7.2.2定理与证明（课件）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“定理与证明”核心内容，通过问题链导入（如何证实真命题、已知真命题的证实方法），承接命题与公理知识，构建从概念区分到规范证明的学习支架，帮助学生掌握定理与公理的差异及几何证明的标准格式。 其亮点在于以“四大概念终极区分”和“证明三步格式”培养抽象能力与推理能力，通过“对顶角相等”例题示范及满分口诀强化数学语言表达。分层练习题与易错点提示助力学生规范推理，教师可借助系统资源提升教学效率。

北师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月30日 7.2.2定理与证明 第七章 命题与证明 7.2.2 定理与证明 同步知识点+练习题 【本节核心定位】 本节是初中几何正式证明的入门核心，承接上一节命题、公理知识，重点掌握：定理与公理的区别、几何证明的标准格式、推理步骤、依据书写。所有后续几何大题的书写规范，全部以本节为准，是期末必考基础。 一、四大概念终极区分（必背） 1. 定义 对名词、术语的含义作出的明确规定，一定是真命题、可逆，可作为证明依据。 2. 公理（基本事实） 长期实践总结、不需要证明、公认正确的真命题，是所有推理的原始依据。 课本五大基本事实（公理）： ① 两点确定一条直线； ② 两点之间线段最短； ③ 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④ 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ⑤ 同位角相等，两直线平行。 3. 定理 经过严格推理证明正确的真命题，叫做定理。 特点：可以直接作为新的证明依据，所有定理都是真命题，真命题不一定是定理。 常见定理：对顶角相等、同角的余角相等、两直线平行内错角相等。 4. 推论 由公理、定理直接推出的真命题，叫做推论，可直接用于解题。 二、证明的完整概念 证明：从命题的题设（已知条件）出发，依据定义、公理、定理，一步步逻辑推理，最后得出结论成立的完整过程。 证明的三大要求 1.步步有据：每一步推理必须写对应依据（定义/公理/定理）； 2. 逻辑严谨：不能跳步、不能主观臆断； 3. 格式规范：严格按照“已知—求证—证明”书写。 三、几何证明标准三步格式（考试满分模板） 1. 已知 抄写题目给出的全部条件。 2. 求证 写出题目需要证明的结论。 3. 证明（核心得分区） 从已知出发，逐步推导，每一步结论后标注依据，最后推出求证结果。 四、真命题、假命题、公理、定理关系（必考辨析） 1. 命题分为：真命题、假命题； 2. 真命题包含：公理、定理、定义； 3. 公理：无需证明，原始依据； 4. 定理：必须经过证明，方可使用； 5. 假命题：只需举反例否定，无需证明。 五、课本必考经典证明例题（格式仿写） 例题：证明「对顶角相等」 已知：直线AB、CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角。 求证：∠AOC = ∠BOD 证明： ∵ ∠AOC + ∠AOD = 180°（邻补角的定义） ∵ ∠BOD + ∠AOD = 180°（邻补角的定义） ∴ ∠AOC = ∠BOD（同角的补角相等） 证毕。 六、高频易错扣分点 1. 混淆公理与定理：公理不用证，定理必须证； 2. 证明过程不写依据，大题直接扣分； 3. 跳步推理、逻辑断层，步骤不完整； 4. 认为所有真命题都是定理（错误，定义、公理是真命题但不是定理）； 5. 证明假命题用推理，正确方法是举反例。 七、解题满分口诀 公理不用证，定理推出来；证明步步据，已知推结论；假命题找反例，真命题步步证 --- 【同步练习题+答案】 一、填空题 1. 不需要证明、公认正确的真命题叫做________。 2. 经过推理证明正确的真命题叫做________。 3. 几何证明的三步格式：________、________、________。 4. 判断假命题的唯一方法是________。 二、判断题 1. 定理一定是真命题。（） 2. 真命题一定是定理。（） 3. 公理可以作为证明依据。（） 4. 证明可以不用写推理依据。（） 三、证明大题（规范书写训练） 求证：同角的余角相等。（按标准格式书写） --- 【参考答案】 一、填空题 1. 公理（基本事实） 2. 定理 3. 已知、求证、证明 4. 举反例 二、判断题 1. √ 2. × 3. √ 4. × 三、证明大题（满分标准过程） 已知：∠1与∠2互余，∠1与∠3互余。 求证：∠2 = ∠3 证明： ∵ ∠1与∠2互余（已知） ∴ ∠1 + ∠2 = 90°（余角的定义） ∵ ∠1与∠3互余（已知） ∴ ∠1 + ∠3 = 90°（余角的定义） ∴ ∠2 = ∠3（同角的余角相等） 证毕。 【本节满分总结】 1. 公理：无需证明，原始依据； 2. 定理：需要证明，可作解题依据； 3. 证明必须：格式标准、步步有据、逻辑完整； 4. 真命题含定义、公理、定理，范围最大。 初步感受公理化思想，以及公理化方法对数学发展和促进人类文明进步的价值. 经历对顶角定理等定理的证明过程，初步掌握综合法证明的格式，发展有条理的表达能力. 问题 举一个反例就可以说明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢? 用我们以前学过的观察、实验、验证特例等方法. 能不能根据已经知道的真命题证实呢? 那已经知道的真命题又是如何证实的? 其实，在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题. 公元前3世纪，人们已经积累了大量的数学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得编写了一本书，书名为《原本》. 为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据. 知识点1 公理、定理、证明的概念 其中数学名词称为原名，公认的真命题称为公理. 除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断. 知识点1 公理、定理、证明的概念 演绎推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理. 每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明. 并不是所有的真命题都是定理，但定理一定是真命题. 知识点1 公理、定理、证明的概念 公理与定理的异同： 相同点： (1) 都是真命题； (2) 都可以作为证明其他命题的依据. 不同点： 公理 其真实性是通过长期实践被证实的，不需要推理证明. 定理 其正确性需要经过推理论证. 