第四章 一次函数【章末复习】（课件）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了一次函数的定义、性质、图象、待定系数法及实际应用，通过知识框架将函数基础、均匀变化、正比例与一次函数关系等核心内容串联，构建完整知识网络。 其亮点在于结合易错总结与一题多解，如分类讨论绝对值函数最值培养推理能力，实际应用套餐计费模型发展模型意识，分层练习从基础到综合题设计，助力学生巩固知识，教师精准教学。

北师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月30日 章末小结 第四章 一次函数 北师大版八年级上册 第四章 一次函数 全章复习练习题 【全章核心知识点汇总】 一、函数基础 1. 函数定义：在变化过程中，有两个变量x、y，给定一个x值，有唯一确定的y值对应，y是x的函数，x为自变量，y为因变量。 2. 核心判定：一个x只能对应一个y，一个y可对应多个x，一对多不是函数。 3. 自变量取值范围：整式取全体实数；分式分母≠0；二次根式被开方数≥0；实际问题符合现实意义。 4. 函数三种表示法：解析式法、列表法、图象法。 二、均匀变化 1. 定义：自变量均匀增减，因变量增减量固定，变化速率恒定。 2. 特征：数值差值恒定，图象为直线；是一次函数的本质特征，分为均匀递增、均匀递减。 三、正比例函数与一次函数 1. 正比例函数：$$y=kx(k eq0)$$，特殊的一次函数，无常数项，图象过原点。 2. 一次函数：$$y=kx+b(k eq0)$$，k、b为常数，k≠0。 3. 关系：正比例函数一定是一次函数，一次函数不一定是正比例函数（b≠0时）。 四、函数图象与核心性质 1. 正比例函数$$y=kx(k eq0)$$ k>0：图象过一、三象限，y随x增大而增大；k<0：图象过二、四象限，y随x增大而减小；|k|越大，直线越陡。 2. 一次函数$$y=kx+b(k eq0)$$ k定增减：k>0上升递增，k<0下降递减；b定位置：b>0交y轴正半轴，b<0交y轴负半轴。 3. 象限分布：k正b正（一二三）、k正b负（一三四）、k负b正（一二四）、k负b负（二三四）。 4. 两直线平行：k相等、b不相等。 五、确定一次函数表达式（待定系数法） 四步法：设（设解析式）→代（代入点坐标）→求（解k、b）→写（写解析式）；正比例函数需1个点，一次函数需2个点。 六、一次函数的实际应用 1. 单个函数应用：读取图象坐标、求坐标轴交点、利用图象解方程、解读实际变化规律。 2. 两个函数应用：交点坐标为两函数值相等的解；交点左右判断函数值大小，用于方案、计费、行程对比。 3. 计费模型：$$总费用=单价\times 用量+固定费用$$，对应$$y=kx+b$$，常考分段计费、方案优选。 ### 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列关系式中，y是x的函数的是（） A. $$y^2=x$$ B. $$y=\pm2x$$ C. $$y=3x-1$$ D. $$x^2+y^2=4$$ 2. 关于正比例函数和一次函数，说法正确的是（） A. 一次函数是正比例函数 B. 正比例函数是特殊的一次函数 C. 两者无关联 D. 正比例函数图象不过原点 3. 一次函数$$y=-2x+3$$的图象经过象限是（） A. 一、二、三 B. 一、三、四 C. 一、二、四 D. 二、三、四 4. 两一次函数图象交点的意义是（） A. 自变量相等 B. 函数值相等 C. 函数值为0 D. 无意义 5. 确定一次函数表达式需要的点数是（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 任意个 ### 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 一次函数$$y=kx+b$$中，决定函数增减性的是________。 