17.2.3综合运用提公因式法和公式法（课件）-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦因式分解，核心涵盖完全平方公式逆用、判定条件及综合运用提公因式法与公式法，通过回顾公式特征与解题步骤，结合例题搭建从基础到综合的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以步骤化解题（提、判、定、套、查）和高频易错总结为特色，融入中考真题与整体换元实例，培养学生抽象能力与推理意识。学生能系统掌握分解方法，教师可直接用于培优教学，提升课堂效率。

人教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月30日 17.2.3综合运用提公因式法和公式法 第十七章 因式分解 17.2.2 用完全平方公式分解因式 练习题 【核心知识点回顾】 一、完全平方公式（因式分解逆用） 完全平方和：$$\boldsymbol{a^2+2ab+b^2=(a+b)^2}$$ 完全平方差：$$\boldsymbol{a^2-2ab+b^2=(a-b)^2}$$ 二、完全平方式三大判定条件（必考） 1. 多项式一共三项； 2. 首尾两项是平方形式且符号为正； 3. 中间项是首尾底数乘积的2倍（可正可负）。 万能口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央 三、公式中a、b的含义 $$a、b$$可以是：数字、单个字母、单项式、整体多项式，和平方差公式中整体思想一致。 例：$$x^2-4x+4=x^2-2\cdot x\cdot2+2^2=(x-2)^2$$ 例：$$4x^2+12xy+9y^2=(2x)^2+2\cdot2x\cdot3y+(3y)^2=(2x+3y)^2$$ 四、标准解题步骤 1. 提：有公因式先提取公因式，化为最简三项式； 2. 判：判断是否满足完全平方式三大条件； 3. 定：确定首尾平方底数，找准中间项符号； 4. 套：套用完全平方公式写成平方形式； 5. 查：检查是否分解彻底。 五、常见完全平方式熟记 $$x^2+2x+1=(x+1)^2$$$$x^2-2x+1=(x-1)^2$$ $$x^2+6x+9=(x+3)^2$$$$x^2-8x+16=(x-4)^2$$ --- 【同步练习题】 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列式子是完全平方式的是（） A. $$x^2+2x-1$$ B. $$x^2-4x+4$$ C. $$x^2+x+1$$ D. $$x^2-2x-1$$ 2. 分解因式$$x^2-6x+9$$的结果是（） A. $$(x-3)^2$$ B. $$(x+3)^2$$ C. $$(x-3)(x+3)$$ D. $$x(x-6)+9$$ 3. $$4a^2+4a+1$$分解因式正确的是（） A. $$(2a+1)^2$$ B. $$(2a-1)^2$$ C. $$4(a+1)^2$$ D. $$(4a+1)^2$$ 4. 若$$x^2+mx+16$$是完全平方式，则m的值为（） A. 8 B. -8 C. ±8 D. ±4 5. 完全平方式的项数为（） A. 2项 B. 3项 C. 4项 D. 任意项 二、填空题（每题4分，共20分） 1. $$a^2+2ab+b^2=$$________。 2. $$a^2-2ab+b^2=$$________。 3. $$x^2+10x+25=$$________。 4. $$9x^2-12x+4=$$________。 5. 完全平方式首尾两项必须是________形式且同号。 三、解答题（共60分） 1.（36分）用完全平方公式分解下列因式： （1）$$x^2+2x+1$$ （2）$$x^2-12x+36$$ （3）$$a^2+8ab+16b^2$$ （4）$$25x^2-20xy+4y^2$$ （5）$$-x^2+2xy-y^2$$ （6）$$16a^2+8a+1$$ 2.（12分）先提公因式再用公式分解： （1）$$3x^2-6x+3$$ （2）$$2a^3-8a^2+8a$$ 3.（12分）整体思想分解因式：$$(x-1)^2+4(x-1)+4$$ --- 【参考答案与解析】 一、选择题答案：1.B 2.A 3.A 4.C 5.B 二、填空题答案 1. $$(a+b)^2$$ 2. $$(a-b)^2$$ 3. $$(x+5)^2$$ 4. $$(3x-2)^2$$ 5. 平方 三、解答题解析 1. 解： （1）原式$$=x^2+2\cdot x\cdot1+1^2=(x+1)^2$$ （2）原式$$=x^2-2\cdot x\cdot6+6^2=(x-6)^2$$ （3）原式$$=a^2+2\cdot a\cdot4b+(4b)^2=(a+4b)^2$$ （4）原式$$=(5x)^2-2\cdot5x\cdot2y+(2y)^2=(5x-2y)^2$$ （5）原式$$=-(x^2-2xy+y^2)=-(x-y)^2$$ （6）原式$$=(4a)^2+2\cdot4a\cdot1+1^2=(4a+1)^2$$ 2. 