知识点1 公理、定理、证明的概念 本套教科书选用九条基本事实作为证明的出发点和依据，我们已经认识了其中的八条： 1. 两点确定一条直线. 2. 两点之间线段最短. 3. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 4. 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行(简述为：同位角相等，两直线平行). 知识点1 公理、定理、证明的概念 本套教科书选用九条基本事实作为证明的出发点和依据，我们已经认识了其中的八条： 5. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 6. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 7. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 8. 三边分别相等的两个三角形全等. 另外一条基本事实我们将在后面的学习中认识它. 知识点1 公理、定理、证明的概念 此外，数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质，以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据. 知识点1 公理、定理、证明的概念 例如，如果a=b，b=c，那么a=c，这一性质也可以作为证明的依据，称为“等量代换”. 又如，如果a>b，b>c，那么 a>c，这一性质同样可以作为证明的依据. 从这些基本事实出发，就可以证明已经探索过的结论了. 例如，我们可以证明下面的定理： 定理 同角(或等角)的补角相等. 定理 同角(或等角)的余角相等. 定理 三角形的任意两边之和大于第三边. 知识点1 公理、定理、证明的概念 例1 已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角.求证：∠AOC=∠BOD. 分析：在基本事实和已证定理中， 哪些结论可以断定两个角相等? 证明：∵ 直线AB与直线CD相交于点O， ∴ ∠AOB和∠COD都是平角(平角的定义). ∴ ∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角(补角的定义). ∴ ∠AOC=∠BOD(同角的补角相等). 知识点1 公理、定理、证明的概念 A C B D O 由上面的例题，我们可以得到定理： 定理 对顶角相等 知识点1 公理、定理、证明的概念 知识点1 公理与定理 1.下列关于公理和定理的说法正确的是(　　) A.公理是真命题，但定理不是 B.公理就是定理，定理也是公理 C.公理和定理都可以作为推理论证的依据 D.公理和定理都应经过证明后才能使用 返回 C 基础提优题 2.“过平面上两点，有且只有一条直线”属于(　　) A.定义　　 B.定理 C.公理　　 D.以上都不对 返回 C 基础提优题 知识点2 证明 3.试证明“若∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°，∠A＝∠C，则∠B＝∠D”是真命题.以下是打乱顺序的推理过程：①因为∠A＝∠C(已知)；②因为∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°(已知)；③所以∠B＝180°－∠A，∠D＝180°－∠C(等式的性质)；④所以∠B＝∠D(等量代换)；⑤所以∠B＝180°－∠C(等量代换).则正确的顺序是(　　) A.①→③→②→⑤→④ B.②→③→⑤→①→④ C.②→③→①→⑤→④ D.②→⑤→①→③→④ 返回 C 基础提优题 4.如图，点D是△ABC外一点，连接BD，AD，AD与BC交于点O.给出下列三个等式：①BC＝AD，②∠ABC＝∠BAD，③AC＝BD.请从这三个等式中，任选两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，将你选择的等式的序号填在下面对应的横线上，然后对该真命题进行证明. 已知：　　，　　. 求证：　　. 返回 ① ② ③ (答案不唯一) 基础提优题 证明如下： 在△ABC和△BAD中， 所以△ABC≌△BAD(SAS)，所以AC＝BD. 返回 基础提优题 5.有下列描述：①过点A作直线AF∥BC；②两直线平行，同旁内角互补；③垂直于同一条直线的两条直线互相垂直.其中是定理的有(　　) A.0个　　 B.1个　　 C.2个　　 D.3个 返回 B 综合应用题 6.求证：三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等.(解题要求：补全已知、求证，写出证明) 已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，　 　　　　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 求证：　　　　. 返回 • • • • • • • • • • 分别过点B， C作AD的垂线，交AD的延长线和AD于点P，E BP＝CE 综合应用题 证明：由题意可得∠CED＝∠BPD＝90°， 因为AD是BC边上的中线，所以BD＝CD. 在△BDP和△CDE中， 所以△BDP≌△CDE(AAS)，所以BP＝CE. 返回 综合应用题 7. 用表示一个两位数，a代表十位上的数，b代表个位上的数，即＝10a＋b.请观察下列运算规律： 15×15＝100×1×2＋5×5＝225， 25×25＝100×2×3＋5×5＝625， 35×35＝100×3×4＋5×5＝1 225，…. (1)根据阅读材料，可知＝　　　　； 返回 10a＋5 综合应用题 (2)猜想：×＝　　　　　＋5×5； (3)结合以上内容，请你证明(2)中的猜想； 返回 100a 【解】因为×＝2＝100a2＋100a＋25， 100a＋5×5＝100a2＋100a＋25， 所以×＝100a＋5×5. 综合应用题 (4)如果b＋c＝10，类比上述探究过程，请你用一个式子表示速算×的方法，并证明你的结论. 返回 【解】×＝100a＋bc. 证明：因为b＋c＝10， 所以×＝＝100a2＋10a＋bc＝100a2＋100a＋bc. 因为100a＋bc＝100a2＋100a＋bc， 所以×＝100a＋bc. 综合应用题 公理、定理、证明的概念 定理：经过证明的真命题称为定理，每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明 证明：演绎推理的过程称为证明 公理：公认的真命题称为公理. 除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断 课堂小结 $