4.2.3利用一次函数解决计费问题（课件）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦一次函数解决计费问题，涵盖基础模型（y=kx+b）、分段计费及解题步骤。通过生活实例导入，回顾一次函数知识，搭建从简单计费到分段计费的学习支架，衔接前后知识点。 其亮点是以阶梯水费、租车方案等实例引导学生用数学眼光观察现实，通过分段列函数步骤培养推理意识与运算能力，用函数模型表达计费关系强化模型观念。提供系统例题练习，学生提升应用能力，教师可高效教学。

北师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月30日 4.2.3利用一次函数解决计费问题 第四章 一次函数 北师大版八年级上册4.2.3 利用一次函数解决计费问题 练习题 【核心知识点回顾】 1. 计费问题本质 生活中的话费、水费、电费、打车费、会员收费等计费问题，大多属于一次函数应用。总费用随用量、时长、里程均匀变化，符合一次函数 $$y=kx+b$$ 模型。 2. 一次函数计费模型 固定收费+变动收费：$$\boldsymbol{总费用=单价\times 用量+固定费用}$$。对应公式：$$y=kx+b$$。其中：$$b$$为固定费用（月租、起步价、基础费），$$k$$为单位单价，$$x$$为用量、时长、里程，$$y$$为总费用。 3. 分段计费核心（重难点） 用量在不同区间，单价不同，需要分段列函数解析式。每一段都是一次函数，解题关键：找准分段临界点、分清区间、分别计算。 4. 解题通用步骤 ① 审题：找出固定费用、单价、分段标准；② 设自变量与函数；③ 列出对应一次函数解析式；④ 代入求值或比较方案；⑤ 作答。 ### 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 打车收费：起步价8元（3公里内），超过3公里每公里2元。其中固定费用是（） A. 2元 B. 8元 C. 3元 D. 无法确定 2. 某套餐月租15元，每分钟通话0.2元，总费用y与通话时间x的函数关系式是（） A. $$y=0.2x$$ B. $$y=15x+0.2$$ C. $$y=0.2x+15$$ D. $$y=15-0.2x$$ 3. 对于计费型一次函数 $$y=kx+b$$，下列说法正确的是（） A. $$k$$是总费用 B. $$b$$是变动费用 C. $$k$$为单价，$$b$$为固定费用 D. x为总费用 4. 不含固定费用的计费方式对应的函数是（） A. 正比例函数 B. 常函数 C. 二次函数 D. 无法判断 5. 分段计费问题最关键的是（） A. 设未知数 B. 找准分段区间 C. 单位换算 D. 无需分段 ### 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 计费问题的一次函数模型为$$y=kx+b$$，其中$$b$$代表________费用。 2. 无固定收费、只按用量收费的计费模型是________函数。 3. 水费规定：每吨3元，无基础费用，水费y与用水量x的关系式为________。 4. 某书店会员卡年费20元，购书一律8折，总花费随消费金额变化属于________函数变化。 5. 分段计费问题，不同用量区间需要________列解析式。 ### 三、解答题（共60分） 1.（20分）手机套餐：月租10元，每通话1分钟收费0.15元。设通话时间为x分钟，总费用为y元。（1）写出y与x的函数关系式；（2）通话100分钟需要多少费用？ 2.（20分）出租车收费标准：3千米以内收费7元，超过3千米，每千米1.5元。设行驶里程为x千米（$$x>3$$），总费用为y元，求y与x的函数关系式。 3.（20分）有两种上网套餐：A套餐：月租20元，每小时0.5元；B套餐：无月租，每小时1.5元。上网多少小时时，两种套餐费用相等？ ### 参考答案与解析 选择题答案：1.B 2.C 3.C 4.A 5.B 填空题答案：1.固定 2.正比例 3.$$y=3x$$ 4.一次 5.分段 解答题解析 1. 解：（1）总费用=月租+通话费用，得关系式：$$y=0.15x+10(x\geq0)$$；（2）当$$x=100$$时，$$y=0.15\times100+10=25$$，答：需要25元。 2. 解：$$x>3$$时，超出里程为$$x-3$$，超出费用：$$1.5(x-3)$$。$$y=7+1.5(x-3)$$，化简得：$$y=1.5x+2.5(x>3)$$。 3. 解：设上网x小时。A套餐：$$y_1=0.5x+20$$，B套餐：$$y_2=1.5x$$。费用相等时：$$0.5x+20=1.5x$$，解得$$x=20$$。答：上网20小时费用相等。 ### 易错知识总结 1. 列式时不要漏掉固定费用$$b$$；2. 分段计费必须看清取值范围，不同区间解析式不同；3. 方案比较问题，先列两个一次函数，再列方程求解临界点；4. 实际问题自变量取值非负，符合生活实际。 能根据所给条件或情境写出正比例函数和简单的一次函数的关系式，发展模型观念. 会用一次函数的知识解决实际问题，强化应用意识. 知识点1 根据条件分段列一次函数关系式 思考 某单位需租一辆45座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司.甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米15元.乙公司的计费标准：除了每千米10元的里程费外，另有服务费200元(不足1km按1km计算). (1) 假设该单位用车里程为30km，你建议租用哪家公司的客车? 解：(1) 甲公司费用：15×30=450（元）； 乙公司费用：10×30+200=500（元）. 因为450<500，建议租甲公司. 知识点1 根据条件分段列一次函数关系式 思考 某单位需租一辆45座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司.甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米15元.乙公司的计费标准：除了每千米10元的里程费外，另有服务费200元(不足1km按1km计算). (2) 假设该单位用车里程为52km，你建议租用哪家公司的客车? (2) 甲公司费用：15×52=780（元）； 乙公司费用：10×52+200=720（元）. 因为720<780，建议租乙公司. 知识点1 根据条件分段列一次函数关系式 思考 某单位需租一辆45座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司.甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米15元.乙公司的计费标准：除了每千米10元的里程费外，另有服务费200元(不足1km按1km计算). (3) 用车里程为多少千米时，两家出租车公司的收费相同? (3) 设里程为x千米时收费相同， 15x=10x+200，解得x=40， 即里程为40千米时收费相同. 例1 为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费.下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： (1) 当220<x≤300时，写出水费y(单位：元)与x之间的关系式； (2) 某户一年用水量是250m3，求该户这一年的水费； 知识点1 根据条件分段列一次函数关系式 计费档 户年用水量x/m3 单价/(元/m3) 第一档 0<x≤220 3.45 第二档 220<x≤300 4.83 第三档 x>300 5.83 解：(1) 当220<x≤300时，用水量属于第二档.于是 y=3.45×220+4.83×(x-220)， 即 y=4.83x-303.6. (2)当x=250时，y=4.83×250-303.6=903.9(元). 知识点1 根据条件分段列一次函数关系式 例1 为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费.下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： (3) 某户去年一年的水费是1 000.5元，求该户去年的用水量. 知识点1 根据条件分段列一次函数关系式 计费档 户年用水量x/m3 单价/(元/m3) 第一档 0<x≤220 3.45 第二档 220<x≤300 4.83 第三档 x>300 5.83 (3) 因为3.45×220=759，4.83×300-303.6=1 145.4， 759<1 000.5<1 145.4，所以该户年用水量属于第二档. 设该户天年一年的用水量为x m3，则 1 000.5=4.83x-303.6. 解这个方程，得x=270. 因此，该户去年一年的用水量为270 m3. 知识点1 根据条件分段列一次函数关系式 思考 (1) 在例1中，当x>300时，你能写出水费y(单位：元)与用水量x之间的关系式吗? 知识点1 根据条件分段列一次函数关系式 计费档 户年用水量x/m3 单价/(元/m3) 第一档 0<x≤220 3.45 第二档 220<x≤300 4.83 第三档 x>300 5.83 当x>300时，水费y的计算： 前面两档的费用是1 145.4元， 第三档的水量是(x-300) m3，单价5.83元/m3. 所以y=1 145.4+5.83(x-300)， 化简，得y=5.83x-603.6. 综上，当x>300时，y=5.83x-603.6. 知识点1 根据条件分段列一次函数关系式 (2) 像例1这样计费有什么意义?设计计费规则时要注意什么?生活中还有哪些情况用到类似的计费方法? 引导市民节约用水，用水量越大，单价越高，增加高耗水用户成本，促进合理用水、水资源高效利用. 知识点1 根据条件分段列一次函数关系式 (2) 像例1这样计费有什么意义?设计计费规则时要注意什么?生活中还有哪些情况用到类似的计费方法? 调研不同家庭合理用水需求，合理划分计费档，一档覆盖多数家庭正常用水，档间过渡合理，避免价格突变. 明确、清晰公示计费标准，让用户清楚知晓，确保公平公正，考虑不同家庭人口数差异，人口多的家庭合理提高第一档用水量. 知识点1 根据条件分段列一次函数关系式 (2) 像例1这样计费有什么意义?设计计费规则时要注意什么?生活中还有哪些情况用到类似的计费方法? 电费分档计费，用电量不同单价不同，鼓励节约用电. 燃气费部分地区分档，促进合理使用燃气. 出租车费起步里程内固定价，超里程后按里程加价，还有夜间费等附加费. 