2. 正比例函数$$y=4x$$中，y随x的增大而________。 3. 直线$$y=3x-6$$与x轴的交点坐标是________。 4. 方案优选问题中，________是两种方案费用相等的临界点。 5. 待定系数法四步骤：设、代、________、写。 ### 三、解答题（共60分） 1.（20分）已知一次函数$$y=(m-3)x+m+2$$：（1）若y随x增大而增大，求m取值范围；（2）若图象过原点，求m的值。 2.（20分）已知一次函数图象经过点(0,-2)和(2,4)，求该函数表达式。 3.（20分）两种手机套餐：A套餐$$y_1=0.2x+15$$，B套餐$$y_2=0.5x$$（x为通话时长）。（1）求两套餐费用相等时的通话时长；（2）说明通话时长较长时，哪种套餐更划算。 ### 参考答案与全章解析 选择题答案：1.C 2.B 3.C 4.B 5.B 填空题答案：1.k 2.增大 3.(2,0) 4.两函数交点 5.求 解答题解析 1. 解：（1）y随x增大而增大，则$$m-3>0$$，解得$$m>3$$；（2）图象过原点，常数项为0，$$m+2=0$$，解得$$m=-2$$。 2. 解：设解析式$$y=kx+b$$，代入(0,-2)得$$b=-2$$；代入(2,4)得$$2k-2=4$$，解得$$k=3$$，解析式为$$y=3x-2$$。 3. 解：（1）令$$y_1=y_2$$，$$0.2x+15=0.5x$$，解得$$x=50$$，通话50分钟时费用相等；（2）k值越小增长越慢，A套餐k更小，因此通话时长大于50分钟时，A套餐更划算。 全章易错总结 1. 忽略一次函数、正比例函数$$k eq0$$的隐藏条件；2. 混淆k、b的作用，记错象限与增减性；3. 待定系数法代入坐标x、y颠倒，计算失误；4. 两个函数应用中记反交点左右函数值大小；5. 实际问题忽略自变量取值范围，脱离实际意义。 一 次 函 数 函数 正比例函数 一次函数 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变 量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是 x的函数 当k>0时，图象经过第一、三象限，y的值随着x值的增大而增大 当k<0时，图象经过第二、四象限，y的值随着x值的增大而减小 在一次函数 y=kx+b 中，当k＞0时，y的值随着x值的增大而增大；当k＜0时， y的值随着x值的增大而减小 一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标就是一元一次方程kx+b=0的解 表格法、关系式法、图象法 ①观察图象，获取关键信息 ②建立一次函数模型解决实际问题 应用 一、函数 1.概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量. 2.表示方式：表格、关系式、图象. 考点1 函数的概念 1.下列函数：①y＝－x；②y＝＋1；③y＝x－3；④y＝1＋；⑤y＝x2－x(x－1)，其中　　　　是一次函数， 　　　　是正比例函数.(填序号) 返回 ①③⑤ ①⑤ 核心考点整合 2.如图是某加油站地下圆柱形储油罐的示意图，已知储油罐长度为d，截面半径为r(d，r为常量)，油面高度为h，油面宽度为w，油量为v(h，w，v为变量)，则下面四个结论：①w是v的函数；②v是w的函数；③h是w的函数；④w是h的函数.其中正确的结论是　　　　. 返回 ①④ 核心考点整合 考点2 一次函数的图象和性质 3. 一次函数y＝k(x－1)与y＝k(1－x)(k≠0)在同一平面直角坐标系内的图象大致是(　　) 返回 A 　 B　 C 　 D D 核心考点整合 返回 【点拨】方法1：分两种情况：(1)当k＞0时，一次函数y＝k(x－1)的图象经过点(1，0)且过第一、三、四象限，一次函数y＝k(1－x)的图象经过点(1，0)且过第一、二、四象限；(2)当 k＜0时，一次函数y＝k(x－1)的图象经过点(1，0)且过第一、 二、四象限，一次函数y＝k(1－x)的图象经过点(1，0)且过第一、三、四象限，D选项符合. 