、因式分解基础概念 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。 核心区别： 整式乘法：积 → 和差（展开） 因式分解：和差 → 积（合并） 分解原则：必须分解到不能再分解为止（分解彻底）。 二、因式分解两大核心方法（本章必考） 方法1：提取公因式法 1. 找公因式三步法 ① 系数：取各项系数的最大公约数 ② 字母：取各项公共字母 ③ 指数：取公共字母的最低次幂 2. 进阶：整体公因式 多项式整体可作为公因式，如 $$(x-y)、(a+b)$$ 3. 符号变形口诀 $$a-b=-(b-a)$$ $$(a-b)^2=(b-a)^2$$（偶次幂不变号） $$(a-b)^3=-(b-a)^3$$（奇次幂变号） 4. 公式：$$ma+mb+mc=m(a+b+c)$$ 方法2：公式法（两个必考公式） （1）平方差公式 $$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$ 适用条件：两项、异号、都是平方数 （2）完全平方公式 $$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$$ $$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$$ 适用条件：三项式，首平方、尾平方，中间两倍首尾积 三、因式分解万能解题顺序（必考流程） 一提、二套、三检查 1. 一提：优先提取公因式（含负公因式、整体公因式） 2. 二套：剩余两项套平方差，剩余三项套完全平方 3. 三查：检查是否还能继续分解，必须分解彻底 四、全章公式对比（杜绝混淆） 1. 平方差：两项、一正一负 → 分解成和×差 2. 完全平方：三项、首尾正 → 分解成完全平方 3. 易错警示：$$(a\pm b)^2 eq a^2\pm b^2$$ 五、全章高频易错点汇总 1. 提公因式漏项：全部提完剩余补1，不能空 2. 提负号不全变号：首项为负，括号内所有项变号 3. 分解不彻底：只提公因式不套公式，或只套公式不提公因式 4. 平方、完全平方公式乱用：看项数、看符号再判断 5. 整体公因式不会变形：不会利用奇偶次幂统一符号 --- 六、第十七章 全章综合练习题 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列属于因式分解的是（） A. $$x^2+2x=x(x+2)$$ B. $$x(x+2)=x^2+2x$$ C. $$x^2+1=x(x+\dfrac{1}{x})$$ 2. 多项式$$6x^2y-9xy^2$$的公因式是（） A. $$3xy$$ B. $$xy$$ C. $$3x^2y^2$$ 3. 可以用平方差公式分解的是（） A. $$x^2+y^2$$ B. $$x^2-y^2$$ C. $$x^2-2xy+y^2$$ 4. $$x^2-8x+16$$分解结果正确的是（） A. $$(x-4)^2$$ B. $$(x+4)^2$$ C. $$(x-4)(x+4)$$ 5. 分解$$2x^2-8$$最终结果是（） A. $$2(x^2-4)$$ B. $$2(x+2)(x-2)$$ C. $$2(x-2)^2$$ 二、填空题（每题4分，共20分） 1. $$ma+mb+mc=$$________ 2. $$a^2-b^2=$$________ 3. $$a^2-2ab+b^2=$$________ 4. $$3x^2-6x=$$________ 5. $$4x^2-25=$$________ 三、解答题（共60分） 1. 提取公因式分解（16分） （1）$$5x^2-10xy$$ （2）$$2(x-y)+4(y-x)$$ 2. 平方差公式分解（16分） （1）$$81-x^2$$（2）$$3a^2-48$$ 3. 完全平方公式分解（16分） （1）$$x^2+14x+49$$ （2）$$4a^2-12ab+9b^2$$ 4. 综合分解（先提公因式再套公式）（12分） $$-2x^2+8x-8$$ --- 七、参考答案与解析 一、选择题 1.A 2.A 3.B 4.A 5.B 二、填空题 1. $$m(a+b+c)$$ 2. $$(a+b)(a-b)$$ 3. $$(a-b)^2$$ 4. $$3x(x-2)$$ 5. $$(2x+5)(2x-5)$$ 三、解答题 1. 解： （1）原式$$=5x(x-2y)$$ （2）原式$$=2(x-y)-4(x-y)=-2(x-y)$$ 2. 解： （1）原式$$=9^2-x^2=(9+x)(9-x)$$ （2）原式$$=3(a^2-16)=3(a+4)(a-4)$$ 3. 解： （1）原式$$=(x+7)^2$$ （2）原式$$=(2a-3b)^2$$ 4. 解： 原式$$=-2(x^2-4x+4)=-2(x-2)^2$$ 本章知识结构图. 整式的乘法 因式分解 公式法 乘法公式 (a+b)(a-b)=a2-b2， (a±b)2=a2±2ab+b2. 特殊形式 相反变形 提公因式法 相反变形 具体方法 因式分解 概念：把一个多项式化为几个整式的______的形式，叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式___________. 与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是方向相反的变形. 乘积 分解因式 注意：因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止. pa+pb+pc p(a+b+c). 因式分解 整式乘法 公因式：一个多项式的各项都含有的公共的因式. 确定公因式的方法： ①定______， ②定______， ③定______. 系数 字母 指数 提公因式法 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法. 提公因式法步骤（分四步）： 第一步：确定公因式. 第二步：提取公因式，依据乘法分配律. 第三步：确定另一个因式 ，用多项式除以公因式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式. 