18.1 分式及其基本性质-课件 2025--2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦分式及其基本性质，涵盖分式概念、有意义及值为0的条件、基本性质、约分与通分等核心知识点，通过分数与分式的对比导入，搭建从整式到分式的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点是以实例驱动教学，通过“解题秘方”引导推理过程，结合易错点分析和中考真题，培养学生的抽象能力、推理意识与应用意识。例如对比分数与分式异同，强调“原分式判断”等细节，助力学生形成严谨思维，教师可直接用于课堂，提升教学效率。

18.1 分式及其基本性质 第十八章 分式 知识点 分式的概念 知1－讲 1 1. 分式：一般地，如果A，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫作分式.在分式中，A 叫作分子，B 叫作分母. A中可以含字母，也可以不含 知1－讲 注意 判断一个式子是不是分式，要看式子原本的样子，不能化简后再 判断.如是分式. 知1－讲 2. 分式与分数的异同 相同点 都满足的形式，分数线均相当于除号，而且具有括号的作用 不同点 分数的A，B都是整数；分式的A，B都是整式，且B中含有字母 知1－讲 特别解读 判断分式的三个条件： (1)A，B 都是整式； (2)B 中含有字母； (3)形如AB的式子. 以上三个条件缺一不可. 知1－练 例 1 下列各式，哪些是分式？哪些是整式？ ，－2x2，，，，，(3x－y)， ，. 解题秘方: 利用判断分式的三个条件进行识别，关键是看分母中是否含有字母. 知1－练 解: 分式有，，， ； 整式有－2x2，， ， (3x－y)， . π是数，不是字母. 不能化简后判断 知1－练 1-1. [中考· 怀化] 式子，，，－，，中，属于分式的有(　　) A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 C 知2－讲 知识点 分式有意义的条件 2 分式有意义的条件：分式的分母表示除数，因为除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠ 0 时，分式才有意义. 知2－讲 注意 (1)分式有意义只与分母有关，而与分子无关. (2)分母不为0 是指表示分母的整式的值不为0，而不是分母中字母的值不为0. 知2－讲 特别解读 分式无意义的条件： 分式的分母为0，即当B=0 时，分式AB无意义. 知2－练 x满足什么条件时下列分式有意义？ (1)；(2)； (3)； (4). 例 2 知2－练 解题秘方：根据分式有意义的条件求字母的取值范围的注意事项：(1)分式是否有意义，只与分式中分母的值是否为0 有关，而与分子的值是否为0无关(. 2)一定要针对原分式讨论，不能将分式化简后再讨论. 如(4)，不能只讨论x+4 ≠ 0 . (1)； (2)； 知2－练 解：当5x－3 ≠ 0，即x ≠ 时，分式有意义. 当|x|－1 ≠ 0，即x ≠ ±1 时，分式有意义. (3)； (4). 知2－练 解：因为无论x取什么值，都有x2＋3 ＞ 0， 所以 x取任何实数，分式都有意义； 当(x－2)(x＋4)≠ 0，即x ≠ 2 且x ≠ －4 时， 分式有意义. 两个条件同时满足 知2－练 2-1.[期末·南京秦淮区]要使分式有意义，字母x，y 应该满足( ) A.x ≠ y B.x ≠ -y C.x ≥ y D.x ≥ -y 2-2. 若分式有意义，则实数x 的取值范围是_______. B x≠±4 知3－讲 知识点 分式的值为0的条件 3 1. 分式的值为0的条件：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0. 即：对于分式，当A＝0且B ≠ 0 时，＝0. 保证分式有意义 知3－讲 2. 对常见的几种特殊分式值的讨论 (1)若的值为正数，则A、B同号. (2)若的值为负数，则A、B异号. (3)若的值为1，则A＝B，且B ≠ 0. (4)若的值为－1，则A＝－B，且B ≠ 0. 知3－讲 特别提醒 1.