解： （1）原式$$=3(x^2-2x+1)=3(x-1)^2$$ （2）原式$$=2a(a^2-4a+4)=2a(a-2)^2$$ 3. 解：设$$a=x-1$$ 原式$$=a^2+4a+4=(a+2)^2$$ 回代得：原式$$=(x-1+2)^2=(x+1)^2$$ 【高频易错总结】 1. 公式混淆：平方差是两项、异号；完全平方是三项、首尾同号，切勿混用； 2. 中间项易错：必须是首尾底数乘积的2倍，容易漏乘2； 3. 首项为负必须先提负号，再套用公式，避免符号混乱； 4. 有公因式不先提取，导致分解不彻底； 5. 整体换元不会用，无法识别复杂的完全平方式。 能综合运用提公因式法和平方差公式、完全平方公式对多项式进行因式分解． 理解公式法分解因式与乘法公式的联系与区别. 例1 分解因式： (1)x⁴-y⁴;                                                    (2)a³b-ab. 分析： 在(1)中，x⁴-y⁴可以写成(x²)²-(y²)²的形式，可用公式法分解因式. 对于(2)，a³b-ab的两项有公因式ab，可以先提出公因式，再进一步分解因式. 例1 分解因式： (1)x⁴-y⁴;                                           (2)a³b-ab. 解：(1)x⁴-y⁴ =(x2+y2)(x2-y2) =(x2+y2)(x+y)(x-y). (2)a³b-ab. =ab(a2-1) =ab(a+1)(a-1). 分解因式，要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. 例2 分解因式： (1)3ax²+6axy+3ay²;              (2)-ax²+2a²x-a³. 解：(1)3ax²+6axy+3ay² =3a(x²+2xy+y²) =3a(x+y)2.   解：(2)-ax²+2a²x-a³ =-a(x²-2ax+a2) =-a(x-a)2.  分析：先提出公因式，再用公式法进一步分解因式. 跟踪训练 把下列各式因式分解： (1)x2(y2-1)+2x(y2-1)+(y2-1); (2)(x2-1)2-6(x2-1)+9. 解：(1)x2(y2-1)+2x(y2-1)+(y2-1) =(y2-1)(x2+2x+1) = (y+1)(y-1)(x+1)2. 解：(2)(x2-1)2-6(x2-1)+9 =(x2-1-3)2 =(x2-4)2 =(x+2)2(x-2)2. 1. 把多项式 分解因式，结果正确的是( ) C A. B. C. D. 2. 因式分解整式 ，结果正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 中考考法 7 3. 下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符 号代表的内容. 分解因式： . 解： * ☆. 其中运用到的方法是 和 . . . . . 中考考法 8 下列回答错误的是( ) D A. *代表 B. ☆代表 C. 可能代表提公因式法 D. 可能代表完全平方公式法 返回 中考考法 9 4. ［2025南阳期中］如果， ，那么 的值为( ) D A. 0 B. 1 C. 4 D. 9 5. 有一个因式分解的等式 ， 则式子中的， 对应的一组数字是( ) B A. 16，2 B. 16， C. ， D. ，2 返回 中考考法 10 6.把下列各式因式分解： （1） ； 【解】 . （2） ； . 中考考法 11 （3） ； . （4） . . 返回 中考考法 12 7. ［2025淄博模拟］下列因式分解： ； ； ； . 其中结果正确的有( ) B A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 返回 中考考法 13 8. ［2025重庆万州区期中］已知，，分别是 的三 边长，若,，则 的长是 ( ) C A. 20 B. 16 C. 8 D. 4 【点拨】 ， ①， ，得 ，解得 . 返回 中考考法 14 9. 利用因式分解计算 的结 果为( ) A A. 58 B. 57 C. 56 D. 55 【点拨】原式 . 返回 中考考法 15 10.［2025上海徐汇区期中］在括号内填入适当的单项式，使 多项式 （ ）能因式分解，共有___种填法. 5 【点拨】当填入 时，原式 ；当填入 时， 原式 ； 当填入 时，原式 中考考法 16 ；当填入 时，原式 ；当填入 时，原式 返回 中考考法 因式分解 的方法 提公因式法 公式法 如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式. a2-b2=(a+b)(a-b)↔乘法公式：(a+b)(a-b)=a2-b2. a²±2ab+b²=(a±b)²↔乘法公式：(a±b)²=a²±2ab+b². $