知识点1 根据条件分段列一次函数关系式 分段列函数的步骤： (1) 确定自变量的取值范围； (2) 写出每个取值范围内的函数关系式； (3) 整合函数：用大括号将每段的函数关系式写到一起，并且分别注明自变量的取值范围. 知识点1 根据条件分段列一次函数关系式 注意：(1) 要特别注意相应自变量的取值范围，在关系式上要反映出自变量的相应取值范围.(2) 解答时需要分段讨论. 类型1 分段计费问题 1.某市为鼓励市民节约使用燃气，对燃气进行分段收费，每月使用11立方米以内(包括11立方米)每立方米收费2元，超过部分按每立方米2.4元收取.如果某户的燃气使用量是x立方米(x超过11)，那么燃气费用y与x的函数关系式是　　 　　　. 返回 y＝2.4x－4.4 返回 【点拨】某户的燃气使用量是x立方米(x超过11)，所以超过部分为(x－11)立方米.因为每月使用11立方米以内(包括11立方米)每立方米收费2元，超过部分按每立方米2.4元收取，所以未超过部分的费用为11×2＝22(元)，超过部分的费用为2.4(x－11)元，所以燃气费用y与x的函数关系式是y＝2.4(x－11)＋22＝2.4x－4.4. 2. 某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，于四月开始采用以用户为单位按月分段收费办法收取水费，三月底以前按原收费标准收费.两种收费标准见下表： 返回 原收费标准 新按月分段收费标准 每吨2元 (1)每月用水不超过10吨(包括10吨)的用户，每吨收费 1.8元； (2)每月用水超过10吨的用户，其中的10吨按每吨1.8元收费，超过10吨的部分，按每吨a元收费(a＞1.8) (1)居民甲三月份、四月份各用水20吨，但四月份比三月份多交水费8元，求上表中a的值； 返回 原收费标准 新按月分段收费标准 每吨2元 (1)每月用水不超过10吨(包括10吨)的用户，每吨收费 1.8元； (2)每月用水超过10吨的用户，其中的10吨按每吨1.8元收费，超过10吨的部分，按每吨a元收费(a＞1.8) 【解】根据题意得10×1.8＋(20－10)a＝2×20＋8，解得a＝3. (2)若居民甲五月份用水x(单位：吨)，应交水费y(单位：元)，求y与x之间的关系式. 返回 原收费标准 新按月分段收费标准 每吨2元 (1)每月用水不超过10吨(包括10吨)的用户，每吨收费 1.8元； (2)每月用水超过10吨的用户，其中的10吨按每吨1.8元收费，超过10吨的部分，按每吨a元收费(a＞1.8) 【解】当0＜x≤10时，y与x之间的关系式为y＝1.8x； 当x＞10时，y与x之间的关系式为y＝10×1.8＋3(x－10)＝3x－12. 综上，y与x之间的关系式为y＝ 返回 原收费标准 新按月分段收费标准 每吨2元 (1)每月用水不超过10吨(包括10吨)的用户，每吨收费 1.8元； (2)每月用水超过10吨的用户，其中的10吨按每吨1.8元收费，超过10吨的部分，按每吨a元收费(a＞1.8) 类型2 方案选择问题 3.［2026郑州期末］已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米0.5元收费；B方案直接按每千米1元收费.已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是　　　　千米. 返回 800 返回 【点拨】设小明的行驶里程是x千米，需要花费y元，A方案：一共需要花费：y＝0.5x＋500，B方案： 一共需要花费：y＝x，若选择A方案，0.5x＋500＝800，解得x＝600，若选择B方案，得x＝800，由于600＜800，则选择B方案是最优租车方案，行驶里程为800千米. 4.周末，小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩.已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元.为满足游客需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的六折 收费； 乙方案：游客进园不需要购买门票，采摘的杨梅质量在10千克以内按原价收费，超过10千克后，超过部分按原价的五折收费. 设采摘量为x千克，按甲方案所需总费用为y1元，按乙方案所需总费用为y2元. 返回 (1)当采摘量超过10千克时，分别求出y1，y2与x之间的函数关系式. 返回 【解】当采摘量超过10千克时，根据题意，得y1＝30＋40×0.6x＝24x＋30， y2＝40×10＋40×0.5(x－10)＝20x＋200. (2)当采摘多少千克时，两种方案的价格相同？ 返回 【解】令y1＝y2，则24x＋30＝20x＋200，解得x＝42.5，即当采摘42.5千克时，两种方案的价格相同. (3)若采摘量为30千克，选择哪种方案更划算？请说明理由. 返回 【解】选择甲方案更划算.理由如下： 当x＝30时，y1＝24×30＋30＝750，y2＝20×30＋200＝800.因为750＜800，所以选择甲方案更划算. 分段列函数的步骤 (1) 确定自变量的取值范围； (2) 写出每个取值范围内的函数关系式； (3) 整合函数：用大括号将每段的函数关系式写到一起，并且分别注明自变量的取值范围. 应用：构建一次函数模型解决实际问题 列一次函数关系式 课堂小结 $