分式的值是在分式有意义的前提下才考虑的，所以分式 的值为0 的条件为A＝0且B ≠ 0，二者缺一不可. 2.对于分式的几种特殊值的讨论既要考虑分子，又要考虑分母. 知3－练 当x取何值时，下列分式的值为0 ？ (1)；(2)；(3)；(4). 例 3 解题秘方：紧扣分式的值为0 的条件求解，不要忽视分母不为0 . (1)； 知3－练 解：由得x＝－2， 故当x＝－2 时，分式的值为0. (2)； 知3－练 解：由得x =2 . 故当x =2 时，分式的值为0 . 知3－练 解：因为无解， 所以没有使分式的值为0 的x 的值. (3)； 知3－练 解：由得x=±. 故当x =±时，分式的值为0 . (4). 知3－练 3-1.[中考· 常州] 若分式的值是0，则实数x 的值是( ) A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 B 3-2.[期末·天津河东区]当x=______时，分式的值为0． -5 知4－讲 知识点 分式的基本性质 4 1. 分式的基本性质. 基本性质 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变 字母表示 ＝，＝ (C ≠ 0)，其中A，B，C是整式 知4－讲 注意 事项 (1)分子和分母要同时做“乘法(或除法)”运算； (2)乘(或除以)的对象必须是同一个不等于0 的整式 用途 进行分式的恒等变形 知4－讲 2. 分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变. 用字母表示如下： (1)＝＝－＝－； (2)－＝－＝＝ . 知4－讲 特别解读 1. 运用分式的基本性质进行分式的变形是恒等变形，它不改变分式值的大小，只改变其形式. 2. 若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括起来. 知4－练 写出下列等式中未知的分子或分母： (1)=； (2)=； (3)=； (4) =. 例 4 a2－ab x 2x m2－n2 知4－练 解题秘方：观察等号两边已知的分子或分母发生了什么样的变化，再根据分式的基本性质用相同的变化确定所要填的式子. 知4－练 知4－练 4-1.下列式子一定成立的是( ) A.= B.= C. = D.= B 33 知4－练 4-2. 根据分式的基本性质填空： (1)=； (2)=； (3)=； (4)=. 15x a2b m＋n x 知4－练 不改变分式的值，使下列各分式的分子与分母都不含“－”号或分子、分母中的第一项都不含“－”号. (1)；(2)；(3)；(4)－. 解题秘方：分式的分子、分母及分式本身的正负号，同时改变其中两个，分式的值不变. 例 5 (1)； (2)； (3)； (4)－. 知4－练 解：＝； ＝－； ＝＝－； －＝＝. 知4－练 5-1.[中考·扬州] 分式可变形为( ) A. B.－ C. D. － 5-2. 不改变分式的值， 使分子、分母的第一项系数都是正数，则= __________. D 知4－练 把分式(n ≠ 0)中的m和n同时扩大为原来的2倍，那么分式的值( ) A. 扩大为原来的2 倍 B. 不变 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 例 6 解题秘方：分别求出分子、分母扩大的倍数，从而得出分式的值的变化情况. 知4－练 解：把分式(n ≠0)中的m和n同时扩大为原来的2 倍，则分式变为＝＝= × ，因此分式的值缩小为原来的. 答案：C 知4－练 6-1.[期末·北京昌平区]若x，y 的值均扩大为原来的3 倍，则下列分式的值保持不变的是( ) A. B. C. D. D 知4－练 不改变分式的值，把下列各式的分子和分母中的各项系数都化为整数. (1)；(2). 思路导引： 例 7 (1)； (2). 知4－练 解：＝＝； ＝＝. 知4－练 7-1. 不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数. (1)； 知4－练 (2). 知5－讲 知识点 分式的约分、最简分式 5 1. 分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分. 2. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式. 约分前后“形变值不变” 知5－讲 3. 约分的一般方法 (1)若分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的公因式. (2)若分子或分母是多项式，应先分解因式，再确定公因式并约去. 分子、分母系数的最大公因数和分子、分母中相同字母的最低次幂的乘积 知5－讲 特别解读 1. 约分是针对分式的分子和分母整体进行的，而不是针对其中的某些项，因此约分前一定要确认分子和分母都是乘积的形式. 2. 约分一定要彻底，其结果必须是最简分式或整式. 知5－练 下列各式中，最简分式有_____________. ，，，. 例 8 解题秘方：判断一个分式是不是最简分式，关键是看该分式的分子、分母中有无公因式. 知5－练 解：符合最简分式的定义； =，分子、分母有公因式m+n，因此不是最简分式； = ，分子、分母有公因式3，因此不是最简分式； = ，分子、分母有公因式x-y，因此不是最简分式. 知5－练 8-1. [中考·滨州] 下列分式中， 最简分式是( ) A. B. C. D. A 知5－练 约分：(1)；(2)；(3). 解题秘方：(1)中的分子、分母都是单项式，可以直接约分；(2)(3)中的分子、分母都是多项式，先将多项式分解因式，再进行约分. 例9 (1)； (2)； 知5－练 解： ＝＝； ＝＝m＋n； (3). 知5－练 解：＝＝＝－. 知5－练 9-1. 约分： (1)； (2)； (3). 知6－讲 知识点 分式的通分 6 1. 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分. 2. 最简公分母：通分时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫作最简公分母. 通分的关键 通分前后“形变值不变” 知6－讲 3. 确定最简公分母的一般方法 类型 方法 分母为单项式 (1)取各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； (2)取各分母中每个出现的字母的最高次数作为最简公分母中该字母的次数 分母为多项式 (1)对每个分母因式分解； (2)求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； (3)找出出现的每个因式的最高次幂，系数与它们的积为最简公分母 知6－讲 注意 (1)互为相反数的因式看作相同因式； (2)若有能约分的分式，则要化简后再找最简公分母； (3)如果分母是不能分解的多项式，那么要把它看作一个整体. 知6－讲 4. 通分的一般步骤 (1)确定最简公分母； (2)用最简公分母分别除以各分式的分母求商； (3)用所得的商分别乘各分式的分子、分母，得出同分母分式. 知6－讲 特别解读 约分与通分的联系与区别： 1. 约分与通分都是对分式进行恒等变形，即变形之后每个分式的值都不变. 2. 不同点：约分是针对一个分式来说的，约分可使分式得以简化，而通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母的分式化为同分母的分式. 知6－讲 特别提醒 通分时确定了分母乘什么，分子也必须随之乘什么，要防止只对分母变形而忽略了分子，导致变形前后分式的值发生变化. 知6－练 通分： (1)和；(2)和； (3)，. 解题秘方：先确定最简公分母，然后再通分. 先因式分解，再取系数的最小公倍数和相同因式的最高次幂 例10 知6－练 解：最简公分母是12x3y2z3， ＝＝， ＝＝. (1)和； 4和6的最小公倍数是12，x，y，z分别取最高次幂. 知6－练 解：最简公分母是(x＋1)(x－1)， ＝ ＝， ＝＝. (2)和； 两个多项式的积. 知6－练 解：最简公分母是3(x－y)2， ＝＝， ＝－＝－， ＝＝. (3)，和. 相同因式的最高次幂 知6－练 10-1. 通分： (1)与； 解：最简公分母是3(x+2)(x-2). = =, =- =-. 知6－练 (2)，与. 解： 最简公分母是m(2m+3)(2m-3). = =, =- =-, = =. 