第四步：写成乘积的的形式，相同因式的乘积写成幂的形式. 用平方差公式分解因式 a2-b2=(a+b)(a-b). 即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 能用平方差公式分解因式的多项式的特点： ①多项式是二项式； ②每一项都能写成平方的形式，且符号相反. 用完全平方公式分解因式 a2+2ab+b2=(a+b)2 ，a2-2ab+b2=(a-b)2. 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 能用完全平方公式分解因式的多项式的特点： 多项式是三项式; 其中首尾两项分别是两个数(或两个式子)的平方，且这两项符号相同; 中间一项是这两个数(或这两个式子)的积的2倍，符号正负都可以. 十字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q). 【核心考点整合】 考点1 因式分解的定义 1. ［2025上海黄浦区期中］下列等式中，从左向右的变形为 因式分解的是( ) A A. B. C. D. 返回 中考考法 9 2. 已知多项式因式分解的结果为 ， 则 的值为( ) A A. B. C. 2 D. 4 返回 中考考法 10 考点2 用提公因式法和公式法分解因式 3. 多项式；； ； .在分解因式后，结果含有相同因式的是 ( ) A A. ①④ B. ①② C. ③④ D. ②③ 返回 中考考法 11 4. 下列因式分解正确的是( ) A. B. C. D. C 返回 中考考法 5.因式分解： （1） _____________; （2） _____________________; （3） ___________. 返回 中考考法 13 6. 教材P136复习题 因式分解： （1） ； 【解】 . （2） . . 返回 中考考法 14 考点3 因式分解的应用 7. ［2025淄博期中］已知， ，则整式 的值为( ) C A. B. C. D. 3 【点拨】，， . 返回 中考考法 15 8.若二次三项式是一个关于 的完全平方 式，则 _________. 或13 【点拨】是一个关于 的完全平方式， ，解得或 . 返回 中考考法 16 9.实数满足 ，则 的值是____. 【点拨】， . 返回 中考考法 17 10. 生活中我们经常用到密码，有一种用“因 式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式 因式分解，如多项式可以因式分解为 ， 当时，， ，此时可以得到的数字 密码为282930，292830等.根据上述方法，当， 时，对于多项式 分解因式后可以形成的数字密码是 ______________________（写出一个即可）. 152010（答案不唯一） 中考考法 18 【点拨】，当， 时， ,, 形成的密码可以是152010，151020， 201510等. 返回 中考考法 19 11.简便计算： . 【解】 . 返回 中考考法 20 12.已知， ,求 的值. 【解】 . 当，时，原式 . 返回 中考考法 21 13.对于任意自然数, 是否能被24整除？ 【解】 . 为自然数， 能被24整除. 返回 中考考法 22 14.若一个三角形的三边长分别为,, ，且满足 ，试判断该三角形的形状， 并说明理由. 【解】该三角形是等边三角形.理由如下： , . . ,,,即 . 该三角形是等边三角形. 返回 中考考法 23 【思想方法整合】 思想1 整体思想 15.已知，则 的值为___. 4 【点拨】， 原式 . 返回 中考考法 24 思想2 分类讨论思想 16.若，则 _______________. 或 返回 中考考法 25 思想3 数形结合思想 17.数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结 合，数形结合大致分为两种情形：借助图形的直观来阐明数 之间的关系，或借助数的精确性来阐明图形的属性，即“以形 助数”或“以数解形”. 中考考法 26 （1）用1张边长为的正方形卡片，2张边长为， 的长方形 卡片，1张边长为 的正方形卡片，拼成一个正方形 （如图①），观察拼图的过程，写出相应的等式：________ ___________________； 中考考法 27 （2）用1张边长为的正方形卡片，3张边长为， 的长方形 卡片，2张边长为 的正方形卡片，拼成一个长方形 （如图②），观察拼图的过程，写出相应的等式：________ __________________________； 中考考法 28 （3）用1张边长为的正方形卡片，6张边长为， 的长方形 卡片，9张边长为 的正方形卡片，可以不重叠无缝隙地拼成 一个大正方形，则这个大正方形的边长为_______； 中考考法 29 【点拨】 用1张边长为的正方形卡片，6张边长为， 的 长方形卡片，9张边长为 的正方形卡片拼成一个大正方形， 大正方形卡片的面积为， 大 正方形的边长为 . 中考考法 30 （4）用4张边长为， 的长方形卡片，拼成一个大正方形 （如图③）.若大正方形的面积是64，中间围成的小正方形的 面积是16，则边长为， 的长方形卡片的面积是____； 12 中考考法 31 【点拨】由题图可知大正方形的 边长为 ，中间围成的小正方 形的边长为 大正方形的 面积为，中间围成的小正方形的面积为 大正方形的面积是64， （负值已舍去） 中间围成的小正方形的面积是16， 中考考法 32 （负值已舍去） 解 得 边长为， 的长方 形卡片的面积是 . 中考考法 （5）将2张边长为的正方形卡片放到1张边长为 的正方形 卡片内，拼成如图④所示的形状，再将3张边长为 的正方形卡片放到1张边长为 的正方形卡片内，拼成如图⑤ 所示的形状.若图⑤中阴影部分的面积比图④中阴影部分的面 积大，则与 的关系为________. 中考考法 34 【点拨】由题意得，题图④阴影部 分为正方形，且边长为， 该阴影部分的面积为 .由题意得，将题图⑤中阴影 部分拼成一个长方形，则该长方形相邻两边长均为， 该长方形是正方形， 面积为 题图⑤中阴影部分 的面积比题图④中阴影部分的面积大 ， ， ， . 返回 中考考法 35 $