方法2：一次函数y＝k(x－1)与y＝k(1－x)(k≠0)的图象都经过点(1，0)，只有D选项符合. 核心考点整合 4.［2025扬州］已知m2 025＋2 025m＝2 025，则一次函数y＝(1－m)x＋m的图象不经过(　　) A.第一象限　　　 B.第二象限　 C.第三象限　　　 D.第四象限 返回 D 核心考点整合 返回 【点拨】因为m2 025＋2 025m＝2 025，所以m2 025＝2 025(1－m).当m＜0时，m2 025＜0，2 025(1－m)＞0，与m2 025＝2 025(1－m)矛盾；当m＝0时，m2 025＝0，2 025(1－m)≠0，与m2 025＝2 025(1－m)矛盾；当m＞1时，m2 025＞0，2 025(1－m)＜0，与m2 025＝2 025(1－m)矛盾；当m＝1时，m2 025＝1，2 025(1－m)＝0，与m2 025＝2 025(1－m)矛盾，所以0＜m＜1，所以1－m＞0，所以一次函数y＝(1－m)x＋m的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故选D. 核心考点整合 5.如图，直线y1＝x＋3分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线y2＝－x＋3分别与x轴、y轴交于点B和点C，点P(m，2)是△ABC内部(包括边上)的一点，则m的最大值与最小值之差为(　　) A.1　　 B.2　　 C.4　　 D.6 返回 B 核心考点整合 返回 【点拨】因为点P(m，2)是△ABC内部(包括边 上)的一点，所以点P在直线y＝2上，如图所示. 当P为直线y＝2与直线y2的交点时，m取最大值， 当P为直线y＝2与直线y1的交点时，m取最小值.因为在y2＝－x＋3中，令y2＝2，则x＝1，在y1＝x＋3中，令y1＝2，则x＝－1，所以m的最大值为1，最小值为－1.故m的最大值与最小值之差为1－(－1)＝2.故选B. 核心考点整合 6.已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线y＝(－m＋1)x＋2上相异的两点，若(x1－x2)(y1－y2)＜0，则m的取值范围是　　　　. 返回 m＞1 综合应用题 返回 综合应用题 7. 已知函数y＝｜x－2a｜(a为常数)，当1≤x≤3时，y的最小值为5，则a的值为　　　　. 返回 －2或4 【点拨】分两种情况讨论：①当x≥2a时，y＝x－2a.因为k＝1＞0，所以当1≤x≤3时，y随x的增大而增大，即当x＝1时，y＝5，则5＝1－2a，解得a＝－2.②当x＜2a时，y＝－x＋2a.因为k＝－1＜0，所以当1≤x≤3时，y随x的增大而减小，即当x＝3时，y＝5，则5＝－3＋2a，解得a＝4，所以a＝－2或4. 核心考点整合 返回 根据绝对值的意义分两种情况讨论：①x≥2a时，得y＝x－2a，y随x的增大而增大；②x＜2a时，得y＝－x＋2a，y随x的增大而减小. 核心考点整合 考点3 一次函数与一元一次方程 8.如图，一次函数y＝2x和y＝ax＋4的图象相交于点A(m，3)，则方程ax＋4＝0的解为(　　) A.x＝6　　 B.x＝3　　 C.x＝－6　　 D.x＝－3 返回 (第8题) A 核心考点整合 【点拨】因为点A在直线y＝2x上，所以3＝2m，解得m＝.所以点A的坐标为.因为一次函数y＝2x和y＝ax＋4的图象相交于点A，所以a＋4＝3，解得a＝－.所以方程ax＋4＝0可化为－x＋4＝0，解得x＝6. 返回 (第8题) 核心考点整合 9.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋1与直线y＝－x＋3交于点A，两直线分别交x轴于点B和点C. (1)点B的坐标为　　　　，点C的坐标为　　　　； 返回 (第9题) (－1，0) (4，0) (2)△ABC的面积为　　　　. 