分式及其基本性质 分 式 分式有意义 的条件 分式的值为 0的条件 分式的基 本性质 约分 通分 题型 根据分式的值求字母的值或取值范围 1 类型1 根据分式无意义和分式的值为0 的条件求字母的值 已知当x=-2 时，分式无意义；当x=4时，分式的值为0，则a+b=________. 例11 6 思路引导： 解：因为当x=-2 时，分式无意义，所以-2+a=0，解得a=2.因为当x=4 时，分式的值为0，所以4-b=0，解得b=4，此时x+a=4+2=6 ≠ 0，故b=4 成立. 所以a+b=2+4=6. 易错提醒 分式无意义时，分母等于0；分式的值为0时，分子等于0 且分母不等于0. 要注意二者的区别. 类型2 根据分式的值为1 或-1 求字母的值 (1)当x=_____时，分式的值为1； (2)当x=_____时，分式的值为-1. 例12 2 0 解题秘方：根据分式的值为±1 列方程，求出字母的值. 解：(1)因为分式的值为1，所以x-3=3-2x，解得x=2.当x=2 时，3-2x=3-4=-1 ≠0，故当x=2 时，分式的值为1. (2)因为分式的值为-1，所以(x-3)+(3-2x)=0，解得x=0 .当x=0 时，3-2x=3-0 =3 ≠0，故当x=0 时，分式的值为-1. 方法点拨 分式的值为1 或-1 时，求字母的值的方法： 分式的值为1 或-1满足的条件是分子和分母相等或互为相反数. 由此可列出方程，求出分式中字母的值，同时要注意分母不为0 这一隐含条件. 类型3 根据分式的值的正、负求字母的取值范围 当x满足什么条件时，分式的值为负数？ 例13 解题秘方：若要使分式的值为负数，则分子、分母异号. 注意有两种情况 解：由分式的值为负数，得①或② 解不等式组①，得-2<x<3；解不等式组②，无解. 所以当-2<x<3 时，分式的值为负数. 思路点拨 当分式的值为负数时，分式的分子和分母异号，也就是分子为正、分母为负或分子为负、分母为正，利用这两种情况分别列不等式组，解不等式组确定字母的取值范围. 类型4 根据分式的值为整数求字母的值 若分式的值为整数，求整数x的值. 例14 思路导引： 解：==. 因为分式的值为整数，x 为整数， 所以x+2 可取整数-4，-2，-1，1，2，4. 所以x 可取整数-6，-4，-3，-1，0，2. 又因为x2-4 ≠ 0，所以x≠±2. 综上可知，整数x 可取的值为-6，-4，-3，-1，0 . 保证分式有意义 技巧点拨 分式(n，a 为常数)的值为整数的情况： 若分式(n，a为常数)的值为整数，则x+a 为n 的因数，据此可求出x，最后还需检验x 的值是否使原分式有意义. 题型 巧求分式的值 2 类型1 分式的基本性质在巧求分式的值中的应用 [新考法整体代入法]已知=，求分式的值. 例15 思路引导： 解：由已知条件得y ≠ 0 . 所以===-4. 另解 因为= ，所以x= ， 所以 == =-4. 技巧点拨 本题运用了设参数法求值. 当数学问题中出现或隐含比值相等的条件时，设比值为一个新字母，把问题转化为新字母的问题求解，往往可起到意想不到的效果. 类型2 设比值在巧求分式的值中的应用 [新考法 设参数法]已知==(其中x ≠ 0)，求分式的值. 例16 解题秘方：因为条件是以比值相等的形式出现的，所以可考虑设比值为k，把待求式子转化为关于k 的式子求值. 解：设== =k(k ≠ 0)，则x=2k，y=3k，z=4k. 所以= = =. 易错点 忽视分母不能为0 而出错 1 若分式的值为1，则x的取值范围为( ) A. x≥ 0 B. x>4 C. x≥ 0 且x≠ 4 D. x>0且x≠ 4 例17 错解：因为=1，所以|x|-4=x-4，即|x|=x. 所以x ≥ 0，故选A. 正解：前面同错解，得出x ≥ 0. 又因为x-4 ≠ 0，所以x 的取值范围是x ≥ 0 且x ≠ 4. 答案：C 诊误区： 分式有值的前提是分式有意义，即分母不能为0，这一点不能忽略. 易错点 对分式的基本性质理解不清而出错 2 下列变形正确的是( ) A. = B. = C. = D. = 例18 错解：B 正解：当a ≠ b 或b=1 时，A错误；当c=0 时，B错 误；当a ≠ b 时，C错误；D选项正确. 答案：D 诊误区： 分式的基本性质中，分式的分子和分母同时乘或除以一个数时，这个数不能为0. 考法 利用分式有意义的条件求字母的取值范围 1 [中考·常州] 若分式有意义，则实数x的取值范围是( ) A. x ≠ -1 B. x=-1 C. x ≥ -1 D. x>-1 例19 试题评析：本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键. 根据分式的分母不为0 求解即可. 解：要使分式有意义，则x+1 ≠ 0，解得x ≠ -1. 答案：A 考法 利用分式的值为0 的条件求字母的值 2 [中考·济南]若分式的值为0，则x的值是_________. 例20 试题评析：此题主要考查了分式的值为0的条件，关键是掌握分式的值为0 的条件是分子等于0 且分母不等于0． 解：因为分式的值为0，所以x-1=0，2x ≠ 0，解得x=1． 1 考法 利用约分求分式的值 3 [新考法整体代入法中考·北京]已知x+2y-1=0， 求分式的值． 例21 试题评析：本题考查了利用分式的基本性质化简求 值，解决本题的关键是对分式进行约分. 解：原式== . 当x+2y-1=0，即x+2y=1 时，原式==2. 1. [新考向 知识情境化]如图，甲、乙、丙、丁四人手中各有一张圆形卡片，则卡片上的式子是分式的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 B 2. [期末·广州南沙区]若分式有意义，则x的取值范围是 ( ) A. x ≠ -2 B. x ≠ 2 C. x≠±2 D. x ≠ 0 且x ≠ -2 B 3. [期末·北京石景山区]若分式的值为0，则x 的值为 (　　) A.-2 B.2 C.±2 D.±4 B 4. 把，，通分的过程中，不正确的是 ( ) A. 最简公分母是(x-2)(x+3)2 B. = C. = D. = D 5. 当x=-2时，分式的值是( ) A. -15 B. -3 C. 3 D. 15 A 6. [新视角结论开放题中考·广西]写出一个使分式有意义的x 的值，可以是_____________. 7. [中考·湖南]约分：=_________． 8. 某班组织了绿博园一日游活动，他们共x 人，租了一辆大巴车，租金为1 000 元.出发时又增加了2 人，如果租金不变，那么实际平均每人需分摊的车费为______元. 0(答案不唯一) x2 9. [新视角 新定义题]如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”. (1)下列分式：① ；②；③；④. 其中是“和谐分式” 的是_______(填序号)； (2)在整式：m2-n2，m2+2mn+n2，m-n 中，任意选择2 个式子构造分式，分别作为分子、分母，要求构造的分式是“和谐分式”，直接写出所有的结果： _______________________ . ② 或 10. 已知分式(a，b 为常数)满足表格中的信息. (1)a=______，b=______； x 的取值 1 -2 c 分式的值 无意义 0 1 1 4 (2)求出c 的值； 解：将(1)中求得的a,b代入分式，得. 由题意得，当x=c时，2c+4=c-1,解得c=-5. (3)当分式的值为正时，求出x 的取值范围. 解：由>0,得或 解得x>1或x<-2. 11.[中考· 北京]已知a+b-3=0，求代数式的值. 解：原式= = =. 因为a+b-3=0，所以a+b=3.故原式=. 12. [新视角 材料阅读题]用数学的眼光观察： 等式：(x+ )2=x2+2+ ，(x- )2=x2-2+ ． 若=，求代数式x+ 的值． 解：因为=，所以=4. 所以+ =4，即x+ =4． 用数学的思维思考并解答： (1)填空：(a+ )2- (a- )2=________； (2)若(a+ )2=20，求a- 的值； 4 解：因为(a+)2=20，所以a2+2+=20.所以a2+=18. 所以(a－)2=a2－2+=18－2=16，所以a－=±4. (3)已知= ，求的值． 解：因为=，所以=2. 所以x+=5.所以(x+)2=52.所以x2+=23. 所以=x2+2+=23+2=25，所以=． 解：＝＝； 解：＝＝ 解：＝－6xyz； ＝＝； ＝＝. $