核心考点整合 考点4 确定一次函数表达式 10.如图，点N(0，6)，点M在x轴负半轴上，ON＝3OM，A为线段MN上一点，AB⊥x轴，垂足为点B，AC⊥y轴，垂足为点C. (1)点M的坐标为　　　　　； 返回 (－2，0) 核心考点整合 (2)求直线MN的表达式； 返回 【解】设直线MN的表达式为y＝kx＋b，把点M(－2，0)和点N(0，6)的坐标分别代入y＝kx＋b，得－2k＋b＝0，b＝6，所以k＝3，所以直线MN的表达式为y＝3x＋6. 核心考点整合 (3)若点A的横坐标为－1，求长方形ABOC的面积. 返回 【解】把x＝－1代入y＝3x＋6，得y＝3×(－1)＋6＝3，所以A(－1，3).所以AC＝1，AB＝3.所以长方形ABOC的面积＝1×3＝3. 核心考点整合 考点5 一次函数的应用 11. ［华师一附中自主招生］一辆快车从 甲地开往乙地，一辆慢车从乙地开往甲地， 两车同时出发，分别以各自的速度在甲、乙两地间匀速行驶，1 h后，快车司机发现有重要文件遗忘在出发地，便立即返回拿上文件(取文件时间不计)后再从甲地开往乙地，结果快车先到达乙地.慢车继续行驶到甲地.设慢车的行驶时间为x(h)，两车之间的距离为y(km)，y与x的函数图象如图，则a＝　　　　. 返回 6.2 核心考点整合 【点拨】设慢车的速度为v1 km/h.由题图知，12.5v1＝1 000，解得v1＝80.设快车的速度为v2 km/h.因为1 h后两车相距 800 km，即1 h两车共行1 000－800＝200(km)，所以v2＝120.因为a h后两车相遇，此时慢车走80a km，快车走120(a－2)km，故有80a＋120(a－2)＝1 000，解得a＝6.2. 返回 核心考点整合 12. 某游泳馆普通票价为20元/次，暑假为丰富学生的假期生活，特推出两种学生优惠卡： ①畅游卡，每张售价500元，每次游泳凭卡不再收费； ②学生卡，所需费用y(元)与游泳次数x(次)的关系 如图中射线BC所示. 暑假普通票正常出售，两种学生优惠卡仅限学 生暑假期间使用，不限次数. 返回 核心考点整合 (1)填空：a＝　　　　，b＝　　　　，点A的坐标为　　　　　； 返回 20 30 (25，500) 核心考点整合 (2)设小明计划暑假期间游泳x次，请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式合算？ 返回 【解】当0＜x＜20时，选择普通票合算；当x＝20时，普通票和学生卡费用相同，均比畅游卡合算；当20＜x＜30时，选择学生卡合算；当x＝30时，畅游卡和学生卡费用相同，均比普通票合算；当x＞30时，选择畅游卡合算. 核心考点整合 思想 分类讨论思想 13. 如图，直线y＝kx＋6与x轴、y轴分别交于点E，F.点E的坐标为(－8，0)，点P(x，y)是这条直线上的一个动点，点A的坐标为(－6，0). (1)求k的值； 返回 【解】将点E的坐标(－8，0)代入y＝kx＋6，得0＝－8k＋6，解得k＝. 思想方法整合 (2)若点P(x，y)是第二象限内这条直线上的一个动点.在点P运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式； 返回 【解】由(1)得该直线的表达式为y＝x＋6. 因为A(－6，0)，所以OA＝6. 又因为yP＝xP＋6，且点P在第二象限， 所以S＝OA•｜yP｜＝×6×＝x＋18. 所以S＝x＋18(－8＜x＜0). 思想方法整合 (3)若△OPA的面积为，求所有符合条件的点P的坐标. 返回 【解】当S＝时，×6×｜yP｜＝，解得yP＝±. 当y＝时，x＋6＝， 解得x＝－， 思想方法整合 返回 所以点P的坐标为. 当y＝－时，x＋6＝－，解得x＝－， 所以点P的坐标为. 综上，点P的坐标为或. 思想方法整合 $